ในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีตัวดำเนินการ ตัว ดำเนินการเชิงเส้น แบบมีขอบเขตเป็นชนิดพิเศษของการแปลงเชิงเส้นที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในมิติอนันต์ในมิติจำกัด การแปลงเชิงเส้นจะเปลี่ยนเซตที่มีขอบเขตหนึ่งไปยังอีกเซตที่มีขอบเขตหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบจะกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือส่วนของเส้นตรงที่มีขอบเขตเมื่อใช้การแปลงเชิงเส้น) อย่างไรก็ตาม ในมิติอนันต์ ความเป็นเชิงเส้นไม่เพียงพอที่จะรับประกันว่าเซตที่มีขอบเขตจะยังคงมีขอบเขตอยู่ ดังนั้น ตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตจึงเป็นการแปลงเชิงเส้นที่ส่งเซตที่มีขอบเขตไปยังเซตที่มีขอบเขต

ในทางทฤษฎีแล้ว มันคือการแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) และที่แมปเซตย่อยที่มีขอบเขต ของ ไปยังเซตย่อยที่มีขอบเขตของ ถ้าและเป็นปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน (TVS ประเภทพิเศษ) แล้วจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อ มีอยู่บางค่า ที่ทำให้ สำหรับทุก ค่าต่ำสุดของเรียกว่า บรรทัดฐาน ของตัวดำเนินการ ของ และเขียนแทนด้วย ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิแบบมีบรรทัดฐานจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีขอบเขต ${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M\geq 0}$${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \|L\|.}$

แนวคิดของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตได้ถูกขยายจากปริภูมิบรรทัดฐานไปสู่ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั้งหมด

นอกเหนือจากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแล้ว เมื่อฟังก์ชันถูกเรียกว่า " มีขอบเขต " โดยทั่วไปหมายความว่าภาพ ของฟังก์ชันนั้น เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของโคโดเมนของมัน การแปลงเชิงเส้นจะมีคุณสมบัตินี้ก็ต่อเมื่อมันเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบสมบูรณ์เท่านั้น ดังนั้น ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน เมื่อตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกเรียกว่า "มีขอบเขต" มันไม่ได้หมายความในความหมายเชิงนามธรรม (ของการมีภาพที่มีขอบเขต) ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle 0.}$

ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตทุกตัวมีความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ที่${\displaystyle 0.}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิบรรทัดฐานจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องเท่านั้น

เมื่อกำหนด ตัวดำเนินการเชิงเส้นสองตัว^ที่กำหนดไว้บางส่วนเรากล่าวว่ามีขอบเขตสัมพัทธ์โดย(หรือมีขอบเขต -) ก็ต่อเมื่อและมีอยู่โดยที่ค่าต่ำสุดของทั้งหมดดังกล่าวคือขอบเขตสัมพัทธ์ของ[ ^{1 ]}${\displaystyle A:D(A)\subset X\to Y,B:D(B)\subset X\to Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(B)\subset D(A)}$${\displaystyle a,b\geq 0}$$${\displaystyle \|Bx\|\leq a\|Ax\|+b\|x\|,\quad \forall x\in D(B)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

เนื่องจากปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิบรรทัดฐานสมบูรณ์ที่มีบรรทัดฐานซึ่งเกิดจากผลคูณภายใน ดังนั้นหลักการข้างต้นจึงใช้ได้กับที่นี่เช่นกัน ที่น่าสังเกตคือ ปริภูมิของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต H จะกลายเป็นพีชคณิต C*และโดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิตัวดำเนินการเราสามารถกำหนดแนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับขอบเขตสำหรับตัวดำเนินการ T ได้ ${\displaystyle L(H)}$

ตัวอย่างเช่น T เรียกว่ามีขอบเขตกำลัง ถ้าสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทุกตัว เงื่อนไขนี้บ่งชี้ว่า T มีขอบเขตแน่นอน แต่ข้อความกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ${\displaystyle \|T^{n}\|_{L(H)}<\infty }$

เงื่อนไขความมีขอบเขตอีกประการหนึ่งคือเงื่อนไขความมีขอบเขตแบบพหุนาม: ตัวดำเนินการ T บน L(H) จะมีขอบเขตแบบพหุนามก็ต่อเมื่อมีค่าคงที่บวก(ที่ขึ้นอยู่กับ T เท่านั้น) อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งสำหรับพหุนาม (เชิงวิเคราะห์) p ทั้งหมดที่กำหนดบนวงกลมหน่วยปิดเงื่อนไขนี้ยังบ่งบอกถึงความมีขอบเขตแบบกำลังและความมีขอบเขตแบบนอร์มด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ${\displaystyle K}$$${\displaystyle \|p(T)\|_{L(H)}\leq K\sup _{|z|\leq 1}|p(z)|}$$${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$

นอกจากนี้ ตัวดำเนินการจะถูกเรียกว่ามีขอบเขตพหุนามสมบูรณ์หากมีค่าคงที่บวก K อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมดของพหุนาม (เชิงวิเคราะห์) และสำหรับจำนวนธรรมชาติ n ทั้งหมด โดยที่ค่าบรรทัดฐานของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องนั้นได้มาจากการเหนี่ยวนำตามธรรมชาติของโครงสร้างของปริภูมิเมทริกซ์ และสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันพหุนาม ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตพหุนามสมบูรณ์ทุกตัวจะมีขอบเขตพหุนามและขอบเขตกำลัง รวมทั้งมีขอบเขตบรรทัดฐานด้วย แต่โดยทั่วไปแล้วสิ่งที่ตรงกันข้ามจะไม่เป็นจริง ${\displaystyle T\colon H\to H}$$${\displaystyle \|P(T)\|_{M_{n\times n}(B(H))}\leq K\sup _{|z|\leq 1}\|P(z)\|_{M_{n\times n}}}$$${\displaystyle P=(p_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P(T)}$

ตัวอย่างเชิงบวกของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตพหุนามอย่างสมบูรณ์คือตัวดำเนินการหดตัว T ^{[ 2 ]}กล่าวคือตัวดำเนินการที่เป็นจริง $${\displaystyle \|T\|_{L(H)}\leq 1}$$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) สองปริภูมิ เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตหรือเรียกสั้น ๆ ว่ามีขอบเขตถ้าเมื่อใดก็ตามที่มีขอบเขตในแล้วจะมีขอบเขตใน เซตย่อยของ TVS เรียกว่า มีขอบเขต (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือมีขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์ ) ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดดูด ซับเซตย่อย นั้น ในปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน (และแม้แต่ในปริภูมิกึ่งบรรทัดฐาน ) เซตย่อยจะมีขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์ ก็ต่อเมื่อมีขอบเขตตามบรรทัดฐาน ดังนั้น สำหรับปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน แนวคิดของเซตที่มีขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์ จึงเหมือนกับแนวคิดปกติของเซตย่อยที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐาน ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle Y.}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้น ต่อเนื่องตามลำดับทุก ตัว ระหว่าง TVS เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต^{[ 3 ]} ซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องทุกตัวระหว่าง TVS ที่สามารถวัดได้จะมีขอบเขต อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตระหว่าง TVS สองตัวไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง

การกำหนดสูตรนี้ทำให้สามารถนิยามตัวดำเนินการที่มีขอบเขตระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีทั่วไปได้ว่าเป็นตัวดำเนินการที่แปลงเซตที่มีขอบเขตไปยังเซตที่มีขอบเขต ในบริบทนี้ ยังคงเป็นความจริงที่ว่าแผนที่ต่อเนื่องทุกแผนที่นั้นมีขอบเขต อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง นอกจากนี้ยังหมายความว่าความเป็นขอบเขตไม่เทียบเท่ากับความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ในบริบทนี้อีกต่อไป

ถ้าโดเมนเป็นปริภูมิบอร์โนโลจิคัล (ตัวอย่างเช่นTVS ที่เป็นพсевдометризапрометрил , ปริภูมิเฟรเชต์ , ปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน ) แล้วตัวดำเนินการเชิงเส้นใดๆ ที่ส่งไปยังปริภูมิเว้าเฉพาะที่อื่นๆ จะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่อง สำหรับปริภูมิเว้าเฉพาะที่(LF spaces)จะมีข้อความกลับที่อ่อนกว่า กล่าวคือ แผนที่เชิงเส้นที่มีขอบเขตใดๆ จากปริภูมิเว้าเฉพาะที่ จะ มีความต่อเนื่อง ตาม ลำดับ

ถ้าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสองปริภูมิ และถ้ามีบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดในที่ เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของแล้วจะมีความต่อเนื่อง^{[ 4 ]} ข้อเท็จจริงนี้มักสรุปได้ว่า ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดบางบริเวณนั้น จำเป็นต้องมีความต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆ ที่มีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดบางบริเวณนั้น จะมีความต่อเนื่อง (แม้ว่าโดเมนของมันจะไม่ใช่ปริภูมิบรรทัดฐานก็ตาม) ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F}$

พื้นที่บอร์โนโลจิคัลคือพื้นที่นูนเฉพาะที่ซึ่งตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตไปยังพื้นที่นูนเฉพาะที่อื่นจะต้องต่อเนื่อง กล่าวคือ TVS นูนเฉพาะที่ถือเป็นพื้นที่บอร์โนโลจิคัลก็ต่อเมื่อสำหรับ TVS นูนเฉพาะที่ทุกตัว ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีขอบเขต^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F:X\to Y}$

พื้นที่ที่มีบรรทัดฐานทุกแห่งล้วนมีลักษณะทางกำเนิดวิทยา

ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ) ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$มีขอบเขต (เฉพาะที่) ^{[ 5 ]}
2. (นิยาม): แมปเซตย่อยที่มีขอบเขตของโดเมนไปยังเซตย่อยที่มีขอบเขตของโคโดเมน^{[ 5 ]}${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$แมปเซตย่อยที่มีขอบเขตของโดเมนไปยังเซตย่อยที่มีขอบเขต^ของภาพ [ ^{5 ]}${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$แมปทุกลำดับว่างไปยังลำดับที่มีขอบเขต^{[ 5 ]}
   • ลำดับศูนย์คือ ลำดับที่ลู่เข้าสู่จุดกำเนิด ตามคำนิยาม
   • ดังนั้น แผนที่เชิงเส้นใดๆ ที่มีความต่อเนื่องตามลำดับที่จุดกำเนิด ย่อมเป็นแผนที่เชิงเส้นที่มีขอบเขตอย่างแน่นอน
5. ${\displaystyle F}$แมปทุกลำดับศูนย์ลู่เข้าของ Mackey ไปยังเซตย่อยที่มีขอบเขตของ^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle Y.}$
   • ลำดับจะเรียกว่าลู่เข้าแบบแม็กกี้ไปยังจุดกำเนิดในถ้ามีลำดับลู่ออกของจำนวนจริงบวกอยู่ โดยที่เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$

ถ้าและเป็นฟังก์ชันนูนเฉพาะที่แล้ว อาจเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ลงในรายการนี้ได้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$แมปดิสก์ ที่มีขอบเขต ไปยังดิสก์ที่มีขอบเขต^{[ 6 ]}
7. ${\displaystyle F^{-1}}$แผนที่ดิสก์ที่กินสัตว์เกิดใหม่ ลง ในดิสก์ที่กินสัตว์เกิดใหม่ใน^{[ 6 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

ถ้าเป็นปริภูมิบอร์โนโลจิคัลและมีความนูนเฉพาะที่แล้ว สิ่งต่อไปนี้อาจถูกเพิ่มเข้าไปในรายการนี้ได้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$มีความต่อเนื่องตามลำดับที่ จุดใด จุดหนึ่ง (หรือเทียบเท่ากับทุกจุด) ของโดเมน^{[ 7 ]}
   • แผนที่ เชิงเส้น ต่อเนื่องตามลำดับระหว่าง TVS สองตัวจะมีขอบเขตเสมอ^{[ 3 ]}แต่ในทางกลับกันต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมเพื่อให้เป็นจริง (เช่น โดเมนเป็นแบบ bornological และโคโดเมนเป็นแบบนูนเฉพาะที่)
   • ถ้าโดเมนเป็นปริภูมิแบบลำดับ ด้วย แล้วจะต่อเนื่องแบบลำดับก็ต่อเมื่อ เป็นปริภูมิแบบต่อเนื่อง${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$มีความต่อเนื่องตามลำดับที่จุดกำเนิด

• ตัวดำเนินการเชิงเส้นใดๆ ระหว่างปริภูมิบรรทัดฐานที่มีมิติจำกัดสองปริภูมิจะมีขอบเขต และตัวดำเนินการดังกล่าวอาจมองได้ว่าเป็นการคูณด้วยเมทริกซ์คง ที่บางตัว
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นใดๆ ที่กำหนดบนปริภูมิบรรทัดฐานมิติจำกัดจะมีขอบเขตจำกัด
• ในปริภูมิ ของลำดับจำนวนจริงที่ในที่สุดมีค่าเป็นศูนย์ เมื่อพิจารณาด้วยนอร์ม ตัวดำเนินการเชิงเส้นสำหรับจำนวนจริงที่ส่งคืนผลรวมของลำดับจะมีขอบเขต โดยมีนอร์มของตัวดำเนินการเท่ากับ 1 แต่ถ้าพิจารณาปริภูมิเดียวกันด้วยนอร์ม ตัวดำเนินการเดียวกันนั้นจะไม่ถูกจำกัดขอบเขต${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• การแปลงอินทิกรัลจำนวนมากเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวดำเนินการที่กำหนดบนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่อง บน ซึ่งมีบรรทัดฐานสม่ำเสมอและมีค่าอยู่ในปริภูมิที่กำหนดโดยสูตร จะมีขอบเขต ตัวดำเนินการนี้แท้จริงแล้วเป็นตัวดำเนินการกระชับ ตัวดำเนินการกระชับเป็นกลุ่มสำคัญของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต$${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle L}$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C[c,d]}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
• ตัวดำเนินการลาปลาส ( โดเมน ของมัน คือปริภูมิโซโบเลฟและมันรับค่าในปริภูมิของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ ) มีขอบเขตจำกัด$${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
• ตัวดำเนินการเลื่อนด้านเดียวบนปริภูมิ Lp ของ ลำดับจำนวนจริงทั้งหมด ที่มี นั้น มีขอบเขต สามารถเห็นได้ง่ายๆ ว่าค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการนี้คือ${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$$${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$${\displaystyle 1.}$

ให้เป็นปริมาณของพหุนามตรีโกณมิติ ทั้งหมด บน ที่มีนอร์ม ${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

ตัวดำเนินการที่แปลงพหุนามไปเป็นอนุพันธ์ ของมันนั้น ไม่มีขอบเขตจำกัด อันที่จริง สำหรับเราจะได้ในขณะที่ดังนั้นจึงไม่มีขอบเขตจำกัด ${\displaystyle L:X\to X}$${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$${\displaystyle n\to \infty ,}$${\displaystyle L}$

ปริภูมิของตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตทั้งหมดจากไปยัง จะถูกแทนด้วย ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$

• ${\displaystyle B(X,Y)}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน
• ถ้าเป็นเซตบานาค แล้ว ก็เป็นเซตบานาคด้วยโดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิคู่ขนานเป็นเซตบานาค${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$
• สำหรับเคอร์เนลใดๆ ของคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นปิดของ${\displaystyle A\in B(X,Y)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นเซตบานาค และไม่ใช่เซตว่าง แล้ว ก็เป็นเซตบานาค เช่นกัน${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• เซตที่มีขอบเขต (ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี)  – การวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องขอบเขต
• การหดตัว (ทฤษฎีตัวดำเนินการ)  – ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตและมีบรรทัดฐานย่อยหน่วย
• แผนที่เชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง  – ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี
• ขอบเขตท้องถิ่น
• นอร์ม (คณิตศาสตร์)  – ความยาวในปริภูมิเวกเตอร์
• พีชคณิตตัวดำเนินการ  – สาขาหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
• ค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการ  – การวัด "ขนาด" ของตัวดำเนินการเชิงเส้น
• ทฤษฎีตัวดำเนินการ  – การศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับตัวดำเนินการเชิงเส้น
• เซมินอร์ม  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• ตัวดำเนินการไร้ขอบเขต  – ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดบนปริภูมิย่อยเชิงเส้นหนาแน่น

• "ตัวดำเนินการที่มีขอบเขต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Kreyszig, Erwin: การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเบื้องต้นพร้อมการประยุกต์ใช้ , Wiley, 1989
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .