ในทางคณิตศาสตร์แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกกล่าวคือ เมื่อกำหนดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfที่มีอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนzและตัวดำเนินการTเป้าหมายคือการสร้างตัวดำเนินการf ( T ) ซึ่งขยายฟังก์ชันfจากอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนไปเป็นอาร์กิวเมนต์ตัวดำเนินการได้อย่างเป็นธรรมชาติ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตต่อเนื่องจากฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณใกล้เคียงของสเปกตรัมของTไปยังตัวดำเนินการที่มีขอบเขต

บทความนี้จะกล่าวถึงกรณีที่Tเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิบานาค บางปริภูมิ โดยเฉพาะอย่างยิ่งTอาจเป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งกรณีนี้จะใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันและให้ข้อมูลเชิงลึกเชิงอนุมานบางประการเกี่ยวกับสมมติฐานที่เกี่ยวข้องในการสร้างทั่วไป

ในส่วนนี้ จะถือว่า Tเป็น เมทริกซ์ขนาด n  ×  nที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าฟังก์ชันf ที่กำหนด เป็นฟังก์ชันประเภทพิเศษบางอย่าง จะมีวิธีการตามธรรมชาติในการกำหนดf ( T ) ตัวอย่างเช่น ถ้า

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

เป็นพหุนาม เชิงซ้อน เราสามารถแทนที่Tด้วยzและกำหนดได้ ง่ายๆ

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

โดยที่T ⁰ = Iซึ่ง เป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์นี่คือแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันพหุนามมันคือโฮโมมอร์ฟิซึมจากวงแหวนของพหุนามไปยังวงแหวนของเมทริกซ์ n × n

หากขยายความจากพหุนามเล็กน้อย ถ้าf  : C → Cเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ที่มีอนุกรมแมคลาอริน

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},}$

การจำลองกรณีพหุนามชี้ให้เห็นว่าเราควรนิยาม

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

เนื่องจากอนุกรม MacLaurin ลู่เข้าทุกที่ อนุกรมข้างต้นจึงจะลู่เข้าในบรรทัดฐานตัวดำเนินการ ที่เลือกไว้ ตัวอย่างเช่นเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ การแทนที่zด้วยTในอนุกรม MacLaurin ของf ( z ) = e^ ^zจะได้

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

เงื่อนไขที่ว่าอนุกรม MacLaurin ของfลู่เข้าทุกที่นั้นสามารถผ่อนปรนได้บ้าง จากข้างต้นเห็นได้ชัดว่าสิ่งที่จำเป็นจริงๆ คือรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรม MacLaurin ต้องมากกว่า ǁ T ǁ ซึ่งเป็นค่าปกติของตัวดำเนินการของTสิ่งนี้ทำให้ขอบเขตของตระกูลfที่สามารถกำหนดf ( T ) ได้โดยใช้วิธีการข้างต้นขยายออกไปบ้าง อย่างไรก็ตามมันยังไม่น่าพอใจนัก ตัวอย่างเช่น เป็นความจริงจากทฤษฎีเมทริกซ์ว่าเมทริกซ์ T ที่ไม่เอกฐานทุกเมทริกซ์ มีลอการิทึมSในความหมายที่ว่าe ^S = Tเป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่อนุญาตให้กำหนดln( T ) สำหรับเมทริกซ์ T ที่ไม่เอกฐานให้ตรงกับ Sสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้โดยใช้อนุกรมกำลังเช่น อนุกรมลอการิทึม

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

ลู่เข้าเฉพาะบนดิสก์หน่วย เปิดเท่านั้น การแทนค่าTด้วยzในอนุกรมไม่สามารถให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับ ln( T  +  I ) สำหรับT + I ที่ผกผันได้ โดยที่ ǁ T ǁ ≥ 1 ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันทั่วไปมากขึ้น

คาดว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับf ( T ) ที่จะมีความหมายคือfต้องถูกนิยามบนสเปกตรัมของTตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์ปกติระบุว่าเมทริกซ์ปกติทุกตัวสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมแบบเอกภาพได้ ซึ่งนำไปสู่การนิยามf ( T ) เมื่อTเป็นเมทริกซ์ปกติ จะพบปัญหาหากf (λ) ไม่ได้ถูกนิยามสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ λ บางค่าของ T

ข้อบ่งชี้อื่นๆ ยังช่วยเสริมแนวคิดที่ว่าf ( T ) สามารถนิยามได้ก็ต่อเมื่อfนิยามอยู่บนสเปกตรัมของT เท่านั้น ถ้าTไม่สามารถผกผันได้ (โดยระลึกว่า T เป็นเมทริกซ์ nxn) 0 จะเป็นค่าลักษณะเฉพาะ เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติไม่นิยามที่ 0 จึงคาดได้ว่า ln( T ) จะไม่สามารถนิยามได้ตามธรรมชาติ ซึ่งก็เป็นเช่นนั้นจริงๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับ

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

วิธีการคำนวณf ( T ) ที่สมเหตุสมผลดูเหมือนจะเป็นดังนี้

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

อย่างไรก็ตาม นิพจน์นี้จะไม่สามารถนิยามได้หากตัว ผกผันทางด้านขวามือไม่มีอยู่จริง กล่าวคือ หาก 2 หรือ 5 เป็นค่าลักษณะเฉพาะของT

สำหรับเมทริกซ์T ที่กำหนดให้ ค่าไอเกนของT จะกำหนด ขอบเขตที่ฟังก์ชันf ( T ) สามารถนิยามได้ กล่าวคือf (λ) ต้องนิยามได้สำหรับค่าไอเกน λ ทั้งหมดของTสำหรับตัวดำเนินการที่มีขอบเขตทั่วไป เงื่อนไขนี้จะแปลได้ว่า " fต้องนิยามได้บนสเปกตรัมของT " ข้อสมมตินี้กลายเป็นเงื่อนไขที่ทำให้แผนที่แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันf → f ( T ) มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์บางประการ

ให้Xเป็นปริภูมิบานาคเชิงซ้อน และL ( X ) แทนตระกูลของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบน X

ย้อนกลับไปดูสูตรปริพันธ์ของโคชีจากทฤษฎีฟังก์ชันคลาสสิก ให้f  : C → Cเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิดD ⊂ Cและ Γ เป็นเส้นโค้งจอร์แดน ที่หาความยาวได้ (rectifiable Jordan curve) ในDนั่นคือเส้นโค้งปิดที่มีความยาวจำกัดโดยไม่มีจุดตัดกับตัวเอง สมมติว่าเซตUของจุดzที่อยู่ภายในΓกล่าวคือจุด z มีจำนวนรอบการหมุนของ Γ รอบจุดz เท่ากับ 1 อยู่ในDสูตรปริพันธ์ของโคชีกล่าวว่า

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

สำหรับค่าz ใด ๆ ในU

แนวคิดคือการขยายสูตรนี้ไปยังฟังก์ชันที่รับค่าในปริภูมิบานาคL ( X ) สูตรปริพันธ์ของโคชีชี้ให้เห็นถึงคำจำกัดความต่อไปนี้ (เป็นเพียงรูปแบบเท่านั้นในตอนนี้):

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

โดยที่ (ζ− T ) ⁻¹คือตัวแก้ไขของTที่ ζ

หากสมมติว่าปริพันธ์ที่มีค่าในปริภูมิบานาคนี้ได้รับการกำหนดอย่างเหมาะสม แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่เสนอขึ้นนี้จะบ่งชี้ถึงเงื่อนไขที่จำเป็นดังต่อไปนี้:

1. เนื่องจากสูตรปริพันธ์ของโคชีในรูปแบบสเกลาร์ใช้ได้กับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfเราจึงคาดการณ์ว่ากรณีของปริภูมิบานาคก็จะเป็นเช่นเดียวกัน โดยควรจะมีแนวคิดเรื่องโฮโลมอร์ฟิกที่เหมาะสมสำหรับฟังก์ชันที่รับค่าในปริภูมิบานาคL ( X )
2. เนื่องจากการแมปตัวผกผัน ζ → (ζ− T ) ⁻¹ไม่นิยามบนสเปกตรัมของT , σ( T ) ดังนั้นเส้นโค้งจอร์แดน Γ ไม่ควรตัดกับ σ( T ) อย่างไรก็ตาม การแมปตัวผกผันจะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนส่วนเติมเต็มของ σ( T ) ดังนั้นเพื่อให้ได้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่ไม่ธรรมดา Γ ต้องครอบคลุม (อย่างน้อยบางส่วนของ) σ( T )
3. แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันควรได้รับการกำหนดไว้อย่างดีในแง่ที่ว่าf ( T ) จะต้องเป็นอิสระจาก Γ

นิยามที่สมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันมีดังนี้: สำหรับT ∈ L ( X ) ให้กำหนด

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

โดยที่fเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดบนเซตเปิดD ⊂ Cซึ่งประกอบด้วย σ( T ) และ Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } เป็นชุดของเส้นโค้งจอร์แดนที่ไม่ทับซ้อนกันในDซึ่งล้อมรอบเซต "ภายใน" Uโดยที่ σ( T ) อยู่ในUและแต่ละ γ _iมีทิศทางในความหมายของขอบเขต

เซตเปิดDอาจแปรผันตามfและไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันหรือเชื่อมต่อกันอย่างง่ายดังแสดงในรูปทางด้านขวา

ส่วนย่อยต่อไปนี้จะอธิบายแนวคิดที่กล่าวถึงในคำนิยามให้ชัดเจนยิ่งขึ้น และแสดงให้เห็นว่าf ( T ) นั้นสามารถนิยามได้อย่างถูกต้องภายใต้สมมติฐานที่กำหนดไว้

เปรียบเทียบกับอินทิก รัลของ Bochner

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องgที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของ Γ และรับค่าในL ( X ) นั้น อินทิกรัลเส้นโค้ง ∫ _Γ gถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับกรณีสเกลาร์ เราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ γ _i ∈ Γ แต่ละตัวด้วยช่วงจริง [ a , b ] และอินทิกรัลนี้คือลิมิตของผลรวมรีมันน์ที่ได้จากการแบ่งช่วง [ a , b ] ที่ละเอียดขึ้นเรื่อยๆ ผลรวมรีมันน์ลู่เข้าในโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบเอกรูปเรากำหนด

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

ในนิยามของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันนั้น ถือว่า fเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของ Γ ต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่าการแมปตัวผกผันเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตตัวผกผันดังนั้น อินทิกรัล

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

สมเหตุสมผล.

การแมป ζ → (ζ− T ) ⁻¹เรียกว่าการแมปตัวผกผันของTโดยกำหนดบนส่วนเติมเต็มของ σ( T ) ซึ่งเรียกว่าเซตตัวผกผันของTและจะใช้สัญลักษณ์ ρ( T ) แทน

ทฤษฎีฟังก์ชันคลาสสิกส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของอินทิกรัล

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกมีความคล้ายคลึงกันตรงที่การแมปแบบรีโซลเวนต์มีบทบาทสำคัญในการได้มาซึ่งคุณสมบัติที่ต้องการจากแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่ดี ส่วนย่อยนี้จะกล่าวถึงคุณสมบัติของการแมปแบบรีโซลเวนต์ที่จำเป็นในบริบทนี้

การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่า สำหรับz ₁ , z ₂ ∈ ρ( T )

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.\,}$

ดังนั้น,

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.}$

สมการนี้เรียกว่าสูตรตัวผกผันตัวแรกสูตรนี้แสดงให้เห็นว่า ( z ₁ − T ) ⁻¹และ ( z ₂ − T ) ⁻¹สลับที่ได้ ซึ่งชี้ให้เห็นว่าภาพของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันจะเป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้ การให้z ₂ → z ₁แสดงให้เห็นว่าแผนที่ตัวผกผันสามารถหาอนุพันธ์ได้ (เชิงซ้อน) ที่แต่ละz ₁ ∈ ρ( T ); ดังนั้นปริพันธ์ในนิพจน์ของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันจึงลู่เข้าในL ( X )

สามารถกล่าวอ้างได้หนักแน่นกว่าเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์เกี่ยวกับแผนที่ตัวผกผัน เซตตัวผกผัน ρ( T ) จริงๆ แล้วเป็นเซตเปิดที่แผนที่ตัวผกผันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ คุณสมบัตินี้จะถูกนำไปใช้ในการอธิบายแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันในภายหลัง เพื่อตรวจสอบข้อกล่าวอ้างนี้ ให้z ₁ ∈ ρ( T ) และสังเกตนิพจน์เชิงรูปธรรม

${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}-T}}={\frac {1}{z_{1}-T}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}}$

แนะนำให้เราพิจารณา

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\right)^{n}}$

สำหรับ ( z ₂ − T ) ⁻¹อนุกรมข้างต้นลู่เข้าในL ( X ) ซึ่งหมายถึงการมีอยู่ของ ( z ₂ − T ) ⁻¹ถ้า

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<{\frac {1}{\left\|(z_{1}-T)^{-1}\right\|}}.}$

ดังนั้น เซตตัวผกผัน ρ( T ) จึงเป็นเซตเปิด และนิพจน์อนุกรมกำลังบนดิสก์เปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่z ₁ ∈ ρ( T ) แสดงให้เห็นว่าแผนที่ตัวผกผันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บน ρ( T )

นอกจากนี้ การแสดงออกอีกแบบหนึ่งสำหรับ ( z − T ) ⁻¹ก็จะมีประโยชน์เช่นกัน การแสดงออกอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle {\frac {1}{zT}}={\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {T}{z}}}}}$

ทำให้เราต้องพิจารณา

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

อนุกรมนี้ ซึ่งก็คืออนุกรมนอยมันน์จะลู่เข้าสู่ ( z − T ) ⁻¹ถ้า

${\displaystyle \left\|{\frac {T}{z}}\right\|<1,\;{\text{ie}}\;|z|>\|T\|.}$

จากคุณสมบัติสองข้อสุดท้ายของตัวผกผัน เราสามารถอนุมานได้ว่าสเปกตรัม σ( T ) ของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตTเป็นเซตย่อยกระชับของCดังนั้น สำหรับเซตเปิดD ใดๆ ที่ σ( T ) ⊂ Dจะมีระบบเส้นโค้งจอร์แดน Γ = {γ₁, ..., γₙ} ที่มีทิศทางเป็นบวกและเรียบ_ซึ่ง σ ₍ T )อยู่ภายในΓและส่วนเติมเต็มของDอยู่ภายนอก Γ ดังนั้น สำหรับนิยามของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน จึงสามารถหาตระกูลเส้นโค้งจอร์แดนที่เหมาะสมสำหรับแต่ละfที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนD บาง เซตได้

การอภิปรายก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าปริพันธ์นั้นสมเหตุสมผล กล่าวคือ มีชุดเส้นโค้งจอร์แดน Γ ที่เหมาะสมสำหรับแต่ละfและปริพันธ์นั้นลู่เข้าในทิศทางที่เหมาะสม สิ่งที่ยังไม่ได้แสดงคือ นิยามของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันนั้นไม่กำกวม กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก Γ ประเด็นนี้เราจะพยายามแก้ไขต่อไป

สำหรับกลุ่มของเส้นโค้งจอร์แดน Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } และจุดa ∈ Cจำนวนรอบการหมุนของ Γ เทียบกับaคือผลรวมของจำนวนรอบการหมุนขององค์ประกอบต่างๆ ถ้าเรากำหนด:

${\displaystyle n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i},a),}$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นของโคชี:

ทฤษฎีบท.ให้G ⊂ Cเป็นเซตเปิด และ Γ ⊂ Gถ้าg  : G → Cเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก และสำหรับทุกaในส่วนเติมเต็มของG , n (Γ, a ) = 0 แล้วปริพันธ์ตามเส้นโค้งของgบน Γ จะเป็นศูนย์

เราจะต้องใช้ผลลัพธ์ในรูปแบบเวกเตอร์เมื่อgมีค่าอยู่ในL ( X ) เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้g  : G → L ( X ) เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก โดยมีข้อสมมติเดียวกันเกี่ยวกับ Γ แนวคิดคือการใช้ปริภูมิคู่L ( X )* ของL ( X ) แล้วใช้ทฤษฎีบทของโคชีสำหรับกรณีสเกลาร์

พิจารณาอินทิกรัล

${\displaystyle \int _{\Gamma }g\in L(X),}$

ถ้าเราสามารถแสดงได้ว่า φ ∈ L ( X )* ทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์บนอินทิกรัลนี้ อินทิกรัลนั้นเองจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจาก φ มีขอบเขตและอินทิกรัลลู่เข้าในบรรทัดฐาน เราจึงได้ว่า:

${\displaystyle \phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\phi (g).}$

แต่gเป็นโฮโลมอร์ฟิก ดังนั้นการประกอบ φ( g ): G ⊂ C → Cจึงเป็นโฮโลมอร์ฟิก และด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปตามทฤษฎีบทของโคชี

${\displaystyle \int _{\Gamma }\phi (g)=0.}$

ความชัดเจนของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันเป็นผลลัพธ์ที่ได้มาอย่างง่ายดาย ให้Dเป็นเซตเปิดที่ประกอบด้วย σ( T ) สมมติว่า Γ = {γ _i } และ Ω = {ω _j } เป็นสองกลุ่ม (จำกัด) ของเส้นโค้งจอร์แดนที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่กำหนดไว้สำหรับแคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน เราต้องการแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

ให้ Ω′ ได้มาจาก Ω โดยการกลับทิศทางของ ω _j แต่ละตัว จากนั้น

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =-\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

พิจารณาการรวมกันของสองชุดข้อมูล Γ ∪ Ω′ ทั้ง Γ ∪ Ω′ และ σ( T ) เป็นเซตกระชับ ดังนั้นจึงมีเซตเปิดU บางเซต ที่บรรจุ Γ ∪ Ω′ อยู่ โดยที่ σ( T ) อยู่ในส่วนเติมเต็มของU ค่า aใดๆในส่วนเติมเต็มของUจะมีเลขการวนซ้ำn (Γ ∪ Ω′, a ) = 0 และฟังก์ชัน

${\displaystyle \zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}}$

เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนUดังนั้นทฤษฎีบทของโคชีในรูปแบบเวกเตอร์จึงให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \int _{\Gamma \cup \Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0}$

เช่น

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.}$

ดังนั้นแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันจึงได้รับการนิยามไว้อย่างดี

ดังนั้น ถ้าf ₁และf ₂เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสองฟังก์ชันที่กำหนดบนย่านใกล้เคียงD ₁และD ₂ของ σ( T ) และฟังก์ชันทั้งสองเท่ากันบนเซตเปิดที่ประกอบด้วย σ( T ) แล้วf ₁ ( T ) = f ₂ ( T ) ยิ่งไปกว่านั้น แม้ว่าD ₁อาจจะไม่ใช่D ₂แต่ตัวดำเนินการ ( f ₁ + f ₂ ) ( T ) ก็ยังคงนิยามได้ดี หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับการนิยามของ ( f ₁ · f ₂ )( T ) ด้วย

จนถึงขณะนี้ ยังไม่ได้ใช้ข้อสมมติฐานนี้อย่างเต็มที่ สำหรับการลู่เข้าของปริพันธ์นั้น ใช้เพียงความต่อเนื่องเท่านั้น สำหรับความชัดเจน เราต้องการเพียง ให้ fเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิดUที่ประกอบด้วยเส้นโค้ง Γ ∪ Ω′ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น σ( T ) ข้อสมมติฐานนี้จะถูกนำมาใช้ทั้งหมดเพื่อแสดงคุณสมบัติโฮโมมอร์ฟิซึมของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน

ความเป็นเชิงเส้นของแผนที่f ↦ f ( T ) เป็นผลมาจากการลู่เข้าของปริพันธ์ และการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิบานาคมีความต่อเนื่อง

เราจะได้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันพหุนามกลับคืนมาเมื่อf ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱเป็นพหุนาม ในการพิสูจน์เรื่องนี้ เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า สำหรับk ≥ 0 และf ( z ) = z ^kเป็นจริงว่าf ( T ) = T ^kนั่นคือ

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

สำหรับ Γ ใดๆ ที่เหมาะสมซึ่งล้อมรอบ σ( T ) ให้เลือก Γ เป็นวงกลมที่มีรัศมีมากกว่าค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการของTดังที่กล่าวไว้ข้างต้น บน Γ ดังกล่าว แผนที่ตัวผกผันยอมรับการแสดงแบบอนุกรมกำลัง

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

การแทนที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

ซึ่งคือ

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

δ คือสัญลักษณ์เดลต้าของโครเนกเกอร์

สำหรับฟังก์ชันf ₁และf ₂ ใดๆ ที่สอดคล้องกับสมมติฐานที่เหมาะสม คุณสมบัติโฮโมมอร์ฟิซึมระบุว่า

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

เราจะร่างข้อโต้แย้งที่อ้างถึงสูตรตัวแก้ไขแรกและสมมติฐานที่วางไว้บนfก่อนอื่นเราเลือกเส้นโค้งจอร์แดนโดยที่ Γ ₁อยู่ภายในΓ 2 _{เหตุผล}สำหรับเรื่องนี้จะชัดเจนขึ้นในภายหลัง เริ่มต้นด้วยการคำนวณโดยตรง

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

บรรทัดสุดท้ายเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ω ∈ Γ ₂อยู่นอก Γ ₁และf ₁เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดบางส่วนของ σ( T ) ดังนั้นพจน์ที่สองจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

ให้G ⊂ Cเป็นเซตเปิดที่มี σ( T ) ⊂ Gสมมติว่าลำดับ { f _k } ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนGลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของG (บางครั้งเรียกว่าการลู่เข้าแบบกระชับ ) แล้ว { f _k ( T )} ลู่เข้าในL ( X ):

เพื่อความง่าย ให้สมมติว่า Γ ประกอบด้วยเส้นโค้งจอร์แดนเพียงเส้นเดียว เราประมาณค่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

โดยการรวมสมมติฐานการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการพิจารณาความต่อเนื่องต่างๆ เราจะเห็นว่าข้างต้นมีแนวโน้มเข้าสู่ 0 เมื่อk , l → ∞ ดังนั้น { f _k ( T )} เป็นโคชี จึงลู่เข้า

โดยสรุป เราได้แสดงให้เห็นว่าแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกf → f ( T ) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. มันเป็นการต่อยอดจากแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันพหุนาม
2. เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตจากพีชคณิตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่กำหนดบนย่านใกล้เคียงของ σ( T ) ไปยังL ( X )
3. มันรักษาการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตกระชับ

สามารถพิสูจน์ได้ว่าแคลคูลัสที่ตรงตามคุณสมบัติข้างต้นนั้นมีเพียงหนึ่งเดียว

เราสังเกตว่า ทุกสิ่งที่ได้กล่าวมาข้างต้นยังคงใช้ได้เหมือนเดิม ทุก ประการ หาก แทนที่ตระกูลตัวดำเนินการที่มีขอบเขตL ( X ) ด้วย พีชคณิตบานาคAแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสามารถนิยามได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับองค์ประกอบในA

เป็นที่ทราบกันว่าทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัมใช้ได้กับแคลคูลัสฟังก์ชันพหุนาม: สำหรับพหุนามp ใดๆ σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )) สามารถขยายไปสู่แคลคูลัสโฮโลมอร์ฟิกได้ เพื่อแสดงว่าf ( σ ( T ) ) ⊂ σ ( f ( T )) ให้ μ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากผลลัพธ์ของการวิเคราะห์เชิงซ้อน จะมีฟังก์ชันgที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณใกล้เคียงของσ ( T ) เช่นนั้น

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

ตามคุณสมบัติของโฮโมมอร์ฟิซึมf ( T ) −  f ( μ ) = ( T  −  μ ) g ( T ) ดังนั้นμ ∈ σ ( T ) หมายความว่าf ( μ ) ∈ σ ( f ( T ))

สำหรับการรวมอีกกรณีหนึ่ง ถ้าμไม่อยู่ในf ( σ ( T )) แล้ว แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันจะใช้ได้กับ

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

ดังนั้นg ( T )( f ( T ) − μ ) = I . ดังนั้นμ จึง ไม่อยู่ในσ ( f ( T ))

แนวคิดพื้นฐานมีดังนี้ สมมติว่าKเป็นเซตย่อยของσ ( T ) และU , Vเป็นย่านใกล้เคียงที่ไม่ทับซ้อนกันของKและσ ( T )\  Kตามลำดับ กำหนดให้e ( z ) = 1 ถ้าz ∈ Uและe ( z ) = 0 ถ้าz ∈ Vจากนั้นeเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มี [ e ( z )] ^² = e ( z ) และดังนั้น สำหรับเส้นโค้ง Γ ที่เหมาะสมซึ่งอยู่ในU ∪ Vและซึ่งล้อมรอบ σ( T ) ตัวดำเนินการเชิงเส้น

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

จะเป็นการฉายภาพแบบมีขอบเขตที่สลับที่กับTและให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมาย

ปรากฏว่าสถานการณ์นี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อKเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนσ ( T ) เท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น เซตVสามารถละเลยได้อย่างปลอดภัยเนื่องจากeเป็นศูนย์บนเซตนั้น ดังนั้นจึงไม่มีส่วนร่วมในปริพันธ์ การฉายภาพe ( T ) เรียกว่าการฉายภาพสเปกตรัมของTที่Kและใช้สัญลักษณ์P ( K ; T ) ดังนั้นทุกเซตย่อยKของσ ( T ) ที่เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยจะมีการฉายภาพสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

โดยที่ Γ คือเส้นโค้งที่ล้อมรอบKแต่ไม่ล้อมรอบจุดอื่น ๆ ของ σ( T )

เนื่องจากP = P ( K ; T ) มีขอบเขตและสลับที่ได้กับTจึงทำให้TสามารถแสดงในรูปแบบU ⊕ Vโดยที่U = T | _PXและV = T | _{(1− P ) X}ทั้งPXและ (1 −  P ) Xเป็นปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของTยิ่งไปกว่านั้นσ ( U ) = Kและσ ( V ) = σ ( T ) \  Kคุณสมบัติสำคัญคือความเป็นตั้งฉากซึ่งกันและกัน ถ้าLเป็นเซตเปิดและปิดอีกเซตหนึ่งในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนσ ( T ) แล้วP ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ) ซึ่งจะเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่KและLไม่มีส่วนร่วมกัน

การฉายภาพสเปกตรัมมีการใช้งานมากมาย จุดโดดเดี่ยวใดๆ ของ σ( T ) นั้นเป็นทั้งจุดเปิดและจุดปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ดังนั้นจึงมีการฉายภาพสเปกตรัมที่เกี่ยวข้อง เมื่อXมีมิติจำกัด σ( T ) จะประกอบด้วยจุดโดดเดี่ยว และการฉายภาพสเปกตรัมที่ได้จะนำไปสู่รูปแบบปกติของจอร์แดนรูป แบบหนึ่ง ซึ่งบล็อกจอร์แดนทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกันจะถูกรวมเข้าด้วยกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีบล็อกเพียงหนึ่งบล็อกต่อค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน ส่วนถัดไปจะพิจารณาการแยกส่วนนี้โดยละเอียดมากขึ้น

บางครั้งการฉายภาพสเปกตรัมจะสืบทอดคุณสมบัติจากตัวดำเนินการหลัก ตัวอย่างเช่น ถ้าTเป็นเมทริกซ์บวกที่มีรัศมีสเปกตรัมr ทฤษฎีบท ของPerron–Frobeniusยืนยันว่าr ∈ σ ( T ) การฉายภาพสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องP = P ( r ; T ) ก็เป็นบวกเช่นกัน และด้วยคุณสมบัติการตั้งฉากซึ่งกันและกัน การฉายภาพสเปกตรัมอื่น ๆ จะไม่สามารถมีแถวหรือคอลัมน์ที่เป็นบวกได้ ในความเป็นจริงTP = rPและ ( T / r ) ⁿ → Pเมื่อn → ∞ ดังนั้นการฉายภาพP นี้ (ซึ่งเรียกว่าการฉายภาพ Perron) จะประมาณค่า ( T / r ) ⁿเมื่อnเพิ่มขึ้น และแต่ละคอลัมน์ของมันเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ  ของ T

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าTเป็นตัวดำเนินการกระชับ (compact operator) จุดที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดใน σ( T ) จะเป็นจุดโดดเดี่ยว ดังนั้นเซตย่อยจำกัดใดๆ ของจุดเหล่านั้นสามารถใช้ในการแยกส่วนTได้ การฉายภาพสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องจะมีอันดับจำกัดเสมอ ตัวดำเนินการในL ( X ) ที่มีลักษณะสเปกตรัมคล้ายกันเรียกว่าตัวดำเนินการรีซ (Riesz operators ) ตัวดำเนินการรีซหลายประเภท (รวมถึงตัวดำเนินการกระชับ) เป็นไอเดียล (ideal) ในL ( X ) และเป็นสาขาการวิจัยที่อุดมสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ถ้าXเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space)จะมีไอเดียลปิดเพียงหนึ่งเดียวที่อยู่ระหว่างตัวดำเนินการรีซและตัวดำเนินการที่มีอันดับจำกัด

การอภิปรายส่วนใหญ่ข้างต้นสามารถนำไปวางไว้ในบริบททั่วไปของพีชคณิตบานาค ที่ซับซ้อนได้ ในที่นี้ การฉายภาพสเปกตรัมจะถูกเรียกว่าตัวผกผันสเปกตรัมเนื่องจากอาจไม่มีพื้นที่ให้ฉายภาพอีกต่อไป

ถ้าสเปกตรัมσ ( T ) ไม่เชื่อมต่อกันXสามารถแยกออกเป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของTได้โดยใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน ให้σ ( T ) เป็นการรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกัน

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

กำหนดให้e _iเป็น 1 ในบริเวณใกล้เคียงบางแห่งที่ประกอบด้วยส่วนประกอบF _i เท่านั้น และเป็น 0 ในที่อื่น ๆ โดยคุณสมบัติของโฮโมมอร์ฟิซึมe _i ( T ) เป็นการฉายภาพสำหรับทุกiที่จริงแล้วมันก็คือฉายภาพสเปกตรัมP ( F _i ; T ) ที่อธิบายไว้ข้างต้น ความสัมพันธ์e _i ( T ) T = T e _i ( T ) หมายความว่าช่วงของแต่ละe _i ( T ) ซึ่งแทนด้วยX _iเป็นปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของTเนื่องจาก

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

Xสามารถแสดงได้ในรูปของปริภูมิย่อยเสริมเหล่านี้:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าT _iคือTที่จำกัดอยู่บนX _iแล้ว

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

พิจารณาผลรวมโดยตรง

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

ตามปกติ

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X'คือปริภูมิบานาค การแมปR : X' → Xถูกกำหนดโดย

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

เป็นการสมสัณฐานของปริภูมิบานาค และเราเห็นว่า

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

สามารถมองได้ว่านี่คือการหาค่าเฉพาะของบล็อกในเมทริกซ์ T

เมื่อXมีมิติจำกัดσ ( T ) = { λ _i } คือเซตของจุดจำนวนจำกัดในระนาบเชิงซ้อน เลือกe _iให้เป็น 1 บนวงกลมเปิดที่มีเฉพาะλ _iจากสเปกตรัม เมทริกซ์บล็อกแนวทแยงที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

เป็น รูป แบบ มาตรฐานจอร์แดนของT

ด้วยสมมติฐานที่เข้มงวดมากขึ้น เมื่อTเป็นตัวดำเนินการปกติที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต โดเมนของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสามารถขยายได้ เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ทั้งสอง สามารถเปรียบเทียบอย่างคร่าวๆ ได้กับความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์ปกติและรูปแบบแคนอนิกของจอร์แดน เมื่อTเป็นตัวดำเนินการปกติจะได้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่อง นั่นคือ สามารถประเมิน f ( T ) ได้ โดยที่fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนσ ( T ) การใช้กลไกของทฤษฎีการวัด สามารถขยายสิ่งนี้ไปยังฟังก์ชันที่วัดได้ เท่านั้น (ดูแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันของโบเรล ) ในบริบทนั้น ถ้าE ⊂ σ( T ) เป็นเซตโบเรลและ1 _Eเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของEตัวดำเนินการฉายภาพ1 _E (T)เป็นการปรับปรุงของe _i (T ) ที่กล่าวถึงข้างต้น

แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันของโบเรลขยายไปสู่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่ไม่จำกัดขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

กล่าว โดยสรุป แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถขยายไปสู่สมาชิกใดๆ ของพีชคณิตบานาคได้ โดยใช้เหตุผลพื้นฐานเดียวกันกับข้างต้น ในทำนองเดียวกัน แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องใช้ได้กับสมาชิกปกติในพีชคณิต C* ใดๆ และแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันที่วัดได้ใช้ได้กับสมาชิกปกติในพีชคณิตฟอนนอยมันน์ ใด ๆ

สามารถนิยามแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับตัวดำเนินการปิดที่ ไม่จำกัดขอบเขต ซึ่งมีเซตตัวผกผันที่ไม่ว่างเปล่า

• สูตร Helffer–Sjöstrand
• รูปแบบที่แน่วแน่
• รูปแบบมาตรฐานของจอร์แดนซึ่งมีการกล่าวถึงกรณีมิติจำกัดโดยละเอียด