ในบริบทของพีชคณิตนามธรรมหรือพีชคณิตสากลโมโนมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง โมโนมอร์ฟิซึมจากXไปYมักจะใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

ในบริบททั่วไปของทฤษฎีหมวด หมู่ โมโนมอ ร์ฟิซึม (เรียกอีกอย่างว่ามอนิกมอร์ฟิซึมหรือโมโน ) คือมอร์ฟิซึมแบบตัดทอนทางซ้าย นั่นคือ ลูกศรf  : X → Yโดยที่สำหรับวัตถุZ ทั้งหมด และมอร์ฟิซึมg ₁ , g ₂ : Z → Xทั้งหมด

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

โมโนมอร์ฟิซึมเป็นการวางนัยทั่วไปเชิงหมวดหมู่ของฟังก์ชันแบบฉีด (หรือเรียกว่า "ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง") ในบางหมวดหมู่ แนวคิดทั้งสองจะตรงกัน แต่โมโนมอร์ฟิซึมมีความทั่วไปมากกว่า ดังตัวอย่างด้านล่าง

ในบริบทของposetsการตัดกันของเซตจะมีคุณสมบัติidempotent กล่าว คือ การตัดกันของสิ่งใดๆ กับตัวมันเองก็คือตัวมันเองนั่นเอง โมโนมอร์ฟิซึมขยายคุณสมบัตินี้ไปยังหมวดหมู่ใดๆ ก็ได้ มอร์ฟิซึมจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมันมี คุณสมบัติ idempotent เมื่อเทียบกับpullbacks

คู่เชิงหมวดหมู่ของโมโนมอร์ฟิซึมคือเอพิโมร์ฟิซึม กล่าวคือ โมโนมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่Cเป็นเอพิโมร์ฟิซึมในหมวดหมู่คู่C ^opทุกส่วนเป็นโมโนมอร์ฟิซึม และทุกการหดตัวเป็นเอพิโมร์ฟิซึม

มอร์ฟิซึมที่ผกผันทางซ้ายได้นั้นจำเป็นต้องเป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์: ถ้าlเป็นตัวผกผันทางซ้ายของf (หมายความว่าlเป็นมอร์ฟิซึมและ) แล้วfก็เป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เช่นกัน ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

มอร์ฟิซึมที่ผกผันทางซ้ายได้เรียกว่าเซกชันหรือ โมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน

อย่างไรก็ตาม โมโนมอร์ฟิซึมไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันซ้ายเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่Group ของ กลุ่มทั้งหมดและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเหล่านั้น ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้วการรวมf  : H → Gจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมเสมอ แต่fจะมีตัวผกผันซ้ายในหมวดหมู่ก็ต่อเมื่อHมีส่วนเติมเต็มปกติในGเท่านั้น

มอร์ฟิซึมf  : X → Yเรียกว่า มอนิก ก็ต่อเมื่อ แผนที่เหนี่ยวนำf _∗  : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y )ซึ่งกำหนดโดยf _∗ ( h ) = f ∘ hสำหรับมอร์ฟิซึมh  : Z → X ทั้งหมด เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง สำหรับ วัตถุ Zทั้งหมด

มอร์ฟิซึมทุกตัวในหมวดหมู่รูปธรรม ที่มี ฟังก์ชันพื้นฐานเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะเป็นโมโนมอร์ฟิซึม กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้ามอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันระหว่างเซตจริง ๆ แล้ว มอร์ฟิซึมใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะต้องเป็นโมโนมอร์ฟิซึมในความหมายเชิงหมวดหมู่ ในหมวดหมู่ของเซตข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นโมโนมอร์ฟิซึมจึงเป็นมอร์ฟิซึม แบบหนึ่งต่อหนึ่งอย่างแท้จริง ข้อความกลับนี้ยังเป็นจริงในหมวดหมู่พีชคณิตที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติส่วนใหญ่ เนื่องจากการมีอยู่ของวัตถุอิสระบนตัวสร้างตัวเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นจริงในหมวดหมู่ของกลุ่มทั้งหมด ของวงแหวน ทั้งหมด และในหมวดหมู่อาเบเลียน ใด ๆ

โดยทั่วไปแล้ว ไม่เป็นความจริงที่ว่าโมโนมอร์ฟิซึมทั้งหมดจะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในหมวดหมู่อื่นๆ กล่าวคือ มีสถานการณ์ที่มอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันระหว่างเซต แต่เราสามารถมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้ แต่ยังคงเป็นโมโนมอร์ฟิซึมในความหมายเชิงหมวดหมู่ ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่Divของ กลุ่มที่ หารลงตัว(กลุ่มอาเบเลียน)และโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มระหว่างกลุ่มเหล่านั้น มีโมโนมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น พิจารณาแผนที่ผลหารq  : Q → Q / Zโดยที่Qคือจำนวนตรรกยะภายใต้การบวกZ คือ จำนวนเต็ม (ซึ่งถือว่าเป็นกลุ่มภายใต้การบวกเช่นกัน) และQ / Zคือกลุ่มผลหาร ที่สอดคล้องกัน นี่ไม่ใช่แผนที่ที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มทุกตัวถูกแมปไปยัง 0 อย่างไรก็ตาม มันเป็นโมโนมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้ ซึ่งเป็นผลมาจากการบ่งชี้q ∘ h = 0 ⇒ h = 0ซึ่งเราจะพิสูจน์ต่อไปนี้ ถ้าh  : G → Qโดยที่Gเป็นกลุ่มที่หารลงตัวได้ และq ∘ h = 0แล้วh ( x ) ∈ Zสำหรับทุกx ∈ Gทีนี้กำหนดx ∈ G บางตัว โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราอาจสมมติว่าh ( x ) ≥ 0 (มิฉะนั้น ให้เลือก − xแทน) จากนั้น ให้n = h ( x ) + 1เนื่องจากGเป็นกลุ่มที่หารลงตัวได้ จึงมีy ∈ G บางตัว ที่x = nyดังนั้นh ( x ) = n h ( y )จากนี้ และ0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = nจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

เนื่องจากh ( y ) ∈ Zดังนั้นh ( y ) = 0และด้วยเหตุนี้h ( x ) = 0 = h (−x )สำหรับทุกx ∈ Gซึ่งหมายความว่าh = 0ตามที่ต้องการ

จากข้อสรุปดังกล่าวไปสู่ข้อเท็จจริงที่ว่าqเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ให้สมมติว่าq ∘ f = q ∘ gสำหรับมอร์ฟิซึมf , g  : G → Q บางตัว โดยที่Gเป็นกลุ่มที่หารลงตัวได้ จากนั้นq ∘ ( f − g ) = 0โดยที่( f − g ) : x ↦ f ( x ) − g ( x ) (เนื่องจาก( f − g )(0) = 0และ( f − g )( x + y ) = ( f − g )( x ) + ( f − g )( y )จึงสรุปได้ว่า( f − g ) ∈ Hom( G , Q ) ) จากข้อสรุปที่เพิ่งพิสูจน์ไปq ∘ ( f − g ) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = gดังนั้นqจึงเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ตามที่กล่าวอ้าง

• ในโทโพสทุกโมโนคืออีควอไลเซอร์ และแผนที่ใดๆ ที่เป็นทั้งโมโนและเอปิกก็คือไอโซมอร์ฟิซึม
• ไอโซมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึมแบบเอกนาม

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดที่เป็นประโยชน์อื่นๆ เช่นโมโน มอร์ฟิ ซึมปกติโมโนมอร์ฟิซึมสุดขั้วโมโนมอร์ฟิซึมทันทีโมโนมอร์ฟิซึมที่แข็งแกร่งและ โมโนมอร์ฟิ ซึม แบบแยกส่วน

• เรียกว่า โมโนมอร์ฟิซึม เป็นแบบปกติ (regular)ถ้ามันเป็นตัวปรับสมดุล (equalizer)ของมอร์ฟิซึมคู่ขนานบางคู่
• โมโนมอร์ฟิซึมจะเรียกว่าเป็นสุดขั้ว^{[ 1 ]}ถ้าในแต่ละการแสดงแทนโดยที่เป็นเอพิมอร์ฟิซึม มอร์ฟิซึม จะเป็น ไอโซมอร์ฟิซึมโดยอัตโนมัติ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• กล่าวได้ว่าโมโนมอร์ฟิซึม เป็น แบบทันทีหากในแต่ละการแสดงแทนโดยที่เป็นโมโนมอร์ฟิซึม และเป็นเอพิโมร์ฟิซึม มอร์ฟิซึมจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมโดย อัตโนมัติ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$
• โมโนมอร์ฟิซึมจะเรียกว่าแข็งแกร่ง^{[ 1 ] [ 2 ]}ถ้าสำหรับเอพิมอร์ฟิซึมใดๆและมอร์ฟิซึมใดๆและที่จะมีมอร์ฟิซึมที่และ${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• เรียกว่าโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนได้ (split)ถ้ามีมอร์ฟิซึม อยู่ ตัวหนึ่ง ซึ่ง(ในกรณีนี้เรียกว่า อินเวอร์สด้านซ้ายของ)${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$

คำว่าmonomorphismและepimorphism นั้น เดิมทีถูกนำเสนอโดยNicolas Bourbakiโดย Bourbaki ใช้monomorphismเป็นคำย่อสำหรับฟังก์ชันแบบฉีด (injective function) นักทฤษฎีหมวดหมู่ยุคแรกเชื่อว่า การวางนัยทั่วไปที่ถูกต้องของความเป็นฟังก์ชันแบบฉีดในบริบทของหมวดหมู่ คือ คุณสมบัติการตัดทอน (cancellation property) ดังที่กล่าวมาข้างต้น แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่เป็นความจริงทั้งหมดสำหรับแผนที่แบบโมโน (monic maps) แต่มันก็ใกล้เคียงมาก ดังนั้นจึงไม่ค่อยก่อให้เกิดปัญหามากนัก ต่างจากกรณีของ epimorphism Saunders Mac Laneพยายามที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างสิ่งที่เขาเรียกว่าmonomorphismซึ่งเป็นแผนที่ในหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรม (concrete category) ซึ่งแผนที่พื้นฐานของเซตเป็นฟังก์ชันแบบฉีด และแผนที่แบบโมโนซึ่งเป็น monomorphism ในความหมายเชิงหมวดหมู่ อย่างไรก็ตาม การแยกแยะนี้ไม่เคยถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย

ในรูปคำคุณศัพท์ คำว่า monomorphism เรียกว่า monic และในการเขียนย่อทั่วไปก็เรียกว่า mono เช่นกัน

• การฝัง
• การแยกส่วนโหนด
• วัตถุย่อย

• โมโนมอร์ฟิซึมที่n Lab
• โมโนมอร์ฟิซึมที่แข็งแกร่งที่n Lab