วิธีเรย์ลีห์-ริตซ์เป็นวิธีเชิงตัวเลขโดยตรงในการประมาณค่าไอเกนซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากการแก้ปัญหาขอบเขต ทางฟิสิกส์ ชื่อของวิธีนี้ ตั้งตามชื่อของลอร์ดเรย์ลีห์และวอลเธอร์ ริตซ์ในวิธีนี้ตัวดำเนินการเชิงเส้นมิติ อนันต์ จะถูกประมาณด้วยการบีบอัด มิติจำกัด ทำให้สามารถใช้อัลกอริธึมค่าไอเกนเชิง ตัวเลข ได้

วิธีการนี้ใช้ในงานประยุกต์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกนโดยมักใช้ชื่อเรียกที่แตกต่างกัน ในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งระบบของอนุภาคถูกอธิบายโดยใช้แฮมิลโทเนียน วิธี การนี้ใช้ฟังก์ชันคลื่นทดลองเพื่อประมาณค่าฟังก์ชันไอเกนสถานะพื้นฐาน ในบริบทของวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ วิธี การนี้ในทางคณิตศาสตร์เหมือนกับวิธีริตซ์-กาเลอร์กินใน วิศวกรรม เครื่องกลและโครงสร้าง วิธีการนี้ใช้เพื่อประมาณค่าไอเกนโหมดและความถี่เรโซแนนซ์ของโครงสร้าง การดัดแปลงที่เกี่ยวข้องกับวิธีเรย์ลี-ริตซ์ที่เรียกว่าการตัดทอนแฮมิลโทเนียนสามารถนำมาใช้ในทฤษฎีสนามควอนตัมได้

ที่มาของเทคนิคนี้ได้รับการถกเถียงกันในหมู่นักประวัติศาสตร์^{[ 1 ] [ 2 ]}มันถูกเรียกว่าวิธีของริตซ์ตามชื่อของวอลเธอร์ ริตซ์ ผู้ซึ่งตีพิมพ์ขั้นตอนเชิงตัวเลขในปี 1908 และ 1909 ลอร์ดเรย์ลีย์เขียนบทความแสดงความยินดีกับริตซ์เกี่ยวกับผลงานของเขาในปี 1911 แต่ระบุว่าตัวเขาเองได้ใช้วิธีของริตซ์ในหลายที่ในหนังสือของเขาเรื่องTheory of Sound (1877) และที่อื่นๆ^{[ 1 ]}ตามที่ริชาร์ด คูแรนต์ กล่าว ทั้งลอร์ดเรย์ลีย์และวอลเธอร์ ริตซ์ต่างคิดค้นแนวคิดในการใช้ความเท่าเทียมกันระหว่างปัญหาค่าขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในด้านหนึ่งและปัญหาของแคลคูลัสของการแปรผันในอีกด้านหนึ่งเพื่อคำนวณคำตอบเชิงตัวเลข โดยการแทนที่ปัญหาการแปรผันด้วยปัญหาค่าสุดขีดที่ง่ายกว่าซึ่งต้องกำหนดพารามิเตอร์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น^{[ 2 ]}นักประวัติศาสตร์Jesper Lützenผู้ซึ่งได้ตรวจสอบต้นฉบับที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ของJoseph Liouvilleพบว่า Liouville รู้จักวิธีการนี้มาตั้งแต่ปี พ.ศ. 2488 แล้ว^{[ 3 ]}

ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิฮิลเบิร์ตโดยมีผลคูณภายใน เป็น ต่อไปนี้ให้พิจารณาเซตจำกัดของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับการใช้งาน ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเป็น: ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\varphi _{1},...,\varphi _{n}\}}$

• เซตย่อยของฐานออร์โทนอร์มอลของตัวดำเนินการดั้งเดิม; ^{[ 4 ]}
• พื้นที่ของสปลายน์ (เช่นเดียวกับในวิธี Galerkin ); ^{[ 5 ]}
• ชุดของฟังก์ชันที่ประมาณค่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ^{[ 6 ]}

เราสามารถใช้ฐานออร์โทนอร์มอลที่สร้างขึ้นจากฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการ ซึ่งจะสร้าง เมทริกซ์ประมาณ แนวทแยงแต่ในกรณีนี้เราจะต้องคำนวณสเปกตรัมไปแล้ว

ตอนนี้เราประมาณค่าด้วยซึ่งกำหนดเป็นเมทริกซ์ที่มีรายการ^{[ 4 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle (T_{\mathcal {L}})_{i,j}=(T\varphi _{i},\varphi _{j}).}$$

และแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้ว่าเมทริกซ์เป็นการบีบอัดของไปยัง^{[ 4 ]}${\displaystyle T_{\mathcal {L}}u=\lambda u}$${\displaystyle T_{\mathcal {L}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

สำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (เช่นตัวดำเนินการ Sturm-Liouville ) ผลคูณภายในสามารถแทนที่ด้วยสูตรอ่อนได้^{[ 5 ] [ 7 ]}${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(\cdot ,\cdot )}$

หากใช้เซตย่อยของฐานออร์โทนอร์มอลเพื่อหาเมทริกซ์ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของจะเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันฐานออร์โทนอร์มอล และเป็นผลให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของจะเป็นค่าประมาณของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ^{[ 8 ]}${\displaystyle T_{\mathcal {L}}}$${\displaystyle T}$

เป็นไปได้ที่วิธีการ Rayleigh–Ritz จะสร้างค่าที่ไม่ลู่เข้าสู่ค่าจริงในสเปกตรัมของตัวดำเนินการเมื่อการตัดทอนมีขนาดใหญ่ ค่าเหล่านี้เรียกว่ามลภาวะทางสเปกตรัม^{[ 4 ] [ 6 ] [ 9 ]}ในบางกรณี (เช่นสำหรับสมการ Schrödinger ) ไม่มีการประมาณใดที่รวมค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของสมการและไม่มีมลภาวะ^{[ 10 ]}

สเปกตรัมของการบีบอัด (และมลพิษ) ถูกจำกัดด้วยช่วงตัวเลขของตัวดำเนินการ ในหลายกรณีจะถูกจำกัดด้วยเซตย่อยของช่วงตัวเลขที่เรียกว่าช่วงตัวเลขสำคัญ^{[ 11 ] [ 12 ]}

ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขวิธีRayleigh–Ritzมักถูก นำมาใช้ ^{[ 13 ]}เพื่อประมาณปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ สำหรับเมทริกซ์ขนาดโดยใช้เมทริกซ์ฉายภาพที่มีขนาดเล็กกว่าซึ่งสร้างขึ้นจากเมทริกซ์ที่กำหนด ที่มีคอลัมน์ ตั้งฉากกันเวอร์ชันเมทริกซ์ของอัลกอริทึมนี้ง่ายที่สุด: $${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$$${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m<N}$${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$

1. คำนวณเมทริกซ์โดยที่แทนการสลับเปลี่ยนเชิงซ้อนของ${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle V^{*}AV}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$
2. แก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ${\displaystyle V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}}$
3. คำนวณเวกเตอร์ริทซ์และค่าริทซ์${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }__{i}=V\mathbf {y} _{i}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}}$
4. ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าประมาณซึ่งเรียกว่าคู่ริทซ์ (Ritz pairs) สำหรับค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ต้นฉบับ${\displaystyle ({\tilde {\lambda }__{i},{\tilde {\mathbf {x} }__{i})}$${\displaystyle A}$

ถ้าปริภูมิย่อยที่มีฐานเชิงตั้งฉากปกติซึ่งกำหนดโดยคอลัมน์ของเมทริกซ์นั้นประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ใกล้เคียงกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ วิธีการของ Rayleigh –Ritzข้างต้นจะพบเวกเตอร์ Ritz ที่ประมาณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านั้นได้ดี ปริมาณที่คำนวณได้ง่ายจะกำหนดความแม่นยำของการประมาณดังกล่าวสำหรับเวกเตอร์ Ritz แต่ละคู่ ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$${\displaystyle k\leq m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \|A{\tilde {\mathbf {x} }__{i}-{\tilde {\lambda }__{i}{\tilde {\mathbf {x} }__{i}\|}$

ในกรณีที่ง่ายที่สุดเมทริกซ์จะกลายเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หน่วยเมทริกซ์จะเป็นสเกลาร์ที่เท่ากับผลหารเรย์ลี คำตอบ เดียวของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะคือและและเวกเตอร์ริตซ์เพียงตัวเดียวคือตัวมันเอง ดังนั้น วิธีเรย์ลี-ริตซ์จะกลายเป็นการคำนวณผล หารเรย์ลีถ้า${\displaystyle m=1}$${\displaystyle N\times m}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle V^{*}AV}$${\displaystyle \rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle y_{i}=1}$${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m=1}$

ความเชื่อมโยงที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่งกับอัตราส่วนเรย์ลีคือสำหรับทุกคู่ริทซ์ซึ่งช่วยให้สามารถอนุมานคุณสมบัติบางอย่างของค่าริทซ์จากทฤษฎีที่สอดคล้องกับอัตราส่วนเรย์ลี ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนอัตราส่วนเรย์ลีของมัน(และดังนั้นค่าริทซ์ทุกค่า) จะเป็นจำนวนจริงและมีค่าอยู่ในช่วงปิดของค่าไอเกนที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของ ${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v_{i})}$${\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

เมทริกซ์ มีค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ให้เราเลือก เมทริก ซ์ ที่มีค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน โดยที่ค่า Ritz คือและเวกเตอร์ Ritz คือ เราสังเกตว่าเวกเตอร์ Ritz แต่ละตัวเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งของเมทริกซ์ สำหรับค่าที่กำหนดและค่า Ritz ให้ค่าลักษณะเฉพาะสองในสามค่าของ เมทริกซ์ คำอธิบายทางคณิตศาสตร์สำหรับการประมาณค่าที่แม่นยำนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์นั้นบังเอิญเหมือนกับปริภูมิย่อยที่เกิดจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสองตัวและในตัวอย่างนี้ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle 1,2,3}$$${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle 1,3}$$${\displaystyle \mathbf {y} _{\mu =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {y} _{\mu =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle 1,3}$$${\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}}$

การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์แบบตัดทอน (SVD)ในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข สามารถใช้วิธี Rayleigh–Ritzเพื่อหาค่าประมาณของเวกเตอร์เอกลักษณ์ด้านซ้ายและด้านขวาของเมทริกซ์ขนาดในปริภูมิย่อยที่กำหนด โดยการเปลี่ยนปัญหาค่าเอกลักษณ์ให้เป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{M\times N}}$${\displaystyle M\times N}$

นิยามของค่าเอกลักษณ์และเวกเตอร์เอกลักษณ์ซ้ายและขวาที่สอดคล้องกันคือและเมื่อได้ชุดเวกเตอร์เอกลักษณ์และค่าเอกลักษณ์โดยประมาณชุดหนึ่ง (ซ้ายหรือขวา) โดยใช้วิธี Rayleigh–Ritz อย่างง่ายๆ กับเมทริกซ์ปกติแบบเฮอร์มิเชียนหรือแล้วแต่ว่าเมทริกซ์ใดมีขนาดเล็กกว่า ก็สามารถกำหนดชุดเวกเตอร์เอกลักษณ์ซ้ายหรือขวาอีกชุดหนึ่งได้โดยการหารด้วยค่าเอกลักษณ์ นั่นคือและอย่างไรก็ตาม การหารนี้ไม่เสถียรหรือล้มเหลวสำหรับค่าเอกลักษณ์ขนาดเล็กหรือเป็นศูนย์ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Mv=\sigma u}$${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$${\displaystyle M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$${\displaystyle MM^{*}\in \mathbb {C} ^{M\times M}}$${\displaystyle u=Mv/\sigma }$${\displaystyle v=M^{*}u/\sigma }$

แนวทางอื่น เช่น การกำหนดเมทริกซ์ปกติให้มีขนาด เท่ากับ จะใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า สำหรับเมทริกซ์ ที่กำหนด ซึ่งมี คอลัมน์ ตั้งฉากกันปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของวิธี Rayleigh–Ritz สำหรับเมทริกซ์ สามารถตีความได้ว่าเป็นปัญหาค่าเอกลักษณ์สำหรับเมทริกซ์การตีความนี้ช่วยให้สามารถคำนวณเวกเตอร์เอกลักษณ์โดยประมาณทั้งด้านซ้ายและด้านขวาพร้อมกันได้อย่างง่ายดายดังต่อไปนี้ ${\displaystyle A=M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N\times m}$${\displaystyle W\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$${\displaystyle m\times m}$$${\displaystyle W^{*}AW=W^{*}M^{*}MW=(MW)^{*}MW}$$${\displaystyle N\times m}$${\displaystyle MW}$

1. คำนวณเมทริกซ์${\displaystyle N\times m}$${\displaystyle MW}$
2. คำนวณSVD แบบบางหรือแบบประหยัด โดยใช้เมทริกซ์, เมทริกซ์แนวทแยงและเมทริกซ์${\displaystyle MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},}$${\displaystyle N\times m}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle m\times m}$${\displaystyle \mathbf {V} _{h}}$
3. คำนวณเมทริกซ์ของเวกเตอร์เอกฐาน ซ้าย และขวา ของริทซ์${\displaystyle U=\mathbf {U} }$${\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}$
4. ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าประมาณที่เรียกว่า Ritz singular triplet สำหรับค่าเอกลักษณ์ที่เลือกไว้ และเวกเตอร์เอกลักษณ์ซ้ายและขวาที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิมซึ่งแสดงถึงการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์แบบตัดทอนโดยประมาณ (SVD)โดยที่เวกเตอร์เอกลักษณ์ซ้ายถูกจำกัดอยู่ในปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์${\displaystyle U,\Sigma ,V_{h}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle W}$

อัลกอริทึมนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนการประมวลผลภายหลังได้ โดยที่เมทริกซ์เป็นผลลัพธ์จากตัวแก้ค่าลักษณะเฉพาะ เช่นLOBPCGซึ่งประมาณค่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เลือกโดยวิธีเชิงตัวเลขของเมทริกซ์ปกติ ${\displaystyle W}$${\displaystyle A=M^{*}M}$

เมทริกซ์นี้ มี ค่าเอกลักษณ์ ของเมทริกซ์ปกติ และการแยก ค่า เอกลักษณ์แบบบาง (SVD) ที่สอดคล้องกัน โดยที่คอลัมน์ของตัวคูณตัวแรกมาจากชุดเวกเตอร์เอกลักษณ์ด้านซ้ายทั้งหมดของเมทริกซ์ ค่าในแนวทแยงของพจน์กลางคือค่าเอกลักษณ์ และคอลัมน์ของตัวคูณตัวสุดท้ายที่สลับตำแหน่ง (แม้ว่าการสลับตำแหน่งจะไม่เปลี่ยนแปลง) คือเวกเตอร์เอกลักษณ์ด้านขวาที่สอดคล้องกัน $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle A=M^{*}M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&9&0\\0&0&0&16\\\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle 1,2,3,4}$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}^{*}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

ให้เราพิจารณา ปริภูมิคอลัมน์ที่เกิดจากเวกเตอร์เอกพจน์ขวาที่แน่นอนสองตัวซึ่ง สอดคล้องกับค่าเอกพจน์ 1 และ 2 $${\displaystyle W={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$

เมื่อทำตามขั้นตอนอัลกอริทึมขั้นตอนที่ 1 เราจะคำนวณ และในขั้นตอนที่ 2 เราจะทำการแยกค่าเอกลักษณ์ แบบบาง (thin SVD)ด้วย ดังนั้นเราจึงได้ค่าเอกลักษณ์ 2 และ 1 จากและจากเวกเตอร์เอกลักษณ์ซ้ายสองตัวที่สอดคล้องกันเป็นและซึ่งครอบคลุมปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์ซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมการประมาณค่าจึงแม่นยำสำหรับค่าที่กำหนด $${\displaystyle MW={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle MW=\mathbf {U} {\Sigma }\mathbf {V} _{h}}$$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad \Sigma ={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle [0,1,0,0,0]^{*}}$${\displaystyle [1,0,0,0,0]^{*}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

สุดท้าย ขั้นตอนที่ 3 คำนวณเมทริก ซ์โดยกู้คืนเวกเตอร์เอกฐานขวา 2 ตัวจากแถวของเมท ริกซ์ เป็นและเราตรวจสอบความถูกต้องของเวกเตอร์ตัวแรก: และ ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดซึ่งมีปริภูมิคอลัมน์ที่เกิดจากเวกเตอร์เอกฐานขวา 2 ตัวที่แน่นอน เราสามารถกำหนดเวกเตอร์เอกฐานขวาเหล่านี้ รวมทั้งเวกเตอร์เอกฐานซ้ายที่สอดคล้องกันและค่าเอกฐานได้อย่างแม่นยำ สำหรับเมทริกซ์ใดๆเราจะได้ชุดเวกเตอร์เอกฐานโดยประมาณซึ่งเหมาะสมที่สุดในแง่ของความเหมาะสมที่สุดของวิธี Rayleigh–Ritz ${\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}$$${\displaystyle \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0&0\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle [0,1,0,0]^{*}}$${\displaystyle [1,0,0,0]^{*}}$${\displaystyle Mv=\sigma u}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ในฟิสิกส์ควอนตัม ซึ่งสเปกตรัมของแฮมิลโทเนียนคือเซตของระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องที่ระบบกลศาสตร์ควอนตัมอนุญาต วิธีเรย์ลีห์-ริตซ์ใช้เพื่อประมาณสถานะพลังงานและฟังก์ชันคลื่นของระบบอะตอมหรือนิวเคลียร์ที่ซับซ้อน^{[ 8 ]}ในความเป็นจริง สำหรับระบบใดๆ ที่ซับซ้อนกว่าอะตอมไฮโดรเจนเดี่ยว จะไม่มีคำตอบที่แน่นอนสำหรับสเปกตรัมของแฮมิลโทเนียน^{[ 7 ]}

ในกรณีนี้ฟังก์ชันคลื่นทดลอง , จะถูกทดสอบกับระบบ ฟังก์ชันทดลองนี้ถูกเลือกเพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขขอบเขต (และข้อจำกัดทางกายภาพอื่นๆ) ฟังก์ชันที่แน่นอนนั้นไม่เป็นที่ทราบ ฟังก์ชันทดลองประกอบด้วยพารามิเตอร์ที่ปรับได้หนึ่งตัวหรือมากกว่า ซึ่งจะถูกปรับเปลี่ยนเพื่อหาการกำหนดค่าพลังงานต่ำสุด ${\displaystyle \Psi }$

สามารถแสดงได้ว่าพลังงานสถานะพื้นฐานเป็นไปตามอสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle E_{0}}$$${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}.}$$

กล่าวคือ พลังงานสถานะพื้นฐานมีค่าน้อยกว่าค่านี้ ฟังก์ชันคลื่นทดลองจะให้ค่าคาดหวังที่มากกว่าหรือเท่ากับพลังงานสถานะพื้นฐานเสมอ

หากทราบว่าฟังก์ชันคลื่นทดลองตั้งฉาก กับสถานะพื้นฐานแล้ว ฟังก์ชัน คลื่น นั้นจะให้ขอบเขตสำหรับพลังงานของสถานะกระตุ้น บางสถานะ

ฟังก์ชัน Ritz ansatz เป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐานที่ทราบค่าN ฟังก์ชัน โดยมีพารามิเตอร์เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า: ${\displaystyle \left\lbrace \Psi _{i}\right\rbrace }$$${\displaystyle \Psi =\sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}.}$$

เมื่อทราบแฮมิลโทเนียนแล้ว เราสามารถเขียนค่าคาดหวังของมันได้ดังนี้ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|{\hat {H}}\left|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }{\left\langle \left.\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}H_{ij}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}S_{ij}}}\equiv {\frac {A}{B}}.}$$

ฟังก์ชันพื้นฐานมักจะไม่ตั้งฉากกัน ดังนั้นเมทริกซ์การทับซ้อนS จึง มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงมุมที่ไม่เป็นศูนย์ สามารถใช้ หรือ(การสังยุคของตัวแรก) เพื่อลดค่าคาดหวังให้น้อยที่สุดได้ ตัวอย่างเช่น โดยการหาอนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับศูนย์ จะได้ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับทุกk = 1, 2, ..., N : ซึ่งนำไปสู่ชุดสมการฆราวาสN สมการ : ${\displaystyle \left\lbrace c_{i}\right\rbrace }$${\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }$$${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c_{k}^{*}}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}(H_{kj}-\varepsilon S_{kj})}{B}}=0,}$$$${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}\left(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}\right)=0\quad {\text{for}}\quad k=1,2,\dots ,N.}$$

ในสมการข้างต้น พลังงานและสัมประสิทธิ์ไม่ทราบค่า เมื่อพิจารณาจากcแล้ว นี่คือชุดสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ ซึ่งจะมีคำตอบเมื่อ ดีเทอร์มิ แนนต์ของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเหล่านี้เป็นศูนย์ ซึ่งจะเป็นจริงเฉพาะสำหรับค่าN ของ เท่านั้น นอกจากนี้ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนเมทริกซ์ Hจึงเป็นเฮอร์มิเชียน ด้วย และค่าของจะเป็นจำนวนจริง ค่าต่ำสุดในบรรดา(i=1,2,..,N) จะเป็นค่าประมาณที่ดีที่สุดของสถานะพื้นฐานสำหรับฟังก์ชันฐานที่ใช้ พลังงานที่เหลืออีกN-1ค่า เป็นค่าประมาณของพลังงานสถานะกระตุ้น ค่าประมาณสำหรับฟังก์ชันคลื่นของสถานะiสามารถหาได้โดยการหาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการเชิงฆราวาสที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }$$${\displaystyle \det \left(H-\varepsilon S\right)=0,}$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }$

วิธีเรย์ลีห์-ริตซ์ มักใช้ในวิศวกรรมเครื่องกลเพื่อหาความถี่เรโซแนนซ์ จริงโดยประมาณ ของระบบที่มีหลายองศาอิสระเช่นระบบมวลสปริงหรือล้อช่วยแรงบนเพลาที่มีหน้าตัด แปรผัน วิธีนี้เป็นการต่อยอดจากวิธีของเรย์ลีห์ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการหาภาระการโก่งงอและพฤติกรรมหลังการโก่งงอของเสาได้อีกด้วย

พิจารณากรณีที่เราต้องการหาความถี่เรโซแนนซ์ของการสั่นของระบบ ขั้นแรก เขียนการสั่นในรูปแบบ โดยมีรูปร่างโหมดที่ไม่ทราบค่าจากนั้น หาพลังงานรวมของระบบ ซึ่งประกอบด้วยพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ พลังงานจลน์เกี่ยวข้องกับกำลังสองของอนุพันธ์เทียบกับเวลาของและดังนั้นจึงมีตัวประกอบดังนั้น เราสามารถคำนวณพลังงานรวมของระบบและแสดงในรูปแบบต่อไปนี้: $${\displaystyle y(x,t)=Y(x)\cos \omega t}$$${\displaystyle Y(x)}$${\displaystyle y(x,t)}$${\displaystyle \omega ^{2}}$$${\displaystyle E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t}$$

ตามหลักการอนุรักษ์พลังงาน พลังงานจลน์เฉลี่ยต้องเท่ากับพลังงานศักย์เฉลี่ย ดังนั้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าค่าสัมประสิทธิ์เรย์ลีดังนั้น ถ้าเรารู้รูปทรงโหมดเราจะสามารถคำนวณและ ได้และในที่สุดก็จะได้ความถี่เฉพาะ อย่างไรก็ตาม เรายังไม่ทราบรูปทรงโหมด เพื่อที่จะหาค่านี้ เราสามารถประมาณค่าเป็นการรวมกันของฟังก์ชันประมาณค่าไม่กี่ฟังก์ชัน โดยที่เป็นค่าคงที่ที่จะต้องกำหนด โดยทั่วไป ถ้าเราเลือกชุดค่า แบบสุ่มมันจะอธิบายการซ้อนทับของโหมดเฉพาะที่แท้จริงของระบบ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราหาค่าที่ทำให้ความถี่เฉพาะมีค่าน้อยที่สุด โหมดที่อธิบายโดยชุดค่า นี้จะใกล้เคียงกับโหมดเฉพาะที่แท้จริงที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ของระบบ ดังนั้น นี่จึงเป็นการหาความถี่เฉพาะที่ต่ำที่สุด ถ้าเราพบโหมดเฉพาะที่ตั้งฉากกับโหมดเฉพาะที่ต่ำที่สุดที่ประมาณค่าได้นี้ เราก็สามารถประมาณค่าความถี่เฉพาะถัดไปได้เช่นกัน $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}=R[Y(x)]}$$${\displaystyle Y(x)}$${\displaystyle A[Y(x)]}$${\displaystyle B[Y(x)]}$${\displaystyle Y(x)}$${\displaystyle Y_{i}(x)}$$${\displaystyle Y(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}Y_{i}(x)}$$${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$

โดยทั่วไป เราสามารถแสดงและในรูปของชุดพจน์กำลังสองในสัมประสิทธิ์ได้ดังนี้ โดยที่และคือเมทริกซ์ความแข็งและเมทริกซ์มวลของระบบแบบไม่ต่อเนื่องตามลำดับ ${\displaystyle A[Y(x)]}$${\displaystyle B[Y(x)]}$${\displaystyle c_{i}}$$${\displaystyle B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }$$$${\displaystyle A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }$$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

การลดค่าให้น้อยที่สุดจะกลายเป็น: ${\displaystyle \omega ^{2}}$$${\displaystyle {\frac {\partial \omega ^{2}}{\partial c_{i}}}={\frac {\partial }{\partial c_{i}}}{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}=0}$$

การแก้ปัญหานี้ $${\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}-\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}=0}$$$${\displaystyle K\mathbf {c} -{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle K\mathbf {c} -\omega ^{2}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }$$

สำหรับการหาคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบศูนย์ของ c นั้น จำเป็นต้องให้ดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ของ c เป็นศูนย์ $${\displaystyle \det(K-\omega ^{2}M)=0}$$

วิธีนี้จะให้คำตอบสำหรับ ความถี่และโหมดเฉพาะ N ตัวแรก ของระบบ โดยที่ N คือจำนวนฟังก์ชันประมาณค่า

การอภิปรายต่อไปนี้ใช้กรณีที่ง่ายที่สุด โดยที่ระบบมีสปริง แบบ รวมศูนย์สองตัวและมวลแบบรวมศูนย์สองตัว และสมมติรูปทรงโหมดเพียงสองแบบเท่านั้น ดังนั้นM = [ m ₁ , m ₂ ]และK = [ k ₁ , k ₂ ]

สมมติว่าระบบมีรูปแบบการสั่นสองแบบ โดยแบบหนึ่งมีน้ำหนักด้วยตัวประกอบ  B เช่นY = [ 1, 1] +  B [1, −1] ทฤษฎี การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายกล่าวว่าความเร็วณ เวลาที่การเบี่ยงเบนเป็นศูนย์ คือความถี่เชิงมุมคูณ ด้วยการเบี่ยงเบน (y) ณ เวลาที่การเบี่ยงเบนสูงสุด ในตัวอย่างนี้พลังงานจลน์ (KE) สำหรับแต่ละมวลคือเป็นต้น และพลังงานศักย์ (PE) สำหรับแต่ละสปริงคือเป็นต้น ${\displaystyle \omega }$${\textstyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}}$

นอกจากนี้เรารู้ว่าหากไม่มีการหน่วง พลังงานจลน์สูงสุดจะเท่ากับพลังงานศักย์สูงสุด ดังนั้น $${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)}$$

แอมพลิจูดโดยรวมของรูปทรงโหมดจะหักล้างกันเองจากทั้งสองด้านเสมอ กล่าวคือ ขนาดที่แท้จริงของการโก่งตัวที่สมมติขึ้นนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือรูป ทรง โหมดเท่านั้น

จากนั้นจึงทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์เพื่อหาค่าของในรูปของ B ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์เทียบกับ B เพื่อหาค่าต่ำสุดนั่นคือ เมื่อ ซึ่งจะให้ค่าของ B ที่ทำให้มีค่าน้อยที่สุด นี่คือค่าขอบเขตบนของหากคาดหวังว่า จะเป็นความถี่พื้นฐาน ที่คาดการณ์ไว้ ของระบบ เนื่องจากรูปทรงโหมดถูกกำหนดไว้แล้วแต่เราได้พบค่าต่ำสุดของขอบเขตบนนั้นแล้ว ภายใต้สมมติฐานของเรา เนื่องจาก B ถูกใช้เพื่อหา 'ส่วนผสม' ที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันรูปทรงโหมดสองแบบที่สมมติไว้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega /dB=0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

วิธีการนี้มีเทคนิคมากมาย ที่สำคัญที่สุดคือการพยายามเลือกรูปทรงโหมดสมมติที่สมจริง ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ ปัญหา การโก่งตัวของคานควรใช้รูปทรงที่เปลี่ยนรูปซึ่งคล้ายคลึงกับคำตอบที่คาดหวังในเชิงวิเคราะห์ ฟังก์ชัน กำลัง สี่อาจเหมาะสมกับปัญหาที่ง่ายส่วนใหญ่ของคานที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย แม้ว่าลำดับของคำตอบที่เปลี่ยนรูปอาจต่ำกว่าก็ตาม สปริงและมวลไม่จำเป็นต้องเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง อาจเป็นแบบต่อเนื่อง (หรือผสมกัน) และวิธีการนี้สามารถใช้ในสเปรดชีตเพื่อหาความถี่ธรรมชาติของระบบกระจายที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย หากคุณสามารถอธิบายเทอมพลังงานจลน์และพลังงานศักย์แบบกระจายได้อย่างง่ายดาย หรือแบ่งองค์ประกอบต่อเนื่องออกเป็นส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง

สามารถใช้วิธีนี้ซ้ำๆ ได้ โดยการเพิ่มรูปแบบการสั่นเพิ่มเติมลงในคำตอบที่ดีที่สุดก่อนหน้านี้ หรือคุณสามารถสร้างนิพจน์ยาวๆ ที่มีค่า B จำนวนมากและรูปแบบการสั่นจำนวนมาก จากนั้นจึงทำการหาอนุพันธ์ย่อยของนิพจน์เหล่า นั้น

ตัวดำเนินการ Koopman ช่วยให้ ระบบไม่เชิงเส้นมิติจำกัดสามารถเข้ารหัสเป็นระบบเชิงเส้น มิติอนันต์ ได้ โดยทั่วไปแล้ว ปัญหาทั้งสองนี้ยากที่จะแก้ไข แต่สำหรับปัญหาหลัง เราสามารถใช้วิธี Ritz-Galerkin เพื่อประมาณคำตอบได้^{[ 14 ]}

ในภาษาของวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ เมทริกซ์คือเมทริกซ์ความแข็งของแฮมิลโทเนียนในปริภูมิองค์ประกอบเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน และเมทริกซ์คือเมทริกซ์มวลในภาษาของพีชคณิตเชิงเส้น ค่าคือค่าลักษณะเฉพาะของแฮมิลโทเนียนแบบไม่ต่อเนื่อง และเวกเตอร์คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle H_{kj}}$${\displaystyle S_{kj}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle c}$

• การวนซ้ำของอาร์โนลดี
• ทฤษฎีสตูร์ม-ลิอูวิลล์
• พื้นที่ฮิลเบิร์ต

• ริตซ์, วอลเธอร์ (1909) "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik" . วารสารfür die Reine และ Angewandte Mathematik 135 : 1– 61. ดอย : 10.1515/crll.1909.135.1 .
• MacDonald, JK (1933). "การประมาณค่าต่อเนื่องโดยวิธีแปรผัน Rayleigh-Ritz" . Phys. Rev . 43 (10): 830– 833. Bibcode : 1933PhRv...43..830M . doi : 10.1103/PhysRev.43.830 .

• วิชาแคลคูลัสของการแปรผัน มีส่วนหนึ่งที่กล่าวถึงวิธีเรย์ลีห์-ริทซ์
• วิธีของริทซ์ในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• Gander, Martin J.; Wanner, Gerhard (2012). "จากออยเลอร์, ริตซ์ และกาเลอร์กิน สู่การคำนวณสมัยใหม่" . SIAM Review . 54 (4): 627– 666. CiteSeerX  10.1.1.297.5697 . doi : 10.1137/100804036 .