การแก้ไข ของLangerซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์Rudolf Ernest Langerผู้พัฒนาขึ้นในปี พ.ศ. 2480 ^{[ 1 ]}เป็นการแก้ไขการประมาณค่า WKBสำหรับปัญหาที่มีสมมาตรเชิงรัศมี

เมื่อนำวิธีการประมาณค่า WKB มาใช้กับสมการ Schrödinger แบบรัศมี โดย ที่ศักยภาพประสิทธิผลกำหนดโดย ( เลขควอนตัมเชิงมุมที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม ) พลังงานเฉพาะและพฤติกรรมของฟังก์ชันคลื่นที่ได้จะแตกต่างจากคำตอบที่แท้จริง $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{\textrm {eff}}(r)]R(r)=0,}$$$${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2mr^{2}}}}$$${\displaystyle \ell }$

ในปี พ.ศ. 2480 Rudolf E. Langerได้เสนอการแก้ไข ที่เรียกว่าการแก้ไขของ Langer หรือการแทนที่ของ Langerการดำเนินการนี้เทียบเท่ากับการแทรกปัจจัยคงที่ 1/4 ทุกครั้งที่ปรากฏ ในทางอนุมาน กล่าวกันว่าปัจจัยนี้เกิดขึ้นเนื่องจากช่วงของสมการ Schrödinger แบบรัศมีถูกจำกัดจาก 0 ถึงอนันต์ ตรงข้ามกับเส้นจำนวนจริงทั้งหมด ด้วยการเปลี่ยนแปลงพจน์คงที่ในศักยภาพที่มีประสิทธิภาพ ผลลัพธ์ที่ได้จากการประมาณ WKB จะสร้างสเปกตรัมที่แม่นยำสำหรับศักยภาพจำนวนมาก การที่การแทนที่ของ Langer ถูกต้องนั้นมาจากการคำนวณ WKB ของค่าลักษณะเฉพาะของคูลอมบ์ด้วยการแทนที่ซึ่งสร้างผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักกันดี^{[ 2 ]}$${\displaystyle \ell (\ell +1)\rightarrow \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

โปรดทราบว่าสำหรับระบบ 2 มิติ เนื่องจากศักยภาพที่มีประสิทธิภาพมีรูปแบบ การแก้ไขของ Langer ดังนี้: ^{[ 3 ]} การจัดการนี้ยังเทียบเท่ากับการแทรกปัจจัยคงที่ 1/4 ทุกครั้งที่ปรากฏ $${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}})}{2mr^{2}}},}$$$${\displaystyle \left(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\rightarrow \ell ^{2}.}$$${\displaystyle \ell ^{2}}$

การคำนวณที่น่าเชื่อถือยิ่งกว่าคือการหาเส้นทาง Regge (และค่าลักษณะเฉพาะ) ของสมการ Schrödinger รัศมีที่มีศักยภาพ Yukawaโดยทั้งวิธีรบกวน (ด้วยปัจจัยเก่า) และการหาโดยอิสระด้วยวิธี WKB (ด้วยการแทนที่ Langer) ซึ่งในทั้งสองกรณีนี้สามารถทำได้ถึงลำดับที่สูงขึ้น สำหรับการคำนวณการรบกวน โปรดดูหนังสือของMüller-Kirsten ^{[ 4 ]}และสำหรับการคำนวณ WKB โปรดดู Boukema ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

• วิธีของไอน์สไตน์-บริลลูอิน-เคลเลอร์