ใน ฟิสิกส์ อนุภาคฟิสิกส์อะตอมและฟิสิกส์สสารควบแน่นศักยภาพยูกาวะ (หรือเรียกว่าศักยภาพคูลอมบ์แบบ มีตัวกรอง ) เป็นศักยภาพที่ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวญี่ปุ่นฮิเดกิ ยูกาวะศักยภาพนี้มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ปรับขนาด นั่นคือ คือแอมพลิจูดของศักย์ mคือมวลของอนุภาคrคือระยะห่างรัศมีจากอนุภาค และαคือค่าคงที่ปรับขนาดอีกค่าหนึ่ง ดังนั้น จึงเป็นระยะโดยประมาณ ศักย์จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตามrและมีค่าเป็นลบซึ่งหมายความว่าแรงเป็นแรงดึงดูด ในระบบ SI หน่วยของศักย์ยูคาวาคือเมตร ผกผัน${\displaystyle g}$${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

ศักย์ คูลอมบ์ของแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นตัวอย่างของศักย์ยูกาวะที่มีตัวประกอบเท่ากับ 1 ทุกที่ ซึ่งสามารถตีความได้ว่ามวลของโฟตอนmเท่ากับ 0 โฟตอนเป็นตัวนำแรงระหว่างอนุภาคที่มีประจุซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กัน ${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$

ในการปฏิสัมพันธ์ระหว่าง สนาม เมซอนและ สนาม เฟอร์มิออนค่าคงที่ จะมี ค่า เท่ากับค่าคงที่การเชื่อมต่อเกจระหว่างสนามเหล่านั้น ในกรณีของแรงนิวเคลียร์เฟอร์มิออนจะเป็นโปรตอนกับโปรตอนอีกตัว หรือนิวตรอน${\displaystyle g}$

ก่อนที่ฮิเดกิ ยูกาวะจะตีพิมพ์บทความในปี 1935 ^{[ 1 ]}นักฟิสิกส์ต่างพยายามอธิบายผลลัพธ์ของ แบบจำลองอะตอม ของเจมส์ แชดวิกซึ่งประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอนที่มีประจุบวกบรรจุอยู่ภายในนิวเคลียสขนาดเล็กที่มีรัศมีประมาณ 10 ⁻¹⁴เมตร นักฟิสิกส์ทราบดีว่าแรงแม่เหล็กไฟฟ้าที่ความยาวระดับนี้จะทำให้โปรตอนผลักกันและทำให้นิวเคลียสแตกสลาย^{[ 2 ]}ด้วยเหตุนี้จึงเกิดแรงจูงใจในการอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคพื้นฐานเพิ่มเติม ในปี 1932 เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กได้เสนอปฏิสัมพันธ์แบบ "Platzwechsel" (การอพยพ) ระหว่างนิวตรอนและโปรตอนภายในนิวเคลียส ซึ่งนิวตรอนเป็นอนุภาคประกอบของโปรตอนและอิเล็กตรอน นิวตรอนประกอบเหล่านี้จะปล่อยอิเล็กตรอนออกมา ทำให้เกิดแรงดึงดูดกับโปรตอน แล้วจึงกลายเป็นโปรตอนอีกครั้ง เมื่อไฮเซนเบิร์กเสนอแนวคิดปฏิสัมพันธ์ของเขาในการประชุมโซลเวย์ ในปี 1933 นักฟิสิกส์ต่างสงสัยว่ามันอาจมีอยู่สองรูปแบบ:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

เนื่องมาจากระยะสั้น^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีของเขามีปัญหาหลายประการ ประการแรก เป็นไปไม่ได้ที่อิเล็กตรอนที่มีสปิน⁠1/2และโปรตอนที่มีสปิน1/2เพื่อรวมเข้ากับสปินของนิวตรอน1/2วิธีการที่ไฮเซนเบิร์กใช้ในการจัดการกับปัญหานี้ได้ก่อให้เกิดแนวคิดเรื่องไอโซสปินใน เวลาต่อ มา

แนวคิดของไฮเซนเบิร์กเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์แบบแลกเปลี่ยน (แทนที่จะเป็นแรงคูลอมบ์) ระหว่างอนุภาคภายในนิวเคลียสทำให้เฟอร์มิได้กำหนดแนวคิดเกี่ยวกับการสลายตัวแบบเบตาในปี 1934 ^{[ 3 ]}ปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวตรอนและโปรตอนของเฟอร์มิไม่ได้ขึ้นอยู่กับ "การเคลื่อนย้าย" ของนิวตรอนและโปรตอนระหว่างกัน แต่เฟอร์มิเสนอการปล่อยและการดูดกลืนของอนุภาคเบา 2 ชนิด ได้แก่ นิวตริโนและอิเล็กตรอน แทนที่จะเป็นเพียงอิเล็กตรอน (ดังในทฤษฎีของไฮเซนเบิร์ก) แม้ว่าปฏิสัมพันธ์ของเฟอร์มิจะแก้ปัญหาเรื่องการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและเชิงมุม ได้ แต่ นักฟิสิกส์ชาวโซเวียตอิกอร์ แทมม์และดมิทรี อิวาเนนโก ได้แสดงให้เห็นว่าแรงที่เกี่ยวข้องกับการปล่อยนิวตริโนและอิเล็กตรอนนั้นไม่แข็งแรงพอที่จะยึดโปรตอนและนิวตรอนไว้ในนิวเคลียสได้^{[ 4 ]}

ในบทความเดือนกุมภาพันธ์ ค.ศ. 1935 ฮิเดกิ ยูกาวะ ได้รวมแนวคิดเรื่องแรงปฏิสัมพันธ์ระยะสั้นของไฮเซนเบิร์กและแนวคิดเรื่องอนุภาคแลกเปลี่ยนของเฟอร์มิเข้าด้วยกัน เพื่อแก้ปัญหาปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวตรอนและโปรตอน เขาได้อนุมานศักยภาพที่ประกอบด้วย พจน์ การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล ( ) และพจน์แม่เหล็กไฟฟ้า ( ) โดยเปรียบเทียบกับทฤษฎีสนามควอนตัมยูกาวะรู้ว่าศักยภาพและสนามที่สอดคล้องกันนั้นต้องเป็นผลมาจากอนุภาคแลกเปลี่ยน ในกรณีของควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์อนุภาคแลกเปลี่ยนนี้คือโฟตอนที่มีมวลเป็นศูนย์ ในกรณีของยูกาวะ อนุภาคแลกเปลี่ยนมีมวลบางส่วน ซึ่งสัมพันธ์กับระยะของปฏิสัมพันธ์ (กำหนดโดย) เนื่องจากทราบระยะของแรงนิวเคลียร์แล้ว ยูกาวะจึงใช้สมการของเขาในการทำนายมวลของอนุภาคตัวกลางว่ามีค่าประมาณ 200 เท่าของมวลอิเล็กตรอน นักฟิสิกส์เรียกอนุภาคนี้ว่า " เมซอน " เนื่องจากมวลของมันอยู่ตรงกลางระหว่างมวลของโปรตอนและอิเล็กตรอน เมซอนของยูกาวะถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2490 และต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อไพอน^{[ 4 ]}${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$

ถ้าอนุภาคไม่มีมวล (กล่าวคือm = 0 ) ศักย์ยูคาวาจะลดลงเหลือศักย์คูลอมบ์ และจะกล่าวได้ว่าระยะทางเป็นอนันต์ ในความเป็นจริง เรามี:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

ดังนั้นสมการ

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

ลดรูปให้เหลือรูปแบบของศักย์คูลอมบ์

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

โดยที่เรากำหนดค่าคงที่การปรับขนาดเป็น: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle g^{2}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

ภาพที่ 2 แสดงการเปรียบเทียบความแรงของศักยภาพระยะไกลระหว่างศักยภาพของยูคาวาและคูลอมบ์ จะเห็นได้ว่าศักยภาพของคูลอมบ์มีผลในระยะทางที่ไกลกว่า ในขณะที่ศักยภาพของยูคาวาเข้าใกล้ศูนย์ค่อนข้างเร็ว อย่างไรก็ตาม ศักยภาพของยูคาวาหรือคูลอมบ์ใด ๆ ก็จะไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าr ที่ มาก

ศักยภาพของ Yukawa สามารถคิดได้ว่าเกิดขึ้นจากการปรับเปลี่ยนสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเพื่ออธิบายอนุภาคที่มีมวลไม่เป็นศูนย์^{[ 6 ]}

สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีดังนี้

${\displaystyle \ \Box \;\!A^{\mu }={\mathsf {source\ terms}}\ ,}$

โดยที่ศักย์ แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติและปริภูมิเวลาสี่มิติ ของตัวดำเนิน การลาปลาเซียน – ซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการดาล็องแบร์เชียน – คืออะไรศักย์จะเป็นไปตามแหล่งกำเนิดจุด ${\displaystyle \ A^{\mu }\ }$${\displaystyle \ \Box \equiv {\tfrac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}\ }$${\displaystyle \ {\tfrac {\;\!1\;\!}{r}}\ }$

สมการคลื่นนี้อธิบายถึงโฟตอนสำหรับแรงนิวเคลียร์ เราหวังที่จะอธิบายถึงไพอนไพอนสามารถอธิบายได้ด้วยสนามสเกลาร์ ซึ่งแตกต่างจากสนามเวกเตอร์ และเราปรับเปลี่ยนสมการคลื่นโดยการเพิ่มผลคูณของสนาม (ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อความไม่แปรเปลี่ยนเชิงสัมพัทธภาพ):

${\displaystyle \ \Box \;\!\phi \ +\ \mu ^{2}\phi =0\ }$

ถ้าขึ้นอยู่กับพิกัดทรงกลมรัศมีเท่านั้นและไม่ขึ้นกับเวลา เราสามารถจัดเรียงสมการใหม่เพื่อให้ได้${\displaystyle \ \phi \ }$${\displaystyle \ r\ ,}$${\displaystyle \ \nabla ^{2}\phi =\mu ^{2}\phi ~.}$

เมื่อใช้สูตรสำหรับตัวดำเนินการลาปลาเซียนในพิกัดทรงกลม เราจะได้ ${\displaystyle \ \nabla ^{2}\phi ={\frac {\;\!1\;\!}{r}}\ \partial _{r}^{2}{\bigl (}\;\!r\;\!\phi \;\!{\bigr )}\ }$

${\displaystyle \ \partial _{r}^{2}{\bigl (}\ r\ \phi \ {\bigr )}=\mu ^{2}\ {\bigl (}\ r\ \phi \ {\bigr )}\ }$

ซึ่งมีคำตอบในรูปแบบดังกล่าว ${\displaystyle \ r\ \phi (\;\!r\;\!)=K\ e^{-\mu \;\!r}\ }$

${\displaystyle \ \phi (\;\!r\;\!)\ =\ K\ {\frac {\;\!e^{-\mu \;\!r}}{r}}\ ,}$

ซึ่งก็คือศักยภาพของยูกาวะ

สำหรับโฟตอน คำตอบของคลื่นจะมีลักษณะดังนี้เราสามารถแทนค่านี้ลงในสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเอกพันธุ์เพื่อหาค่าได้ ${\displaystyle \ e^{i\left(kx-\omega t\right)}~.}$

${\displaystyle \ \left({\frac {\ \omega }{\ c}}\right)^{2}=k^{2}\ ,}$

โดยใช้ความสัมพันธ์ของพลังค์ และความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์เราจะได้ ${\displaystyle \ E=\hbar \;\!\omega \ }$${\displaystyle \ p=\hbar \;\!k~.}$

${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=p^{2}~.}$

สมดุลระหว่าง มวลและพลังงานบอกเราว่าดังนั้นจึงบอกได้ว่าโฟตอนไม่มีมวล ${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=p^{2}+m^{2}c^{2}\ ,}$

ถ้าเราทำการวิเคราะห์แบบเดียวกันนี้กับไพอน เราจะได้

${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=k^{2}+\mu ^{2}\hbar ^{2}\ ,}$ซึ่งบอกเราว่าเมซอนมีมวลเท่ากับหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือโดยที่คือความยาวคลื่นคอมป์ตันแบบลดทอนของเมซอน${\displaystyle \ m={\frac {\;\!\mu \;\!\hbar \;\!}{c}}~.}$${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}=\lambda \!\!\!{\bar {}}^{-1}}$${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}}$

${\displaystyle \ \mu \ }$สามารถประมาณได้จากช่วงที่สังเกตได้ของแรงนิวเคลียร์แรงนิวเคลียร์มีช่วงอยู่ในระดับเฟมโตเมตร ( ) ดังนั้นมวลของไพอนควรอยู่ที่ประมาณ 170 MeV ซึ่งใกล้เคียงกับค่าจริงที่ประมาณ 140 MeV ${\displaystyle \ 10^{-15}{\mathsf {m}}\ }$${\displaystyle \hbar c\approx 200{\text{ MeV fm}}}$

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะเข้าใจว่าศักยภาพของยูกาวะเกี่ยวข้องกับสนามมวลมากนั้นคือการตรวจสอบการแปลงฟูริเยร์ ของมัน โดยมี

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

โดยที่การอินทิเกรตจะกระทำเหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของโมเมนตัมเวกเตอร์ 3 มิติkในรูปแบบนี้ และเมื่อกำหนดตัวประกอบการปรับขนาดเป็นหนึ่งเศษส่วนดังกล่าวจะเห็นได้ว่าเป็นตัวแพร่กระจายหรือฟังก์ชันกรีนของสมการไคลน์-กอร์ดอน ${\displaystyle \alpha =1}$${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

ศักยภาพของยูคาวาสามารถหาได้จากแอมพลิจูดลำดับต่ำสุดของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคู่ของเฟอร์มิออนการปฏิสัมพันธ์ของยูคาวาเชื่อมโยงสนามเฟอร์มิออนกับสนามเมซอนด้วยพจน์การเชื่อมโยง ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

แอมพลิจูดการกระเจิงของเฟอร์มิออนสองตัว ตัวหนึ่งมีโมเมนตัมเริ่มต้น k และอีกตัวมีโมเมนตัม k แลกเปลี่ยนเมซอนที่มีโมเมนตัมkจะแสดงด้วยแผนภาพไฟน์แมนทางด้านขวา ${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

กฎของไฟน์แมนสำหรับแต่ละจุดยอดจะเชื่อมโยงตัวประกอบกับแอมพลิจูด เนื่องจากแผนภาพนี้มีสองจุดยอด แอมพลิจูดทั้งหมดจึงจะมีตัวประกอบเป็นเส้นตรงกลางที่เชื่อมเส้นเฟอร์มิออนสองเส้นแสดงถึงการแลกเปลี่ยนเมซอน กฎของไฟน์แมนสำหรับการแลกเปลี่ยนอนุภาคคือการใช้ตัวแพร่ ตัวแพร่สำหรับเมซอนที่มีมวลคือดังนั้น เราจะเห็นว่าแอมพลิจูดของไฟน์แมนสำหรับกราฟนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่า ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{2}}$${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

จากส่วนก่อนหน้า จะเห็นได้ว่านี่คือการแปลงฟูริเยร์ของศักยภาพยูกาวะ

สมการ Schrödingerรัศมีที่มีศักยภาพ Yukawa สามารถแก้ไขได้โดยวิธีรบกวน^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] : บทที่ 16} การใช้สมการ Schrödinger รัศมีในรูปแบบ

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

และศักยภาพของยูกาวะในรูปแบบที่ขยายพลังออกไป

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

และเมื่อกำหนดค่าแล้ว จะได้นิพจน์สำหรับ โมเมนตัม เชิงมุมดังนี้${\displaystyle K=jk}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

สำหรับที่ไหน ${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

เมื่อกำหนดให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดยกเว้นเท่ากับศูนย์ จะได้นิพจน์ที่รู้จักกันดีสำหรับค่าไอเกนของชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพคูลอมบ์ และเลขควอนตัม เชิงรัศมี จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ อันเป็นผลมาจากเงื่อนไขขอบเขตที่ฟังก์ชันคลื่นของศักยภาพคูลอมบ์ต้องปฏิบัติตาม ในกรณีของศักยภาพยูกาวะ การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตมีความซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นในกรณีของยูกาวะจึงเป็นเพียงการประมาณ และพารามิเตอร์ที่แทนที่จำนวนเต็มnนั้นแท้จริงแล้วเป็นการขยายอนุกรมแบบอะซิมโทติกเช่นเดียวกับข้างต้น โดยประมาณค่าแรกคือค่าจำนวนเต็มของกรณีคูลอมบ์ที่สอดคล้องกัน การขยายข้างต้นสำหรับโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรหรือวิถีเรกเกสามารถย้อนกลับได้เพื่อให้ได้ค่าไอเกนพลังงานหรือเทียบเท่ากันจะได้: ^{[ 10 ]}${\displaystyle M_{j}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \,n\,}$${\displaystyle \nu =n}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \ell (K)}$${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+5)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

การขยายอนุกรมอสิมโทติกข้างต้นของโมเมนตัมเชิงมุมในกำลังที่ลดลงของสามารถหาได้ด้วยวิธี WKB เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในกรณีนั้น เช่นเดียวกับกรณีของศักยภาพคูลอมบ์นิพจน์ในเทอมแรงเหวี่ยงของสมการชโรดิงเกอร์จะต้องถูกแทนที่ด้วยดังที่ Langer ได้โต้แย้งไว้แต่เดิม^{[ 11 ]}เหตุผลก็คือ ความผิดปกติรุนแรงเกินไปสำหรับการประยุกต์ใช้วิธี WKB โดยไม่เปลี่ยนแปลง การให้เหตุผลนี้ถูกต้องมาจากการหาผลลัพธ์ที่ถูกต้องในกรณีคูลอมบ์ (ด้วยการแก้ไขของ Langer ) ด้วยวิธี WKB ^{[ 9 ] : 404} และแม้แต่การขยายข้างต้นในกรณี Yukawa ด้วยการประมาณค่า WKB ลำดับสูงกว่า^{[ 12 ]}${\displaystyle \ell (K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$

เราสามารถคำนวณภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์ระหว่างโปรตอนหรือนิวตรอนกับไพอนได้โดยใช้ศักยภาพของยูกาวะ เราใช้การประมาณของบอร์นซึ่งบอกเราว่า ในศักยภาพที่มีสมมาตรทรงกลม เราสามารถประมาณฟังก์ชันคลื่นกระเจิงขาออกได้ว่าเป็นผลรวมของ ฟังก์ชัน คลื่นระนาบขา เข้า และการรบกวนเล็กน้อย:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

โดยที่คือโมเมนตัมขาเข้าของอนุภาค ฟังก์ชันนี้กำหนดโดย: ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

โดยที่คือโมเมนตัมการกระเจิงขาออกของอนุภาค และคือมวลของอนุภาคขาเข้า (อย่าสับสนกับมวลของไพอน) เราคำนวณโดยการแทนค่าลงไป: ${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

การประเมินค่าอินทิกรัลจะได้

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

การประหยัดพลังงานหมายถึง

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

ดังนั้น

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

เมื่อเสียบปลั๊กแล้ว เราจะได้:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

ดังนั้นเราจึงได้ภาคตัดขวางเชิงอนุพันธ์ดังนี้: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

เมื่อทำการอินทิเกรตแล้ว พื้นที่หน้าตัดทั้งหมดคือ:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

ศักยภาพภายนอกเปลือกทรงกลมที่บางมากและสม่ำเสมอซึ่งมีค่าคงที่การปรับขนาดรวมและรัศมีก็เป็นศักยภาพแบบยูกาวะเช่นกัน แต่โดยทั่วไปแล้วค่าคงที่การปรับขนาดสำหรับแหล่งกำเนิดจุดที่เทียบเท่าจะมีค่ามากกว่าสำหรับเปลือก^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ศักยภาพของจุดที่มีค่าคงที่การปรับขนาดภายนอกเปลือกคือ ${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle V(r>R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}.}$

ซึ่งเหมือนกับการแทนที่เปลือกด้วยแหล่งกำเนิดจุดที่มีขนาดศักยภาพภายในคือ^{[ 14 ]}${\displaystyle G{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}}$

${\displaystyle V(r<R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mR}}{R}}{\frac {\sinh \alpha mr}{\alpha mr}}.}$

ถ้าเช่นนั้น จะได้ทฤษฎีบทเปลือกหอยสำหรับศักย์ผกผันกำลังสอง กลับคืนมา${\displaystyle m=0}$

ผลที่ตามมาคือในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงที่ดัดแปลง ซึ่ง กราวิตอน มีมวลไม่เป็นศูนย์ หลักการสมดุลแบบอ่อนจะถูกละเมิด และความเร่งโน้มถ่วงของวัตถุที่ตกอย่างอิสระจะขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของมัน^{[ 16 ]}

• ปฏิสัมพันธ์ของยูคาว่า
• สมการปัวซงแบบคัดกรอง
• ศักยภาพของเบสเซล

• บราวน์, จีอี ; แจ็กสัน, เอดี (1976). ปฏิสัมพันธ์ระหว่างนิวคลีออนกับนิวคลีออน.อัมสเตอร์ดัม: สำนักพิมพ์นอร์ทฮอลแลนด์. ISBN 0-7204-0335-9.