ในฟิสิกส์สมการปัวซงที่ถูกคัดกรองคือสมการปัวซงซึ่งเกิดขึ้นใน (ตัวอย่างเช่น) สมการไคลน์-กอร์ดอนการคัดกรองสนามไฟฟ้าในพลาสมาและความลื่นไหลของเม็ดอนุภาคแบบไม่เฉพาะที่^{[ 1 ]}ในการ ไหลของเม็ดอนุภาค

สมการคือ $${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$$

โดยที่คือตัวดำเนินการลาปลาส λ คือค่าคงที่ที่แสดงถึง "การคัดกรอง" fคือฟังก์ชันใดๆ ของตำแหน่ง (เรียกว่า "ฟังก์ชันแหล่งกำเนิด") และuคือฟังก์ชันที่จะต้องหาค่า ${\displaystyle \Delta }$

ในกรณีเอกพันธุ์ ( f = 0) สมการปัวซงแบบมีตัวกรองจะเหมือนกับสมการไคลน์-กอร์ดอน ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ในกรณีไม่เอกพันธุ์ สมการปัวซงแบบมีตัวกรองจะคล้ายกับ สมการเฮล์มโฮลทซ์แบบไม่เอกพันธุ์มากโดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเครื่องหมายภายในวงเล็บ

ในการคัดกรองสนามไฟฟ้าสมการปัวซงแบบคัดกรองสำหรับศักย์ไฟฟ้ามักเขียนได้ดังนี้ (หน่วย SI) ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},}$$

โดยที่คือความยาวของการกำบังคือความหนาแน่นของประจุที่เกิดจากสนามภายนอกในกรณีที่ไม่มีการกำบัง และคือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศสมการนี้สามารถหาได้จากแบบจำลองการกำบังหลายแบบ เช่นการกำบังแบบโทมัส-เฟอร์มิในฟิสิกส์ของของแข็งและการกำบังแบบเดบาย ในพลาสมา${\displaystyle k_{0}^{-1}}$${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราจะถือว่าλเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ เมื่อλเป็นศูนย์สมการจะลดรูปเป็นสมการปัวซงดังนั้น เมื่อλมีค่าเล็กมาก คำตอบจะเข้าใกล้คำตอบของสมการปัวซงแบบไม่มีตัวกรอง ซึ่งในมิติ r จะเป็นการซ้อนทับกันของฟังก์ชัน 1/ rที่ถ่วงน้ำหนักด้วยฟังก์ชันแหล่งกำเนิดf : ${\displaystyle n=3}$

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{ปัวซอง}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

ในทางกลับกัน เมื่อλมีค่ามากอย่างยิ่งuจะเข้าใกล้ค่าf / λ ²ซึ่งจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อλเข้าสู่ค่าอนันต์ ดังที่เราจะเห็นต่อไป คำตอบสำหรับค่าλ ระหว่างกลาง จะมีลักษณะเป็นการซ้อนทับกันของฟังก์ชัน1/ r ที่ถูกกรอง (หรือลดทอน) โดยที่ λทำหน้าที่เป็นความแรงของการกรอง

สมการปัวซงแบบคัดกรองสามารถหาคำตอบสำหรับf ทั่วไปได้ โดยใช้วิธีของฟังก์ชันกรีน ฟังก์ชันกรีน G ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$$โดย ที่ δ ³คือฟังก์ชันเดลต้าที่มีมวลหนึ่งหน่วยกระจุกตัวอยู่ที่จุดกำเนิดของR ³

หากสมมติว่าuและอนุพันธ์ของมันมีค่าเป็นศูนย์ที่ค่าr มากๆ เราอาจทำการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องในพิกัดเชิงพื้นที่ได้:

$${\displaystyle {\tilde {G}}(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$

โดยที่ปริมาณอินทิกรัลนั้นครอบคลุมทั้งปริภูมิ จากนั้นจึงสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่า

$${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]{\tilde {G}}(\mathbf {k} )=1.}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันกรีนในrจึงได้มาจากการแปลงฟูริเยร์ผกผัน

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

สามารถคำนวณอินทิกรัลนี้ได้โดยใช้พิกัดทรงกลมใน ปริภูมิ k การอินทิเกรตเหนือพิกัดเชิงมุมนั้นตรงไปตรงมา และอินทิกรัลจะลดลงเหลือหนึ่งเหนือ เลขคลื่น รัศมี: ${\displaystyle k_{r}}$

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$$

สามารถประเมินผลได้โดยใช้การอินทิเกรตตามเส้นโค้งผลลัพธ์ที่ได้คือ:

$${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$$

คำตอบของปัญหาทั้งหมดมีดังนี้

$${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} 'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น นี่คือการซ้อนทับกันของฟังก์ชัน 1/ r ที่ถูกกรอง โดยมีน้ำหนักตามฟังก์ชันแหล่งกำเนิดfและλทำหน้าที่เป็นความแรงของการกรอง ฟังก์ชัน 1/ r ที่ถูกกรอง มักพบในทางฟิสิกส์ในรูปของศักยภาพคูลอมบ์ที่ถูกกรอง หรือที่เรียกว่า " ศักยภาพยูกาวะ "

ในสองมิติ: ในกรณีของพลาสมาที่มีสนามแม่เหล็ก สมการปัวซงแบบมีตัวกรองจะเป็นแบบกึ่งสองมิติ: โดยที่และโดยที่ คือสนามแม่เหล็ก และ คือ รัศมีลาร์มอร์ (ของไอออน) การแปลงฟูริเยร์สองมิติของฟังก์ชันกรีน ที่เกี่ยวข้อง คือ: สมการปัวซงแบบมีตัวกรองสองมิติให้ผลลัพธ์ดังนี้: ดังนั้น ฟังก์ชัน กรีนจึงกำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์ผกผัน : อินทิกรัลนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้พิกัดเชิงขั้วในปริภูมิ k : การอินทิเกรตเหนือพิกัดเชิงมุมให้ฟังก์ชันเบสเซล และอินทิกรัลจะลดลงเหลือหนึ่งเหนือ เลขคลื่นรัศมี: $${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$$${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle {\tilde {G}}(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}\mathbf {r} ~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$$$${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right){\tilde {G}}(\mathbf {k} _{\perp })=1.}$$$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!\mathbf {k} \;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$$${\displaystyle k_{r}}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$$

ฟังก์ชันกรีนในทั้งแบบ 2 มิติและ 3 มิติ มีลักษณะเหมือนกับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการแจกแจงลาปลาสแบบหลายตัวแปรสำหรับสองและสามมิติ ตามลำดับ

กรณีเอกพันธุ์ที่ศึกษาในบริบทของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับแมนิโฟลด์ผลคูณบิดเบี้ยวของไอน์สไตน์ สำรวจกรณีที่ฟังก์ชันบิดเบี้ยวเป็นไปตามสมการปัวซงแบบคัดกรองเวอร์ชันเอกพันธุ์ ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะ มิติของแมนิโฟลด์ ความโค้งริชชี และพารามิเตอร์การคัดกรองจะเชื่อมโยงกันผ่านความสัมพันธ์กำลังสอง^{[ 2 ]}

• ปฏิสัมพันธ์ของยูคาว่า