ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์การแจกแจงลาปลาซแบบหลาย ตัวแปร เป็นการขยายของการแจกแจงลาปลาซและการแจกแจงลาปลาซแบบไม่ สมมาตร ไปยังตัวแปรหลายตัวการแจกแจงแบบมาร์จินัลของการแจกแจงลาปลาซแบบหลายตัวแปรสมมาตรคือการแจกแจงลาปลาซ การแจกแจงแบบมาร์จินัลของการแจกแจงลาปลาซแบบหลายตัวแปรแบบไม่สมมาตรคือการแจกแจงลาปลาซแบบไม่สมมาตร^{[ 1 ]}

ลาปลาซหลายตัวแปร (สมมาตร)
พารามิเตอร์	μ ∈ R k —ตำแหน่งΣ ∈ R k×k —ความแปรปรวนร่วม (เมทริกซ์บวกแน่นอน )
สนับสนุน	x ∈ μ + span( Σ ) ⊆ R k
พีดี	ถ้าโดยที่และคือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\frac {2}{(2\pi )^{k/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$${\displaystyle v=(2-k)/2}$${\displaystyle K_{v}}$
หมายถึง	μ
โหมด	μ
ความแปรปรวน	Σ
ความเบี่ยงเบน	0
ซีเอฟ	${\displaystyle {\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

ลักษณะทั่วไปของการแจกแจงแบบลาปลาสหลายตัวแปรสมมาตรมีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะดังนี้:

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละตัวแปร และเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม^{[ 2 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

ต่างจากการกระจายแบบปกติหลายตัวแปรแม้ว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะมีค่าความแปรปรวน ร่วม และความสัมพันธ์เป็น ศูนย์ แต่ตัวแปรก็ไม่เป็นอิสระต่อกัน^{[ 1 ]} การกระจายแบบลาปลาสหลายตัวแปรแบบสมมาตรเป็นแบบวงรี^{[ 1 ]}

ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) สำหรับการแจกแจงลาปลาสหลายตัวแปร k มิติ จะกลายเป็น:${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$และเป็น ฟังก์ชันเบสเซล ^ที่ดัดแปลงชนิดที่สอง^{[ 1} ]${\displaystyle K_{v}}$

ในกรณีทวิภาคที่มีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือk  = 2 โดยที่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นจะลดลงเหลือ: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}K_{0}\left({\sqrt {\frac {2\left({\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {2\rho x_{1}x_{2}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)}{1-\rho ^{2}}}}\right),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle \sigma _{1}}$และคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของและ ตาม ^{ลำดับ}และคือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของและ^{[ 1} ]${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

สำหรับกรณี Laplace สองตัวแปรที่ไม่สัมพันธ์กัน นั่นคือk  = 2 และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\rho =0}$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1}$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi }}K_{0}\left({\sqrt {2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}}\right).}$^{[ 1 ]}

ลาปลาซหลายตัวแปร (แบบไม่สมมาตร)
พารามิเตอร์	μ ∈ R k —ตำแหน่งΣ ∈ R k×k —ความแปรปรวนร่วม (เมทริกซ์บวกแน่นอน )
สนับสนุน	x ∈ μ + span( Σ ) ⊆ R k
พีดี	${\displaystyle {\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{\frac {k}{2}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{\frac {v}{2}}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )}}$โดยที่และคือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง${\displaystyle v=(2-k)/2}$${\displaystyle K_{v}}$
หมายถึง	μ
ความแปรปรวน	Σ + μ ' μ
ความเบี่ยงเบน	ไม่เป็นศูนย์ เว้นแต่μ = 0
ซีเอฟ	${\displaystyle {\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}}$

ลักษณะทั่วไปของการแจกแจงแบบลาปลาสหลายตัวแปรที่ไม่สมมาตรจะมีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะดังนี้:

${\displaystyle \varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.}$^{[ 1 ]}

เช่นเดียวกับการแจกแจงลาปลาสแบบหลายตัวแปรสมมาตร การแจกแจงลาปลาสแบบหลายตัวแปรไม่สมมาตรมีค่าเฉลี่ยแต่ค่าความแปรปรวนร่วมจะกลายเป็น[ ^{3 ] การ} แจกแจงลาปลาสแบบหลายตัวแปรไม่สมมาตรจะไม่เป็นรูปวงรีเว้นแต่ในกรณีนั้น การแจกแจงจะลดลงเหลือการแจกแจงลาปลาสแบบหลายตัวแปรสมมาตรที่มี^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) สำหรับ การแจกแจงลาปลาสหลายตัวแปรแบบไม่สมมาตรในมิติ kคือ:

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2e^{\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}{\Big (}{\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{\Big )}^{v/2}K_{v}{\Big (}{\sqrt {(2+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} )}}{\Big )},}$

ที่ไหน:

${\displaystyle v=(2-k)/2}$และเป็น ฟังก์ชันเบสเซล ^ที่ดัดแปลงชนิดที่สอง^{[ 1} ]${\displaystyle K_{v}}$

การแจกแจงลาปลาสแบบไม่สมมาตร รวมถึงกรณีพิเศษของเป็นตัวอย่างของการแจกแจงแบบเสถียรทางเรขาคณิต^{[ 3 ]} มันแสดงถึงการแจกแจงแบบจำกัดสำหรับผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมีความแปรปรวนและความ แปรปรวนร่วมที่จำกัด โดยที่จำนวนองค์ประกอบที่จะนำมาบวกกันนั้นเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่แจกแจงตามการแจกแจงทางเรขาคณิต [ ^{1 ] ผล} รวมทางเรขาคณิตดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้ในการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในด้านชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และการประกันภัย^{[ 1 ]} การแจกแจงนี้อาจนำไปใช้ได้ในสถานการณ์ที่กว้างขึ้นเพื่อสร้างแบบจำลองข้อมูลหลายตัวแปรที่มีหางหนักกว่าการแจกแจงปกติ แต่มีโมเมนต์ที่ จำกัด ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$

ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงเอกซ์โพ เนนเชียล และการแจกแจงลาปลาซช่วยให้สามารถจำลองตัวแปรลาปลาซแบบทวิภาคไม่สมมาตรได้อย่างง่ายดาย (รวมถึงกรณีของ) จำลองเวกเตอร์ตัวแปรสุ่มปกติแบบทวิภาคจากการแจกแจงที่มี และเมทริกซ์ความแปรปรวน ร่วม จำลองตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลจากการแจกแจง Exp(1) อย่างอิสระ จะมีการแจกแจงลาปลาซแบบทวิภาค (ไม่สมมาตร) ที่มีค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {X} ={\sqrt {W}}\mathbf {Y} +W{\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$