การแปลงฟูริเยร์

Q: คำนิยาม

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ที่สามารถอินทิเกรตได้แบบเลเบส บนเส้นจำนวนจริง คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดโดยอินทิกรัล [ 1 ] เอฟ ( x ) {\displaystyle f(x)} เอฟ ^ ( ξ ) {\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}

การแปลงฟูริเยร์ที่ใช้กับรูปคลื่นของคอร์ด เปียโน C เมเจอร์ (โดยแกนแนวนอน (ความถี่) เป็นแบบลอการิทึม) ยอดคลื่นสามยอดแรกทางด้านซ้ายสอดคล้องกับความถี่พื้นฐานของคอร์ด (C, E, G) ยอดคลื่นขนาดเล็กที่เหลือคือเสียงโอเวอร์ โทนที่มีความถี่สูงกว่า ของเสียงพื้นฐาน

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงฟูริเยร์ ( FT )เป็นการแปลงเชิงอินทิกรัลที่รับฟังก์ชันเป็นอินพุตและให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่งที่อธิบายขอบเขตที่ความถี่ ต่างๆ ปรากฏอยู่ในฟังก์ชันดั้งเดิม ผลลัพธ์ของการแปลงเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของความถี่ คำว่าการแปลงฟูริเยร์หมายถึงทั้งการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนนี้ เมื่อจำเป็นต้องแยกความแตกต่าง บางครั้งผลลัพธ์ของการดำเนินการจะเรียกว่า การแสดง ในโดเมนความถี่ของฟังก์ชันดั้งเดิม^{[หมายเหตุ 1 ]}การแปลงฟูริเยร์เปรียบได้กับการแยกเสียงของคอร์ด ดนตรี ออกเป็นความเข้ม ของ ระดับเสียงที่ เป็นส่วนประกอบ

ฟังก์ชันที่จำกัดอยู่ในโดเมนเวลาจะมีการแปลงฟูริเยร์ที่กระจายออกไปทั่วโดเมนความถี่ และในทางกลับกัน ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าหลักการความไม่แน่นอนกรณีสำคัญสำหรับหลักการนี้คือฟังก์ชันเกาส์เซียนซึ่งมีความสำคัญอย่างมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติรวมถึงในการศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพที่แสดงการกระจายแบบปกติ (เช่นการแพร่ ) การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนก็คือฟังก์ชันเกาส์เซียนอีกฟังก์ชันหนึ่งโจเซฟ ฟูริเยร์ได้แนะนำการแปลงไซน์และโคไซน์ (ซึ่งสอดคล้องกับส่วนจินตนาการและส่วนจริงของการแปลงฟูริเยร์สมัยใหม่) ในการศึกษาการถ่ายเทความร้อน ของเขา ซึ่งฟังก์ชันเกาส์เซียนปรากฏเป็นคำตอบของสมการ ความร้อน

การแปลงฟูริเยร์สามารถนิยามอย่างเป็นทางการได้ว่าเป็นปริพันธ์รีมันน์ที่ไม่เหมาะสม ทำให้มันเป็นการแปลงปริพันธ์ แม้ว่านิยามนี้จะไม่เหมาะสมสำหรับการใช้งานหลายอย่างที่ต้องการทฤษฎีปริพันธ์ที่ซับซ้อนกว่า^[^{หมายเหตุ 2}^]ตัวอย่างเช่น การใช้งานที่ค่อนข้างง่ายหลายอย่างใช้ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกซึ่งสามารถพิจารณาอย่างเป็นทางการได้ราวกับว่าเป็นฟังก์ชัน แต่การให้เหตุผลนั้นต้องการมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่า^[^{หมายเหตุ 3}^]

การแปลงฟูริเยร์ยังสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวในปริภูมิยูคลิดได้โดยแปลงฟังก์ชันของ "ปริภูมิตำแหน่ง" 3 มิติไปเป็นฟังก์ชันของ โมเมนตัม 3 มิติ (หรือฟังก์ชันของปริภูมิและเวลา ไปเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม 4 มิติ ) แนวคิดนี้ทำให้การแปลงฟูริเยร์เชิงพื้นที่มีความเหมาะสมอย่างยิ่งในการศึกษาคลื่น เช่นเดียวกับในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งมีความสำคัญที่จะสามารถแสดงคำตอบของคลื่นเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งหรือโมเมนตัม และบางครั้งก็ทั้งสองอย่าง โดยทั่วไป ฟังก์ชันที่วิธีการฟูริเยร์สามารถนำไปใช้ได้นั้นเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน และอาจเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ด้วย^{[หมายเหตุ 4 ]}การวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมยังสามารถทำได้กับฟังก์ชันบนกลุ่มซึ่งนอกเหนือจากการแปลงฟูริเยร์ดั้งเดิมบน $R$ หรือ $R n$ แล้ว ยังรวมถึงการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT, กลุ่ม = $Z$ ) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT, กลุ่ม = $Z mod N$ ) และอนุกรมฟูริเยร์หรือการแปลงฟูริเยร์แบบวงกลม (กลุ่ม = $S 1$ , วงกลมหน่วย ≈ ช่วงปิดที่มีจุดปลายที่ระบุ) ซึ่งอย่างหลังนี้มักใช้ในการจัดการกับฟังก์ชันคาบ การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว ( FFT ) เป็นอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ DFT

คำนิยาม

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่สามารถอินทิเกรตได้แบบเลเบสบนเส้นจำนวนจริง คือฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน⁠ ⁠ซึ่งกำหนดโดยอินทิกรัล^[¹^] $f(x)$ ${\widehat {f}}(\xi )$

การแปลงฟูริเยร์

${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .$

สมการที่ 1

เมื่ออิน ทิกรัล (เลเบส) สามารถหาได้บนเส้นจำนวนจริงทั้งหมด อินทิกรัลข้างต้นจะลู่เข้าสำหรับทุกค่าของและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ ของ ซึ่งลดลงเป็นศูนย์เมื่อ $f(x)$ $\xi \in \mathbb {R}$ ${\widehat {f}}(\xi )$ $\xi$ $\xi \to \infty$

อย่างไรก็ตาม การแปลงฟูริเยร์ยังสามารถกำหนดได้สำหรับฟังก์ชัน (ทั่วไป) ซึ่งอินทิกรัลเลเบสEq.1ไม่มีความหมาย^{[ 2 ]}การตีความอินทิกรัลอย่างเหมาะสม (เช่น เป็นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมสำหรับ ฟังก์ชัน ที่สามารถหาอินทิกรัลได้ในระดับท้องถิ่น ) จะขยายการแปลงฟูริเยร์ไปยังฟังก์ชันที่ไม่จำเป็นต้องหาอินทิกรัลได้ตลอดทั้งเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้ว การแปลงฟูริเยร์ยังใช้ได้กับฟังก์ชันทั่วไปเช่นเดลต้าของดิแรก (และ การกระจายแบบเทมเปอร์อื่นๆ ทั้งหมด) ซึ่งในกรณีนี้จะถูกกำหนดโดยความเป็นคู่มากกว่าอินทิกรัล^{[ 3 ]}

สูตรการผกผันที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติความสม่ำเสมอและการลดลงเพียงพอ ได้^รับการนำเสนอครั้งแรกในทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์ [ ⁴^]^[⁵^]^[⁶^]^[⁷^] โดย ทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์กล่าวคือ

การแปลงผกผัน

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

สมการที่ 2

ฟังก์ชันและถูกเรียกว่าคู่การแปลงฟูริเยร์ [ ⁸^]^สั ญกรณ์ทั่วไปสำหรับการกำหนดคู่การแปลงคือ: ^[⁹^] ตัวอย่างเช่น การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเดลต้าคือฟังก์ชันคงที่⁠ ⁠ : $f$ ${\วงกว้าง {f}}$ $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).$ $1$ $\delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.$

ความถี่เชิงมุม ( ω )

เมื่อตัวแปรอิสระ ( ⁠ ⁠ $x$ ) แทนเวลา (มักใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ $t$ ) ตัวแปรแปลง ( ⁠ ⁠ $\xi$ ) แทนความถี่ (มักใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠ $f$ ) ตัวอย่างเช่น ถ้าเวลามีหน่วยเป็นวินาทีความถี่จะมีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ตัวแปรแปลงยังสามารถเขียนในรูปของความถี่เชิงมุม ⁠ ⁠ $\omega =2\pi \xi$ โดยมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที ได้อีก ด้วย

การแทนค่าลงในสมการที่ 1ทำให้เกิดข้อตกลงนี้ โดยที่ฟังก์ชันจะถูกเปลี่ยนชื่อใหม่: แตก ต่างจาก นิยามในสมการ ที่ 1การแปลงฟูริเยร์จะไม่ใช่การแปลงแบบเอกภาพอีกต่อ ไป และมีความสมมาตรน้อยลงระหว่างสูตรสำหรับการแปลงและการแปลงผกผัน คุณสมบัติเหล่านั้นจะกลับคืนมาได้โดยการแบ่งตัวประกอบอย่างเท่าๆ กันระหว่างการแปลงและการแปลงผกผัน ซึ่งนำไปสู่ข้อตกลงอีกแบบหนึ่ง: สามารถสร้างรูปแบบต่างๆ ของข้อตกลงทั้งสามแบบได้โดยการสังยุค เคอร์เนลเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ของการแปลงไปข้างหน้าและการแปลงผกผัน เครื่องหมายต้องตรงข้ามกัน $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ ${\วงกว้าง {f}}$ ${\วงกว้าง {f}__{1}$ ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ $2\pi$ ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$

สรุปรูปแบบที่นิยมใช้ของการแปลงฟูริเยร์แบบหนึ่งมิติ
ความถี่ปกติ $ξ$ (เฮิร์ตซ์)	เอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{1}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}$
ความถี่เชิงมุม $ω$ (เรเดียน/วินาที)	เอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$
ความถี่เชิงมุม $ω$ (เรเดียน/วินาที)	ไม่เป็นเอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$

การสรุปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน $n มิติ$
ความถี่ปกติ $ξ$ (เฮิร์ตซ์)	เอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{1}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}$
ความถี่เชิงมุม $ω$ (เรเดียน/วินาที)	เอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$
ความถี่เชิงมุม $ω$ (เรเดียน/วินาที)	ไม่เป็นเอกภาพ	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$

ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้แบบเลเบส

ฟังก์ชันที่วัดได้ เรียกว่าอินทิกรัลเลเบส (Lebesgue) ถ้าอินทิกรัลเลเบสของค่าสัมบูรณ์มีค่าจำกัด: ถ้าอินทิกรัลเลเบสเป็นอินทิกรัลแล้ว การแปลงฟูริเยร์ที่กำหนดโดยสมการ 1จะถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุก⁠ ⁠ ^[¹⁰^]ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีขอบเขตต่อเนื่องสม่ำเสมอและ (ตามทฤษฎีบทของรีมันน์-เลเบส ) เป็นศูนย์ที่อนันต์ในที่นี้หมายถึงปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนที่เข้าใกล้ 0 เมื่อ x เข้าใกล้ค่าบวกหรือลบอนันต์ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ $\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .$ $f$ $\xi \in \mathbb {R}$ ${\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )$ $C_{0}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$

ปริภูมิดังกล่าวเป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งนอร์มมีค่าจำกัด โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์สมมูลของความเท่าเทียมกันเกือบทุกที่การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมินี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งอย่างไรก็ตาม ไม่มีการกำหนดลักษณะเฉพาะของภาพที่ง่าย และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีการกำหนดลักษณะเฉพาะของการแปลงผกผันที่ง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการที่ 2ไม่ถูกต้องอีกต่อไป เนื่องจากระบุไว้ภายใต้สมมติฐานที่ว่านั้น "ดีพอ" (เช่นลดลงตามอนุพันธ์ทั้งหมด ) $L^{1}(\mathbb {R} )$ $\|f\|_{1}$ $L^{1}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ $f(x)$

แม้ว่าสมการที่ 1จะนิยามการแปลงฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชัน (ค่าเชิงซ้อน) ใน⁠ ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )$ แต่ก็ไม่ได้นิยามไว้อย่างดีสำหรับคลาสความสามารถในการหาปริพันธ์อื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้⁠ ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันอยู่ในแต่ไม่ อยู่ใน และดังนั้นปริพันธ์เลเบสก์ สมการที่ 1จึงไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิย่อยหนาแน่นยอมรับการขยายต่อเนื่องที่ไม่ซ้ำกันไปยังตัวดำเนินการเอกภาพบน⁠ ⁠การขยายนี้มีความสำคัญส่วนหนึ่งเพราะ ต่างจากกรณีของ⁠ ⁠การแปลงฟูริเยร์เป็น ออโต มอ ร์ฟิซึมของปริภูมิ⁠ ⁠ $f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}$ $L^{2}$ $L^{1}$ $L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $L^{1}$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

ในกรณีดังกล่าว การแปลงฟูริเยร์สามารถหาได้โดยชัดเจนโดย การทำให้อินทิกรัล เป็นระเบียบแล้วจึงผ่านไปยังลิมิต ในทางปฏิบัติ อินทิกรัลมักถูกมองว่าเป็นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมแทนที่จะเป็นอินทิกรัลเลเบสที่เหมาะสม แต่บางครั้งเพื่อการลู่เข้า จำเป็นต้องใช้ลิมิตอ่อนหรือค่าหลักแทนที่จะใช้ลิมิต (แบบจุดต่อจุด) ที่แฝงอยู่ในอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมTitchmarsh (1986) และ Dym & McKean (1985)ต่างก็ให้วิธีการที่เข้มงวดสามวิธีในการขยายการแปลงฟูริเยร์ไปยังฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้โดยใช้ขั้นตอนดังกล่าว หลักการทั่วไปในการทำงานกับการแปลงฟูริเยร์คือ การรวมเชิงเส้นจำกัดของเกาส์เซียนมีความหนาแน่นในและคุณสมบัติต่างๆ ของการแปลงฟูริเยร์ เช่น ความเป็นเอกภาพ สามารถอนุมานได้ง่ายสำหรับเกาส์เซียน คุณสมบัติหลายอย่างของการแปลงฟูริเยร์สามารถพิสูจน์ได้จากข้อเท็จจริงสองประการเกี่ยวกับเกาส์เซียน: ^[¹¹^] $L^{2}$ $L^{1}\cap L^{2}$

นั่นคือการแปลงฟูริเยร์ของตัวมันเอง และ $e^{-\pi x^{2}}$
นั่นคือปริพันธ์เกาส์เซียน⁠ ⁠ $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1$ .

ลักษณะเด่นของการแปลงฟูริเยร์คือเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตบานาคจากที่ติดตั้งการดำเนินการคอนโวลูชันไปยังพีชคณิตบานาคของฟังก์ชันต่อเนื่องภายใต้บรรทัดฐาน (สูงสุด) ข้อตกลงที่เลือกในบทความนี้คือข้อตกลงของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกโดยที่การแปลงฟูริเยร์เป็นทั้งเอกภาพบนและเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตจากไปยังโดยไม่ต้องปรับค่าการวัดเลเบสใหม่^[¹²^] $L^{1}$ $L^{1}$ $L^{\infty }$ $L^{2}$ ${1}$ $L^{\infty }$

พื้นหลัง

ประวัติศาสตร์

ในปี พ.ศ. 2365 ฟูริเยร์ได้กล่าวอ้าง (ดูโจเซฟ ฟูริเยร์ § ทฤษฎีวิเคราะห์ของความร้อน ) ว่าฟังก์ชันใดๆ ไม่ว่าจะเป็นแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง ก็สามารถขยายออกเป็นอนุกรมของไซน์ได้^{[ 13 ]}งานสำคัญชิ้นนั้นได้รับการแก้ไขและขยายความโดยผู้อื่นเพื่อวางรากฐานสำหรับรูปแบบต่างๆ ของการแปลงฟูริเยร์ที่ใช้มาตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ไซนูซอยด์เชิงซ้อน

คลื่นไซน์สีแดงสามารถอธิบายได้ด้วยแอมพลิจูดสูงสุด (1) ระยะห่างระหว่างจุดสูงสุด (2) ค่าRMS (3) และความยาวคลื่น (4) คลื่นไซน์สีแดงและสีน้ำเงินมีเฟสต่างกัน

θ

โดยทั่วไป สัมประสิทธิ์จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งมีสองรูปแบบที่เทียบเท่ากัน (ดูสูตรของออยเลอร์ ): ${\widehat {f}}(\xi )$ ${\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$

ผลคูณกับ( สมการที่ 2 ) มีรูปแบบดังนี้: ซึ่งสื่อถึงทั้งแอมพลิจูดและเฟสของความถี่⁠ ⁠เช่นเดียวกัน การตีความตามสัญชาตญาณของสมการที่ 1คือ การคูณด้วยมีผลเป็นการลบออกจากส่วนประกอบความถี่ทุกส่วนของฟังก์ชัน⁠ ⁠ ^[^{หมายเหตุ 5}^]เฉพาะส่วนประกอบที่มีความถี่เท่านั้น ที่สามารถสร้างค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของอินทิกรัลอนันต์ ได้เพราะ (อย่างน้อยในทางรูปแบบ) ส่วนประกอบที่เลื่อนไปอื่นๆ ทั้งหมดเป็นแบบสั่นและอินทิเกรตเป็นศูนย์ (ดู§ ตัวอย่าง ) $e^{i2\pi \xi x}$ ${\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}$ $\xi$ $f(x)$ $e^{-i2\pi \xi x}$ $\xi$ $f(x)$ $\xi$

เป็นที่น่าสังเกตว่าผลิตภัณฑ์นั้นสามารถลดรูปได้อย่างง่ายดายโดยใช้รูปแบบเชิงขั้ว และรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นสามารถอนุมานได้อย่างง่ายดายโดยการประยุกต์ใช้สูตรของออยเลอร์

ความถี่เชิงลบ

สูตรของออยเลอร์นำเสนอความเป็นไปได้ของค่าลบ สมการที่ $\xi$ 1 ถูกกำหนดไว้แล้วเฉพาะ $\forall \xi \in \mathbb {R}$ ค่าเชิงซ้อนบางค่าเท่านั้นที่มีการแปลง(ดูสัญญาณเชิงวิเคราะห์ตัวอย่างง่ายๆ คือ) แต่ ความถี่ลบเป็นสิ่งจำเป็นในการกำหนดลักษณะ ของค่าเชิงซ้อนอื่นๆ ทั้งหมดซึ่งพบได้ในการประมวลผลสัญญาณสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเรดาร์ทัศนศาสตร์แบบไม่เชิงเส้นกลศาสตร์ควอนตัมและอื่นๆ $f(x)$ ${\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0$ $e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)$ $f(x)$

สำหรับค่าจริง⁠ ⁠ $f(x)$ สมการที่ 1มีคุณสมบัติสมมาตร (ดูหัวข้อ § การสังยุคด้านล่าง) ความซ้ำซ้อนนี้ทำให้สมการที่ 2 สามารถ แยกแยะ ⁠ ⁠ ออก จาก⁠ ⁠ได้ แต่ไม่สามารถระบุเครื่องหมายที่แท้จริงของ⁠ ⁠ได้ เนื่องจากและไม่สามารถแยกแยะได้บนเส้นจำนวนจริงเพียงอย่างเดียว ${\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )$ $f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)$ $e^{i2\pi \xi _{0}x}$ $\xi _{0}$ $\cos(2\pi \xi _{0}x)$ $\cos(2\pi (-\xi _{0})x)$

การแปลงฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันคาบ

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบไม่สามารถนิยามได้โดยตรงโดยใช้สูตรอินทิกรัล เพื่อให้อินทิกรัลในสมการที่ 1 สามารถ นิยามได้ ฟังก์ชันนั้นต้องเป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลสัมบูรณ์ได้แต่โดยทั่วไปมักใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์แทนเป็นไปได้ที่จะขยายคำนิยามให้ครอบคลุมฟังก์ชันคาบโดยมองว่าฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นฟังก์ชัน กระจายแบบปรับอุณหภูมิ

สิ่งนี้ทำให้สามารถมองเห็นความเชื่อมโยงระหว่างอนุกรมฟูริเยร์และการแปลงฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันคาบที่มีอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าได้ถ้าเป็นฟังก์ชันคาบ ที่ มีคาบ⁠ ⁠และมีอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าแล้ว: โดยที่เป็นสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ของ⁠ ⁠และเป็นฟังก์ชันเดลตาของดิแรกกล่าวอีกนัยหนึ่ง การแปลงฟูริเยร์คือฟังก์ชันหวีของดิแรก ที่ ฟัน ของมัน ถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ $f(x)$ $P$ ${\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),$ $c_{n}$ $f$ $\delta$

การสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้สามารถสุ่มตัวอย่างได้ที่ช่วงเวลาปกติที่มีความยาวตามอำเภอใจ⁠ ⁠ตัวอย่างเหล่านี้สามารถอนุมานได้จากหนึ่งรอบของฟังก์ชันคาบ⁠ ⁠ซึ่งมี สัมประสิทธิ์อนุกรม ฟูริเยร์เป็นสัดส่วนกับตัวอย่างเหล่านั้นโดยใช้สูตรการรวมปัวซง : $f$ $1/P$ $f_{P}$ $f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .$

ความสามารถในการหาปริพันธ์ทำให้มั่นใจได้ว่าผลรวมแบบคาบจะลู่เข้า ดังนั้น ตัวอย่างจึงสามารถกำหนดได้โดยการวิเคราะห์อนุกรมฟูริเยร์: $f$ ${\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})$ ${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.$

เมื่อฟังก์ชันมี ขอบเขตจำกัด จะมีจำนวนพจน์ที่จำกัดภายในช่วงของการอินทิเกรต เมื่อฟังก์ชันไม่มีขอบเขตจำกัด การประเมินค่าเชิงตัวเลขของฟังก์ชันจะต้องใช้การประมาณ เช่น การลดทอนหรือตัดทอนจำนวนพจน์ $f(x)$ $f_{P}(x)$ $f(x)$ $f_{P}(x)$ $f(x)$

หน่วย

ตัวแปรความถี่ต้องมีหน่วยผกผันกับหน่วยของโดเมนของฟังก์ชันดั้งเดิม (โดยทั่วไปเรียกว่าหรือ ) ตัวอย่างเช่น ถ้าวัดเป็นวินาทีควรมีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ถ้ามาตราส่วนของเวลาอยู่ในหน่วยวินาที โดยทั่วไปจะใช้ตัวอักษรกรีกอีกตัวแทนเพื่อแสดงความถี่เชิงมุม (โดยที่) ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที ถ้าใช้สำหรับหน่วยความยาวต้องมีหน่วยเป็นความยาวผกผัน เช่น เลข คลื่น กล่าวคือ มีเส้น จำนวนจริงสองเวอร์ชัน: เวอร์ชันหนึ่งคือ ช่วงของและวัดในหน่วยและอีกเวอร์ชันหนึ่งคือช่วงของและวัดในหน่วยผกผันกับหน่วยของเส้นจำนวนจริงสอง เวอร์ชันที่แตกต่างกันนี้ไม่สามารถเท่ากันได้ ดังนั้น การแปลงฟูริเยร์จึงเปลี่ยนจากปริภูมิของฟังก์ชันหนึ่งไปยังปริภูมิของฟังก์ชันที่แตกต่างกัน: ฟังก์ชันที่มีโดเมนการนิยาม ที่แตกต่างกัน $t$ $x$ $t$ $\xi$ $2\pi$ $\omega$ $\omega =2\pi \xi$ $x$ $\xi$ $t$ $t$ $\xi$ $t$

โดยทั่วไปแล้วจะต้องถือว่าเป็นรูปแบบเชิงเส้นบนปริภูมิของโดเมนของมัน ซึ่งหมายความว่าเส้นจำนวนจริงที่สองเป็นปริภูมิคู่ของเส้นจำนวนจริงแรก (ดูบทความพีชคณิตเชิงเส้น สำหรับคำอธิบายที่เป็นทางการมากขึ้นและรายละเอียดเพิ่มเติม) มุมมองนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการวางนัยทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์ไปยัง กลุ่มสมมาตรทั่วไปรวมถึงกรณีของอนุกรมฟูริเยร์ด้วย $\xi$

การที่ไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่ได้รับการยอมรับเป็นพิเศษ (หรือบางครั้งอาจกล่าวว่า "ไม่มีวิธีที่เป็นมาตรฐาน") ในการเปรียบเทียบเส้นจำนวนจริงสองเวอร์ชันที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์นั้น—การกำหนดหน่วยบนเส้นหนึ่งไม่ได้บังคับมาตราส่วนของหน่วยบนอีกเส้นหนึ่ง—เป็นเหตุผลที่ทำให้มีข้อกำหนดที่แตกต่างกันมากมายเกี่ยวกับการนิยามการแปลงฟูริเยร์ คำนิยามต่างๆ ที่ได้จากการเลือกหน่วยที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกันด้วยค่าคงที่ต่างๆ

ในธรรมเนียมอื่น ๆ การแปลงฟูริเยร์จะมี $i$ $อยู่$ ในเลขชี้กำลังแทนที่จะเป็น $-i$ และในทางกลับกันสำหรับสูตรการผกผัน ธรรมเนียมนี้เป็นเรื่องปกติในฟิสิกส์สมัยใหม่^{[ 14 ]}และเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับWolfram Alphaและไม่ได้หมายความว่าความถี่กลายเป็นลบ เนื่องจากไม่มีคำจำกัดความมาตรฐานของความเป็นบวกสำหรับความถี่ของคลื่นเชิงซ้อน มันหมายความเพียงว่า เป็นแอมพลิจู ดของคลื่น แทนที่จะเป็นคลื่น (แบบแรกที่มีเครื่องหมายลบ มักจะเห็นในการพึ่งพาเวลาสำหรับคำตอบคลื่นระนาบไซน์ของสมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าหรือในการพึ่งพาเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่นควอนตัม ) เอกลักษณ์หลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์ยังคงใช้ได้ในธรรมเนียมเหล่านั้น ตราบใดที่เทอมทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง กับ $i$ อย่างชัดเจน ถูกแทนที่ด้วย $-i$ $ใน$ วิศวกรรมไฟฟ้าตัวอักษร $j$ มักใช้สำหรับหน่วยจินตนาการแทน $i$ เนื่องจาก $i$ ใช้สำหรับกระแสไฟฟ้า ${\widehat {f}}(\xi )$ $e^{-i2\pi \xi x}$ $e^{i2\pi \xi x}$

เมื่อใช้หน่วยที่ไม่มีมิติค่าคงที่อาจไม่ได้เขียนไว้ในนิยามการแปลง ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ $Φ$ ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปร $f$ สุ่มชนิดต่อ $X$ เนื่องจะถูกกำหนดโดยไม่มีเครื่องหมายลบในเลขชี้กำลัง และเนื่องจากหน่วยของถูก ละเลย จึง $x$ ไม่มีเช่นกัน $2\pi$ : $\varphi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ การใช้การแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสเป็นที่นิยมมากกว่า เนื่องจากตัวแปรสุ่มจำนวนมากไม่ใช่ประเภทต่อเนื่องและไม่มีฟังก์ชันความหนาแน่น จึงต้องพิจารณาไม่ใช่ฟังก์ชัน แต่เป็นการกระจาย กล่าวคือ การวัดที่มี "อะตอม"

จากมุมมองที่สูงขึ้นของลักษณะเฉพาะของกลุ่มซึ่งมีความเป็นนามธรรมมากกว่า ตัวเลือกที่เป็นไปตามอำเภอใจเหล่านี้จะหายไปทั้งหมด ดังที่จะได้อธิบายในส่วนถัดไปของบทความนี้ ซึ่งกล่าวถึงแนวคิดของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันบนกลุ่มอาเบเลียนที่กะทัดรัดเฉพาะที่

คุณสมบัติ

ให้และแทนฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้และวัดได้แบบเลเบสบนเส้นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: เราใช้สัญลักษณ์ และ แทนการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านี้ตามลำดับ $f(x)$ $h(x)$ $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .$ ${\widehat {f}}(\xi )$ ${\widehat {h}}(\xi )$

คุณสมบัติพื้นฐาน

การแปลงฟูริเยร์มีคุณสมบัติพื้นฐานดังต่อไปนี้: ^{[ 15 ]}

ความเป็นเส้นตรง

$a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C}$

การเลื่อนเวลา

$f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R}$

การเปลี่ยนความถี่

$e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R}$

การปรับขนาดเวลา

$f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0$ กรณีนี้ส่งผลให้เกิดคุณสมบัติการย้อนเวลา : $a=-1$ $f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )$

\scriptstyle f(t)

\scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )

\scriptstyle g(t)

\scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

การแปลงของฟังก์ชันค่าจริงที่มีสมมาตรคู่⁠ ⁠

f(t)=f_{_{\text{RE}}}

ก็เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่มีสมมาตรคู่เช่นกัน ( ⁠ ⁠

{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}

) การเลื่อนเวลา⁠ ⁠

g(t)=g_{_{\text{RE}}}+g_{_{\text{RO}}}

ทำให้เกิดส่วนจินตภาพ⁠ ⁠

i\ {\widehat {g\ \!}}_{_{\text{IO}}}

(ดู§ สมมาตร )

สมมาตร

เมื่อส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกแยกออกเป็นส่วนคู่และส่วนคี่จะมีส่วนประกอบสี่ส่วน ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างด้วยตัวห้อย RE, RO, IE และ IO และมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนประกอบทั้งสี่ของฟังก์ชันเวลาเชิงซ้อนและส่วนประกอบทั้งสี่ของการแปลงความถี่เชิงซ้อน: ^{[ 16 ]}

{\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}} &+&i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}\end{array}}

จากสิ่งนี้ ความสัมพันธ์ต่างๆ ปรากฏให้เห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างเช่น:

การแปลงของฟังก์ชันค่าจริง ( ⁠ ⁠ $f_{_{\text{RE}}}+f_{_{\text{RO}}}$ ) คือฟังก์ชันสมมาตรสังยุค ⁠ ⁠ ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$ ในทางกลับกัน การแปลง สมมาตรสังยุคหมายถึงโดเมนเวลาค่าจริง
การแปลงของฟังก์ชันค่าจินตนาการ ( ) คือ $i\ f_{_{\text{IE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}}$ ฟังก์ชันแอนติสมมาตรสังยุคและข้อความ ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}$ กลับก็เป็นจริงเช่นกัน
การแปลงของฟังก์ชันสมมาตรสังยุค คือฟังก์ชัน ค่าจริงและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน $(f_{_{\text{RE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})$ ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}$
การแปลงของฟังก์ชันแอนติสมมาตรคู่ควบคือฟังก์ชันค่าจินตนาการและในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน $(f_{_{\text{RO}}}+i\ f_{_{\text{IE}}})$ $i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$

การผันคำกริยา

${\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}$ (หมายเหตุ: เครื่องหมาย⁠ ⁠ $*$ แสดงถึงการผันเชิงซ้อน )

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นจำนวนจริงแล้วจะเป็นฟังก์ชันสมมาตรสังยุค ( หรือเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเฮอร์มิเชียน ): $f$ ${\widehat {f}}$ ${\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.$

ถ้าเป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ แล้วจะเป็นจำนวนสมมาตรคี่ : $f$ ${\widehat {f}}$ ${\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.$

ส่วนจริงและส่วนจินตนาการ

$\operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$ $\operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$

ส่วนประกอบความถี่ศูนย์

เมื่อแทนค่าลงในนิยาม เราจะได้: $\xi =0$ ${\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.$

อินทิกรัลของฟังก์ชันตลอดช่วงโดเมน คือ มวลรวมหรือค่าไบแอสกระแสตรงของฟังก์ชันนั้น $f$

ความต่อเนื่องสม่ำเสมอและทฤษฎีบทของรีมันน์-เลเบส

การแปลงฟูริเยร์อาจนิยามได้ในบางกรณีสำหรับฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ แต่การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้นมีคุณสมบัติที่โดดเด่นหลายประการ

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้นั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอและ^[¹⁷^]^[¹⁸^] ${\widehat {f}}$ $f$ $\left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}$

โดย ทฤษฎีบท Riemann ^– Lebesgue [ ^{19 ]} ${\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .$

อย่างไรก็ตามฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องหาปริพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งหาปริพันธ์ได้ คือฟังก์ชัน sinc ซึ่ง หาปริพันธ์ไม่ได้ ตามวิธีเลเบส เนื่องจากปริพันธ์ไม่เหมาะสม ของฟังก์ชันนี้ มีพฤติกรรมคล้ายกับอนุกรมฮาร์มอนิกสลับ โดยลู่เข้าสู่ผลรวมโดยไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ${\widehat {f}}$

โดยทั่วไปแล้ว การเขียน การแปลงผกผันในรูปอินทิกรัลของเลเบสเป็นไปไม่ได้อย่างไรก็ตาม เมื่อทั้งและสามารถหาอินทิกรัลได้ ความเท่าเทียมกันแบบผกผัน จะเป็นจริงสำหรับ $x$ เกือบทุก ค่า ส่งผลให้การแปลงฟูริเยร์เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งบน $L$ $1$ $($ $R$ $)$ $f$ ${\widehat {f}}$ $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi$

ทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลและทฤษฎีบทของปาร์เซวัล

ให้⁠ ⁠ $f(x)$ และ⁠ ⁠ $g(x)$ เป็นอินทิกรัล และให้⁠ ⁠ ${\widehat {f}}$ และ⁠ ⁠ ${\widehat {g}}$ เป็นการแปลงฟูริเยร์ของพวกมัน ถ้า⁠ ⁠ $f(x)$ และ⁠ ⁠ $g(x)$ เป็นอินทิกรัลกำลังสอง ด้วย สูตรของ Parseval จะตามมาดังนี้: ^{[ 20 ]} โดยที่เครื่องหมายขีดหมายถึงการ สังยุคเชิงซ้อน $\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$

ทฤษฎีบทPlancherelซึ่งเป็นผลมาจากข้างต้น ระบุว่า^{[ 21 ]} $\|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$

ทฤษฎีบทของ Plancherel ทำให้สามารถขยายการแปลงฟูริเยร์ได้โดยใช้การอ้างอิงความต่อเนื่อง ไปสู่ตัวดำเนินการเอกภาพบน⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠บน⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠การขยายนี้สอดคล้องกับการแปลงฟูริเยร์ดั้งเดิมที่กำหนดบน⁠ ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )$ ดังนั้นจึงขยายโดเมนของการแปลงฟูริเยร์เป็น⁠ ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )$ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็น⁠ ⁠ $L^{p}(\mathbb {R} )$ สำหรับ⁠ ⁠ $1\leq p\leq 2$ ) ทฤษฎีบทของ Plancherel มีการตีความในทางวิทยาศาสตร์ว่าการแปลงฟูริเยร์รักษาพลังงานของปริมาณดั้งเดิมไว้ คำศัพท์ของสูตรเหล่านี้ยังไม่เป็นมาตรฐานอย่างสมบูรณ์ทฤษฎีบทของ Parsevalได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับอนุกรมฟูริเยร์เท่านั้น และได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย Lyapunov แต่สูตรของ Parseval ก็ใช้ได้ผลกับการแปลงฟูริเยร์เช่นกัน ดังนั้นถึงแม้ว่าในบริบทของการแปลงฟูริเยร์นั้น สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Plancherel แต่ก็ยังคงถูกเรียกกันบ่อยครั้งว่า สูตรของ Parseval หรือ ความสัมพันธ์ของ Parseval หรือแม้แต่ทฤษฎีบทของ Parseval

โปรดดูทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรีอาจิน (Pontryagin duality)สำหรับสูตรทั่วไปของแนวคิดนี้ในบริบทของกลุ่มอาเบเลียนที่มีความกะทัดรัดเฉพาะที่ (locally compact abelian groups)

ทฤษฎีบทการสังเคราะห์

การแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงระหว่างการสังเคราะห์และการคูณของฟังก์ชัน ถ้า⁠ ⁠ $f(x)$ และ⁠ ⁠ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ โดยมีการแปลงฟูริเยร์เป็น⁠ ⁠ ${\widehat {f}}$ และ⁠ ⁠ ${\widehat {g}}(\xi )$ ตามลำดับ การแปลงฟูริเยร์ของการสังเคราะห์จะเท่ากับผลคูณของการแปลงฟูริเยร์⁠ ⁠ ${\widehat {f}}$ และ⁠ ⁠ ${\widehat {g}}$ (ภายใต้ข้อกำหนดอื่นๆ สำหรับนิยามของการแปลงฟูริเยร์ อาจมีค่าคงที่ปรากฏอยู่ด้วย)

นั่นหมายความว่า ถ้า: โดยที่ $*$ แทนการดำเนินการคอนโวลูชัน แล้ว: $h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$ ${\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).$

ในทฤษฎีระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI)เป็นเรื่องปกติที่จะตีความ⁠ ⁠ $g(x)$ ว่าเป็นการตอบสนองต่ออิมพัลส์ของระบบ LTI ที่มีอินพุต⁠ ⁠ $f(x)$ และเอาต์พุต⁠ ⁠ $h(x)$ เนื่องจากเมื่อแทนที่อิมพัลส์หน่วยด้วย⁠ ⁠ $f(x)$ จะได้⁠ ⁠ $h(x)=g(x)$ ในกรณีนี้⁠ ⁠ ${\widehat {g}}(\xi )$ แทนการตอบสนองความถี่ของระบบ

ในทางกลับกัน ถ้า⁠ ⁠ $f(x)$ สามารถแยกออกเป็นผลคูณของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้⁠ ⁠ $p(x)$ และ⁠ ⁠ $q(x)$ แล้ว การแปลงฟูริเยร์ของ⁠ ⁠ $f(x)$ จะได้จากการสังเคราะห์ของการแปลงฟูริเยร์⁠ ⁠ ${\widehat {p}}(\xi )$ และ⁠ ⁠ ${\widehat {q}}(\xi )$ ตาม ลำดับ

ทฤษฎีบทความสัมพันธ์ไขว้

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่า ถ้า⁠ ⁠ $h(x)$ คือค่าสหสัมพันธ์ไขว้ของ⁠ ⁠ $f(x)$ และ⁠ ⁠ $g(x)$ : แล้วการแปลงฟูริเยร์ของ⁠ ⁠คือ: $h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$ $h(x)$ ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).$

ในกรณีพิเศษ ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของฟังก์ชัน⁠ ⁠ $f(x)$ คือ: ซึ่ง $h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$ ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.$

ความแตกต่าง

สมมติว่า $f (x)$ สามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่และทั้งf( x) $f$ และอนุพันธ์ของ f( x ) $f'$ สามารถหาปริพันธ์ได้ (ในx ) แล้วการแปลงฟูริเยร์ของอนุพันธ์ $L^{1}(\mathbb {R} )$ f (x )จะกำหนดโดย โดยทั่วไปแล้ว การแปลงฟูริเยร์ของอนุพันธ์อันดับที่⁠⁠จะกำหนดโดย ${\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).$ $n$ $f^{(n)}$ ${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).$

ในทำนองเดียวกัน ${\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)$ ดังนั้น ${\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )$

โดยการใช้การแปลงฟูริเยร์และสูตรเหล่านี้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญบางสมการสามารถแปลงเป็นสมการพีชคณิตได้ ซึ่งง่ายต่อการแก้มากกว่ามาก สูตรเหล่านี้ยังก่อให้เกิดกฎทั่วไปที่ว่า " จะเรียบ $f(x)$ ก็ ต่อเมื่อลดลง ${\widehat {f}}(\xi )$ อย่างรวดเร็วไปยังสำหรับ" โดย $0$ ใช้ $\vert \xi \vert \to \infty$ กฎที่คล้ายคลึงกันสำหรับการแปลงฟูริเยร์ผกผัน เราสามารถกล่าวได้ว่า " ลดลงอย่าง $f(x)$ รวดเร็ว $0$ ไปยังสำหรับก็ต่อเมื่อเรียบ $\vert x\vert \to \infty$ " ${\widehat {f}}(\xi )$

ฟังก์ชันเฉพาะ

การแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงเชิงเส้นที่มีฟังก์ชันเฉพาะที่สอดคล้องกับ ⁠ ⁠ ${\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi$ โดยมี⁠ ⁠ $\lambda \in \mathbb {C}$

ชุดของฟังก์ชันเฉพาะจะถูกค้นพบโดยการสังเกตว่าสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์ นำไปสู่ฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์ตราบใดที่รูปแบบของสมการยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงฟูริเยร์^[^{หมายเหตุ 6}^]กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกคำตอบและการแปลงฟูริเยร์ของมันเป็นไปตามสมการเดียวกัน สมมติว่าคำตอบมีเอกลักษณ์ดังนั้นทุกคำตอบจะต้องเป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์ รูปแบบของสมการยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงฟูริเยร์ หากสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้ โดยที่สำหรับทุกพจน์จะมีปัจจัยเดียวกันของ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠เกิดขึ้นจากปัจจัยที่นำมาใช้โดย กฎ การหาอนุพันธ์เมื่อทำการแปลงฟูริเยร์สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์ เนื่องจากปัจจัยนี้สามารถตัดทิ้งได้ วิธีที่ง่ายที่สุดที่อนุญาตจะนำไปสู่ การแจกแจง ปกติมาตรฐาน^[²²^] $\left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0$ $\psi (x)$ ${\mathcal {F}}$ $\psi (x)$ ${\widehat {\psi }}(\xi )$ $\psi (x)$ $U(x)$ $\pm 1$ $\pm i$ $i^{n}$ $U(x)=x$

โดยทั่วไปแล้ว ชุดของฟังก์ชันเฉพาะยังพบได้จากการสังเกตว่า กฎ การหาอนุพันธ์บ่งชี้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ที่มีค่าคงที่และเป็นฟังก์ชันคู่ที่ไม่คงที่ยังคงมีรูปแบบคงที่เมื่อใช้การแปลงฟูริเยร์กับทั้งสองข้างของสมการ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ ซึ่งเทียบเท่ากับ การพิจารณาสมการชโรดิงเกอร์สำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ [ ²³^]^คำตอบที่สอดคล้องกันให้ทางเลือกที่สำคัญของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ $L$ $2$ $($ $R$ $)$ และกำหนดโดยฟังก์ชันเฮอร์ไมต์ ของ "นักฟิสิกส์" หรืออาจใช้ โดยที่เป็นพหุนามเฮอร์ไมต์ของ "นักความน่าจะเป็น" ซึ่งกำหนดเป็น $\left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)$ $C$ $W(x)$ ${\mathcal {F}}$ $W(x)=x^{2}$ $\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),$ $\mathrm {He} _{n}(x)$ $\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

ภายใต้ข้อตกลงนี้สำหรับการแปลงฟูริเยร์ เราจะได้ว่า ${\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน Hermite ก่อให้เกิดระบบฟังก์ชัน เฉพาะแบบตั้งฉาก สมบูรณ์ สำหรับการแปลงฟูริเยร์บน⁠ ⁠ ^[¹⁵^]^[²⁴^]อย่างไรก็ตาม การเลือกฟังก์ชันเฉพาะนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากมีค่าเฉพาะ ที่แตกต่างกันเพียงสี่ค่าของการ แปลงฟูริเยร์ (รากที่สี่ของเอกภาพ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ ) และการรวมเชิงเส้นใดๆ ของฟังก์ชันเฉพาะที่มีค่าเฉพาะเดียวกันจะให้ฟังก์ชันเฉพาะอีกฟังก์ชันหนึ่ง^[²⁵^]ผลที่ตามมาคือ เป็นไปได้ที่จะแยก $L$ $2$ $($ $R$ $)$ ออก เป็นผลรวมโดยตรงของสี่พื้นที่ $H$ $0$ , $H$ $1$ , $H$ $2$ และ $H$ $3$ โดยที่การแปลงฟูริเยร์กระทำบน $H$ $k$ โดยการคูณด้วย $i$ $k$ เท่านั้น $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id}$ $\pm 1$ $\pm i$

เนื่องจากชุดฟังก์ชัน Hermite $ψ n$ ที่สมบูรณ์ ให้การแก้ปัญหาเอกลักษณ์ จึงทำให้ตัวดำเนินการฟูริเยร์เป็นแนวทแยง กล่าวคือ การแปลงฟูริเยร์สามารถแสดงได้ด้วยผลรวมของพจน์ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยค่าลักษณะเฉพาะข้างต้น และผลรวมเหล่านี้สามารถบวกกันได้อย่างชัดเจน: ${\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.$

แนวทางนี้ในการกำหนดการแปลงฟูริเยร์ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยNorbert Wiener [ ^{26 ] ใน}บรรดาคุณสมบัติอื่นๆ ฟังก์ชัน Hermite ลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์โพเนนเชียลทั้งในโดเมนความถี่และเวลา ดังนั้นจึงใช้ในการกำหนดการขยายทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์ นั่นคือการแปลงฟูริเยร์เศษส่วนที่ใช้ในการวิเคราะห์เวลา-ความถี่^{[ 27 ]}ในฟิสิกส์การแปลงนี้ได้รับการแนะนำโดยEdward Condon [ ^{28 ] การ}เปลี่ยนฐานนี้เป็นไปได้เพราะการแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงเอกภาพเมื่อใช้ข้อกำหนด ที่ถูกต้อง ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม อาจคาดได้ว่าจะได้ผลลัพธ์จากตัวสร้างแบบสมมาตรผ่าน^[²⁹^] $N$ ${\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .$

ตัวดำเนินการคือตัวดำเนินการจำนวนของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมที่เขียนเป็น^[³⁰^]^[³¹^] $N$ $N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.$

สามารถตีความได้ว่าเป็นตัวสร้าง การแปลง ฟูริเยร์เศษส่วนสำหรับค่า $t$ ใดๆ และการแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องแบบดั้งเดิมสำหรับค่า t ที่เฉพาะเจาะจงโดยที่เคอร์เนลของ Mehler ทำหน้าที่ แปลงแบบแอคทีฟที่สอดคล้องกันฟังก์ชันเฉพาะของคือฟังก์ชันHermiteซึ่งจึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะของ ด้วยเช่นกัน ${\mathcal {F}}$ $t=\pi /2$ $N$ $\psi _{n}(x)$ ${\mathcal {F}}$

เมื่อขยายการแปลงฟูริเยร์ไปสู่การแจกแจงแล้วหวีดิแรกก็จะเป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์ด้วยเช่นกัน

การผกผันและความเป็นคาบ

ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมสำหรับฟังก์ชัน⁠ ⁠ $f$ ฟังก์ชัน นั้นสามารถกู้คืนได้จากการแปลงฟูริเยร์⁠ ⁠ ${\widehat {f}}$ อันที่จริง หากกำหนดให้ตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์เป็น⁠ ⁠ ${\mathcal {F}}$ ดังนั้น⁠ ⁠ ${\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}$ แล้วสำหรับฟังก์ชันที่เหมาะสม การใช้การแปลงฟูริเยร์สองครั้งจะพลิกฟังก์ชัน: ⁠ ⁠ $\left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)$ ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นการ "ย้อนเวลา" เนื่องจากย้อนเวลาเป็นคาบสอง การใช้สิ่งนี้สองครั้งจะได้⁠ ⁠ ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$ ดังนั้นตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์จึงเป็นคาบสี่ และในทำนองเดียวกัน การแปลงฟูริเยร์ผกผันสามารถหาได้โดยการใช้การแปลงฟูริเยร์สามครั้ง: ⁠ ⁠ ${\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงฟูริเยร์สามารถผกผันได้ (ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม)

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น การกำหนดตัวดำเนินการความเท่าเทียมกัน โดยที่⁠ ⁠เราจะได้ว่า: ความเท่าเทียมกันของตัวดำเนินการเหล่านี้จำเป็นต้องมีการกำหนดพื้นที่ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอย่างระมัดระวัง การกำหนดความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน (ความเท่าเทียมกันทุกจุด? ความเท่าเทียมกันเกือบทุกที่ ?) และการกำหนดความเท่าเทียมกันของตัวดำเนินการ – นั่นคือ การกำหนดโทโพโลยีบนพื้นที่ฟังก์ชันและพื้นที่ตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้อง สิ่งเหล่านี้ไม่เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน แต่เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขต่างๆ ซึ่งเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ในรูป แบบต่างๆ ${\mathcal {P}}$ $({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)$ ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}$

ความเป็นคาบสี่เท่าของการแปลงฟูริเยร์นี้คล้ายกับการหมุนระนาบ 90° โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากการวนซ้ำสองเท่าทำให้เกิดการกลับทิศทาง และในความเป็นจริงแล้ว การเปรียบเทียบนี้สามารถทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้ ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์สามารถตีความได้ง่ายๆ ว่าเป็นการสลับโดเมนเวลาและโดเมนความถี่ โดยการแปลงฟูริเยร์ผกผันจะสลับกลับกัน แต่ในเชิงเรขาคณิตแล้ว สามารถตีความได้ว่าเป็นการหมุน 90° ในโดเมนเวลา-ความถี่ (โดยพิจารณาเวลาเป็นแกน x และ $x$ ความถี่เป็นแกน y ) $y$ และการแปลงฟูริเยร์สามารถขยายไปสู่การแปลงฟูริเยร์เศษส่วนซึ่งเกี่ยวข้องกับการหมุนด้วยมุมอื่นๆ สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่การแปลงเชิงเส้นแบบแคนอนิกได้ซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นการกระทำของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษ $SL 2 (R)$ บนระนาบเวลา-ความถี่ โดยรูปแบบซิมเพล็กติกที่รักษาไว้จะสอดคล้องกับหลักการความไม่แน่นอน ดังที่กล่าวไว้ ด้านล่าง วิธีการนี้ได้รับการศึกษาเป็นพิเศษในด้านการประมวลสัญญาณภายใต้การ วิเคราะห์เวลา-ความถี่

ความเชื่อมโยงกับกลุ่มไฮเซนเบิร์ก

กลุ่มไฮเซนเบิร์กเป็นกลุ่มตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ต $L 2 (R)$ ของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน $f$ ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ บนเส้นจำนวนจริง ซึ่งสร้างขึ้นโดยการเลื่อน $(T y f)(x) = f (x + y)$ และการคูณด้วย $e i 2π ξx$ , $(M ξ f)(x) = e i 2π ξx f (x)$ ตัวดำเนินการเหล่านี้ไม่สลับที่กัน เนื่องจากตัวสลับ (กลุ่ม) ของพวกมันคือ การคูณด้วยค่าคงที่ (ไม่ขึ้นกับ $x$ ) $e$ $i$ $2π$ $ξy$ $\in$ $U$ $(1)$ ( กลุ่มวงกลม ของจำนวนเชิงซ้อนโมดูลัสหนึ่ง) ในฐานะกลุ่มนามธรรม กลุ่มไฮเซนเบิร์กคือ กลุ่มลีสามมิติของสามสิ่ง $($ $x$ $,$ $ξ$ $,$ $z$ $) \in$ $R$ $2$ $\times$ $U$ $(1)$ โดยมีกฎของกลุ่ม $\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x),$ $\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).$

$ให้ H 1$ แทนกลุ่มไฮเซนเบิร์กขั้นตอนข้างต้นไม่เพียงแต่จะอธิบายโครงสร้างของกลุ่มเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแสดงแทนแบบเอกภาพ มาตรฐาน ของ $H 1$ บนปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์ $ρ : H 1 \to B (L 2 (R))$ แทนด้วย กำหนดออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นของ $R 2$ โดย ที่ $J$ $2$ $= -$ $I$ $J$ นี้สามารถขยายไปเป็นออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันของ $H$ $1$ ได้ดังนี้ : $J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$ $j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).$

ตามทฤษฎีบทสโตน-ฟอน นอยมันน์ การแสดงผลแบบเอกภาพ $ρ$ และ $ρ \circ j$ นั้นสมมูลกันแบบเอกภาพ ดังนั้นจึงมีตัวเชื่อมประสาน $W \in U (L 2 (R))$ ที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียว ซึ่ง ตัวดำเนินการ $W$ นี้คือการแปลงฟูริเยร์ $\rho \circ j=W\rho W^{*}.$

คุณสมบัติมาตรฐานหลายอย่างของการแปลงฟูริเยร์เป็นผลโดยตรงจากกรอบงานทั่วไปนี้^{[ 32 ]}ตัวอย่างเช่น กำลังสองของการแปลงฟูริเยร์ $W 2$ เป็นตัวเชื่อมที่เกี่ยวข้องกับ $J 2 = - I$ ดังนั้นเราจึงมี $(W 2 f)(x) = f (- x)$ ซึ่ง เป็นการสะท้อนของฟังก์ชันดั้งเดิม $f$

โดเมนที่ซับซ้อน

อินทิกรัลสำหรับการแปลงฟูริเยร์ สามารถศึกษาได้สำหรับ ค่า เชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ $ξ$ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของ $f$ ซึ่งอาจจะไม่ลู่เข้าจากแกนจริงเลย หรืออาจจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนสำหรับค่าทั้งหมดของ $ξ$ $=$ $σ$ $+$ $iτ$ หรือบางอย่างระหว่างนั้น^[³³^] ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2i\pi t\xi }f(t)\,dt$

ทฤษฎีบทPaley–Wienerกล่าวว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเรียบ (กล่าวคือ สามารถหาอนุพันธ์ได้ $n$ ครั้งสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด ) และมีขอบเขตจำกัดก็ต่อเมื่อ $f̂ (σ + iτ)$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกซึ่งมีค่าคงที่ $a > 0$ อยู่ เช่นนั้นสำหรับจำนวนเต็ม $n \geq 0$ ใดๆ สำหรับ ค่าคงที่ $C_n$ บางค่า(ในกรณีนี้ $f$ จะมีขอบเขตบน $[-$ $a$ $,$ $a$ $]$ ) สิ่งนี้สามารถแสดงได้โดยกล่าวว่า $f̂$ เป็นฟังก์ชันเอนไทร์ที่ลดลงอย่างรวดเร็วใน $σ$ (สำหรับ $τ$ ที่คงที่ ) และมีการเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลใน $τ$ (สม่ำเสมอใน $σ$ ) ^[³⁴^] $\left\vert \xi ^{n}{\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq C_{n}e^{2\pi a\vert \tau \vert }$

(ถ้า $f$ ไม่เรียบ แต่เป็นเพียง $L 2$ เท่านั้น เวอร์ชันที่สอดคล้องกันจะคงอยู่โดยที่เงื่อนไขการลดลงอย่างรวดเร็วถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไข $L 2 ที่เหมาะสม$ ^{[ 35 ]} ) พื้นที่ของฟังก์ชันดังกล่าวของตัวแปรเชิงซ้อนเรียกว่าพื้นที่ Paley–Wiener ทฤษฎีบทนี้ได้รับการขยายไปสู่กลุ่มLie กึ่งง่าย ^{[ 36 ]}

ถ้า $f$ รองรับบนครึ่งเส้น $t \geq 0$ แล้ว $f$ จะถูกเรียกว่า "เป็นเหตุเป็นผล" เพราะฟังก์ชันการตอบสนองแบบอิมพัล ส์ ของตัวกรอง ที่สามารถสร้างขึ้นได้จริงทางกายภาพ จะต้องมีคุณสมบัตินี้ เนื่องจากไม่มีผลใดสามารถเกิดขึ้นก่อนสาเหตุได้Paleyและ Wiener แสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานความสามารถในการบูรณาการที่เหมาะสม $f̂$ จะขยายไปเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนครึ่งระนาบล่างเชิงซ้อน $τ < 0$ ที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อ $τ$ เข้าสู่−∞ $[$ ^{37 ] บท}กลับแบบง่ายในรูปแบบนี้เป็นเท็จ บทกลับที่แม่นยำต้องใช้สมมติฐานการเติบโตเพิ่มเติมหรือสมมติฐานพื้นที่ Hardy ^{[ 38 ]}

การแปลงลาปลาส

การแปลงฟูริเยร์ $f̂ (ξ)$ เกี่ยวข้องกับการแปลงลาปลา $ส F (s)$ ซึ่งใช้ในการแก้สม การ เชิง อนุพันธ์และการวิเคราะห์ตัวกรอง ด้วยเช่นกัน

อาจเกิดขึ้นได้ว่า ฟังก์ชัน $f$ ซึ่งปริพันธ์ฟูริเยร์ไม่ลู่เข้าสู่แกนจริงเลยนั้น ยังคงมีการแปลงฟูริเยร์เชิงซ้อนที่กำหนดไว้ในบางบริเวณของระนาบ เชิงซ้อน

ตัวอย่างเช่น ถ้า $f$ เป็นเหตุเป็นผลและมีการ เติบโต แบบเลขชี้กำลัง กล่าวคือ สำหรับค่าคงที่ $C$ $บางค่า a$ $\geq$ $0$ แล้ว^[³⁹^] ลู่เข้าสำหรับ $2π$ $τ$ $< -$ $a$ ทั้งหมด จะเป็นการแปลงลาปลาสด้านเดียวของ $f$ $f(t)=0\quad (t<0),\qquad \vert f(t)\vert <Ce^{at}\quad (t\geq 0)$ ${\widehat {f}}(i\tau )=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$

รูปแบบการแปลงลาปลาสแบบด้านเดียวทั่วไปคือ $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงสาเหตุและอินทิกรัลลู่เข้าดังนั้นการ ${\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau )$ ขยายการแปลงฟูริเยร์ไปยังโดเมนเชิงซ้อนหมายความว่ามันรวมการแปลงลาปลาสเป็นกรณีพิเศษในกรณีของฟังก์ชันเชิงสาเหตุ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรเป็น $s = i 2π ξ$

จากมุมมองอีกมุมหนึ่ง ซึ่งอาจเป็นมุมมองแบบคลาสสิกมากกว่า การแปลงลาปลาสโดยรูปแบบของมันเกี่ยวข้องกับพจน์ควบคุมเลขชี้กำลังเพิ่มเติมที่ช่วยให้มันลู่เข้าได้นอกเส้นจินตนาการซึ่งเป็นที่ที่การแปลงฟูริเยร์ถูกกำหนดไว้ ด้วยเหตุนี้ มันจึงสามารถลู่เข้าได้สำหรับฟังก์ชันและปริพันธ์ที่มีการเติบโตแบบเลขชี้กำลังสูงสุดในทิศทางที่ควบคุม ในขณะที่การแยกส่วนฟูริเยร์แบบดั้งเดิมไม่สามารถทำได้ ทำให้สามารถวิเคราะห์ระบบที่มีองค์ประกอบที่ลู่เข้าหรือวิกฤตได้ ตัวอย่างเฉพาะสองตัวอย่างจากการประมวลผลสัญญาณเชิงเส้นคือการสร้างเครือข่ายตัวกรองแบบผ่านทั้งหมดจากหวีวิกฤตและตัวกรองลดทอนผ่านการยกเลิกขั้วและศูนย์ที่แม่นยำบนวงกลมหน่วย การออกแบบดังกล่าวเป็นเรื่องปกติในการประมวลผลเสียง ซึ่งต้องการ การตอบสนองเฟส ที่ไม่เป็นเชิงเส้นสูง เช่น ในเสียงสะท้อน

นอกจากนี้ เมื่อต้องการการตอบสนองแบบพัลส์ที่ยาวขึ้นสำหรับการประมวลผลสัญญาณ วิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างการตอบสนองเหล่านั้นคือการมีวงจรหนึ่งที่สร้างการตอบสนองเวลาที่เบี่ยงเบนออกไป จากนั้นจึงยกเลิกความเบี่ยงเบนนั้นผ่านการตอบสนองที่ตรงกันข้ามและชดเชยกันที่ล่าช้า ในกรณีนี้ มีเพียงวงจรหน่วงเวลาตรงกลางเท่านั้นที่ยอมรับคำอธิบายฟูริเยร์แบบคลาสสิก ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่ง วงจรทั้งสองด้านข้างไม่เสถียรและไม่สามารถแยกส่วนฟูริเยร์แบบลู่เข้าได้ อย่างไรก็ตาม วงจรเหล่านั้นยอมรับคำอธิบายในโดเมนลาปลาส โดยมีระนาบครึ่งหนึ่งที่เข้ากันได้ของการลู่เข้าในระนาบเชิงซ้อน (หรือในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง ระนาบ Z) ซึ่งผลกระทบของวงจรเหล่านั้นจะหักล้างกัน

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การแปลงลาปลาสโดยทั่วไปจัดอยู่ในกลุ่มวิธีการฟูริเยร์ แต่ทั้งสองอย่างนี้ก็อยู่ภายใต้แนวคิดที่ทั่วไปและนามธรรมกว่ามาก นั่นคือการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก

การผกผัน

ยังคงอยู่กับ⁠ ⁠ $\xi =\sigma +i\tau$ หากเป็นการวิเคราะห์เชิงซ้อนสำหรับ $a$ $\leq$ $τ$ $\leq$ $b$ และมีการลดลงเพียงพอในแถบแนวนอน จากนั้น โดยทฤษฎีบทปริพันธ์ของ Cauchyดังนั้นสูตรการผกผันของ Fourier สามารถใช้การอินทิเกรตตามเส้นต่างๆ ที่ขนานกับแกนจริงได้^[⁴⁰^] ${\widehat {f}}$ $\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi (\sigma +ia)t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi (\sigma +ib)t}\,d\sigma$

ทฤษฎีบท: ถ้า $f (t) = 0$ สำหรับ $t < 0$ และ $| f (t) | < Ce ที่$ สำหรับค่าคงที่ $C, a > 0$ และ $t \geq 0$ บางค่า แล้ว สำหรับ $τ$ $< -$ $⁠ ใดๆ$ $f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi (\sigma +i\tau )t}\,d\sigma ,$ $เอ / 2π ภาย ใต้$ สมมติฐานทั่วไปสำหรับการผกผันฟูริเยร์

ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้สูตรการผกผันของ Mellinสำหรับการแปลงลาปลาส[ ^{39 ] สำหรับ} b > a ใดๆ $โดย$ $ที่$ $F$ ( $s$ $)$ $คือ$ $การ$ แปลงลาปลาสของ $f$ $($ $t$ $)$ $f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds$

สมมติฐานสามารถอ่อนลงได้ เช่นเดียวกับผลลัพธ์การผกผันฟูริเยร์มาตรฐาน โดยที่ $f (t) e - at$ เป็น $L 1$ โดยมีเงื่อนไขว่า $f$ จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดในบริเวณใกล้เคียงแบบปิดของ $t$ (ดูการทดสอบ Dini ) ค่าของ $f$ ที่ $t$ จะต้องถือเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลิมิตซ้ายและขวา และอินทิกรัลจะต้องอยู่ในความหมายของค่าหลักของ Cauchy ^{[ 41 ]}

สูตรการผกผันเหล่านี้ในเวอร์ชัน $L$ $2 ก็มีให้ใช้งานเช่นกัน$ ^{[ 42 ]}

การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิยูคลิด

การแปลงฟูริเยร์สามารถกำหนดได้ในมิติ $n$ ใดๆ ก็ได้ เช่นเดียวกับกรณีหนึ่งมิติ มีข้อกำหนดหลายประการ สำหรับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ $f (x)$ บทความนี้ใช้คำจำกัดความดังนี้: โดยที่ $x$ และ $ξ$ เป็นเวกเตอร์ $n$ มิติและ $x$ $\cdot$ $ξ$ คือผลคูณดอทของเวกเตอร์ หรืออีกทางหนึ่ง $ξ$ สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์คู่ขนาน ⁠ ⁠ซึ่งในกรณีนี้ ผลคูณดอทจะกลายเป็นการหดตัวของ $x$ และ $ξ$ ซึ่งมัก เขียน เป็น $⟨$ $x$ $,$ $ξ$ $⟩$ ${\widehat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{n\star }$

คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นใช้ได้กับ การแปลงฟูริเยร์มิติ $n$ เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของ Plancherel และ Parseval เมื่อฟังก์ชันสามารถอินทิเกรตได้ การแปลงฟูริเยร์ยังคงต่อเนื่องสม่ำเสมอและบทตั้ง Riemann–Lebesgueก็ยังคงใช้ได้^{[ 19 ]}

หลักการความไม่แน่นอน

โดยทั่วไปแล้ว ยิ่ง $f (x) มีความเข้มข้นมากเท่าใด การแปลงฟูริเยร์$ $f̂ (ξ)$ ของมันก็ยิ่งต้องกระจายออกไปมากเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติการปรับขนาดของการแปลงฟูริเยร์อาจมองได้ว่า ถ้าเราบีบฟังก์ชันใน $x$ การแปลงฟูริเยร์ของมันจะยืดออกไปใน $ξ$ ไม่สามารถทำให้ทั้งฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของมันมีความเข้มข้นได้ตามอำเภอใจ

ความสมดุลระหว่างการบีบอัดฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้น สามารถกำหนดเป็นหลักการความไม่แน่นอนได้โดยการมองฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้นว่าเป็นตัวแปรคู่ควบกันโดยสัมพันธ์กับรูปแบบซิมเพล็กติกในโดเมนเวลา-ความถี่ : จากมุมมองของการแปลงเชิงเส้นแบบแคนอนิกการแปลงฟูริเยร์คือการหมุน 90° ในโดเมนเวลา-ความถี่ และรักษารูปแบบซิมเพล็กติกไว้

สมมติว่า $f (x)$ เป็นฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์ได้และ หาปริพันธ์กำลังสองได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้ถือว่า $f (x)$ เป็นฟังก์ชันมาตรฐาน: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.$

จาก ทฤษฎีบทของ Plancherelสรุปได้ว่า $f̂ (ξ)$ ก็ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานเช่นกัน

การกระจายรอบ $x = 0$ อาจวัดได้จากการกระจายรอบศูนย์ที่กำหนดโดย^{[ 43 ]} $D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.$

ในแง่ของความน่าจะเป็น นี่คือโมเมนต์ที่สองของ $| f (x) | 2$ รอบศูนย์

หลักการความไม่แน่นอนระบุว่า ถ้า $f (x)$ มีความต่อเนื่องสัมบูรณ์ และฟังก์ชัน $x \cdot f (x)$ และ $f' (x)$ สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ แล้ว $D_{0}(f)D_{0}({\widehat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.$

ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้เฉพาะในกรณี ที่ $σ$ $> 0$ เป็นค่าใดๆ และ $C$ $1$ $=$ $⁠$ ${\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\widehat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}$ $4 \sqrt 2 / \sqrt σ ดังนั้น$ $f$ จึงเป็น $L 2$ -normalized กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $f เป็น$ ฟังก์ชันเกาส์เซียน (normalized)ที่มีค่าความแปรปรวน $σ 2 /2 π$ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ และการแปลงฟูริเยร์ของ f ก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีค่าความแปรปรวน $σ -2 /2 π$ ฟังก์ชันเกาส์เซียนเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันชวาร์ตซ์ (ดูการอภิปรายเกี่ยวกับการกระจายแบบ tempered ด้านล่าง)

ในความเป็นจริง ความไม่เท่าเทียมกันนี้บ่งชี้ว่า: ในกลศาสตร์ควอนตัมฟังก์ชันคลื่น โมเมนตัมและตำแหน่งเป็นคู่การแปลงฟูริเยร์ โดยมีค่าคงที่ของพลังค์ เป็นตัวประกอบ เมื่อพิจารณาค่าคงที่นี้อย่างถูกต้อง ความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นจะกลายเป็นข้อความของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก^[⁴⁴^] $\left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}},\quad \forall x_{0},\xi _{0}\in \mathbb {R} .$

หลักการความไม่แน่นอนที่เข้มงวดกว่าคือหลักการความไม่แน่นอนของ Hirschmanซึ่งแสดงได้ดังนี้: โดยที่ $H$ $($ $p$ $)$ คือเอนโทรปีเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น $p$ $($ $x$ $)$ : โดยที่ลอการิทึมอาจอยู่ในฐานใดก็ได้ที่สอดคล้องกัน ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นสำหรับฟังก์ชันเกาส์เซียน เช่นเดียวกับในกรณีที่ผ่านมา $H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\widehat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)$ $H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx$

การแปลงไซน์และโคไซน์

สูตรดั้งเดิมของการแปลงฟูริเยร์ไม่ได้ใช้จำนวนเชิงซ้อน แต่ใช้ไซน์และโคไซน์แทน นักสถิติและคนอื่นๆ ยังคงใช้รูปแบบนี้ ฟังก์ชัน $f$ ที่สามารถอินทิเกรตได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งการผกผันฟูริเยร์ใช้ได้ สามารถขยายได้ในรูปของความถี่ที่แท้จริง (หลีกเลี่ยงความถี่เชิงลบ ซึ่งบางครั้งถือว่าตีความทางกายภาพได้ยาก^{[ 45 ]} ) $λ$ โดย $f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .$

นี่เรียกว่าการขยายในรูปอินทิกรัลตรีโกณมิติหรือการขยายอินทิกรัลฟูริเยร์ ฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ $a$ และ $b$ สามารถหาได้โดยใช้การแปลงโคไซน์ฟูริเยร์และการแปลงไซน์ฟูริเยร์แบบต่างๆ (การทำให้เป็นมาตรฐานนั้นยังไม่ได้กำหนดมาตรฐาน): และ $a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt$ $b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.$

เอกสารเก่าๆ กล่าวถึงฟังก์ชันการแปลงสองฟังก์ชัน ได้แก่ การแปลงฟูริเยร์โคไซน์ ( $a$ ) และการแปลงฟูริเยร์ไซน์ ( $b$ )

ฟังก์ชัน $f$ สามารถกู้คืนได้จากการแปลงไซน์และโคไซน์โดยใช้ ร่วมกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ซึ่งเรียกว่าสูตรอินทิกรัลของฟูริเยร์^[³⁹^]^[⁴⁶^]^[⁴⁷^]^[⁴⁸^] $f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .$

ฮาร์มอนิกทรงกลม

ให้เซตของพหุนาม ฮาร์ มอนิกเอก พันธุ์ ดีกรี $k$ บน $R$ $n$ แทนด้วย $A$ $k$ เซต $A$ $k$ ประกอบด้วยฮาร์มอนิกทรงกลมแข็งดีกรี $k$ ฮาร์มอนิกทรงกลมแข็งมีบทบาทคล้ายคลึงกันในมิติที่สูงกว่ากับพหุนามเฮอร์ไมต์ในมิติหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $f$ $($ $x$ $) =$ $e$ $-π|$ $x$ $|$ $2$ $P$ $($ $x$ $)$ สำหรับ $P$ $($ $x$ $)$ บางตัว ใน $A$ $k$ แล้ว⁠ ⁠ให้เซต $H$ $k$ เป็นการปิดใน $L$ $2$ $($ $R$ $n$ $)$ ของการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันในรูปแบบ $f$ $(|$ $x$ $|)$ $P$ $($ $x$ $)$ โดยที่ $P$ $($ $x$ $)$ อยู่ใน $A$ $k$ พื้นที่ $L$ $2$ $($ $R$ $n$ $)$ จึงเป็นผลรวมโดยตรงของพื้นที่ $H$ $k$ และการแปลงฟูริเยร์จะแมปแต่ละพื้นที่ $H$ $k$ ไปยังตัวมันเอง และสามารถกำหนดลักษณะการกระทำของการแปลงฟูริเยร์บนแต่ละพื้นที่ $H$ $k$ ได้^[¹⁹^] ${\widehat {f}}(\xi )=i^{-k}f(\xi )$

ให้ $f (x) = f 0 (| x |) P (x)$ (โดยที่ $P (x)$ อยู่ใน $A k$ ) แล้ว โดย ที่ ${\widehat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )$ $F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.$

ในที่นี้ $J (n + 2 k - 2)/2$ หมายถึงฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรกที่มีอันดับ $⁠$ $n + 2 k - 2 / 2$ เมื่อ $k = 0$ จะได้สูตรที่มีประโยชน์สำหรับการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันรัศมี $[$ ^{49 ] ซึ่ง}โดยพื้นฐานแล้วคือการแปลงแฮงเคลยิ่งไปกว่านั้น ยังมีการเรียกซ้ำอย่างง่ายที่เชื่อมโยงกรณี $n + 2$ และ $n$ ^{[ 50 ]}ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณการแปลงฟูริเยร์สามมิติของฟังก์ชันรัศมีจากฟังก์ชันหนึ่งมิติได้

ปัญหาข้อจำกัด

ในมิติที่สูงขึ้น การศึกษาปัญหาการจำกัดขอบเขตของการแปลงฟูริเยร์กลายเป็นเรื่องที่น่าสนใจ การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้นั้นมีความต่อเนื่อง และการจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันนี้บนเซตใดๆ ก็สามารถกำหนดได้ แต่สำหรับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ การแปลงฟูริเยร์อาจเป็นกลุ่มทั่วไป $ของ$ ฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์กำลังสอง $ได้$ ดังนั้น การจำกัดขอบเขตของการแปลงฟูริเยร์ของ ฟังก์ชัน $L² (Rn)$ จึง ไม่สามารถกำหนดได้บน $เซต$ $ที่มีขนาดเป็น 0 การทำความเข้าใจปัญหาการจำกัดขอบเขตใน Lp$ สำหรับ $1 < p < 2$ ยังคงเป็นหัวข้อการศึกษาที่สำคัญในบางกรณีสามารถกำหนดการจำกัดขอบเขตของการแปลงฟูริเยร์บนเซต $S ได้ หาก$ $S$ มีความโค้งไม่เป็นศูนย์ กรณีที่ $S$ เป็นทรงกลมหน่วยใน $Rn นั้น$ มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทการจำกัดขอบเขตของโทมัส- $ส$ ไตน์ระบุว่า การจำกัดขอบเขตของการแปลงฟูริเยร์บนทรงกลมหน่วยใน $Rn$ เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบน $Lp$ $ก็$ ต่อเมื่อ $1 \leq$ $p$ $\leq$ $⁠$ $2n + 2 / n + 3 ⁠$ .

ความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่งระหว่างการแปลงฟูริเยร์ในมิติเดียวเทียบกับมิติที่สูงกว่านั้นเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการผลรวมย่อย พิจารณาชุดที่วัดได้ $E R$ ที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ โดยมีดัชนีเป็น $R \in (0, \infty)$ เช่น ลูกบอลรัศมี $R$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด หรือลูกบาศก์ด้านยาว $2 R$ สำหรับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ $f$ ที่กำหนด ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f R$ ที่กำหนดโดย: $f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

สมมติเพิ่มเติมว่า $f \in L p (R n)$ สำหรับ $n = 1$ และ $1 < p < \infty$ ถ้าเราเลือก $E R = (- R, R)$ แล้ว $f R$ จะลู่เข้าสู่ $f$ ใน $L p$ เมื่อ $R$ เข้าสู่อินฟินิตี้ โดยอาศัยความมีขอบเขตของการแปลงฮิลเบิร์ตโดยทั่วไปแล้วเราอาจหวังว่าสิ่งเดียวกันนี้จะเป็นจริงสำหรับ $n > 1$ ในกรณีที่ $E R$ ถูกกำหนดให้เป็นลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน $R$ การลู่เข้าก็ยังคงเป็นจริง ตัวเลือกที่เป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งคือลูกบอลยุคลิด $E R = {ξ : | ξ | < R}$ เพื่อให้ตัวดำเนินการผลรวมย่อยนี้ลู่เข้า จำเป็นต้องมีตัวคูณสำหรับลูกบอลหน่วยที่มีขอบเขตใน $L p (R n)$ สำหรับ $n \geq 2$ เป็นทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของCharles Feffermanที่ว่าตัวคูณสำหรับลูกบอลหน่วยจะไม่มีขอบเขตเว้นแต่ $p =$ 2 ^{[ 51 ]}ในความเป็นจริง เมื่อ $p \neq 2$ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่เพียงแต่ $f R$ อาจ ไม่ลู่เข้าสู่ $f$ ใน $L p$ เท่านั้น แต่สำหรับบางฟังก์ชัน $f \in L p (R n)$ $f R$ ยังไม่เป็นองค์ประกอบของ $L p$ ด้วย ซ้ำ

การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิฟังก์ชัน

นิยามของการแปลงฟูริเยร์ขยายจากไปได้ อย่างเป็นธรรมชาติ นั่นคือ ถ้าการแปลงฟูริเยร์ จะกำหนดโดย ตัวดำเนินการนี้มีขอบเขตเป็นซึ่ง แสดงให้เห็นว่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการมีขอบเขตโดย $1$ ทฤษฎีบท ของรีมันน์-เลเบสแสดงให้เห็นว่า ถ้าการแปลงฟูริเยร์ของมันอยู่ใน ปริภูมิของฟังก์ชัน ^ต่อเนื่องที่หายไปที่อนันต์ กล่าวคือ[ 52 ] ^[⁵³^]^ยิ่ง^ไป^กว่า^นั้นภาพของภายใต้ เป็นเซต ย่อยที่เข้มงวดของ[ 54 ^] $L^{1}(\mathbb {R} )$ $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $f(x)\mapsto {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} ^{n}.$ $\sup _{\xi \in \mathbb {R} ^{n}}\left\vert {\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,$ $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\widehat {f}}\in C_{0}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $L^{1}$ ${\mathcal {F}}$ $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$

เช่นเดียวกับกรณีของตัวแปรเดียว การแปลงฟูริเยร์สามารถกำหนดได้บน⁠ ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ การแปลงฟูริเยร์ในไม่ได้กำหนดโดยปริพันธ์เลเบสธรรมดาอีกต่อไป แม้ว่าจะสามารถคำนวณได้โดยปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม กล่าว คือ โดยที่ลิมิตถูกพิจารณาในความหมาย $L$ $2$ ^[^{หมายเหตุ 7}^]^[⁵⁵^] $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\widehat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx$

นอกจากนี้ ยังเป็นตัวดำเนินการเอกภาพ [ ⁵⁶^]^{สำหรับ}ตัวดำเนินการที่จะเป็นเอกภาพนั้น เพียงพอที่จะแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงและรักษาผลคูณภายใน ทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์บ่งชี้ว่าการแปลงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง นอกจากนี้ สำหรับ $f$ $,$ $g$ $\in$ $L$ $2$ $($ $R$ $n$ $)$ ใดๆ เรามี ดังนั้น ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.$ ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx\end{aligned}}$

ดังนั้นการแปลงจึงรักษาผลคูณภายในไว้

ในเรื่องL ^{p อื่นๆ}

สำหรับ⁠ ⁠ $1<p<2$ การแปลงฟูริเยร์สามารถกำหนดได้บนโดยการแทรกสอดแบบ Riesz–Thorinซึ่งเทียบเท่ากับการแยกฟังก์ชันดังกล่าวออกเป็นส่วนหางอ้วนใน $L$ $2$ บวกกับส่วนตัวอ้วนใน $L$ $1$ ในแต่ละปริภูมิเหล่านี้ การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันใน $L$ $p$ $($ $R$ $n$ $)$ จะอยู่ใน $L$ $q$ $($ $R$ $n$ $)$ โดยที่ $q$ $=$ $⁠$ $L^{p}(\mathbb {R} )$ $|f|\leq 1$ $|f|>1$ $พี / พี - 1 ⁠$ คือคอนจูเกตโฮลเดอร์ของ $p$ (โดยความไม่เท่าเทียมกันของเฮาส์ดอร์ฟ- ยัง ) อย่างไรก็ตาม ยกเว้น $p = 2$ ภาพนั้นไม่สามารถระบุลักษณะได้ง่าย การขยายเพิ่มเติมกลายเป็นเรื่องทางเทคนิคมากขึ้น การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันใน $L p$ สำหรับช่วง $2 < p < \infty$ จำเป็นต้องมีการศึกษาการกระจาย^{[ 57 ]}ในความเป็นจริง สามารถแสดงได้ว่ามีฟังก์ชันใน $L p$ ที่ $p > 2$ ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์จึงไม่ถูกกำหนดเป็นฟังก์ชัน^{[ 19 ]}

การกระจายแบบเทมเปอร์

อาจพิจารณาขยายโดเมนของการแปลงฟูริเยร์จากโดยพิจารณาฟังก์ชันทั่วไปหรือการกระจาย การกระจายบนคือฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัด (เช่นฟังก์ชันบัมพ์ ) ที่มีโทโพโลยีที่เหมาะสม เนื่องจากมีความหนาแน่นในทฤษฎีบทของ Plancherelอนุญาตให้ขยายคำจำกัดความของการแปลงฟูริเยร์ไปยังฟังก์ชันทั่วไปในโดยใช้การอ้างเหตุผลความต่อเนื่อง กลยุทธ์คือการพิจารณาการกระทำของการแปลงฟูริเยร์บนและเปลี่ยนไปใช้การกระจายโดยความเป็นคู่ อุปสรรคในการทำเช่นนี้คือการแปลงฟูริเยร์ไม่ได้แมปไปยังในความเป็นจริง การแปลงฟูริเยร์ขององค์ประกอบในไม่สามารถเป็นศูนย์บนเซตเปิด ดูการอภิปรายข้างต้นเกี่ยวกับหลักการความไม่แน่นอน^[⁵⁸^]^[⁵⁹^] $L^{1}+L^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

การแปลงฟูริเยร์ยังสามารถกำหนดได้สำหรับการกระจายแบบเทมเปอร์ซึ่งเป็น ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ คู่ขนานกับปริภูมิของฟังก์ชันชวาร์ตซ์ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ฟังก์ชันชวาร์ตซ์เป็นฟังก์ชันเรียบที่ลดลงที่อนันต์ พร้อมกับอนุพันธ์ทั้งหมดของมัน ดังนั้นและ: การแปลงฟูริเยร์เป็นออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิชวาร์ตซ์ และโดยความเป็นคู่ขนาน ยังเป็นออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ด้วย^[¹⁹^]^[⁶⁰^]การกระจายแบบเทมเปอร์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมดีของการเติบโตแบบพหุนาม การกระจายของส่วนรองรับแบบกะทัดรัด เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้ทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้น $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {F}}:C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\setminus C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

สำหรับคำจำกัดความของการแปลงฟูริเยร์ของการกระจายแบบเทมเปอร์ ให้และเป็นฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้ และให้และเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านั้นตามลำดับ จากนั้นการแปลงฟูริเยร์จะเป็นไปตามสูตรการคูณต่อไปนี้^[¹⁹^] $f$ $g$ ${\widehat {f}}$ ${\widehat {g}}$ $\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\widehat {g}}(x)\,dx.$

ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ทุกฟังก์ชันจะกำหนด (เหนี่ยวนำ) การแจกแจงโดยความสัมพันธ์ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะกำหนดการแปลงฟูริเยร์ของการแจกแจงแบบเทมเปอร์โดยใช้ความเป็นคู่: การขยายสิ่งนี้ไปยังการแจกแจงแบบเทมเปอร์ทั้งหมดจะให้คำจำกัดความทั่วไปของการแปลงฟูริเยร์ $f$ $T_{f}$ $T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ $T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ $\langle {\widehat {T}}_{f},\varphi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\varphi }}\rangle ,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ $T$

สามารถหาอนุพันธ์ของการกระจายได้ และความเข้ากันได้ของการแปลงฟูริเยร์กับการหาอนุพันธ์และการสังเคราะห์ที่กล่าวถึงข้างต้นยังคงเป็นจริงสำหรับการกระจายแบบเทมเปอร์

การสรุปโดยทั่วไป

การแปลงฟูริเยร์-สตีลต์เจสบนปริภูมิที่วัดได้

การแปลงฟูริเยร์ของการวัดโบเรล จำกัด $μ$ บน $R$ $n$ ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันที่มีขอบเขตและต่อเนื่องสม่ำเสมอ: ^[⁶¹^]^[⁶²^] เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสเนื่องจากความเชื่อมโยงกับ การแสดง แทนอินทิกรัลรีมันน์-สตีลเจสของการวัด (ราดอน) [ ⁶³^]^ถ้าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม การแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสของมันก็คือ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะตามนิยาม^[⁶⁴^]นอกจากนี้ ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นนิยามนี้จะอยู่ภายใต้การแปลงฟูริเยร์แบบปกติ^[⁶⁵^]กล่าวโดยทั่วไปมากขึ้น เมื่อมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์เทียบกับการวัดเลเบสก์ นั่นคือ แล้ว และการแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสจะลดลงเหลือนิยามปกติของการแปลงฟูริเยร์ กล่าวคือ ความแตกต่างที่สำคัญกับการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้คือ การแปลงฟูริเยร์-สติลต์เจสไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ที่อนันต์ กล่าวคือทฤษฎีบทของรีมันน์-เลเบสก์ล้มเหลวสำหรับการวัด^[⁶⁶^] ${\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu ,$ $\mu$ $X$ $\mu$ $d\mu =f(x)\,dx,$ ${\widehat {\mu }}(\xi )={\widehat {f}}(\xi ),$

ทฤษฎีบทของ Bochnerระบุลักษณะฟังก์ชันที่อาจเกิดขึ้นจากการแปลงฟูริเยร์-สตีลต์เจสของมาตรวัดบวกบนวงกลม

ตัวอย่างหนึ่งของการวัด Borel แบบจำกัดที่ไม่ใช่ฟังก์ชันคือการวัด Dirac ^{[ 67 ]}การแปลงฟูริเยร์ของมันคือฟังก์ชันคงที่ (ซึ่งค่าขึ้นอยู่กับรูปแบบของการแปลงฟูริเยร์ที่ใช้)

กลุ่มอาเบเลียนที่มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น

การแปลงฟูริเยร์สามารถขยายไปสู่กลุ่มอาเบลแบบกระชับเฉพาะที่ ใดๆ ก็ได้ กล่าวคือกลุ่มอาเบลที่เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่ เช่นกัน ซึ่งการดำเนินการของกลุ่มนั้นต่อเนื่อง หาก $G$ เป็นกลุ่มอาเบลแบบกระชับเฉพาะที่ จะมีการวัด $μ$ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปล เรียกว่าการวัดฮาร์สำหรับกลุ่มอาเบลแบบกระชับเฉพาะที่ $G$ เซตของการแสดงแทนแบบเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ มิติเดียว เรียกว่าอักขระด้วยโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติและโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตกระชับ (นั่นคือ โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยโทโพโลยีแบบกระชับ-เปิดบนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดจากไปยังกลุ่มวงกลม ) เซตของอักขระ $Ĝ$ นั้นเป็นกลุ่มอาเบลแบบกระชับเฉพาะที่ เรียกว่าคู่ปอนทรียาจินของ $G$ สำหรับฟังก์ชัน $f$ ใน $L$ $1$ $($ $G$ $)$ การแปลงฟูริเยร์ของมันถูกกำหนดโดย^[⁵⁷^] $G$ ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{G}{\overline {\xi (x)}}f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\widehat {G}}.$

ทฤษฎีบท Riemann–Lebesgue ใช้ได้ในกรณีนี้ $f̂ (ξ)$ เป็นฟังก์ชันที่หายไปที่อนันต์บน $Ĝ$

การแปลงฟูริเยร์บน $T$ = R/Zเป็นตัวอย่างหนึ่ง โดยที่ $T$ เป็นกลุ่มอาเบเลียนแบบกระชับเฉพาะที่ และมาตรวัดฮาร์ $μ$ บน $T$ สามารถคิดได้ว่าเป็นมาตรวัดเลเบสบน [0,1) พิจารณาการแสดงแทนของ $T$ บนระนาบเชิงซ้อน $C$ ซึ่งคิดว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน 1 มิติ มีกลุ่มของการแสดงแทนดังกล่าว (ซึ่งไม่สามารถลดทอนได้เนื่องจาก $C$ เป็น 1 มิติ) โดยที่สำหรับ⁠ ⁠ . $\{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}$ $e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}$ $x\in T$

ลักษณะเฉพาะของการแทนดังกล่าว นั่นคือร่องรอยของ(คิดว่าเป็นเมทริกซ์หนึ่งคูณหนึ่ง) สำหรับแต่ละและ⁠ ⁠ก็คือตัวมันเอง ในกรณีของการแทนกลุ่มจำกัด ตารางลักษณะเฉพาะของกลุ่ม $G$ ประกอบด้วยแถวของเวกเตอร์ โดยแต่ละแถวคือลักษณะเฉพาะของการแทนแบบลดทอนไม่ได้หนึ่งเดียวของ $G$ และเวกเตอร์เหล่านี้ก่อให้เกิดฐานตั้งฉากปกติของปริภูมิของฟังก์ชันชั้น (หมายถึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงผัน) ที่แมปจาก $G$ ไปยัง $C$ โดยทฤษฎีบทของ Schur กลุ่ม $T$ ไม่ใช่กลุ่มจำกัดอีกต่อไป แต่ยังคงเป็นกลุ่มกระชับ และรักษาความเป็นตั้งฉากปกติของตารางลักษณะเฉพาะไว้ แต่ละแถวของตารางเป็นฟังก์ชันของ⁠ ⁠ และผลคูณภายในระหว่างฟังก์ชันชั้นสองฟังก์ชัน ( ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันชั้นเนื่องจาก $T$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน) ถูกกำหนดเป็นโดยมีตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน⁠ ⁠ลำดับเป็นฐานตั้งฉากปกติของปริภูมิของฟังก์ชันชั้น⁠ ⁠ $e_{k}(x)$ $x\in T$ $k\in Z$ $e^{i2\pi kx}$ $e_{k}(x)$ $x\in T$ $f,g\in L^{2}(T,d\mu )$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ $\vert T\vert =1$ $\{e_{k}\mid k\in Z\}$ $L^{2}(T,d\mu )$

สำหรับตัวแทน $V$ ใดๆ ของกลุ่มจำกัด $G$ สามารถแสดงได้ในรูปของสแปน( โดยที่ คือตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ $G$ ) โดยที่⁠ ⁠ ใน ทำนองเดียวกันสำหรับและ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠คู่แบบปอนทริอาจินคือและสำหรับ⁠ ⁠ , คือการแปลงฟูริเยร์ของมันสำหรับ⁠ ⁠ . $\chi _{v}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ $V_{i}$ $\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)$ $G=T$ $f\in L^{2}(T,d\mu )$ $\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\widehat {f}}(k)e_{k}$ ${\widehat {T}}$ $\{e_{k}\}(k\in Z)$ $f\in L^{2}(T,d\mu )$ ${\textstyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ $e_{k}\in {\widehat {T}}$

การแปลงเกลฟานด์

การแปลงฟูริเยร์ก็เป็นกรณีพิเศษของการแปลงเกลฟานด์ เช่นกัน ในบริบทนี้ มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแผนที่ทวิภาวะของปอนทรียาจินที่ได้นิยามไว้ข้างต้น

กำหนดให้ $G$ เป็นกลุ่มทอพอโลยี เฮาส์ดอ ร์ฟแบบอาเบเลียน ที่กระชับเฉพาะที่ เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราพิจารณา ปริภูมิ $L$ $1$ $($ $G$ $)$ ซึ่งกำหนดโดยใช้การวัดแบบฮาร์ ด้วยการสังเคราะห์เป็นการคูณ $L$ $1$ $($ $G$ $)$ จึงเป็นพีชคณิตบานาค แบบอาเบเลียน นอกจากนี้ยังมีการผกผัน * ที่กำหนดโดย $f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.$

การหาค่าสมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับนอร์ม $C * ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ จะได้พีชคณิต$ $C *$ ที่ห่อหุ้มอยู่ ซึ่งเรียกว่า พีชคณิตกลุ่ม $C *$ $($ $G$ $)$ ของ $G$ (นอร์ม C* ใดๆ $บน$ $L1$ ( $G$ $)$ $จะ$ $ถูก$ จำกัดด้วย นอร์ม $L1 ดังนั้นค่าสูงสุดของนอร์ม$ $C$ $*$ $จึง$ มีอยู่)

เมื่อกำหนด พีชคณิต $C *-$ อาเบ เลียน $A$ ใดๆ การแปลง Gelfand จะให้ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง $A$ และ $C0 (A^)$ โดยที่ $A^$ คือฟังก์ชันเชิงเส้นแบบคูณ กล่าวคือ การแทนแบบหนึ่งมิติ บน $A$ ที่มีโทโพโลยีแบบอ่อน-* แผนที่นี้กำหนดโดยง่ายๆ ปรากฏว่าฟังก์ชันเชิงเส้นแบบคูณของ $C$ $*($ $G$ $)$ หลังจากการระบุที่เหมาะสมแล้ว ก็คืออักขระของ $G อย่างแท้จริง และการแปลง Gelfand เมื่อจำกัดเฉพาะเซต$ $ย่อย$ หนาแน่น $L1$ $($ $G$ $)$ ก็คือการแปลง Fourier–Pontriagin $a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}.$

กลุ่มไม่สลับที่ขนาดกะทัดรัด

การแปลงฟูริเยร์ยังสามารถกำหนดสำหรับฟังก์ชันบนกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนได้ โดยมีเงื่อนไขว่ากลุ่มนั้นเป็นกลุ่มกระชับการลบสมมติฐานที่ว่ากลุ่มพื้นฐานเป็นกลุ่มอาเบเลียนออกไป การแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ไม่จำเป็นต้องเป็นมิติเดียวเสมอไป ซึ่งหมายความว่าการแปลงฟูริเยร์บนกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนจะมีค่าเป็นตัวดำเนินการในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 68 ]}การแปลงฟูริเยร์บนกลุ่มกระชับเป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีการแสดงแทน^{[ 69 ]}และการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบไม่สลับที่

ให้ $G$ เป็นกลุ่มทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟ แบบ กระชับ และให้ $λ$ เป็นมาตรวัดฮาร์ แบบนอร์มาไลซ์ของกลุ่ม $นั้น$ ให้ $Σ$ แทนกลุ่มของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของการแสดงแทน เอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ในมิติจำกัด พร้อมกับการเลือกการแสดงแทน $U$ $($ $σ$ $)$ ที่แน่นอน บนปริภูมิฮิลเบิร์ต $Hσ$ $ที่$ มีมิติจำกัด $dσ$ สำหรับแต่ละ $σ$ $\in$ Σ

สำหรับ $f \in L 1 (G)$ การแปลงฟูริเยร์ของ $f$ ที่ $σ$ คือตัวดำเนินการบน $H σ$ ที่กำหนดโดย เทียบเท่ากับ เนื่องจาก $U$ $($ $σ$ $)$ เป็นตัวดำเนินการเอกภาพ จึงสามารถเขียนได้โดยใช้ตัว ดำเนิน การผกผันเช่นกัน ${\widehat {f}}(\sigma )=\int _{G}f(g)U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\lambda (g).$ $\left\langle {\widehat {f}}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}f(g)\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\lambda (g).$ ${U^{(\sigma )}}_{g}^{*}$

ถ้า $μ เป็น$ มาตรวัดบอเรลเชิงซ้อนจำกัดบน $G$ แล้ว การแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสของ $μ$ คือตัวดำเนินการบน $H σ$ ที่กำหนดโดย หรือโดยอ่อน ถ้า $μ$ มีความต่อเนื่องสัมบูรณ์เทียบกับ $λ$ ซึ่งแสดงเป็น สำหรับ $f$ $\in$ $L$ $1$ $($ $G$ $)$ บาง ตัว เราจะระบุการแปลงฟูริเยร์ของ $f$ ว่าเป็นการแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสของ $μ$ ${\widehat {\mu }}(\sigma )=\int _{G}U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\mu (g),$ $\left\langle {\widehat {\mu }}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g).$ $d\mu =f\,d\lambda$

การแมปนี้ เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและส่งมาตรวัดจำกัดไปยังฟิลด์ที่มีขอบเขตของตัวดำเนินการ $(\widehat\mu(\sigma))$ $σ\inΣ$ ดังนั้น จึงอาจมองได้ว่าเป็นการแทนพีชคณิต Banach $M$ $($ $G$ $)$ ของมาตรวัด Borel จำกัด โดยการคูณกำหนดโดยการสังเคราะห์ของมาตรวัด ด้วยข้อตกลงข้างต้น การสังเคราะห์จะสอดคล้องกับการคูณตัวดำเนินการโดยกลับลำดับ: การใช้ข้อตกลงทางเลือก $\widehat f(\sigma)=\int_G f(g)U^{(\sigma)}_g\,d\lambda(g)$ จะกลับลำดับนี้ การผกผันบน $M$ $($ $G$ $)$ กำหนดสำหรับมาตรวัดต่อเนื่องสัมบูรณ์โดย เนื่องจากกลุ่มกระชับเป็นแบบ unimodular $\mu \mapsto {\widehat {\mu }}$ $\sup _{\sigma \in \Sigma }\|{\widehat {\mu }}(\sigma )\|\leq \|\mu \|.$ ${\widehat {\mu *\nu }}(\sigma )={\widehat {\nu }}(\sigma ){\widehat {\mu }}(\sigma ).$ $f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}},$

ทฤษฎีบท ปีเตอร์-ไวล์เป็นจริง และสูตรการผกผันฟูริเยร์เวอร์ชันหนึ่งมีดังนี้: ถ้า $f \in L 2 (G)$ แล้ว โดยที่ผลรวมนั้นเข้าใจว่าเป็นการลู่เข้าในความหมายของ $L$ $2$ สูตรแพลนเชอเรลที่สอดคล้องกันคือ โดยที่ $||\cdot||$ $HS$ หมายถึงนอร์มฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ $f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\widehat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right),$ $\|f\|_{2}^{2}=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\|{\widehat {f}}(\sigma )\|_{\mathrm {HS} }^{2},$

การขยายผลของการแปลงฟูริเยร์ไปยังสถานการณ์ที่ไม่สลับที่กันได้นั้น มีส่วนช่วยในการพัฒนาเรขาคณิตที่ไม่สลับที่กันได้ ด้วย ในบริบทนี้ การขยายผลของการแปลงฟูริเยร์ไปยังกลุ่มที่ไม่สลับที่กันได้ในเชิงหมวดหมู่ คือทฤษฎีทวิภาวะของทานนากะ-เครนซึ่งแทนที่กลุ่มของอักขระด้วยหมวดหมู่ของการแทน อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่เพียงแค่การแปลงฟังก์ชันค่าสเกลาร์ไปเป็นฟังก์ชันค่าสเกลาร์อีกต่อไป

ทางเลือกอื่นๆ

ใน แง่ของ การประมวลผลสัญญาณฟังก์ชัน (ของเวลา) คือการแสดงสัญญาณด้วยความละเอียดของเวลา ที่สมบูรณ์แบบ แต่ไม่มีข้อมูลความถี่ ในขณะที่การแปลงฟูริเยร์มีความละเอียดของความถี่ ที่สมบูรณ์แบบ แต่ไม่มีข้อมูลเวลา: ขนาดของการแปลงฟูริเยร์ ณ จุดใดจุดหนึ่งแสดงถึงปริมาณความถี่ แต่ตำแหน่งจะระบุได้จากเฟส (อาร์กิวเมนต์ของการแปลงฟูริเยร์ ณ จุดนั้น) เท่านั้น และคลื่นนิ่งไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะในเวลา – คลื่นไซน์จะต่อเนื่องไปจนถึงอนันต์โดยไม่ลดทอน สิ่งนี้จำกัดประโยชน์ของการแปลงฟูริเยร์ในการวิเคราะห์สัญญาณที่จำกัดอยู่เฉพาะในเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสัญญาณชั่วคราวหรือสัญญาณใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัด

ในการวิเคราะห์เวลา-ความถี่ นอกเหนือจากการแปลงฟูริเยร์ แล้ว ยังใช้การแปลงเวลา-ความถี่หรือการกระจายเวลา-ความถี่เพื่อแสดงสัญญาณในรูปแบบที่มีข้อมูลเวลาและข้อมูลความถี่บางส่วน โดยหลักการความไม่แน่นอนนั้นมีการแลกเปลี่ยนระหว่างสิ่งเหล่านี้ การแปลงเหล่านี้อาจเป็นการขยายความของการแปลงฟูริเยร์ เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น การแปลงฟูริ เย ร์แบบเศษส่วนการแปลงฟูริเยร์แบบซิงโครสควีซซิ่ง^{[ 70 ] หรือฟังก์ชันอื่นๆ เพื่อ}^แสดงสัญญาณ เช่นการแปลงเวฟเล็ตและการแปลงชิปเล็ต โดยการแปลงเวฟเล็ตแบบ ต่อเนื่องเป็นการแปลงเวฟเล็ตแบบอนาล็อกของการแปลงฟูริเยร์[ ^{27 ]}

ตัวอย่าง

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นภาพประกอบว่าปริพันธ์ของการแปลงฟูริเยร์ใช้วัดว่าความถี่นั้นมีอยู่ในฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งหรือไม่ ภาพแรกแสดงฟังก์ชัน⁠ ⁠ $f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}$ ซึ่งเป็นคลื่นโคไซน์ 3 เฮิรตซ์ (พจน์แรก) ที่มีรูปร่างโดยฟังก์ชันซอง เกาส์เซียน (พจน์ที่สอง) ซึ่งทำให้คลื่นเปิดและปิดอย่างราบรื่น ภาพ 2 ภาพถัดไปแสดงผลคูณ⁠ ⁠ซึ่งต้องนำมาอินทิเกรตเพื่อคำนวณการแปลงฟูริเยร์ที่ +3 เฮิรตซ์ ส่วนจริงของตัวอินทิเกรตมีค่าเฉลี่ยที่ไม่เป็นลบ เนื่องจากเครื่องหมายสลับกันของและแกว่งด้วยอัตราเดียวกันและเฟสเดียวกัน ในขณะที่และแกว่งด้วยอัตราเดียวกันแต่เฟสตั้งฉากกัน ค่าสัมบูรณ์ของการแปลงฟูริเยร์ที่ +3 เฮิรตซ์ คือ 0.5 ซึ่งค่อนข้างมาก เมื่อบวกกับการแปลงฟูริเยร์ที่ -3 เฮิรตซ์ (ซึ่งเหมือนกันเพราะเราเริ่มต้นด้วยสัญญาณจริง) เราพบว่าแอมพลิจูดของส่วนประกอบความถี่ 3 เฮิรตซ์ คือ 1 $f(t)e^{-i2\pi 3t}$ $f(t)$ $\operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})$ $f(t)$ $\operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})$

ฟังก์ชันดั้งเดิม ซึ่งมีส่วนประกอบ 3 เฮิรตซ์ที่เด่นชัด ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของตัวอินทิกรัลของการแปลงฟูริเยร์ที่ +3 เฮิรตซ์

อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณพยายามวัดความถี่ที่ไม่มีอยู่จริง ทั้งส่วนจริงและส่วนจินตนาการของปริพันธ์จะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วระหว่างค่าบวกและค่าลบ ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งสีแดงกำลังมองหาความถี่ 5 เฮิรตซ์ ค่าสัมบูรณ์ของปริพันธ์เกือบเป็นศูนย์ ซึ่งบ่งชี้ว่าแทบไม่มีส่วนประกอบของความถี่ 5 เฮิรตซ์อยู่ในสัญญาณเลย สถานการณ์โดยทั่วไปมักจะซับซ้อนกว่านี้ แต่โดยหลักการแล้ว นี่คือวิธีที่การแปลงฟูริเยร์วัดว่ามีความถี่แต่ละความถี่อยู่ในฟังก์ชันมากน้อยเพียงใด $f(t)$

ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันอินทิกรัลสำหรับการแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ +5 เฮิรตซ์
ขนาดของการแปลงฟูริเยร์ โดยมีเครื่องหมาย +3 และ +5 เฮิรตซ์กำกับไว้

เพื่อเน้นย้ำประเด็นก่อนหน้านี้ เหตุผลของการตอบสนองที่ระดับเฮิรตซ์คือ เนื่องจากและนั้นแยกแยะไม่ได้ การแปลงของ จะมีการตอบสนองเพียงครั้งเดียว ซึ่งแอมพลิจูดคือปริพันธ์ของซองคลื่นเรียบ: ⁠ ⁠ในขณะ ที่ คือ⁠ ⁠ $\xi =-3$ $\cos(2\pi 3t)$ $\cos(2\pi (-3)t)$ $e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}$ $e^{-\pi t^{2}}$ $\operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})$ $e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2$

แอปพลิเคชัน

การดำเนินการเชิงเส้นที่ทำในโดเมนหนึ่ง (เวลาหรือความถี่) จะมีการดำเนินการที่สอดคล้องกันในอีกโดเมนหนึ่ง ซึ่งบางครั้งอาจทำได้ง่ายกว่า การดำเนินการหาอนุพันธ์ในโดเมนเวลาจะสอดคล้องกับการคูณด้วยความถี่^{[หมายเหตุ 8 ]}ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ บางสมการ จึงวิเคราะห์ได้ง่ายกว่าในโดเมนความถี่ นอกจากนี้การสังเคราะห์ในโดเมนเวลาจะสอดคล้องกับการคูณธรรมดาในโดเมนความถี่ (ดูทฤษฎีบทการสังเคราะห์ ) หลังจากดำเนินการตามที่ต้องการแล้ว สามารถแปลงผลลัพธ์กลับไปยังโดเมนเวลาได้การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกคือการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนความถี่และโดเมนเวลา รวมถึงประเภทของฟังก์ชันหรือการดำเนินการที่ "ง่ายกว่า" ในโดเมนใดโดเมนหนึ่ง และมีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับหลายสาขาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

การวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์

บางทีการใช้งานที่สำคัญที่สุดของการแปลงฟูริเยร์ก็คือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการจำนวนมากในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเก้าสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้ ฟูริเยร์ศึกษาสมการความร้อน ซึ่งในมิติเดียวและในหน่วยไร้มิติคือ ตัวอย่างที่เราจะยกมา ซึ่งยากขึ้นเล็กน้อย คือสมการคลื่นในมิติเดียว ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.$ ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.$

เช่นเคย ปัญหาไม่ได้อยู่ที่การหาคำตอบ เพราะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ปัญหาอยู่ที่สิ่งที่เรียกว่า "ปัญหาขอบเขต" คือ การหาคำตอบที่สอดคล้องกับ "เงื่อนไขขอบเขต" $y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).$

ในที่นี้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้ สำหรับสมการความร้อนนั้น อาจต้องการเงื่อนไขขอบเขตเพียงเงื่อนไขเดียว (โดยปกติจะเป็นเงื่อนไขแรก) แต่สำหรับสมการคลื่นนั้น ยังคงมีคำตอบ $y$ ที่เป็นอนันต์จำนวนมากมาย ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตแรก แต่เมื่อกำหนดเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข จะมีคำตอบที่เป็นไปได้เพียงคำตอบเดียวเท่านั้น

$การหาฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์ม ŷ$ ของคำตอบ นั้นง่ายกว่าการหาคำตอบโดยตรง เนื่องจากฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์มจะเปลี่ยนการหาอนุพันธ์เป็นการคูณด้วยตัวแปรคู่ฟูริเยร์ ดังนั้นสมการอนุพันธ์ย่อยที่ใช้กับฟังก์ชันดั้งเดิมจึงถูกแปลงเป็นการคูณด้วยฟังก์ชันพหุนามของตัวแปรคู่ที่ใช้กับฟังก์ชันที่แปลงแล้ว หลังจาก หาค่า $ŷ$ ได้แล้ว เราสามารถใช้ฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์มผกผันเพื่อหาค่า $y$ ได้

วิธีการของฟูริเยร์มีดังนี้ ขั้นแรก สังเกตว่าฟังก์ชันใดๆ ที่มีรูปแบบดัง กล่าวจะสอดคล้องกับสมการคลื่น ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกว่าผลเฉลยพื้นฐาน $\cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}$

ประการที่สอง โปรดสังเกตว่าปริพันธ์ใดๆ ก็ตาม จะสอดคล้องกับสมการคลื่นสำหรับค่า $a$ $+$ $,$ $a$ $-$ $,$ $b$ $+$ $,$ $b$ $-$ ใดๆ ปริพันธ์นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นต่อเนื่องของคำตอบสำหรับสมการเชิงเส้น ${\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}$

สิ่งนี้ดูคล้ายกับสูตรสำหรับการสังเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชัน อันที่จริง นี่คือการแปลงฟูริเยร์ผกผันที่แท้จริงของa $\pm และ$ b $\pm ใน$ ตัวแปร $x$

ขั้นตอนที่สามคือการตรวจสอบวิธีการหาฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าเฉพาะ $a \pm$ และ $b \pm$ ที่จะทำให้ $y$ สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต เราสนใจค่าของคำตอบเหล่านี้ที่ $t = 0$ ดังนั้นเราจะกำหนด $t = 0$ สมมติว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการผกผันฟูริเยร์เป็นไปตามที่กำหนดแล้ว เราสามารถหาการแปลงฟูริเยร์ไซน์และโคไซน์ (ในตัวแปร $x$ ) ของทั้งสองข้างและได้ และ $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}$ $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.$

ในทำนองเดียวกัน การหาอนุพันธ์ของ $y$ เทียบกับ $t$ แล้วใช้การแปลงฟูริเยร์ไซน์และโคไซน์จะได้ผลลัพธ์ ดังนี้ $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)$ $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).$

นี่คือสมการเชิงเส้นสี่สมการสำหรับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสี่ตัว $a \pm$ และ $b \pm$ ในรูปของการแปลงฟูริเยร์ไซน์และโคไซน์ของเงื่อนไขขอบเขต ซึ่งสามารถแก้ได้ง่ายด้วยพีชคณิตเบื้องต้น หากสามารถหาการแปลงเหล่านี้ได้

โดยสรุป เราได้เลือกชุดของคำตอบพื้นฐานที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ $ξ$ ซึ่งคำตอบทั่วไปจะเป็นการรวมเชิงเส้น (ต่อเนื่อง) ในรูปแบบของปริพันธ์เหนือพารามิเตอร์ $ξ$ แต่ปริพันธ์นี้อยู่ในรูปแบบของปริพันธ์ฟูริเยร์ ขั้นตอนต่อไปคือการแสดงเงื่อนไขขอบเขตในรูปของปริพันธ์เหล่านี้ และกำหนดให้เท่ากับฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ที่กำหนดให้ แต่การแสดงออกเหล่านี้ก็อยู่ในรูปแบบของปริพันธ์ฟูริเยร์เช่นกัน เนื่องจากคุณสมบัติของการแปลงฟูริเยร์ของอนุพันธ์ ขั้นตอนสุดท้ายคือการใช้ประโยชน์จากการผกผันฟูริเยร์โดยการใช้การแปลงฟูริเยร์กับทั้งสองข้าง จึงได้การแสดงออกของฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ $a \pm$ และ $b \pm$ ในรูปของเงื่อนไขขอบเขต $f$ และ $g$ ที่กำหนด ให้

จากมุมมองที่สูงขึ้น ขั้นตอนของฟูริเยร์สามารถปรับปรุงใหม่ในเชิงแนวคิดได้มากขึ้น เนื่องจากมีตัวแปรสองตัว เราจะใช้การแปลงฟูริเยร์ทั้งใน $x$ และ $t$ แทนที่จะดำเนินการเหมือนที่ฟูริเยร์ทำ ซึ่งแปลงเฉพาะในตัวแปรเชิงพื้นที่เท่านั้น โปรดทราบว่า $ŷ$ ต้องพิจารณาในแง่ของการกระจาย เนื่องจาก $y (x, t)$ จะไม่ใช่ $L1 :$ ในฐานะคลื่น มันจะคงอยู่ตลอดเวลาและดังนั้นจึงไม่ใช่ปรากฏการณ์ชั่วคราว แต่จะมีขอบเขต ดังนั้นการแปลงฟูริเยร์ของมันจึงสามารถกำหนดได้เป็นการกระจาย คุณสมบัติการดำเนินการของการแปลงฟูริเยร์ที่เกี่ยวข้องกับสมการนี้คือ การหาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ เป็นการคูณด้วย $i /$ $2πξ$ และการหาอนุพันธ์เทียบกับ $t$ เป็นการคูณด้วย $i /2πf$ โดยที่ $f$ คือความถี่ จากนั้นสมการคลื่นจะกลายเป็นสมการพีชคณิตใน $ŷ$ $:$ ซึ่ง เทียบเท่ากับการกำหนดให้ŷ $($ $ξ$ $,$ $f$ $)$ $= 0$ เว้นแต่ $ξ$ $= \pm$ $f$ สิ่งนี้อธิบายได้ทันทีว่าทำไมการเลือกคำตอบพื้นฐานที่เราทำไว้ก่อนหน้านี้จึงได้ผลดี: เห็นได้ชัดว่า $ŷ$ $=$ $δ$ $($ $ξ$ $\pm$ $f$ $)$ จะเป็นคำตอบ การใช้การผกผันฟูริเยร์กับฟังก์ชันเดลต้าเหล่านี้ เราจะได้คำตอบพื้นฐานที่เราเลือกไว้ก่อนหน้านี้ แต่จากมุมมองที่สูงขึ้น เราไม่ได้เลือกคำตอบพื้นฐาน แต่เราพิจารณาพื้นที่ของการกระจายทั้งหมดที่รองรับบนภาคตัดกรวย (เสื่อมสภาพ) $ξ$ $2$ $-$ $f$ $2$ $=$ 0 $\xi ^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f).$

เราอาจพิจารณาการแจกแจงที่รองรับบนภาคตัดกรวยซึ่งกำหนดโดยการแจกแจงของตัวแปรหนึ่งตัวบนเส้น $ξ = f$ บวกกับการแจกแจงบนเส้น $ξ = - f$ ดังต่อไปนี้: ถ้า $Φ$ เป็นฟังก์ชันทดสอบใดๆ โดยที่ $s$ $+$ , และ $s$ $-$ เป็นการแจกแจงของตัวแปรหนึ่งตัว $\iint {\widehat {y}}\varphi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\varphi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\varphi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,$

จากนั้น การผกผันฟูริเยร์จะให้เงื่อนไขขอบเขตที่คล้ายคลึงกับสิ่งที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้นอย่างเป็นรูปธรรมมากขึ้น (กำหนด $Φ (ξ, f) = e i 2π(xξ + tf)$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นการเติบโตแบบพหุนาม): และ $y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi$ ${\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .$

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ การใช้การแปลงฟูริเยร์แบบตัวแปรเดียวในตัวแปร $x$ กับฟังก์ชันของ $x$ เหล่านี้ จะได้สมการสองสมการในสองการแจกแจงที่ไม่ทราบค่า $s \pm$ (ซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันธรรมดาหากเงื่อนไขขอบเขตเป็น $L 1$ หรือ $L 2$ )

จากมุมมองด้านการคำนวณ ข้อเสียก็คือ เราต้องคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของเงื่อนไขขอบเขตก่อน จากนั้นจึงประกอบคำตอบจากเงื่อนไขเหล่านั้น แล้วจึงคำนวณการแปลงฟูริเยร์ผกผัน สูตรสำเร็จรูปนั้นหายาก ยกเว้นในกรณีที่มีความสมมาตรทางเรขาคณิตที่สามารถนำมาใช้ประโยชน์ได้ และการคำนวณเชิงตัวเลขนั้นยากเนื่องจากลักษณะการแกว่งของปริพันธ์ ซึ่งทำให้การลู่เข้าช้าและยากต่อการคาดเดา สำหรับการคำนวณในทางปฏิบัติ มักใช้วิธีการอื่นแทน

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เชิงเส้น

ในศตวรรษที่ 20 ได้มีการนำวิธีการเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์พหุนาม รวมถึงการขยายไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางประเภทโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการวิวัฒนาการที่ไม่เป็นเชิงเส้น (กล่าวคือ สมการที่อธิบายว่าปริมาณเฉพาะหนึ่งๆ เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไปจากสถานะเริ่มต้นที่กำหนด) ซึ่งสามารถเชื่อมโยงกับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะเชิงเส้นที่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นปริพันธ์ของสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น^{[ 71 ]}^{[ 72 ]}เนื่องจากอาจถือได้ว่าเป็นการขยายการวิเคราะห์ฟูริเยร์ไปสู่ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหานี้จึงเรียกว่า วิธี การแปลงฟูริเยร์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น (หรือการแปลงการกระเจิงผกผัน ) ^{[ 73 ]}

สเปกโทรสโกปีแบบฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์ม

การแปลงฟูริเยร์ยังใช้ในนิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนนซ์ (NMR) และในสเปกโทรสโกปี ประเภทอื่นๆ เช่น อินฟราเรด ( FTIR ) ใน NMR สัญญาณการสลายตัวของการเหนี่ยวนำอิสระ (FID) ที่มีรูปร่างแบบเอกซ์โปเนนเชียลจะถูกบันทึกในโดเมนเวลาและแปลงฟูริเยร์เป็นรูปร่างเส้นแบบลอเรนซ์ในโดเมนความถี่ การแปลงฟูริเยร์ยังใช้ในภาพถ่ายเรโซแนนซ์แม่เหล็ก (MRI) และแมสสเปกโทรเมตรีด้วย

กลศาสตร์ควอนตัม

การแปลงฟูริเยร์มีประโยชน์ในกลศาสตร์ควอนตัมอย่างน้อยสองวิธี ประการแรก โครงสร้างเชิงแนวคิดพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของคู่ตัวแปรเสริมที่เชื่อมโยงกันด้วยหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กตัวอย่างเช่น ในมิติเดียว ตัวแปรเชิงพื้นที่ $q$ ของอนุภาค สามารถวัดได้โดย " ตัวดำเนินการตำแหน่ง " ทางกลศาสตร์ควอนตัมเท่านั้น โดยแลกกับการสูญเสียข้อมูลเกี่ยวกับโมเมนตัม $p$ ของอนุภาค ดังนั้น สถานะทางกายภาพของอนุภาคจึงสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันที่เรียกว่า "ฟังก์ชันคลื่น" ของ $q$ หรือด้วยฟังก์ชันของ $p$ แต่ไม่ใช่ด้วยฟังก์ชันของทั้งสองตัวแปร ตัวแปร $p$ เรียกว่าตัวแปรคู่ควบของ $q$

ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะทางกายภาพของอนุภาค (ซึ่งมีอยู่ในมิติเดียว เพื่อความง่ายในการอธิบาย) จะถูกกำหนดโดยการกำหนดค่าที่แน่นอนให้กับทั้ง $p$ และ $q$ พร้อมกัน ดังนั้น เซตของสถานะทางกายภาพที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือปริภูมิเวกเตอร์จริงสองมิติที่มี แกน $p$ และ แกน $q$ เรียกว่าปริภูมิเฟสในทางตรงกันข้าม กลศาสตร์ควอนตัมเลือกการโพลาไรเซชันของปริภูมินี้ในแง่ที่ว่ามันเลือกปริภูมิย่อยที่มีมิติครึ่งหนึ่ง เช่น แกน $q$ เพียงอย่างเดียว แต่แทนที่จะพิจารณาเฉพาะจุด มันจะเลือกเซตของ "ฟังก์ชันคลื่น" ที่มีค่าเชิงซ้อนทั้งหมดบนแกนนี้ อย่างไรก็ตาม การเลือก แกน $p$ ก็เป็นการโพลาไรเซชันที่ถูกต้องเช่นกัน ซึ่งให้การแสดงแทนที่แตกต่างกันของเซตของสถานะทางกายภาพที่เป็นไปได้ของอนุภาค การแสดงแทนของฟังก์ชันคลื่นทั้งสองแบบมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงฟูริเยร์ เช่น หรือเทียบเท่ากับ $\varphi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},$ $\psi (q)=\int dp\,\varphi (p)e^{ipq/h}.$

สถานะที่เกิดขึ้นได้จริงทางกายภาพคือ $L²$ และด้วยเหตุนี้ ตามทฤษฎีบทของ Plancherelการแปลงฟูริเยร์ของสถานะเหล่านั้นจึงเป็น L² เช่นกัน $($ $โปรด$ $ทราบ$ ว่า เนื่องจาก $q$ มีหน่วยเป็นระยะทางและ $p$ มีหน่วยเป็นโมเมนตัม การมีค่าคงที่ของพลังค์ในเลขชี้กำลังทำให้เลขชี้กำลังไม่มีมิติซึ่งเป็นสิ่งที่ควรจะเป็น)

ดังนั้น การแปลงฟูริเยร์จึงสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนจากวิธีการแสดงสถานะของอนุภาคแบบหนึ่ง โดยใช้ฟังก์ชันคลื่นของตำแหน่ง ไปสู่วิธีการแสดงสถานะของอนุภาคอีกแบบหนึ่ง โดยใช้ฟังก์ชันคลื่นของโมเมนตัม มีความเป็นไปได้ของโพลาไรเซชันที่แตกต่างกันอย่างไม่จำกัด และทั้งหมดนั้นถูกต้องเท่าเทียมกัน ความสามารถในการแปลงสถานะจากรูปแบบหนึ่งไปสู่อีกรูปแบบหนึ่งโดยใช้การแปลงฟูริเยร์นั้นไม่เพียงแต่สะดวกเท่านั้น แต่ยังเป็นเหตุผลพื้นฐานของหลักการความไม่แน่นอน ของไฮเซนเบิร์ก อีก ด้วย

การใช้งานอีกอย่างหนึ่งของการแปลงฟูริเยร์ในทั้งกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัมคือการแก้สมการคลื่นที่เกี่ยวข้อง ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพสมการชโรดิงเกอร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาในมิติเดียว ซึ่งไม่ได้รับอิทธิพลจากแรงภายนอก คือ $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

สมการนี้เหมือนกับสมการความร้อน ยกเว้นมีหน่วยจินตนาการ $i$ สามารถใช้วิธีฟูริเยร์ในการแก้สมการนี้ได้

ในกรณีที่มีศักยภาพ ซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันพลังงานศักยภาพ $V (x)$ สมการจะกลายเป็น $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

“คำตอบพื้นฐาน” ดังที่เราได้กล่าวถึงข้างต้น คือ “สถานะคงที่” ของอนุภาค และอัลกอริทึมของฟูริเยร์ ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ยังคงสามารถใช้แก้ปัญหาค่าขอบเขตของการวิวัฒนาการในอนาคตของ $ψ$ โดยกำหนดค่าให้ $t = 0$ ได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งสองนี้ไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติมากนักในกลศาสตร์ควอนตัม ปัญหาค่าขอบเขตและการวิวัฒนาการตามเวลาของฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่น่าสนใจในทางปฏิบัติมากนัก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือสถานะคงที่

ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ สมการชโรดิงเกอร์จะกลายเป็นสมการคลื่นเช่นเดียวกับในฟิสิกส์คลาสสิก ยกเว้นว่าเราจะพิจารณาคลื่นที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างง่ายๆ ในกรณีที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์กับอนุภาคหรือสนามอื่นๆ คือสมการไคลน์-กอร์ดอน-ชโรดิงเกอร์-ฟ็อคแบบหนึ่งมิติอิสระ ซึ่งในครั้งนี้อยู่ในหน่วยไร้มิติ $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).$

ในทางคณิตศาสตร์แล้ว นี่คือสมการคลื่นเดียวกันกับสมการคลื่นในฟิสิกส์คลาสสิกที่แก้ไปแล้วข้างต้น (แต่เป็นคลื่นที่มีค่าเชิงซ้อน ซึ่งวิธีการไม่แตกต่างกัน) วิธีนี้มีประโยชน์อย่างมากในทฤษฎีสนามควอนตัม: ส่วนประกอบฟูริเยร์แต่ละส่วนของคลื่นสามารถถือได้ว่าเป็นตัวสั่นฮาร์มอนิกแยกกัน แล้วจึงทำการควอนตัม ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่า "การควอนตัมแบบที่สอง" วิธีการของฟูริเยร์ได้รับการปรับปรุงให้สามารถจัดการกับปฏิสัมพันธ์ที่ไม่ธรรมดาได้ด้วย

ในที่สุดตัวดำเนินการจำนวนของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมสามารถตีความได้ เช่น ผ่าน เคอร์เนล ^ของ Mehlerเป็นตัวสร้างของการแปลงฟูริ เยร์ ${\mathcal {F}}$ ^[ 30 ^]

การประมวลผลสัญญาณ

การแปลงฟูริเยร์ใช้สำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมของอนุกรมเวลา อย่างไรก็ตาม ในสาขาวิชาการประมวลผลสัญญาณทางสถิติ โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช้การแปลงฟูริเยร์กับตัวสัญญาณเอง แม้ว่าสัญญาณจริงจะเป็นสัญญาณชั่วคราวก็ตาม ในทางปฏิบัติพบว่าควรจำลองสัญญาณด้วยฟังก์ชัน (หรือกระบวนการสุ่ม) ที่มีเสถียรภาพในแง่ที่ว่าคุณสมบัติเฉพาะของมันคงที่ตลอดเวลา การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีอยู่จริงในความหมายปกติ และพบว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณนั้นมีประโยชน์มากกว่าสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณ

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ $R$ ของฟังก์ชัน $f$ ถูกกำหนดโดย $R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันของช่วงเวลาหน่วง $τ$ ที่ผ่านไประหว่างค่าของ $f$ ที่ต้องการหาความสัมพันธ์กัน

สำหรับฟังก์ชัน $f$ ส่วนใหญ่ ที่พบได้ในทางปฏิบัติ $R$ เป็นฟังก์ชันคู่ที่มีขอบเขตของช่วงเวลาหน่วง $τ$ และสำหรับสัญญาณรบกวนทั่วไป พบว่ามีความต่อเนื่องสม่ำเสมอโดยมีค่าสูงสุดที่ $τ =$ 0

ฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชัน หรือที่เรียกอย่างถูกต้องว่าฟังก์ชันออโตโคแวเรียนซ์ เว้นแต่จะมีการปรับให้เป็นมาตรฐานในลักษณะที่เหมาะสม จะวัดความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ $f$ ที่มีช่วงเวลาต่างกัน นี่เป็นวิธีการค้นหาความสัมพันธ์ของ $f$ กับค่าในอดีตของตัวมันเอง ฟังก์ชันนี้มีประโยชน์แม้กระทั่งสำหรับงานทางสถิติอื่นๆ นอกเหนือจากการวิเคราะห์สัญญาณ ตัวอย่างเช่น ถ้า $f (t)$ แทนอุณหภูมิ ณ เวลา $t$ เราคาดหวังว่าจะมีความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งกับอุณหภูมิ ณ เวลาที่ผ่านไป 24 ชั่วโมง

มันมีการแปลงฟูริเยร์ $P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .$

การแปลงฟูริเยร์นี้เรียกว่า ฟังก์ชัน ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังของ $f$ (เว้นแต่จะกรองส่วนประกอบที่เป็นคาบทั้งหมดออกจาก $f$ ก่อน อินทิกรัล นี้จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ แต่การกรองส่วนประกอบที่เป็นคาบเหล่านั้นออกทำได้ง่าย)

สเปกตรัมกำลัง ซึ่งแสดงโดยฟังก์ชันความหนาแน่น $P$ นี้ วัดปริมาณความแปรปรวนที่เกิดจากความถี่ $ξ$ ต่อข้อมูล ในสัญญาณไฟฟ้า ความแปรปรวนเป็นสัดส่วนกับกำลังเฉลี่ย (พลังงานต่อหน่วยเวลา) ดังนั้น สเปกตรัมกำลังจึงอธิบายว่าความถี่ต่างๆ มีส่วนช่วยต่อกำลังเฉลี่ยของสัญญาณมากน้อยเพียงใด กระบวนการนี้เรียกว่าการวิเคราะห์สเปกตรัมของอนุกรมเวลา และคล้ายคลึงกับการวิเคราะห์ความแปรปรวนของข้อมูลที่ไม่ใช่อนุกรมเวลา ( ANOVA ) ทั่วไป

ความรู้เกี่ยวกับความถี่ที่ "สำคัญ" ในความหมายนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการออกแบบตัวกรองที่เหมาะสมและการประเมินอุปกรณ์วัดอย่างถูกต้อง นอกจากนี้ยังสามารถเป็นประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่ก่อให้เกิดข้อมูลเหล่านั้นได้อีกด้วย

นอกจากนี้ ยังสามารถวัดสเปกตรัมกำลังของสัญญาณได้โดยประมาณโดยตรง โดยการวัดกำลังเฉลี่ยที่เหลืออยู่ในสัญญาณหลังจากที่กรองความถี่ทั้งหมดที่อยู่นอกช่วงความถี่แคบๆ ออกไปแล้ว

การวิเคราะห์สเปกตรัมยังดำเนินการกับสัญญาณภาพด้วย สเปกตรัมกำลังไม่คำนึงถึงความสัมพันธ์ของเฟส ซึ่งก็เพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์หลายอย่าง แต่สำหรับสัญญาณวิดีโอ จำเป็นต้องใช้การวิเคราะห์สเปกตรัมประเภทอื่น ๆ ด้วย โดยยังคงใช้การแปลงฟูริเยร์เป็นเครื่องมืออยู่

หมายเหตุอื่นๆ

สัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปได้แก่: ${\widehat {f}}(\xi )$ ${\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.$

ในสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ก็มักมีการแทนที่แบบนี้เช่นกัน: $\xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\widehat {f}}\rightarrow X.$

ดังนั้นคู่การแปลงจึงสามารถกลายเป็น $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi )$ $x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)$

ข้อเสียของการใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่คือ เมื่อแสดงการแปลง เช่นหรือ ซึ่ง จะกลายเป็นและ ที่ดูยุ่งยากกว่า ${\widehat {f}}\cdot g$ ${\widehat {f}}'$ ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}$ ${\mathcal {F}}\{f'\}$

ในบางบริบท เช่น ฟิสิกส์อนุภาค สัญลักษณ์เดียวกันอาจใช้ได้ทั้งสำหรับฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน นั้น โดยความแตกต่างอยู่ที่ตัวแปรเท่านั้น กล่าว คือจะหมายถึงการแปลงฟูริเยร์เนื่องจากตัวแปรโมเมนตัม ในขณะที่จะหมายถึงฟังก์ชันดั้งเดิมเนื่องจากตัวแปรตำแหน่ง แม้ว่าเครื่องหมายทิลเดอาจใช้เช่นเพื่อระบุการแปลงฟูริเยร์ แต่เครื่องหมายทิลเดยังอาจใช้เพื่อระบุการปรับเปลี่ยนปริมาณที่มี รูปแบบ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์เช่นดังนั้นจึงต้องระมัดระวัง ในทำนองเดียวกันมักใช้เพื่อหมายถึงการแปลงฮิลเบิร์ ตของ $f$ $f(k_{1}+k_{2})$ $f(x_{0}+\pi {\vec {r}})$ ${\tilde {f}}$ ${\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}$ ${\widehat {f}}$ $f$

การตีความฟังก์ชันเชิงซ้อน $f̂ (ξ)$ อาจทำได้ง่ายขึ้นโดยการแสดงในรูปแบบ พิกัดเชิงขั้ว โดยใช้ฟังก์ชันจริงสองฟังก์ชัน $A$ $($ $ξ$ $)$ และ $φ$ $($ $ξ$ $)$ โดยที่: คือแอมพลิจูดและ คือเฟส (ดูArg ) ${\widehat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}$ $A(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|,$ $\varphi (\xi )=\arg \left({\widehat {f}}(\xi )\right),$

จากนั้นสามารถเขียนการแปลงผกผันได้ดังนี้: ซึ่งเป็นการรวมส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดของ $f$ $($ $x$ $)$ เข้าด้วยกัน ส่วนประกอบแต่ละส่วนเป็นไซน์ เชิงซ้อน ในรูปแบบ $e$ $2π$ $ixξ$ ซึ่งมีแอมพลิจูดเป็น $A$ $($ $ξ$ $)$ และมุมเฟส เริ่มต้น (ที่ $x$ $= 0$ ) คือ $φ$ $($ $ξ$ $)$ $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,$

การแปลงฟูริเยร์อาจมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิฟังก์ชัน ในที่นี้จะใช้ สัญลักษณ์ Fแทน การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน $f โดยใช้$ $F (f)$ การแปลงนี้เป็นแบบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าFสามารถมองได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นบนปริภูมิฟังก์ชันเช่นกัน และหมายความว่าสัญลักษณ์มาตรฐานในพีชคณิตเชิงเส้นของการใช้การแปลงเชิงเส้นกับเวกเตอร์ (ในที่นี้คือฟังก์ชัน $f) สามารถใช้เขียน Ff$ $แทน$ F $($ f $)$ $ได้$ $เนื่องจาก$ $ผลลัพธ์$ ของการใช้การแปลงฟูริเยร์เป็นฟังก์ชันอีกครั้ง เราจึงสนใจค่าของฟังก์ชันนี้ที่ประเมินค่า ณ ค่า $ξ$ สำหรับตัวแปรของมัน และสิ่งนี้จะใช้สัญลักษณ์ $Ff$ $($ $ξ$ $)$ หรือ $($ $Ff$ $)($ $ξ$ $)$ $โปรด$ $สังเกตว่าในกรณีแรก นั้น$ เป็นที่เข้าใจโดยปริยายว่าF ถูกนำไปใช้กับ $f$ ก่อนแล้วจึงประเมินค่าฟังก์ชันที่ได้ ณ ค่า $ξ$ ไม่ใช่ในทางกลับกัน

ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ประยุกต์ต่างๆ มักจำเป็นต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างฟังก์ชัน $f$ กับค่าของ $f$ เมื่อตัวแปรเท่ากับ $x$ ซึ่งเขียนแทนด้วย $f (x)$ นั่นหมายความว่า สัญลักษณ์อย่าง $F (f (x))$ สามารถตีความได้ว่าเป็นการแปลงฟูริเยร์ของค่า $f$ ที่ $x$ ถึงแม้จะมีข้อบกพร่องนี้ แต่สัญลักษณ์ดังกล่าวก็ปรากฏให้เห็นบ่อยครั้ง โดยเฉพาะเมื่อต้องการแปลงฟังก์ชันเฉพาะหรือฟังก์ชันของตัวแปรเฉพาะ ตัวอย่างเช่น บางครั้งใช้เพื่อแสดงว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นฟังก์ชัน sincหรือ ใช้เพื่อแสดงคุณสมบัติการเลื่อนของการแปลงฟูริเยร์ ${\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )$ ${\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }$

โปรดสังเกตว่า ตัวอย่างสุดท้ายจะถูกต้องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันที่แปลงแล้วเป็นฟังก์ชันของ $x$ ไม่ใช่ของ $x 0$ เท่านั้น

ดังที่กล่าวมาข้างต้นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มนั้นเหมือนกับการแปลงฟูริเยร์-สตีลเจสของมาตรวัดการกระจายตัวของมัน แต่ในบริบทนี้ โดยทั่วไปแล้วจะใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกันสำหรับค่าคงที่ โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกกำหนดไว้ดังนี้ $E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).$

เช่นเดียวกับกรณีของข้อกำหนด "ความถี่เชิงมุมที่ไม่เป็นเอกภาพ" ข้างต้น ตัวประกอบ 2π $ไม่$ ปรากฏทั้งในค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานและในเลขชี้กำลัง แต่แตกต่างจากข้อกำหนดอื่นๆ ที่ปรากฏข้างต้น ข้อกำหนดนี้ใช้เครื่องหมายตรงข้ามในเลขชี้กำลัง

วิธีการคำนวณ

วิธีการคำนวณที่เหมาะสมนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิมและรูปแบบของฟังก์ชันเอาต์พุตที่ต้องการ ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาทั้งฟังก์ชันของตัวแปรต่อเนื่องและ $f(x)$ ฟังก์ชันของตัวแปรไม่ต่อเนื่อง (เช่น คู่ลำดับของค่า x และy ) สำหรับค่าx ที่ไม่ต่อเนื่อง ปริพันธ์การแปลงจะกลายเป็นผลรวมของไซน์ ซึ่งยังคง เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของความถี่ ( xหรือy ) เมื่อไซน์มีความสัมพันธ์แบบฮาร์มอนิก (เช่น เมื่อค่า x อยู่ห่างกันเป็นจำนวนเต็มเท่าของช่วง) การแปลงนี้เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) $x$ $f$ $x$ $\xi$ $\omega$ $x$

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องและการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว

การสุ่มตัวอย่าง DTFT ที่ค่าความถี่ที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน เป็นวิธีการคำนวณที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบัน ขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพ ขึ้นอยู่กับความละเอียดของความถี่ที่ต้องการ ได้อธิบายไว้ในหัวข้อ การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง § การสุ่มตัวอย่าง DTFTการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) ที่ใช้ในที่นั้น มักจะคำนวณโดยใช้ อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT)

การอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ของฟังก์ชันรูปแบบปิด

ตาราง การแปลงฟูริเยร์ แบบปิดเช่น§ ฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ หนึ่งมิติและ§ ตารางการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องถูกสร้างขึ้นโดยการประเมินอินทิกรัล (หรือผลรวม) ของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ทางคณิตศาสตร์ลงในฟังก์ชันความถี่แบบปิดอีกฟังก์ชันหนึ่ง ( ⁠ ⁠ $\xi$ หรือ⁠ ⁠ $\omega$ ) ^{[ 74 ]} เมื่อเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ การแปลงนี้จะให้ค่าความถี่ต่อเนื่อง

ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์หลายระบบ เช่นMatlabและMathematicaที่สามารถทำการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ได้นั้น สามารถคำนวณการแปลงฟูริเยร์เชิงสัญลักษณ์ได้เช่นกัน^{[หมายเหตุ 9 ]} https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Edit_summary

การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบปิด

การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฟูริเยร์สามารถทำได้โดยการบูรณาการเชิงตัวเลขของนิยามที่แต่ละค่าความถี่ที่ต้องการแปลง^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}^{[ 77 ]} วิธีการบูรณาการเชิงตัวเลขใช้ได้กับฟังก์ชันที่หลากหลายกว่าวิธีการวิเคราะห์มาก

การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของอนุกรมคู่ลำดับ

หากฟังก์ชันอินพุตเป็นอนุกรมของคู่ลำดับ การอินทิเกรตเชิงตัวเลขจะลดลงเหลือเพียงผลรวมเหนือเซตของคู่ข้อมูล^{[ 78 ]} DTFT เป็นกรณีย่อยทั่วไปของสถานการณ์ทั่วไปนี้

ตารางแสดงค่าการแปลงฟูริเยร์ที่สำคัญ

ตารางต่อไปนี้บันทึกการแปลงฟูริเยร์ในรูปแบบปิดบางส่วน สำหรับฟังก์ชัน $f (x)$ และ $g (x) ให้ใช้$ $f̂$ และ $ĝ$ แทนการแปลงฟูริเยร์มีเพียงสามรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปเท่านั้นที่รวมอยู่ อาจเป็นประโยชน์ที่จะสังเกตว่ารายการที่ 105 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันกับฟังก์ชันดั้งเดิม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงฟูริเยร์กับฟังก์ชันผกผัน

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบมิติเดียว

การแปลงฟูริเยร์ในตารางนี้สามารถพบได้ในErdélyi (1954)หรือKammler (2000ภาคผนวก)

	การทำงาน	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่ปกติ	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่เชิงมุม	การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เอกภาพ ความถี่เชิงมุม	หมายเหตุ
	$f(x)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	คำจำกัดความ
101	$a\,f(x)+b\,g(x)$	$a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )$	ความเป็นเส้นตรง
102	$f(x-a)$	$e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )$	การเปลี่ยนแปลงในโดเมนเวลา
103	$f(x)e^{iax}$	${\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\widehat {f}}(\omega -a)$	${\widehat {f}}(\omega -a)$	การเปลี่ยนแปลงในโดเมนความถี่ ซึ่งเป็นค่าคู่ของ 102
104	$f(ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	การปรับขนาดในโดเมนเวลา ถ้า $\| a \|$ มีค่ามาก $f (ax)$ จะกระจุกตัวอยู่รอบๆ $0$ แล้วกระจายออกไปและแบนราบลง ${\textstyle {\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$
105	${\widehat {f}}_{n}(x)$	${\widehat {f}}_{1}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )$	${\widehat {f}}_{2}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )$	${\widehat {f}}_{3}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )$	มีการนำการแปลงแบบเดียวกันมาใช้สองครั้ง แต่ $x$ จะเข้ามาแทนที่ตัวแปรความถี่ ( $ξ$ หรือ $ω$ ) หลังจากการแปลงครั้งแรก
106	${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}$	$(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )$	อนุพันธ์อันดับที่ $n$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันชวาร์ตซ์
106.5	$\int _{-\infty }^{x}f(\tau )d\tau$	${\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )$	การบูรณาการ^{[ 79 ]}หมายเหตุ: คือฟังก์ชันเดลต้าของ Diracและคือค่าเฉลี่ย ( DC ) ของเช่นนั้น $\delta$ $C$ $f(x)$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }(f(x)-C)\,dx=0}$
107	$x^{n}f(x)$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	นี่คือคู่ของ 106
108	$(f*g)(x)$	${\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )$	${\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )$	สัญลักษณ์ $f * g$ หมายถึงการสังเคราะห์ (convolution)ของ $f$ และ $g$ – กฎนี้คือทฤษฎีบทการสังเคราะห์ (convolution theorem)
109	$f(x)g(x)$	$\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )$	${\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )$	นี่คือคู่ของ 108
110	สำหรับ $f (x)$ ที่เป็นจำนวนจริงล้วนๆ	${\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	สมมาตรเฮอร์มิเชียน $z$ แสดงถึงคู่ควบเชิงซ้อน
113	สำหรับ $f (x)$ ที่เป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ	${\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	$z$ แสดงถึงต เชิงซ้อน
114	${\overline {f(x)}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	การผันเชิงซ้อนการวางนัยทั่วไปของ 110 และ 113
115	$f(x)\cos(ax)$	${\frac {{\widehat {f}}{\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}+{\widehat {f}}{\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}$	ซึ่งเป็นไปตามกฎข้อที่ 101 และ 103 โดยใช้สูตรของออยเลอร์ : ⁠ ⁠ $\cos(ax)={\tfrac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}$ .
116	$f(x)\sin(ax)$	${\frac {{\widehat {f}}{\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}-{\widehat {f}}{\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	ซึ่งเป็นผลมาจากข้อ 101 และ 103 โดยใช้สูตรของออยเลอร์ : ⁠ ⁠ $\sin(ax)={\tfrac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}$ .

ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ในมิติเดียว

การแปลงฟูริเยร์ในตารางนี้สามารถพบได้ในCampbell & Foster (1948) , Erdélyi (1954)หรือKammler (2000 , ภาคผนวก)

	การทำงาน	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่ปกติ	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่เชิงมุม	การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เอกภาพ ความถี่เชิงมุม	หมายเหตุ
	$f(x)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	คำจำกัดความ
201	$\operatorname {rect} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	พัลส์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและฟังก์ชัน sinc ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน ซึ่งในที่นี้กำหนดเป็น $sinc($ $x$ $) =$ $⁠$ $sin(π x) / π x ⁠$
202	$\operatorname {sinc} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	กฎคู่ขนานของกฎข้อ 201 ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นตัวกรองความถี่ต่ำใน อุดมคติ และฟังก์ชัน sincเป็นการ ตอบสนองแบบอิมพัลส์ ที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลของตัวกรองดังกล่าวฟังก์ชัน sincถูกกำหนดไว้ในที่นี้ว่า $sinc(x) = ⁠ sin(π x) / π x ⁠$ .
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	ฟังก์ชัน $tri(x)$ คือฟังก์ชันสามเหลี่ยม
204	$\operatorname {tri} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	กฎข้อ 203 ฉบับคู่ขนาน
205	$e^{-ax}u(x)$	${\frac {1}{a+i2\pi \xi }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\omega }}$	ฟังก์ชัน $u (x)$ คือฟังก์ชันขั้นบันไดหน่วยของ Heavisideและ $a >$ 0
206	$e^{-\alpha x^{2}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า สำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ฟังก์ชันเกา ส์เซียน $e - αx 2$ เป็นการแปลงฟูริเยร์ของตัวมันเองสำหรับค่า $α$ บางค่า เพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ได้ เราต้องมี $Re(α) >$ 0
208	$e^{-a\|x\|}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	สำหรับ $Re(a) > 0$ นั่นคือ การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ลดลงแบบสองด้านจะเป็นฟังก์ชันลอเรนซ์
209	$\operatorname {sech} (ax)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	เส้นตัดไฮเปอร์โบลิกคือการแปลงฟูริเยร์ของตัวมันเอง
210	$e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)$	${\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}$	${\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	$H n$ คือพหุนามเฮอร์ไมต์ ลำดับที่ $n$ ถ้า $a$ $= 1$ แล้วฟังก์ชันเกาส์-เฮอร์ไมต์จะเป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการแปลงฟูริเยร์ สำหรับการพิสูจน์ โปรดดูที่ พหุนามเฮอร์ไมต์ § ฟังก์ชันเฮอร์ไมต์เป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์สูตรจะลดรูปเป็น 206 สำหรับ $n$ $=$ 0

การแจกแจงแบบหนึ่งมิติ

การแปลงฟูริเยร์ในตารางนี้สามารถพบได้ในErdélyi (1954)หรือKammler (2000ภาคผนวก)

	การทำงาน	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่ปกติ	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่เชิงมุม	การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เอกภาพ ความถี่เชิงมุม	หมายเหตุ
	$f(x)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	คำจำกัดความ
301	$1$	$\delta (\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega )$	$2\pi \delta (\omega )$	การกระจาย $δ (ξ)$ หมายถึงฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac
302	$\delta (x)$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	$1$	กฎข้อที่ 301 ฉบับคู่ขนาน
303	$e^{iax}$	$\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\omega -a)$	ซึ่งเป็นไปตามข้อ 103 และ 301
304	$\cos(ax)$	${\frac {\delta {\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}+\delta {\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)$	ซึ่งเป็นไปตามกฎข้อ 101 และ 303 โดยใช้สูตรของออยเลอร์ : ⁠ ⁠ $\cos(ax)={\tfrac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}$ .
305	$\sin(ax)$	${\frac {\delta {\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}-\delta {\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2i}}$	${\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	$i\pi {\bigl (}\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a){\bigr )}$	สิ่งนี้สืบเนื่องมาจาก 101 และ 303 โดยใช้⁠ ⁠ $\sin(ax)={\tfrac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}$ .
306	$\cos \left(ax^{2}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	สิ่งนี้สืบเนื่องมาจาก 101 และ 207 โดยใช้⁠ ⁠ $\cos(ax^{2})={\tfrac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}$ .
307	$\sin \left(ax^{2}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	สิ่งนี้สืบเนื่องมาจาก 101 และ 207 โดยใช้⁠ ⁠ $\sin(ax^{2})={\tfrac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}$ .
308	$e^{-\pi i\alpha x^{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi \xi ^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}$	ในที่นี้ถือว่าค่าอัลฟาเป็นค่าจริง สำหรับกรณีที่อัลฟาเป็นจำนวนเชิงซ้อน โปรดดูตารางที่ 206 ด้านบน $\alpha$
309	$x^{n}$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )$	ในที่นี้ $n$ เป็นจำนวนธรรมชาติและ $δ (n) (ξ)$ คือ อนุพันธ์การกระจายลำดับที่ $n$ ของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac กฎนี้เป็นไปตามกฎ 107 และ 301 เมื่อรวมกฎนี้กับกฎ 101 เราสามารถแปลงพหุ นาม ทั้งหมดได้
310	$\delta ^{(n)}(x)$	$(i2\pi \xi )^{n}$	${\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}$	$(i\omega )^{n}$	กฎคู่ของกฎ 309 $δ (n) (ξ)$ คือ อนุพันธ์การกระจายลำดับที่ $n$ ของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac กฎนี้เป็นไปตาม 106 และ 302
311	${\frac {1}{x}}$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\omega )$	ในที่นี้ $sgn(ξ)$ คือฟังก์ชันเครื่องหมายโปรดสังเกตว่า $⁠$ $1 / x ไม่ใช่$ การแจกแจง จำเป็นต้องใช้ค่าหลักของโคชีเมื่อทำการทดสอบกับฟังก์ชันชวาร์ตซ์กฎนี้มีประโยชน์ในการศึกษาการแปลงฮิลเบิร์ต
312	${\begin{aligned}&{\frac {1}{x^{n}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log \|x\|\end{aligned}}$	$-i\pi {\frac {(-i2\pi \xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$⁠ 1 / x n คือ$ การกระจายแบบเอกพันธุ์ที่กำหนดโดยอนุพันธ์ของการกระจาย ${\tfrac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\log \|x\|$
313	$\|x\|^{\alpha }$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{\|2\pi \xi \|^{\alpha +1}}}$	${\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{\|\omega \|^{\alpha +1}}}$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{\|\omega \|^{\alpha +1}}}$	สูตรนี้ใช้ได้สำหรับ $-1 < α < 0$ สำหรับ $α > 0$ จะมีพจน์เอกฐานบางส่วนเกิดขึ้นที่จุดกำเนิด ซึ่งสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของ 320 ถ้า $Re α > -1$ แล้ว $\| x \| α$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่น และดังนั้นจึงเป็นการกระจายแบบเทมเปอร์ ฟังก์ชัน $α \mapsto \| x \| α$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจากระนาบครึ่งขวาไปยังปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ มันยอมรับการขยายเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่ซ้ำกันไปยังการกระจายแบบเทมเปอร์ ซึ่งแสดงด้วย $\| x \| α$ สำหรับ $α \neq -1, -3, ...$ (ดูการกระจายแบบเอกพันธุ์ )
	${\frac {1}{\sqrt {\|x\|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\|\xi \|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\|\omega \|}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\|\omega \|}}}$	กรณีพิเศษของ 313
314	$\operatorname {sgn}(x)$	${\frac {1}{i\pi \xi }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\omega }}$	กฎข้อที่ 311 ในทางกลับกัน คราวนี้ต้องพิจารณาการแปลงฟูริเยร์เป็นค่าหลักของโคชี
315	$u(x)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	ฟังก์ชัน $u (x)$ คือฟังก์ชันขั้นบันไดหน่วยของ Heaviside ซึ่งเป็นไปตามกฎข้อ 101, 301 และ 314
316	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน หวีของ Diracผลลัพธ์นี้สามารถอนุมานได้จาก 302 และ 102 ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นการแจกแจง ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$ ${\textstyle =2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)}$
317	$J_{0}(x)$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	ฟังก์ชัน $J 0 (x) คือ$ ฟังก์ชันเบสเซลลำดับศูนย์ชนิดแรก
318	$J_{n}(x)$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	นี่เป็นการสรุปทั่วไปของ 317 ฟังก์ชัน $J n (x)$ คือฟังก์ชันเบสเซลลำดับ ที่ $n$ ชนิดแรก ฟังก์ชัน $T$ $n$ $($ $x$ $)$ คือพหุนามเชบิเชฟชนิดแรก
319	$\log \left\|x\right\|$	$-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left\|\xi \right\|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)$	$-{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left\|\omega \right\|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)$	$-{\frac {\pi }{\left\|\omega \right\|}}-2\pi \gamma \delta \left(\omega \right)$	$γ$ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีจำเป็นต้องใช้ปริพันธ์ส่วนจำกัดเมื่อทำการ $ทดสอบ$ $1 / \| ξ \| หรือ$ $$ $1 / \| ω \| เมื่อ$ เทียบกับฟังก์ชันของ Schwartzรายละเอียดในส่วนนี้อาจเปลี่ยนแปลงค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันเดลต้าได้
320	$\left(\mp ix\right)^{-\alpha }$	${\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}$	${\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}$	สูตรนี้ใช้ได้สำหรับ $0 < α < 1$ ใช้การหาอนุพันธ์เพื่อหาสูตรสำหรับเลขชี้กำลังที่สูงกว่านี้ $u$ คือฟังก์ชัน Heaviside

ฟังก์ชันสองมิติ

	การทำงาน	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่ปกติ	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่เชิงมุม	การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เอกภาพ ความถี่เชิงมุม	หมายเหตุ
400	$f(x,y)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i2\pi (\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&{\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}$	ตัวแปร $ξ x$ , $ξ y$ , $ω x$ , $ω y$ เป็นจำนวนจริง การอินทิเกรตทำบนระนาบทั้งหมด
401	$e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}$	${\frac {1}{\|ab\|}}e^{-\pi \left({\frac {\xi _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\xi _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}$	${\frac {1}{2\pi \,\|ab\|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}$	${\frac {1}{\|ab\|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}$	ฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน ซึ่งอาจไม่ได้มีปริมาตรเท่ากับหนึ่งหน่วย
402	$\operatorname {circ} \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$	${\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}$	${\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	${\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	ฟังก์ชันนี้กำหนดโดย $circ(r) = 1$ สำหรับ $0 \leq r \leq 1$ และมีค่าเป็น 0 ในกรณีอื่น ผลลัพธ์คือการกระจายแอมพลิจูดของดิสก์ Airyและแสดงโดยใช้ $J 1$ ( ฟังก์ชัน Besselอันดับ 1 ชนิดแรก) ^{[ 80 ]}
403	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	${\frac {2\pi }{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}$	นี่คือการแปลง Hankelของ $r -1$ ซึ่งเป็นการแปลง Fourier แบบ "ตัวเอง" 2 มิติ^{[ 81 ]}
404	${\frac {i}{x+iy}}$	${\frac {1}{\xi _{x}+i\xi _{y}}}$	${\frac {1}{\omega _{x}+i\omega _{y}}}$	${\frac {2\pi }{\omega _{x}+i\omega _{y}}}$

สูตรสำหรับฟังก์ชัน $n มิติโดยทั่วไป$

	การทำงาน	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่ปกติ	การแปลงฟูริเยร์แบบเอกภาพ ความถี่เชิงมุม	การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เอกภาพ ความถี่เชิงมุม	หมายเหตุ
500	$f(\mathbf {x} )$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{1}({\boldsymbol {\xi }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{2}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&{\frac {1}{{(2\pi )}^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{3}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}$
501	$\chi _{[0,1]}(\|\mathbf {x} \|)\left(1-\|\mathbf {x} \|^{2}\right)^{\delta }$	${\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }\,\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{\gamma }}}J_{\gamma }(2\pi \|{\boldsymbol {\xi }}\|)$	$2^{\delta }\,{\frac {\Gamma (\delta +1)}{\left\|{\boldsymbol {\omega }}\right\|^{\gamma }}}J_{\gamma }(\|{\boldsymbol {\omega }}\|)$	${\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }}}\left\|{\frac {\boldsymbol {\omega }}{2\pi }}\right\|^{-\gamma }J_{\gamma }(\!\|{\boldsymbol {\omega }}\|\!)$	ที่นี่, . $\gamma ={\tfrac {n}{2}}+\delta$ ฟังก์ชัน $χ [0, 1]$ คือฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของช่วง $[0, 1]$ ฟังก์ชัน $Γ(x)$ คือฟังก์ชันแกมมา ฟังก์ชัน $J ⁠ n / 2 + δ$ $คือ$ ฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรก ลำดับที่ $⁠$ $n / 2 ⁠ + δ$ . เมื่อใช้ $n = 2$ และ $δ = 0$ จะได้ 402^{[ 82 ]}
502	$\|\mathbf {x} \|^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n$	${\frac {(2\pi )^{\alpha }}{c_{n,\alpha }}}\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{-(n-\alpha )}$	${\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}}{c_{n,\alpha }}}\|{\boldsymbol {\omega }}\|^{-(n-\alpha )}$	${\frac {(2\pi )^{n}}{c_{n,\alpha }}}\|{\boldsymbol {\omega }}\|^{-(n-\alpha )}$	ดูศักยภาพของ Rieszซึ่งค่าคงที่กำหนดโดย⁠ ⁠ $\textstyle c_{n,\alpha }=\pi ^{\tfrac {n}{2}}2^{\alpha }{\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}/{\Gamma \left({\frac {n-\alpha }{2}}\right)}$ สูตรนี้ยังใช้ได้กับ $α \neq n, n + 2, ...$ ทั้งหมด โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ แต่ในกรณีนี้ฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของมันจำเป็นต้องเข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันการกระจายแบบเทมเปอร์ที่มีการปรับค่าอย่างเหมาะสม (ดูการกระจายแบบเอกพันธุ์ ) ^{[หมายเหตุ 10 ]}
503	${\frac {1}{\left\|{\boldsymbol {\sigma }}\right\|\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} }$	$e^{-2\pi ^{2}{\boldsymbol {\xi }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\xi }}}$	$(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}$	$e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}$	นี่คือสูตรสำหรับการแจกแจงปกติหลายตัวแปรที่ปรับให้เป็น 1 โดยมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 ตัวแปรที่เป็นตัวหนาคือเวกเตอร์หรือเมทริกซ์ ตามสัญลักษณ์ในหน้าเว็บที่กล่าวถึงข้างต้น $Σ = σ σ T$ และ $Σ -1 = σ -T σ -1$
504	$e^{-2\pi \alpha \|\mathbf {x} \|}$	${\frac {c_{n}\alpha }{\left(\alpha ^{2}+\|{\boldsymbol {\xi }}\|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}$	${\frac {c_{n}(2\pi )^{\frac {n+2}{2}}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+\|{\boldsymbol {\omega }}\|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}$	${\frac {c_{n}(2\pi )^{n+1}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+\|{\boldsymbol {\omega }}\|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}$	ที่นี่^{[ 83 ]} ⁠ ⁠ $\textstyle c_{n}={\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}/{\pi ^{\frac {n+1}{2}}}$ , $Re(α) > 0$

ดูเพิ่มเติม

การประมวลผลสัญญาณอนาล็อก – การประมวลผลสัญญาณที่ดำเนินการกับสัญญาณอนาล็อก
แถบบีเวอร์ส-ลิปสัน – เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในวิชาผลึกศาสตร์
การแปลง Constant-Q – การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้นที่มีความละเอียดแปรผันได้
เมทริกซ์ DFT – การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องที่แสดงในรูปเมทริกซ์
การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง – ฟังก์ชันในคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง
การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว – อัลกอริทึมการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง
ตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์ – กลุ่มของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล
ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ – ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับฟังก์ชัน
ตัวคูณฟูริเยร์ – ประเภทหนึ่งของตัวดำเนินการในการวิเคราะห์ฟูริเยร์
อนุกรมฟูริเยร์ – การแยกส่วนประกอบของฟังก์ชันคาบ
การแปลงฟูริเยร์ไซน์ – การแปลงฟูริเยร์แบบต่างๆ
การแปลงฟูริเยร์-เดลิญ
การแปลงฟูริเยร์-มูไค
การแปลงฟูริเยร์เศษส่วน – การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
การแปลงฟูริเยร์ทางอ้อม
การแปลงอินทิกรัล – การแมปที่เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตระหว่างปริภูมิฟังก์ชัน
- การแปลงแฮงเคล – การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
- การแปลงฮาร์ทลีย์ – การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแปลงฟูริเยร์
การแปลงลาปลาส – การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟิสิกส์ และวิศวกรรม
การวิเคราะห์สเปกตรัมแบบกำลังสองน้อยที่สุด – วิธีการคำนวณความเป็นคาบ
การแปลงเชิงเส้นแบบแคนอนิก
รายการการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์
การแปลงเมลลิน – การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
การแปลงหลายมิติ – การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหาความถี่ของสัญญาณ
NGC 4622 – โดยเฉพาะภาพ NGC 4622 การแปลงฟูริเยร์ $m =$ 2
ตัวดำเนินการนอกพื้นที่ – คลาสของการแมปตัวดำเนินการ
การแปลงฟูริเยร์กำลังสอง
การแปลงฟูริเยร์ควอนตัม – การเปลี่ยนฐานที่ใช้ในคอมพิวเตอร์ควอนตัม
การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น – การแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์สำหรับสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
ความหนาแน่นสเปกตรัม – ความสำคัญสัมพัทธ์ของความถี่บางช่วงในสัญญาณรวม
- การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัม – เทคนิคการประมวลผลสัญญาณ
การอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ – การคำนวณอนุพันธ์ผกผัน
การแปลงฟูริเยร์แบบกระจายการยืดเวลา
การแปลง (คณิตศาสตร์) – ฟังก์ชันที่นำเซตมาใช้กับตัวมันเอง

หมายเหตุ

โครงสร้าง ประโยคมักเพียงพอที่จะแยกแยะความหมายที่ต้องการได้ เช่น "ใช้การแปลงฟูริเยร์กับ [ข้อมูลนำเข้า]" หมายถึงการดำเนินการ ในขณะที่ "การแปลงฟูริเยร์ของ [ข้อมูลนำเข้า]" หมายถึงผลลัพธ์
^ขึ้นอยู่กับการใช้งาน วิธีการอินทิกรัลของเลเบสวิธีการกระจายหรือวิธีการอื่นๆ อาจเหมาะสมที่สุด
^ Vretblad (2000)ให้เหตุผลที่หนักแน่นสำหรับขั้นตอนที่เป็นทางการเหล่านี้โดยไม่ต้องลงลึกไปถึงการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันหรือทฤษฎีการแจกแจง
^ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพเราจะพบการแปลงฟูริเยร์แบบเวกเตอร์ของฟังก์ชันคลื่นหลายองค์ประกอบ ในทฤษฎีสนามควอนตัมการแปลงฟูริเยร์แบบตัวดำเนินการของฟังก์ชันปริภูมิเวลาแบบตัวดำเนินการมีการใช้งานบ่อยครั้ง ดูตัวอย่างเช่น Greiner & Reinhardt (1996 )
^แหล่งที่มาของความสับสนที่อาจเกิดขึ้นได้คือคุณสมบัติการเลื่อนความถี่กล่าวคือ การแปลงของฟังก์ชันคือ ⁠ ⁠ค่าของฟังก์ชันนี้ที่คือ ⁠ ⁠ซึ่งหมายความว่าความถี่ได้ถูกเลื่อนไปที่ศูนย์ (ดูเพิ่มเติมที่ ความถี่ลบ § การทำให้การแปลงฟูริเยร์ง่ายขึ้น ) $f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}$ ${\widehat {f}}(\xi +\xi _{0})$ $\xi =0$ ${\widehat {f}}(\xi _{0})$ $\xi _{0}$
^ตัวดำเนินการนี้ถูกกำหนดโดยการแทนที่ด้วยในการกระจายเทย์เลอร์ของ ⁠ ⁠ . ${\textstyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ $x$ ${\textstyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ $U(x)$
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถนำลำดับของฟังก์ชันที่อยู่ในจุดตัดของ $L 1$ และ $L 2$ และลู่เข้าสู่ $f$ ใน $นอร์ม L 2$ และกำหนดการแปลงฟูริเยร์ของ $f$ เป็น $ลิมิต L 2$ ของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านี้ได้
^โดยมีค่าคงที่เชิงจินตนาการเป็นปัจจัย ซึ่งขนาดของค่านี้ขึ้นอยู่กับว่าใช้ข้อกำหนดการแปลงฟูริเยร์แบบใด
^ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของ $cos(6π t) e -π t 2$ เราอาจป้อนคำสั่งลงintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infใน Wolfram Alphaคำสั่งโดยตรงนี้fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)จะใช้งานได้กับ Wolfram Alpha เช่นกัน แม้ว่าตัวเลือกสำหรับข้อตกลง (ดู § ข้อตกลงอื่นๆ ) จะต้องเปลี่ยนจากตัวเลือกเริ่มต้น ซึ่งจริงๆ แล้วเทียบเท่าintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to infกับ
^ใน Gelfand & Shilov 1964หน้า 363 โดยใช้ข้อกำหนดที่ไม่เป็นเอกภาพของตารางนี้ การแปลงของถูกกำหนดให้เป็น ⁠ ⁠ซึ่งตามมาด้วย ⁠ ⁠ . $|\mathbf {x} |^{\lambda }$ $\textstyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\Gamma ({\frac {\lambda +n}{2}})}/{\Gamma (-{\frac {\lambda }{2}})}\vert {\boldsymbol {\omega }}\vert ^{-\lambda -n}$ $\lambda =-\alpha$

การอ้างอิง

^พินสกี 2002 , หน้า 91
↑ลีบแอนด์ลอสส์ 2001 , หน้า 123–125
↑เกลฟานด์และชิลอฟ 1968 , หน้า 1. 128
^ฟูริเยร์ 1822หน้า 525
^ฟูริเยร์ 1878หน้า 408
^จอร์แดน (1883) พิสูจน์ ทฤษฎีบทปริพันธ์ฟูริเยร์ในหน้า 216–226ก่อนที่จะศึกษาอนุกรมฟูริเยร์
^ทิทช์มาร์ช 1986หน้า 1
^ราห์มาน 2011หน้า 10
^ Oppenheim, Schafer & Buck 1999 , หน้า 58
^ Stade 2005 , หน้า 298–299
^โฮว์ 1980
^ฟอลแลนด์ 1989
^ฟูริเยร์ 1822
^อาร์ฟเคน 1985
^ ^a ^b Pinsky 2002
↑โปรอาคิสและมาโนลาคิส 1996 , หน้า. 291
^คัตซ์เนลสัน 2004หน้า 153
^สไตน์และไวส์ 1971หน้า 2
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Stein & Weiss 1971
^รูดิน 1987หน้า 187
^รูดิน 1987หน้า 186
^ฟอลแลนด์ 1992 , หน้า 216
^วูล์ฟ 1979หน้า 307 เป็นต้นไป
^ฟอลแลนด์ 1989หน้า 53
↑เซเลกีนี, กาเดลลา และเดล โอลโม 2021
^ Duoandikoetxea 2001
^ ^a ^bโบอาชาช 2003
^คอนดอน 1937
^วูล์ฟ 1979หน้า 320
^ ^a ^b Wolf 1979 , หน้า 312
^ฟอลแลนด์ 1989หน้า 52
^โฮว์ 1980
^พาเลย์ แอนด์ ไวเนอร์ 1934
^เกลฟานด์และวิเลนกิน 1964
^คิริลลอฟและกวิชิอานี 1982
^ Clozel & Delorme 1985 , หน้า 331–333
↑เดอ กรูท แอนด์ มาซูร์ 1984 , p. 146
^แชมเพนีย์ 1987หน้า 80
↑ ^a ^b ^cโคลโมโกรอฟ และ โฟมิน 1999
^ไวเนอร์ 1949
^แชมเพนีย์ 1987หน้า 63
↑วิดเดอร์ แอนด์ วีเนอร์ 1938 , p. 537
^ Pinsky 2002บทที่ 2.4.3 หลักการความไม่แน่นอน
^ Stein & Shakarchi 2003บทที่ 5.4 หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก
^แชทฟิลด์ 2004 , หน้า 113
^ฟูริเยร์ 1822หน้า 441
^ปวงกาเร 1895หน้า 102
^ Whittaker & Watson 1927 , หน้า 188
^กราฟาโกส 2004
^กราฟาคอสและเทสช์ล 2013
↑ Duoandikoetxea 2001 , ธม. 8.3
^สไตน์และไวส์ 1971หน้า 1–2
^รูดิน 1987หน้า 182–183
↑จันทรเศคารัน 1989 , หน้า 7–8, 84
^ "การวิเคราะห์ฟูริเยร์ประยุกต์และองค์ประกอบของการประมวลผลสัญญาณสมัยใหม่ บทที่ 3" (PDF) 12 มกราคม 2559 เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 3 ตุลาคม 2563 เรียกดูเมื่อ 11 ตุลาคม 2562
^สไตน์และไวส์ 1971ทฤษฎีบท 2.3
^ ^a ^b Katznelson 2004
^ Mallat 2009 , หน้า 45
^สตริชาร์ตซ์ 1994หน้า 150
^ฮันเตอร์ 2014
^พินสกี 2002 , หน้า 256
^รูดิน 1991หน้า 15
^เอ็ดเวิร์ดส์ 1982หน้า 53, 67, 72–73
^คัตซ์เนลสัน 2004หน้า 173
ตามธรรมเนียมทั่วไปในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะใช้e $iξx แทนที่จะ$ เป็น $e - i 2π ξx$
^บิลลิงสลีย์ 1995หน้า 345
↑แคทซ์เนลสัน 2004 , หน้า 40, 155, 164
^เอ็ดเวิร์ดส์ 1982หน้า 53
^ฮิววิตต์และรอสส์ 1970บทที่ 8
^แนปป์ 2001
↑คอร์เรอา จุสโต และแองเจลิโก 2024
↑อะโบลวิทซ์ และคณะ 1974 , หน้า 249–315
^ Lax 1968 , หน้า 467–490
^ Yousefi & Kschischang 2014 , หน้า 4312–4328
^ Gradshteyn et al. 2015
^เพรสและคณะ 1992
^เบลีย์ แอนด์ สวาร์ซทราเบอร์ 1994
^ลาโด 1971
^ Simonen & Olkkonen 1985
^ "คุณสมบัติการอินทิเกรตของการแปลงฟูริเยร์" . The Fourier Transform .com . 2015 [2010]. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2022-01-26 . เรียกดูเมื่อ2023-08-20 .
^สไตน์และไวส์ 1971 , ทฤษฎีบท IV.3.3
^อีสตัน 2010
^สไตน์และไวส์ 1971ทฤษฎีบท 4.15
^สไตน์และไวส์ 1971หน้า 6

ลิงก์ภายนอก

สื่อที่เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
สารานุกรมคณิตศาสตร์
ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "การแปลงฟูริเยร์" . แมทเวิลด์ .
การแปลงฟูริเยร์ในผลึกศาสตร์

[1] โครงสร้าง ประโยคมักเพียงพอที่จะแยกแยะความหมายที่ต้องการได้ เช่น "ใช้การแปลงฟูริเยร์กับ [ข้อมูลนำเข้า]" หมายถึงการดำเนินการ ในขณะที่ "การแปลงฟูริเยร์ของ [ข้อมูลนำเข้า]" หมายถึงผลลัพธ์

[2] ขึ้นอยู่กับการใช้งาน วิธีการอินทิกรัลของเลเบสวิธีการกระจายหรือวิธีการอื่นๆ อาจเหมาะสมที่สุด

[3] Vretblad (2000)ให้เหตุผลที่หนักแน่นสำหรับขั้นตอนที่เป็นทางการเหล่านี้โดยไม่ต้องลงลึกไปถึงการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันหรือทฤษฎีการแจกแจง

[4] ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพเราจะพบการแปลงฟูริเยร์แบบเวกเตอร์ของฟังก์ชันคลื่นหลายองค์ประกอบ ในทฤษฎีสนามควอนตัมการแปลงฟูริเยร์แบบตัวดำเนินการของฟังก์ชันปริภูมิเวลาแบบตัวดำเนินการมีการใช้งานบ่อยครั้ง ดูตัวอย่างเช่น Greiner & Reinhardt (1996 )

[18] แหล่งที่มาของความสับสนที่อาจเกิดขึ้นได้คือคุณสมบัติการเลื่อนความถี่กล่าวคือ การแปลงของฟังก์ชันคือ ⁠ ⁠ค่าของฟังก์ชันนี้ที่คือ ⁠ ⁠ซึ่งหมายความว่าความถี่ได้ถูกเลื่อนไปที่ศูนย์ (ดูเพิ่มเติมที่ ความถี่ลบ § การทำให้การแปลงฟูริเยร์ง่ายขึ้น ) $f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}$ ${\widehat {f}}(\xi +\xi _{0})$ $\xi =0$ ${\widehat {f}}(\xi _{0})$ $\xi _{0}$

[27] ตัวดำเนินการนี้ถูกกำหนดโดยการแทนที่ด้วยในการกระจายเทย์เลอร์ของ ⁠ ⁠ . ${\textstyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ $x$ ${\textstyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ $U(x)$

[61] โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถนำลำดับของฟังก์ชันที่อยู่ในจุดตัดของ $L 1$ และ $L 2$ และลู่เข้าสู่ $f$ ใน $นอร์ม L 2$ และกำหนดการแปลงฟูริเยร์ของ $f$ เป็น $ลิมิต L 2$ ของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเหล่านี้ได้

[78] โดยมีค่าคงที่เชิงจินตนาการเป็นปัจจัย ซึ่งขนาดของค่านี้ขึ้นอยู่กับว่าใช้ข้อกำหนดการแปลงฟูริเยร์แบบใด

[83] ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของ $cos(6π t) e -π t 2$ เราอาจป้อนคำสั่งลงintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infใน Wolfram Alphaคำสั่งโดยตรงนี้fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)จะใช้งานได้กับ Wolfram Alpha เช่นกัน แม้ว่าตัวเลือกสำหรับข้อตกลง (ดู § ข้อตกลงอื่นๆ ) จะต้องเปลี่ยนจากตัวเลือกเริ่มต้น ซึ่งจริงๆ แล้วเทียบเท่าintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to infกับ

[92] ใน Gelfand & Shilov 1964หน้า 363 โดยใช้ข้อกำหนดที่ไม่เป็นเอกภาพของตารางนี้ การแปลงของถูกกำหนดให้เป็น ⁠ ⁠ซึ่งตามมาด้วย ⁠ ⁠ . $|\mathbf {x} |^{\lambda }$ $\textstyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\Gamma ({\frac {\lambda +n}{2}})}/{\Gamma (-{\frac {\lambda }{2}})}\vert {\boldsymbol {\omega }}\vert ^{-\lambda -n}$ $\lambda =-\alpha$

[FOOTNOTEPinsky200291-5] พินสกี 2002 , หน้า 91

[FOOTNOTELiebLoss2001123–125-6] ลีบแอนด์ลอสส์ 2001 , หน้า 123–125

[FOOTNOTEGelfandShilov1968128-7] เกลฟานด์และชิลอฟ 1968 , หน้า 1. 128

[8] ฟูริเยร์ 1822หน้า 525

[9] ฟูริเยร์ 1878หน้า 408

[10] จอร์แดน (1883) พิสูจน์ ทฤษฎีบทปริพันธ์ฟูริเยร์ในหน้า 216–226ก่อนที่จะศึกษาอนุกรมฟูริเยร์

[11] ทิทช์มาร์ช 1986หน้า 1

[12] ราห์มาน 2011หน้า 10

[13] Oppenheim, Schafer & Buck 1999 , หน้า 58

[FOOTNOTEStade2005298–299-14] Stade 2005 , หน้า 298–299

[FOOTNOTEHowe1980-15] โฮว์ 1980

[16] ฟอลแลนด์ 1989

[17] ฟูริเยร์ 1822

[19] อาร์ฟเคน 1985

[Pinsky-2002-20] Pinsky 2002

[FOOTNOTEProakisManolakis1996[httpsarchiveorgdetailsdigitalsignalpro00proapage291_291]-21] โปรอาคิสและมาโนลาคิส 1996 , หน้า. 291

[FOOTNOTEKatznelson2004153-22] คัตซ์เนลสัน 2004หน้า 153

[FOOTNOTESteinWeiss19712-23] สไตน์และไวส์ 1971หน้า 2

[Stein-Weiss-1971-24] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Stein & Weiss 1971

[25] รูดิน 1987หน้า 187

[26] รูดิน 1987หน้า 186

[28] ฟอลแลนด์ 1992 , หน้า 216

[29] วูล์ฟ 1979หน้า 307 เป็นต้นไป

[30] ฟอลแลนด์ 1989หน้า 53

[31] เซเลกีนี, กาเดลลา และเดล โอลโม 2021

[Duoandikoetxea-2001-32] Duoandikoetxea 2001

[Boashash-2003-33] โบอาชาช 2003

[34] คอนดอน 1937

[35] วูล์ฟ 1979หน้า 320

[auto-36] Wolf 1979 , หน้า 312

[37] ฟอลแลนด์ 1989หน้า 52

[38] โฮว์ 1980

[39] พาเลย์ แอนด์ ไวเนอร์ 1934

[40] เกลฟานด์และวิเลนกิน 1964

[41] คิริลลอฟและกวิชิอานี 1982

[42] Clozel & Delorme 1985 , หน้า 331–333

[43] เดอ กรูท แอนด์ มาซูร์ 1984 , p. 146

[44] แชมเพนีย์ 1987หน้า 80

[Kolmogorov-Fomin-1999-45] โคลโมโกรอฟ และ โฟมิน 1999

[46] ไวเนอร์ 1949

[47] แชมเพนีย์ 1987หน้า 63

[48] วิดเดอร์ แอนด์ วีเนอร์ 1938 , p. 537

[49] Pinsky 2002บทที่ 2.4.3 หลักการความไม่แน่นอน

[50] Stein & Shakarchi 2003บทที่ 5.4 หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

[51] แชทฟิลด์ 2004 , หน้า 113

[52] ฟูริเยร์ 1822หน้า 441

[53] ปวงกาเร 1895หน้า 102

[54] Whittaker & Watson 1927 , หน้า 188

[55] กราฟาโกส 2004

[56] กราฟาคอสและเทสช์ล 2013

[57] Duoandikoetxea 2001 , ธม. 8.3

[FOOTNOTESteinWeiss19711–2-58] สไตน์และไวส์ 1971หน้า 1–2

[FOOTNOTERudin1987182–183-59] รูดิน 1987หน้า 182–183

[FOOTNOTEChandrasekharan19897–8,_84-60] จันทรเศคารัน 1989 , หน้า 7–8, 84

[62] "การวิเคราะห์ฟูริเยร์ประยุกต์และองค์ประกอบของการประมวลผลสัญญาณสมัยใหม่ บทที่ 3" (PDF) 12 มกราคม 2559 เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 3 ตุลาคม 2563 เรียกดูเมื่อ 11 ตุลาคม 2562

[FOOTNOTESteinWeiss1971Thm._2.3-63] สไตน์และไวส์ 1971ทฤษฎีบท 2.3

[FOOTNOTEKatznelson2004-64] Katznelson 2004

[FOOTNOTEMallat200945-65] Mallat 2009 , หน้า 45

[FOOTNOTEStrichartz1994150-66] สตริชาร์ตซ์ 1994หน้า 150

[FOOTNOTEHunter2014-67] ฮันเตอร์ 2014

[FOOTNOTEPinsky2002256-68] พินสกี 2002 , หน้า 256

[FOOTNOTERudin199115-69] รูดิน 1991หน้า 15

[FOOTNOTEEdwards198253,_67,_72–73-70] เอ็ดเวิร์ดส์ 1982หน้า 53, 67, 72–73

[71] คัตซ์เนลสัน 2004หน้า 173
ตามธรรมเนียมทั่วไปในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะใช้e $iξx แทนที่จะ$ เป็น $e - i 2π ξx$

[FOOTNOTEBillingsley1995345-72] บิลลิงสลีย์ 1995หน้า 345

[FOOTNOTEKatznelson200440,_155,_164-73] แคทซ์เนลสัน 2004 , หน้า 40, 155, 164

[FOOTNOTEEdwards198253-74] เอ็ดเวิร์ดส์ 1982หน้า 53

[75] ฮิววิตต์และรอสส์ 1970บทที่ 8

[76] แนปป์ 2001

[FOOTNOTECorreiaJustoAngélico2024-77] คอร์เรอา จุสโต และแองเจลิโก 2024

[FOOTNOTEAblowitzKaupNewellSegur1974249–315-79] อะโบลวิทซ์ และคณะ 1974 , หน้า 249–315

[FOOTNOTELax1968467–490-80] Lax 1968 , หน้า 467–490

[FOOTNOTEYousefiKschischang20144312–4328-81] Yousefi & Kschischang 2014 , หน้า 4312–4328

[Zwillinger-2014-82] Gradshteyn et al. 2015

[84] เพรสและคณะ 1992

[85] เบลีย์ แอนด์ สวาร์ซทราเบอร์ 1994

[86] ลาโด 1971

[87] Simonen & Olkkonen 1985

[88] "คุณสมบัติการอินทิเกรตของการแปลงฟูริเยร์" . The Fourier Transform .com . 2015 [2010]. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2022-01-26 . เรียกดูเมื่อ2023-08-20 .

[89] สไตน์และไวส์ 1971 , ทฤษฎีบท IV.3.3

[90] อีสตัน 2010

[91] สไตน์และไวส์ 1971ทฤษฎีบท 4.15

[93] สไตน์และไวส์ 1971หน้า 6

[หมายเหตุ 1 ]

[

[

[หมายเหตุ 4 ]

[

[ 2 ]

[ 3 ]

รับ

4

5

6

8

[

[

[

[

[ 13 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[

[

–

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[

23

[

[

26 ] ใน

[ 27 ]

28 ] การ

[

[

[

[ 32 ]

[

[

[ 35 ]

[ 36 ]

37 ] บท

[ 38 ]

[

[

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[

[ 45 ]

[

[

[

49 ] ซึ่ง

[ 50 ]

[ 51 ]

ต่อ

[

ยิ่ง

[

[

56

[ 57 ]

[

[

[

[

[

63

[

[

[

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ] หรือฟังก์ชันอื่นๆ เพื่อ

[หมายเหตุ 8 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[หมายเหตุ 9 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[หมายเหตุ 10 ]

[ 83 ]

การแปลงฟูริเยร์

คำนิยาม

ความถี่เชิงมุม ( ω )

ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้แบบเลเบส

พื้นหลัง

ประวัติศาสตร์

ไซนูซอยด์เชิงซ้อน

ความถี่เชิงลบ

การแปลงฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันคาบ

การสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์

หน่วย

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐาน

ความเป็นเส้นตรง

การเลื่อนเวลา

การเปลี่ยนความถี่

การปรับขนาดเวลา

สมมาตร

การผันคำกริยา

ส่วนจริงและส่วนจินตนาการ

ส่วนประกอบความถี่ศูนย์

ความต่อเนื่องสม่ำเสมอและทฤษฎีบทของรีมันน์-เลเบส

ทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลและทฤษฎีบทของปาร์เซวัล

ทฤษฎีบทการสังเคราะห์

ทฤษฎีบทความสัมพันธ์ไขว้

ความแตกต่าง

ฟังก์ชันเฉพาะ

การผกผันและความเป็นคาบ

ความเชื่อมโยงกับกลุ่มไฮเซนเบิร์ก

โดเมนที่ซับซ้อน

การแปลงลาปลาส

การผกผัน

การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิยูคลิด

หลักการความไม่แน่นอน

การแปลงไซน์และโคไซน์

ฮาร์มอนิกทรงกลม

ปัญหาข้อจำกัด

การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิฟังก์ชัน

ในเรื่องL p อื่นๆ

การกระจายแบบเทมเปอร์

การสรุปโดยทั่วไป

การแปลงฟูริเยร์-สตีลต์เจสบนปริภูมิที่วัดได้

กลุ่มอาเบเลียนที่มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่น

การแปลงเกลฟานด์

กลุ่มไม่สลับที่ขนาดกะทัดรัด

ทางเลือกอื่นๆ

ตัวอย่าง

แอปพลิเคชัน

การวิเคราะห์สมการเชิงอนุพันธ์

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่เชิงเส้น

สเปกโทรสโกปีแบบฟูริเยร์ทรานส์ฟอร์ม

กลศาสตร์ควอนตัม

การประมวลผลสัญญาณ

หมายเหตุอื่นๆ

วิธีการคำนวณ

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องและการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว

การอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ของฟังก์ชันรูปแบบปิด

การอินทิเกรตเชิงตัวเลขของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบปิด

การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของอนุกรมคู่ลำดับ

ตารางแสดงค่าการแปลงฟูริเยร์ที่สำคัญ

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบมิติเดียว

ฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ในมิติเดียว

การแจกแจงแบบหนึ่งมิติ

ฟังก์ชันสองมิติ

สูตรสำหรับฟังก์ชันn มิติโดยทั่วไป

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

การอ้างอิง

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ในเรื่องL ^{p อื่นๆ}

สูตรสำหรับฟังก์ชัน $n มิติโดยทั่วไป$