ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์ได้กลายเป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยกลุ่มของตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์ประกอบด้วยตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และตัวดำเนินการอินทิกรัล แบบคลาสสิก เป็นกรณีพิเศษ

ตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์กำหนดโดย: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }$

โดยที่แทนการแปลงฟูริเยร์ของ, เป็นสัญลักษณ์มาตรฐานซึ่งรองรับอย่างกะทัดรัดในและมีค่าจริงและเป็นเอกพันธุ์ที่มีดีกรีใน นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องกำหนดให้บนการรองรับของa ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ หากaมีอันดับเป็นศูนย์ ก็สามารถแสดงได้ว่ากำหนดตัวดำเนินการที่มีขอบเขตจากไปยัง^{[ 1 ]}${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a(x,\xi )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

แรงจูงใจประการหนึ่งในการศึกษาตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์คือตัวดำเนินการแก้ปัญหาสำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นของตัวดำเนินการคลื่น ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {for} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},}$

และ

${\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {for} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$โดยที่คือปริภูมิของฟังก์ชันชวาร์ตซ์และคือปริภูมิคู่เชิงทอพอโลยีที่แข็งแกร่ง ของ มัน${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\doteq \left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\;{\bigg |}\;\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{a}\partial ^{b}f(x)|<+\infty \;\;\forall \;a,b\;{\text{multi-indices}}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})'}$

คำตอบอย่างเป็นทางการของปัญหานี้มีดังนี้

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

จำเป็นต้องตีความสิ่งเหล่านี้ว่าเป็นปริพันธ์แบบสั่น เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะไม่ลู่เข้า ในทางทฤษฎีแล้วดูเหมือนจะเป็นผลรวมของตัวดำเนินการปริพันธ์ฟูริเยร์สองตัว อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์ในแต่ละปริพันธ์นั้นไม่เรียบที่จุดกำเนิด ดังนั้นจึงไม่ใช่สัญลักษณ์มาตรฐาน หากเราตัดจุดเอกฐานนี้ออกด้วยฟังก์ชันตัดขอบ ตัวดำเนินการที่ได้ก็ยังคงให้คำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นโดยพิจารณาจากฟังก์ชันเรียบ ดังนั้น หากเราสนใจเฉพาะการแพร่กระจายของจุดเอกฐานของข้อมูลเริ่มต้น ก็เพียงพอที่จะพิจารณาตัวดำเนินการดังกล่าว ในความเป็นจริง หากเราอนุญาตให้ความเร็วเสียง c ในสมการคลื่นแปรผันตามตำแหน่ง เราก็ยังสามารถหาตัวดำเนินการปริพันธ์ฟูริเยร์ที่ให้คำตอบโดยพิจารณาจากฟังก์ชันเรียบได้ และตัวดำเนินการปริพันธ์ฟูริเยร์จึงเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการศึกษาการแพร่กระจายของจุดเอกฐานของคำตอบของสมการคลื่นความเร็วแปรผัน และโดยทั่วไปสำหรับสมการไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ

• การวิเคราะห์ระดับจุลภาค
• การแปลงฟูริเยร์
• ตัวดำเนินการอนุพันธ์เทียม
• ตัวดำเนินการอินทิกรัลแบบสั่น
• หมวดหมู่ซิมเพล็กติก

• "ตัวดำเนินการอินทิกรัลฟูริเยร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]