ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีการยิง (shooting method)เป็นวิธีการแก้ปัญหาค่าขอบเขตโดยการลดปัญหานั้นให้เหลือเพียงปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีนี้เกี่ยวข้องกับการหาคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกัน จนกว่าจะพบคำตอบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาค่าขอบเขต กล่าวโดยง่ายคือ การ "ยิง" วิถีการเคลื่อนที่ไปในทิศทางต่างๆ จากขอบเขตหนึ่ง จนกว่าจะพบวิถีการเคลื่อนที่ที่ "กระทบ" กับเงื่อนไขขอบเขตอีกด้านหนึ่ง

สมมติว่าต้องการแก้ปัญหาค่าขอบเขตให้แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นถ้าแล้วก็เป็นคำตอบของปัญหาค่าขอบเขตเช่นกัน $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.}$$${\displaystyle y(t;a)}$$${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.}$$${\displaystyle y(t_{1};a)=y_{1}}$${\displaystyle y(t;a)}$

วิธีการยิง (shooting method) คือกระบวนการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับค่าต่างๆ ของ θ จำนวนมากจนกว่าจะพบคำตอบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่ต้องการ โดยทั่วไปแล้วจะใช้วิธีการเชิงตัวเลข คำตอบที่ได้จะสอดคล้องกับรากของสมการ θ ในการเปลี่ยนแปลงค่าพารามิเตอร์การยิงอย่างเป็นระบบและค้นหาราก สามารถใช้อัลกอริทึมการหารากมาตรฐาน เช่นวิธีการแบ่งครึ่งช่วง (bisection method)หรือวิธีการของนิวตัน (Newton's method ) ${\displaystyle a}$${\displaystyle y(t;a)}$$${\displaystyle F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.}$$${\displaystyle a}$

รากของสมการและคำตอบของปัญหาค่าขอบเขตนั้นเทียบเท่ากัน ถ้าเป็นรากของสมการแล้วก็เป็นคำตอบของปัญหาค่าขอบเขตเช่นกัน ในทางกลับกัน ถ้าปัญหาค่าขอบเขตมีคำตอบ คำตอบนั้นก็จะเป็นคำตอบเดียวของปัญหาค่าเริ่มต้นด้วย โดยที่ดังนั้น จึงเป็นรากของสมการ ${\displaystyle F}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y(t;a)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y(t;a)}$${\displaystyle a=y'(t_{0})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$

คำว่า "วิธีการยิง" มีที่มาจากการใช้ปืนใหญ่ สามารถเปรียบเทียบวิธีการยิงกับ...

• วางปืนใหญ่ไว้ที่ตำแหน่งนั้น จากนั้น${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$
• ปรับมุมของปืนใหญ่ จากนั้น${\displaystyle a=y'(t_{0})}$
• ยิงปืนใหญ่ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะถึงค่าขอบเขตที่กำหนด${\displaystyle y(t_{1})=y_{1}}$

ระหว่างการยิงแต่ละครั้ง ทิศทางของปืนใหญ่จะถูกปรับตามการยิงครั้งก่อนหน้า เพื่อให้กระสุนแต่ละนัดเข้าใกล้เป้าหมายมากขึ้นเรื่อยๆ วิถีกระสุนที่ "กระทบ" กับค่าขอบเขตที่ต้องการ คือคำตอบของปัญหาค่าขอบเขต — จึงเป็นที่มาของชื่อ "วิธีการยิง" (shooting method)

ปัญหาค่าขอบเขตเป็นเชิงเส้นถ้าfมีรูปแบบ ในกรณีนี้ คำตอบของปัญหาค่าขอบเขตมักจะกำหนดโดย: โดยที่คือคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้น: และคือคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้น: ดูการพิสูจน์สำหรับเงื่อนไขที่แน่นอนที่ผลลัพธ์นี้เป็นจริง^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).}$$$${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)}$$${\displaystyle y_{(1)}(t)}$$${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$$${\displaystyle y_{(2)}(t)}$$${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$$

ปัญหาค่าขอบเขตมีดังต่อไปนี้โดย Stoer และ Bulirsch ^{[ 2 ]} (ส่วนที่ 7.3.1)

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$$

ปัญหาค่าเริ่มต้น ได้รับการแก้ไขสำหรับs = −1, −2, −3, ..., −100 และF ( s ) = w (1; s ) − 1 แสดงในรูปที่ 2 เมื่อตรวจสอบกราฟของFเราจะเห็นว่ามีรากอยู่ใกล้ −8 และ −36 วิถีบางส่วนของw ( t ; s ) แสดงอยู่ในรูปที่ 1 $${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$$

Stoer และ Bulirsch ^{[ 2 ]}ระบุว่ามีวิธีแก้ปัญหา 2 วิธี ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้วิธีพีชคณิต

สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นw ′(0) = −8 และw ′(0) = −35.9 (โดยประมาณ)

วิธีการยิง (shooting method) สามารถใช้แก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะได้เช่นกัน พิจารณาสมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับ ตัวสั่น ฮาร์มอนิกควอนตัม ในกลศาสตร์ควอนตัมเราต้องการหาฟังก์ชันคลื่นที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้และพลังงานที่สอดคล้องกันภายใต้เงื่อนไขขอบเขตปัญหานี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์เพื่อหาพลังงานสำหรับแต่ยังเป็นตัวอย่างที่ดีเยี่ยมของการใช้วิธีการยิงอีกด้วย ในการนำไปใช้ ก่อนอื่นให้สังเกตคุณสมบัติทั่วไปบางประการของสมการชโรดิงเกอร์: $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).}$$${\displaystyle \psi _{n}(x)}$$${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$${\displaystyle E_{n}=n+1/2}$${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

• ถ้าเป็นฟังก์ชันเฉพาะก็จะเป็นสำหรับค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$${\displaystyle C}$
• สถานะกระตุ้นลำดับ ที่-th มีรากฐานมาจาก...${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=0}$
• สำหรับจำนวนคู่สถานะกระตุ้นลำดับที่ -th จะสมมาตรและมีค่าไม่เป็นศูนย์ที่จุดกำเนิด${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$
• สำหรับจำนวนคี่สถานะกระตุ้นลำดับที่ -th จะมีสมมาตรแบบปฏิสมมาตร ดังนั้นจึงมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดกำเนิด${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$

เพื่อหาค่าสถานะกระตุ้นลำดับที่ -th และพลังงานของสถานะนั้นวิธีการยิงจึงเป็นดังนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}(x)}$${\displaystyle E_{n}}$

1. ลองเดาพลังงานบางอย่างดูสิ${\displaystyle E_{n}}$
2. หาปริพันธ์ของสมการชโรดิงเกอร์ ตัวอย่างเช่น ใช้ความแตกต่างจำกัด ส่วนกลาง$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$
   • ถ้าเป็นจำนวนคู่ ให้กำหนดค่าเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ (เช่น— ฟังก์ชันคลื่นสามารถทำให้เป็นค่าปกติได้หลังจากการอินทิเกรตอยู่แล้ว) และใช้คุณสมบัติสมมาตรเพื่อหาค่าที่เหลือทั้งหมด${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
   • ถ้าเป็นจำนวนคี่ ให้กำหนดค่าและเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ (เช่น— ฟังก์ชันคลื่นสามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้หลังจากการอินทิเกรตอยู่แล้ว) แล้วหาค่าที่เหลือทั้งหมด${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
3. นับรากของค่าและ ปรับปรุงการคาดเดาสำหรับพลังงาน${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle E_{n}}$
   • หากมีรากน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนราก แสดงว่าพลังงานที่คาดเดาไว้นั้นต่ำเกินไป ดังนั้นให้เพิ่มพลังงานและทำซ้ำขั้นตอนเดิม${\displaystyle n}$
   • หากมีรากมากกว่าหนึ่งราก แสดงว่าค่าพลังงานที่คาดเดาไว้สูงเกินไป ดังนั้นให้ลดค่าลงแล้วทำซ้ำขั้นตอนเดิม${\displaystyle n}$

การคาดเดาพลังงานสามารถทำได้โดยใช้วิธีการแบ่งครึ่งช่วงและกระบวนการสามารถยุติได้เมื่อความแตกต่างของพลังงานมีค่าน้อยเพียงพอ จากนั้นจึงสามารถเลือกพลังงานใดๆ ในช่วงนั้นมาเป็นพลังงานที่ถูกต้องได้

• วิธีการยิงหลายนัดโดยตรง
• การคำนวณการลดทอนของคลื่นวิทยุในชั้นบรรยากาศ

• คำอธิบายโดยย่อของ ODEPACK (อยู่ที่Netlib ; ประกอบด้วย LSODE)
• วิธีการยิงเพื่อแก้ปัญหาค่าขอบเขต – บันทึกย่อ, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematicaที่Holistic Numerical Methods Institute [1]