ในทฤษฎีแบบจำลองซึ่งเป็นสาขาหนึ่งในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์คลาสพื้นฐานนามธรรมหรือAEC โดยย่อ คือคลาสของแบบจำลองที่มีลำดับบางส่วนคล้ายกับความสัมพันธ์ของโครงสร้างย่อยพื้นฐานของคลาสพื้นฐานใน ทฤษฎีแบบจำลอง ลำดับแรกคลาสเหล่านี้ได้รับการแนะนำโดยSaharon Shelah ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle }$สำหรับโครงสร้างประเภทหนึ่งในภาษาใดภาษาหนึ่งจะเรียกว่า AEC ได้ก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle K}$${\displaystyle L=L(K)}$

• ${\displaystyle \prec _{K}}$เป็นคำสั่งบางส่วนบน.${\displaystyle K}$
• ถ้าเช่นนั้นจะเป็นโครงสร้างย่อยของ${\displaystyle M\prec _{K}N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
• ไอโซมอร์ฟิซึม : ปิดภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมและถ้าและแล้ว${\displaystyle K}$${\displaystyle M,N,M',N'\in K,}$${\displaystyle f\colon M\simeq M',}$${\displaystyle g\colon N\simeq N',}$${\displaystyle f\subseteq g,}$${\displaystyle M\prec _{K}N,}$${\displaystyle M'\prec _{K}N'.}$
• ความสอดคล้อง : ถ้าและแล้ว${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},}$${\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},}$${\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},}$${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.}$
• สัจพจน์ของห่วงโซ่ Tarski–Vaught : ถ้าเป็นลำดับและเป็นห่วงโซ่ (เช่น) แล้ว: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K}$${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}$
  • ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}$
  • ถ้าสำหรับทุก ๆแล้ว${\displaystyle M_{\alpha }\prec _{K}N}$${\displaystyle \alpha <\gamma }$${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}$
• สัจพจน์โลเวนไฮม์-สโกเลม : มีคาร์ดินัล จำนวนหนึ่งอยู่จริง โดยที่ถ้าเป็นเซตย่อยของเอกภพของแล้วจะมี อยู่ในซึ่งเอกภพของ ประกอบด้วยโดยที่และเราให้แทนจำนวนน้อยที่สุดดังกล่าวและเรียกมันว่าจำนวนโลเวนไฮม์-สโกเลมของ${\displaystyle \mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|N\|\leq |A|+\mu }$${\displaystyle N\prec _{K}M}$${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle K}$

โปรดทราบว่าโดยปกติแล้วเราไม่สนใจแบบจำลองที่มีขนาดเล็กกว่าจำนวน Löwenheim–Skolem และมักจะถือว่าไม่มีแบบจำลองดังกล่าวอยู่เลย (เราจะใช้ข้อตกลงนี้ในบทความนี้) ซึ่งก็สมเหตุสมผล เนื่องจากเราสามารถลบแบบจำลองดังกล่าวทั้งหมดออกจาก AEC ได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อโครงสร้างของ AEC ที่มีขนาดใหญ่กว่าจำนวน Löwenheim–Skolem

การฝังแบบ A คือแผนที่สำหรับโดยที่และเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจากไปยังถ้าชัดเจนจากบริบท เราจะละเว้น ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle M,N\in K}$${\displaystyle f[M]\prec _{K}N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f[M]}$${\displaystyle K}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของคลาสพื้นฐานนามธรรม: ^{[ 2 ]}

• คลาสพื้นฐาน (Elementary class)เป็นตัวอย่างพื้นฐานที่สุดของ AEC: ถ้าTเป็นทฤษฎีอันดับหนึ่ง คลาสของแบบจำลองของTพร้อมกับโครงสร้างย่อยพื้นฐานจะก่อให้เกิด AEC ที่มีหมายเลข Löwenheim–Skolem |T |${\displaystyle \operatorname {Mod} (T)}$
• ถ้าเป็นประโยคในตรรกศาสตร์อนันต์และเป็นส่วนย่อย ที่นับได้ ซึ่งประกอบด้วยแล้ว จะเป็น AEC ที่มีเลขโลเวนไฮม์-สโกเลมเท่ากับสิ่งนี้สามารถขยายไปสู่ตรรกศาสตร์อื่นๆ ได้ เช่นหรือโดยที่แสดงถึง "มีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน"${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{\โอเมก้า _{1},\โอเมก้า }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle L_{\คัปปา ,\โอเมก้า }}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$${\displaystyle Q}$
• ถ้าT เป็นทฤษฎี ซูเปอร์สเตเบิลนับได้ลำดับแรกเซตของแบบจำลองอิ่มตัวของTพร้อมด้วยโครงสร้างย่อยพื้นฐาน จะเป็น AEC ที่มีเลข Löwenheim– Skolem${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• สนามเสมือนเลขชี้กำลังของ Zilberก่อให้เกิด AEC (Australian Ecosystem Inc.)

AECs เป็นวัตถุที่มีลักษณะทั่วไปมาก และโดยปกติแล้วเรามักจะตั้งสมมติฐานบางประการดังต่อไปนี้เมื่อศึกษาเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้:

• AEC จะมีการฝังร่วมกันหากโมเดลสองโมเดลใดๆ สามารถฝังอยู่ภายในโมเดลทั่วไปได้
• หากแบบจำลองใด ๆ มีส่วนขยายที่เหมาะสมแล้วAEC จะไม่มีแบบจำลองสูงสุด
• AEC จะมีการรวมตัวกันหากสำหรับสามสิ่งใดๆที่มี, , มีการฝังตัวของและอยู่ภายในจุดคงที่นั้น${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K}$${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}}$${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}}$${\displaystyle N\in K}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{0}}$

โปรดทราบว่าในคลาสพื้นฐาน การฝังร่วมจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อทฤษฎีสมบูรณ์ในขณะที่การรวมและการไม่มีแบบจำลองสูงสุดเป็นผลสืบเนื่องที่รู้จักกันดีจากทฤษฎีความกะทัดรัดข้อสมมติทั้งสามนี้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองมอนสเตอร์ที่เป็นเอกรูปทั่วไปได้เช่นเดียวกับในกรณีพื้นฐาน ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$

อีกหนึ่งข้อสันนิษฐานที่สามารถนำมาใช้ได้คือความเชื่อง

เชลาห์ได้นำเสนอ AECs เพื่อเป็นกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพในการวาง นัยทั่วไป ของทฤษฎีการจำแนกประเภท ลำดับที่หนึ่ง ทฤษฎีการจำแนกประเภทเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทความเป็นหมวดหมู่ของมอร์ลีย์ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะถามว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับ AECs หรือไม่ นี่คือข้อสันนิษฐานความเป็นหมวดหมู่ขั้นสุดท้ายของเชลาห์ซึ่งระบุว่าควรมีเลขฮันฟ์สำหรับความเป็นหมวดหมู่:

สำหรับ AEC K ทุกตัว จะต้องมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น โดยที่ถ้าKเป็นจำนวนเชิงหมวดหมู่ในบาง (กล่าวคือKมีแบบจำลองขนาดเพียงหนึ่งเดียว (โดยไม่คำนึงถึงความเหมือนกัน) แล้วKจะ เป็นจำนวนเชิงหมวดหมู่ในสำหรับทุก${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$${\displaystyle \lambda \geq \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta \geq \mu }$

นอกจากนี้ เชลาห์ยังมีข้อสันนิษฐานที่แข็งแกร่งกว่าอีกหลายข้อ: จำนวนคาร์ดินัลเกณฑ์สำหรับความเป็นหมวดหมู่คือจำนวนฮันฟ์ของคลาสเสมือนพื้นฐานในภาษาที่มีจำนวนสมาชิก LS(K) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อคลาสอยู่ใน ภาษา ที่นับได้และสามารถกำหนดสัจพจน์ได้ด้วยประโยค จำนวนเกณฑ์สำหรับความเป็นหมวดหมู่คือข้อสันนิษฐานนี้มีมาตั้งแต่ปี 1976 ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$${\displaystyle \beth _{\omega _{1}}}$

มีการตีพิมพ์ค่าประมาณหลายค่า (ดูตัวอย่างได้ในส่วนผลลัพธ์ด้านล่าง) โดยอาศัย สมมติฐาน เชิงเซต (เช่น การมีอยู่ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่หรือรูปแบบต่างๆ ของสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป ) หรือสมมติฐานเชิงแบบจำลอง (เช่น การรวมกลุ่ม หรือความอ่อนน้อม) ณ ปี 2014 ข้อสันนิษฐานดั้งเดิมยังคงไม่มีคำตอบ

ต่อไปนี้เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญบางส่วนเกี่ยวกับ AECs ยกเว้นผลลัพธ์สุดท้าย ผลลัพธ์ทั้งหมดเป็นผลงานของเชลาห์

• ทฤษฎีบทการนำเสนอของ Shelah : ^{[ 3 ]} AEC ใดๆ ก็คือ: มันเป็นตัวลดทอนของคลาสของแบบจำลองของทฤษฎีลำดับแรกโดยละเว้นประเภท ไม่ เกิน${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$
• หมายเลข Hanf สำหรับการดำรงอยู่ : ^{[ 4 ]} AEC ใดๆที่มีแบบจำลองขนาดจะมีแบบจำลองขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ${\displaystyle K}$${\displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}}$
• การหลอมรวมจากหมวดหมู่ : ^{[ 5 ]}ถ้าKเป็นหมวดหมู่ AEC ในและและแล้วKมีการหลอมรวมสำหรับโมเดลที่มีขนาด${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda ^{+}}$${\displaystyle 2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}}$${\displaystyle \lambda }$
• การมีอยู่จากหมวดหมู่ : ^{[ 6 ]}ถ้าKเป็นAEC ที่มีหมายเลข Löwenheim–Skolem และKเป็นหมวดหมู่ในและแล้วKจะมีแบบจำลองขนาดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่มีประโยคใดของที่สามารถมีแบบจำลองที่นับไม่ได้เพียงแบบเดียว${\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$
• การประมาณค่าสมมติฐานเรื่องความเป็นหมวดหมู่ของเชลาห์ :
  • การถ่ายโอนลงจากผู้สืบทอด : ^{[ 7 ]}ถ้าKเป็นคลาสพื้นฐานนามธรรมที่มีการรวมตัวซึ่งเป็นหมวดหมู่ในผู้สืบทอดที่ "สูงพอ" แล้วK จะเป็นหมวดหมู่ใน ผู้สืบทอด ที่สูงพอทั้งหมด${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \leq \lambda }$
  • ข้อสันนิษฐานเรื่องความเป็นหมวดหมู่ของ Shelah สำหรับตัวสืบทอดจากคาร์ดินัลขนาดใหญ่ : ^{[ 8 ]}ถ้ามีคาร์ดินัลที่กระชับอย่างแข็งแกร่ง จำนวนมากในระดับชั้น ข้อสันนิษฐานเรื่องความเป็นหมวดหมู่ของ Shelah จะเป็นจริงเมื่อเราเริ่มต้นด้วยความเป็นหมวดหมู่ที่ตัวสืบทอด

• ชั้นเรียนประถมนามธรรมที่สงบ