กำหนดให้เป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้${\displaystyle M}$โดยพิจารณาในฐานะกาลอวกาศ (ไม่ใช่แค่พื้นที่) ที่มีความเชื่อมโยงกัน${\displaystyle \Gamma }$. อนุญาต${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$เป็นเส้นโค้งใน${\displaystyle M}$โดยมีเวกเตอร์สัมผัสนั่นคือ ความเร็ว (ในปริภูมิเวลา)${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )}$โดยมีพารามิเตอร์${\displaystyle \tau }$.

เวกเตอร์ความเร่ง (กาลอวกาศ) ของ${\displaystyle \gamma }$ถูกกำหนดโดย${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}}$, ที่ไหน${\displaystyle \nabla }$แสดงถึงอนุพันธ์ร่วมแปรที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \Gamma }$.

มันคืออนุพันธ์โคแวเรียนต์ตามแนว${\displaystyle \gamma }$และมักจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}={\frac {\nabla {\dot {\gamma }}}{d\tau }}.}$

โดยสัมพันธ์กับระบบพิกัดใดๆ${\displaystyle (x^{\mu })}$และด้วย${\displaystyle (\Gamma ^{\lambda }{__{\mu \nu })}$โดยเป็นส่วนประกอบของการเชื่อมต่อ (เช่น อนุพันธ์ร่วมแปร)${\displaystyle \nabla _{\mu }:=\nabla _{\บางส่วน /\บางส่วน x^{\mu }}}$) สัมพันธ์กับระบบพิกัดนี้ ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \nabla _{\partial /\partial x^{\mu }}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\Gamma ^{\lambda }{`{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}},}$

สำหรับสนามเวกเตอร์ความเร่ง${\displaystyle a^{\mu }:=(\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }})^{\mu }}$หนึ่งชิ้นจะได้รับ:

${\displaystyle a^{\mu }=v^{\rho }\nabla _{\rho }v^{\mu }={\frac {dv^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }v^{\nu }v^{\lambda }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }},}$

ที่ไหน${\displaystyle x^{\mu }(\tau ):=\gamma ^{\mu }(\tau )}$เป็นการแสดงออกในระดับท้องถิ่นสำหรับเส้นทาง${\displaystyle \gamma }$, และ${\displaystyle v^{\rho }:=({\dot {\gamma }})^{\rho }}$.

แนวคิดเรื่องความเร่งเป็นแนวคิดอนุพันธ์ร่วมแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการกำหนดความเร่ง จำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติมบน${\displaystyle M}$ต้องมอบให้

โดยใช้สัญกรณ์ดัชนีเชิงนามธรรมความเร่งของเส้นโค้งที่กำหนดซึ่งมีเวกเตอร์สัมผัส หนึ่งหน่วย${\displaystyle \xi ^{a}}$ได้รับจาก${\displaystyle \xi ^{b}\nabla _{b}\xi ^{a}}$[ ^{3 ]​}

• การเร่งความเร็ว
• อนุพันธ์โคแวเรียนต์