ตัวกรองแบบปรับได้ (Adaptive Filter)คือระบบที่มีตัวกรอง เชิงเส้น ซึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอนที่ควบคุมโดยพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงได้ และมีวิธีการปรับพารามิเตอร์เหล่านั้นตามอัลกอริธึมการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากความซับซ้อนของอัลกอริธึมการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด ตัวกรองแบบปรับได้เกือบทั้งหมดจึงเป็นตัวกรองดิจิทัลตัวกรองแบบปรับได้มีความจำเป็นสำหรับบางแอปพลิเคชัน เนื่องจากพารามิเตอร์บางอย่างของการประมวลผลที่ต้องการ (เช่น ตำแหน่งของพื้นผิวสะท้อนใน พื้นที่ ที่มีเสียงสะท้อน ) ไม่เป็นที่ทราบล่วงหน้าหรือมีการเปลี่ยนแปลง ตัวกรองแบบปรับได้แบบวงปิดใช้การป้อนกลับในรูปแบบของสัญญาณข้อผิดพลาดเพื่อปรับปรุงฟังก์ชันถ่ายโอนให้ดียิ่งขึ้น

โดยทั่วไปแล้ว กระบวนการปรับตัวแบบวงปิดเกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชันต้นทุนซึ่งเป็นเกณฑ์สำหรับประสิทธิภาพสูงสุดของตัวกรอง เพื่อป้อนข้อมูลให้กับอัลกอริธึม ซึ่งจะกำหนดวิธีการปรับเปลี่ยนฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองเพื่อลดต้นทุนในรอบถัดไป ฟังก์ชันต้นทุนที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยกำลังสองของสัญญาณข้อผิดพลาด

เนื่องจากประสิทธิภาพของตัวประมวลผลสัญญาณดิจิทัลเพิ่มสูงขึ้น ตัวกรองแบบปรับได้จึงกลายเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้นและปัจจุบันถูกนำมาใช้เป็นประจำในอุปกรณ์ต่างๆ เช่น โทรศัพท์มือถือและอุปกรณ์สื่อสารอื่นๆ กล้องวิดีโอและกล้องดิจิทัล และอุปกรณ์ตรวจสอบทางการแพทย์

การบันทึกคลื่นไฟฟ้าหัวใจ ( ECG ) อาจถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวนจากกระแสไฟฟ้ากระแสสลับ ความถี่ที่แน่นอนของกระแสไฟฟ้าและฮาร์โมนิกส์อาจเปลี่ยนแปลงไปในแต่ละช่วงเวลา

วิธีหนึ่งในการกำจัดสัญญาณรบกวนคือการกรองสัญญาณด้วยตัวกรองแบบน็อตช์ที่ความถี่ของไฟหลักและบริเวณใกล้เคียง แต่การทำเช่นนี้อาจทำให้คุณภาพของคลื่นไฟฟ้าหัวใจลดลงอย่างมาก เนื่องจากจังหวะการเต้นของหัวใจก็มีแนวโน้มที่จะมีส่วนประกอบความถี่อยู่ในช่วงที่ถูกตัดทิ้งด้วยเช่นกัน

เพื่อหลีกเลี่ยงการสูญเสียข้อมูลที่อาจเกิดขึ้นนี้ สามารถใช้ตัวกรองแบบปรับได้ ตัวกรองแบบปรับได้จะรับอินพุตทั้งจากผู้ป่วยและจากแหล่งจ่ายไฟหลัก และจะสามารถติดตามความถี่จริงของเสียงรบกวนที่ผันผวนและลบเสียงรบกวนออกจากการบันทึกได้ เทคนิคแบบปรับได้ดังกล่าวโดยทั่วไปจะช่วยให้สามารถใช้ตัวกรองที่มีช่วงการปฏิเสธที่แคบกว่า ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ คุณภาพของสัญญาณเอาต์พุตจะมีความแม่นยำมากขึ้นสำหรับวัตถุประสงค์ทางการแพทย์^{[ 1 ] [ 2 ]}

แนวคิดเบื้องหลังตัวกรองแบบปรับได้แบบวงปิดคือ การปรับตัวกรองแบบแปรผันไปเรื่อยๆ จนกว่าค่าความคลาดเคลื่อน (ความแตกต่างระหว่างเอาต์พุตของตัวกรองกับสัญญาณที่ต้องการ) จะน้อยที่สุดตัวกรองแบบกำลังสองน้อยที่สุดเฉลี่ย (LMS)และตัวกรองแบบกำลังสองน้อยที่สุดแบบวนซ้ำ (RLS)เป็นตัวอย่างของตัวกรองแบบปรับได้

ตัวกรองแบบปรับได้มีสัญญาณอินพุตสองสัญญาณ ได้แก่และซึ่งบางครั้งเรียกว่าอินพุตหลักและอินพุตอ้างอิงตามลำดับ^{[ 3 ]}อัลกอริทึมการปรับตัวพยายามกรองอินพุตอ้างอิงให้เป็นสำเนาของอินพุตที่ต้องการโดยการลดสัญญาณตกค้างให้เหลือน้อยที่สุดเมื่อการปรับตัวสำเร็จ เอาต์พุตของตัวกรองจะเป็นค่าประมาณของสัญญาณที่ต้องการอย่างมีประสิทธิภาพ ${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle d_{k}}$ซึ่งรวมถึงสัญญาณที่ต้องการและสัญญาณรบกวนที่ไม่ต้องการ

${\displaystyle x_{k}}$ซึ่งรวมถึงสัญญาณที่สัมพันธ์กับการรบกวนที่ไม่พึงประสงค์บางอย่างด้วย${\displaystyle d_{k}}$

k แทนหมายเลขตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวกรองถูกควบคุมโดยชุดสัมประสิทธิ์หรือน้ำหนักจำนวน L+1 ตัว

${\displaystyle \mathbf {W} _{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\,...,\,w_{Lk}\right]^{T}}$แสดงถึงชุดหรือเวกเตอร์ของน้ำหนัก ซึ่งควบคุมตัวกรอง ณ เวลาสุ่มตัวอย่าง k

โดยที่หมายถึงน้ำหนักลำดับที่ 'th' ณ เวลาลำดับที่ k${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {\เดลต้า W} _{k}}$แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของน้ำหนักที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการปรับค่าที่คำนวณ ณ เวลาสุ่มตัวอย่าง k

การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้จะถูกนำไปใช้หลังจากเวลาเก็บตัวอย่าง k และก่อนที่จะนำไปใช้ในเวลาเก็บตัวอย่าง k+1

ผลลัพธ์มักจะเป็นแต่ก็อาจจะเป็นหรืออาจจะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ตัวกรองก็ได้^{[ 4 ]} (Widrow) ${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

สัญญาณอินพุตถูกกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle d_{k}=g_{k}+u_{k}+v_{k}}$

${\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'}}$

ที่ไหน:

g = สัญญาณที่ต้องการ

g ' = สัญญาณที่มีความสัมพันธ์กับสัญญาณที่ต้องการg

u = สัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ที่ถูกเพิ่มเข้าไปในgแต่ไม่มีความสัมพันธ์กับgหรือg '

u ' = สัญญาณที่มีความสัมพันธ์กับสัญญาณที่ไม่พึงประสงค์u แต่ไม่มีความสัมพันธ์กับgหรือg '

v = สัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ (โดยทั่วไปคือสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม) ที่ไม่มีความสัมพันธ์กับg , g ' , u , u 'หรือv ' ,

v ' = สัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ (โดยทั่วไปคือสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม) ที่ไม่มีความสัมพันธ์กับg , g ' , u , u 'หรือv

สัญญาณเอาต์พุตถูกกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle y_{k}={\hat {g}__{k}+{\hat {u}__{k}+{\hat {v}__{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}}$.

ที่ไหน:

${\displaystyle {\hat {g}}}$= ผลลัพธ์ของตัวกรองหากอินพุตมีเพียงg 'เท่านั้น

${\displaystyle {\hat {u}}}$= ผลลัพธ์ของตัวกรองหากอินพุตมีเพียงu 'เท่านั้น

${\displaystyle {\hat {v}}}$= ผลลัพธ์ของตัวกรองหากอินพุตมีเพียงv 'เท่านั้น

ถ้าตัวกรองแบบปรับค่าได้มี โครงสร้าง แบบ Finite Impulse Response (FIR) ที่มีสายหน่วงเวลาแบบแตะ (tapped delay line) ค่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (impulse response) จะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของตัวกรอง เอาต์พุตของตัวกรองจะกำหนดโดย

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(kl)}={\hat {g}__{k}+{\hat {u}__{k}+{\hat {v}__{k}}$

โดยที่หมายถึงน้ำหนักลำดับที่ 'th' ณ เวลาลำดับที่ k${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

ในกรณีอุดมคติสัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ทั้งหมดในจะถูกแทนด้วยประกอบด้วยสัญญาณที่สัมพันธ์กับสัญญาณที่ไม่พึงประสงค์ในอย่าง สมบูรณ์ ${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle \ x_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$

ในกรณีอุดมคติ ผลลัพธ์ของตัวกรองแบบปรับค่าได้คือ

${\displaystyle y_{k}={\หมวก {u}__{k}}$.

สัญญาณความผิดพลาดหรือฟังก์ชันต้นทุนคือความแตกต่างระหว่างและ${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}__{k}}$สัญญาณที่ต้องการg _kผ่านไปโดยไม่เปลี่ยนแปลง

สัญญาณความคลาดเคลื่อนจะลดลงเหลือน้อยที่สุดในแง่ของค่าเฉลี่ยกำลังสองเมื่อมีค่าน้อยที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคือค่าประมาณค่าเฉลี่ยกำลังสองที่ดีที่สุดของในกรณีอุดมคติและและสิ่งที่เหลืออยู่หลังจากลบแล้วคือซึ่งเป็นสัญญาณที่ต้องการที่ไม่เปลี่ยนแปลงโดยที่สัญญาณที่ไม่ต้องการทั้งหมดถูกกำจัดออกไปแล้ว ${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle [u_{k}-{\หมวก {u}__{k}]}$${\displaystyle {\หมวก {u}__{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle u_{k}={\หมวก {u}__{k}}$${\displaystyle \เอปไซลอน _{k}=g_{k}}$${\displaystyle g}$

ในบางสถานการณ์ อินพุตอ้างอิงอาจมีส่วนประกอบของสัญญาณที่ต้องการอยู่ด้วย ซึ่งหมายความว่า g' ≠ 0 ${\displaystyle x_{k}}$

การกำจัดสัญญาณรบกวนที่ไม่พึงประสงค์ได้อย่างสมบูรณ์แบบนั้นเป็นไปไม่ได้ในกรณีนี้ แต่สามารถปรับปรุงอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนได้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}__{k}+u_{k}-{\hat {u}__{k}}$สัญญาณที่ต้องการจะถูกปรับเปลี่ยน (โดยปกติจะลดลง)

อัตราส่วนของสัญญาณเอาต์พุตต่อสัญญาณรบกวนมีสูตรอย่างง่ายที่เรียกว่าการผกผันกำลัง (power inversion )

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

ที่ไหน

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$= อัตราส่วนสัญญาณเอาต์พุตต่อสัญญาณรบกวน

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$= อัตราส่วนของสัญญาณอ้างอิงต่อสัญญาณรบกวน

${\displaystyle z\ }$= ความถี่ในโดเมน z

สูตรนี้หมายความว่าอัตราส่วนสัญญาณเอาต์พุตต่อการรบกวนที่ความถี่เฉพาะนั้นเป็นส่วนกลับของอัตราส่วนสัญญาณอ้างอิงต่อการรบกวน^{[ 5 ]}

ตัวอย่าง: ร้านอาหารฟาสต์ฟู้ดมีช่องรับอาหารแบบขับรถผ่าน ก่อนถึงช่องรับอาหาร ลูกค้าจะสั่งอาหารโดยพูดใส่ไมโครโฟน ไมโครโฟนนี้ยังรับเสียงรบกวนจากเครื่องยนต์และสภาพแวดล้อมโดยรอบด้วย ไมโครโฟนนี้จึงเป็นสัญญาณหลัก กำลังของสัญญาณเสียงลูกค้าและกำลังของเสียงรบกวนจากเครื่องยนต์เท่ากัน ทำให้พนักงานในร้านฟังลูกค้าเข้าใจได้ยาก เพื่อลดปริมาณสัญญาณรบกวนในไมโครโฟนหลัก จึงติดตั้งไมโครโฟนตัวที่สองในตำแหน่งที่ออกแบบมาเพื่อรับเสียงจากเครื่องยนต์โดยเฉพาะ ไมโครโฟนตัวที่สองนี้ยังรับสัญญาณเสียงลูกค้าด้วย ไมโครโฟนตัวนี้จึงเป็นแหล่งกำเนิดสัญญาณอ้างอิง ในกรณีนี้ เสียงรบกวนจากเครื่องยนต์มีกำลังมากกว่าเสียงลูกค้าถึง 50 เท่า เมื่อตัวตัดสัญญาณรบกวนทำงานได้อย่างเสถียรแล้ว อัตราส่วนของสัญญาณหลักต่อสัญญาณรบกวนจะดีขึ้นจาก 1:1 เป็น 50:1

ตัวรวมสัญญาณเชิงเส้นแบบปรับได้ (ALC) มีลักษณะคล้ายกับตัวกรอง FIR แบบสายหน่วงเวลาแบบปรับได้ ยกเว้นว่าไม่มีความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ระหว่างค่า X หากค่า X มาจากเอาต์พุตของสายหน่วงเวลาแบบแตะ การรวมกันของสายหน่วงเวลาแบบแตะและ ALC จะประกอบเป็นตัวกรองแบบปรับได้ อย่างไรก็ตาม ค่า X อาจเป็นค่าของอาร์เรย์ของพิกเซล หรืออาจเป็นเอาต์พุตของสายหน่วงเวลาแบบแตะหลายเส้น ALC ถูกนำไปใช้เป็นตัวสร้างลำแสงแบบปรับได้สำหรับอาร์เรย์ของไฮโดรโฟนหรือเสาอากาศ

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

โดยที่หมายถึงน้ำหนักลำดับที่ 'th' ณ เวลาลำดับที่ k${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

หากตัวกรองตัวแปรมีโครงสร้าง FIR สายหน่วงเวลาแบบแตะ อัลกอริทึมการอัปเดต LMS จะง่ายเป็นพิเศษ โดยทั่วไป หลังจากตัวอย่างแต่ละตัว ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวกรอง FIR จะถูกปรับดังนี้: ^{[ 6 ]}

สำหรับ${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{kl}}$

μ เรียกว่าปัจจัยการลู่เข้า

อัลกอริทึม LMS ไม่จำเป็นต้องให้ค่า X มีความสัมพันธ์กันเป็นพิเศษ ดังนั้นจึงสามารถใช้ปรับตัวรวมเชิงเส้น (Linear Combiner) และตัวกรอง FIR ได้ ในกรณีนี้ สูตรการอัปเดตจะเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

ผลของอัลกอริธึม LMS คือการเปลี่ยนแปลงน้ำหนักแต่ละตัวเล็กน้อยในแต่ละช่วงเวลา k ทิศทางการเปลี่ยนแปลงนั้นจะช่วยลดข้อผิดพลาดหากทำการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา k ขนาดของการเปลี่ยนแปลงน้ำหนักแต่ละตัวขึ้นอยู่กับ μ ค่า X ที่เกี่ยวข้อง และข้อผิดพลาดในช่วงเวลา k น้ำหนักที่ส่งผลต่อผลลัพธ์มากที่สุดจะถูกเปลี่ยนแปลงมากที่สุด หากข้อผิดพลาดเป็นศูนย์ น้ำหนักก็ไม่ควรเปลี่ยนแปลง หากค่า X ที่เกี่ยวข้องเป็นศูนย์ การเปลี่ยนแปลงน้ำหนักจะไม่มีผลใดๆ ดังนั้นจึงไม่มีการเปลี่ยนแปลงน้ำหนัก ${\displaystyle y_{k}}$

μ เป็นตัวแปรที่ควบคุมความเร็วและความแม่นยำในการลู่เข้าของอัลกอริทึมไปยังค่าสัมประสิทธิ์ตัวกรองที่เหมาะสมที่สุด หาก μ มีค่ามากเกินไป อัลกอริทึมจะไม่ลู่เข้า หาก μ มีค่าน้อยเกินไป อัลกอริทึมจะลู่เข้าช้าและอาจไม่สามารถติดตามสภาวะที่เปลี่ยนแปลงได้ หาก μ มีค่ามากแต่ไม่มากเกินไปจนขัดขวางการลู่เข้า อัลกอริทึมจะเข้าสู่สภาวะคงที่ได้อย่างรวดเร็ว แต่จะเกินค่าเวกเตอร์น้ำหนักที่เหมาะสมที่สุดอย่างต่อเนื่อง บางครั้ง μ จะถูกทำให้มีค่ามากในตอนแรกเพื่อการลู่เข้าที่รวดเร็ว แล้วจึงลดลงเพื่อลดการเกินค่าที่เหมาะสมที่สุด

Widrow และ Stearns ระบุในปี 1985 ว่าพวกเขาไม่ทราบหลักฐานใดๆ ที่พิสูจน์ได้ว่าอัลกอริทึม LMS จะลู่เข้าในทุกกรณี^{[ 7 ]}

อย่างไรก็ตาม ภายใต้สมมติฐานบางประการเกี่ยวกับความเสถียรและความเป็นอิสระ สามารถแสดงได้ว่าอัลกอริทึมจะลู่เข้าหาก

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2}}$= ผลรวมของกำลังไฟฟ้าขาเข้าทั้งหมด

${\displaystyle \sigma _{l}}$คือ ค่า RMSของอินพุตที่ 'th'${\displaystyle l}$

ในกรณีของตัวกรองแบบหน่วงเวลาที่มีการแตะสัญญาณ (tapped delay line filter) ค่า RMS ของแต่ละอินพุตจะเท่ากัน เนื่องจากเป็นเพียงค่าเดียวกันที่ถูกหน่วงเวลา ในกรณีนี้กำลังไฟฟ้ารวมคือ

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \sigma _{0}}$คือค่า RMS ของสตรีมอินพุต^{[ 7 ]}${\displaystyle x_{k}}$

ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธี LMS ที่เป็นมาตรฐาน:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{kl}}$ในกรณีนี้เกณฑ์การบรรจบกันจะเป็นดังนี้: .${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$

เป้าหมายของตัวกรองแบบไม่เชิงเส้นคือการเอาชนะข้อจำกัดของแบบจำลองเชิงเส้น มีวิธีการที่ใช้กันทั่วไปอยู่บ้าง ได้แก่ Volterra LMS, ตัวกรองแบบปรับได้ Kernel , ตัวกรองแบบปรับได้ Spline ^{[ 8 ]}และตัวกรองแบบปรับได้ Urysohn ^{[ 9 ] [ 10 ]}ผู้เขียนหลายคน^{[ 11 ]}ยังรวมเครือข่ายประสาทเทียมไว้ในรายการนี้ด้วย แนวคิดทั่วไปเบื้องหลัง Volterra LMS และ Kernel LMS คือการแทนที่ตัวอย่างข้อมูลด้วยนิพจน์พีชคณิตแบบไม่เชิงเส้นที่แตกต่างกัน สำหรับ Volterra LMS นิพจน์นี้คือ อนุกรม Volterraในตัวกรองแบบปรับได้ Spline แบบจำลองจะเป็นแบบเรียงลำดับของบล็อกไดนามิกเชิงเส้นและความไม่เชิงเส้นแบบคงที่ ซึ่งประมาณค่าด้วยสปลายน์ ในตัวกรองแบบปรับได้ Urysohn เทอมเชิงเส้นในแบบจำลอง

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\ x_{ij}}$

ถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

ซึ่งระบุได้จากตัวอย่างข้อมูล

• ระบบตัดเสียงรบกวนแบบปรับได้
• การควบคุมเสียงรบกวน
• การทำนายสัญญาณ
• การยกเลิกการตอบรับแบบปรับตัวได้
• การตัดเสียงสะท้อน

• ตัวกรองกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด
• ตัวกรองกำลังสองน้อยที่สุดแบบเรียกซ้ำ

• ตัวกรองปรับได้ 2 มิติ
• ตัวกรอง (การประมวลผลสัญญาณ)
• ตัวกรองคาลมาน
• ตัวกรองปรับตัวเคอร์เนล
• การทำนายเชิงเส้น
• ตัวประมาณค่า MMSE
• ตัวกรองไวเนอร์
• สมการ Wiener–Hopf