ในการประมวลผลสัญญาณตัวกรอง Wiener (ตั้งชื่อตามNorbert Wiener ) เป็นตัวกรองที่ใช้ในการสร้างค่าประมาณของกระบวนการสุ่มที่ต้องการหรือเป้าหมายโดยการกรองเชิงเส้นแบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ( LTI ) ของกระบวนการที่มีสัญญาณรบกวนที่สังเกตได้ โดยสมมติว่า สเปกตรัมสัญญาณและสัญญาณรบกวน คง ที่ที่ทราบแล้ว และมีสัญญาณรบกวนแบบบวก ตัวกรอง Wiener จะลดข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ยระหว่างกระบวนการสุ่มที่ประมาณได้กับกระบวนการที่ต้องการให้เหลือ น้อยที่สุด ^{[ 1 ] [ 2 ]}

เป้าหมายของตัวกรอง Wiener คือการคำนวณค่าประมาณทางสถิติของสัญญาณที่ไม่ทราบค่า โดยใช้สัญญาณที่เกี่ยวข้องเป็นอินพุตและกรองสัญญาณนั้นเพื่อสร้างค่าประมาณ ตัวอย่างเช่น สัญญาณที่ทราบค่าอาจประกอบด้วยสัญญาณที่สนใจซึ่งไม่ทราบค่าและถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวน แบบบวก ตัวกรอง Wiener สามารถใช้เพื่อกรองสัญญาณรบกวนออกจากสัญญาณที่ถูกรบกวนเพื่อให้ได้ค่าประมาณของสัญญาณที่สนใจที่แท้จริง ตัวกรอง Wiener ใช้ แนวทาง ทางสถิติและรายละเอียดทางสถิติเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีนี้จะกล่าวถึงใน บทความ เกี่ยวกับตัวประมาณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด (MMSE)

โดยทั่วไป แล้วตัวกรองแบบกำหนดค่าได้จะถูกออกแบบมาเพื่อตอบสนองความถี่ ที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม การออกแบบตัวกรอง Wiener ใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป โดยถือว่ามีความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติทางสเปกตรัมของสัญญาณต้นฉบับและสัญญาณรบกวน และต้องการ ตัวกรองเชิง เส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งเอาต์พุตจะใกล้เคียงกับสัญญาณต้นฉบับมากที่สุด ตัวกรอง Wiener มีลักษณะดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

1. ข้อสมมติฐาน: สัญญาณและสัญญาณรบกวน (แบบบวก) เป็นกระบวนการสุ่ม แบบอยู่ตัวที่ มีลักษณะสเปกตรัมที่ทราบ หรือมีค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติและสหสัมพันธ์ไขว้ ที่ทราบ
2. ข้อกำหนด: ตัวกรองต้องสามารถสร้างขึ้นได้จริง/ เป็นไปตามหลักเหตุและผล (ข้อกำหนดนี้สามารถละเว้นได้ ซึ่งจะทำให้ได้โซลูชันที่ไม่เป็นไปตามหลักเหตุและผล)
3. เกณฑ์การประเมินผล: ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด (MMSE)

ตัวกรองนี้มักใช้ในกระบวนการดีคอนโวลูชันสำหรับการใช้งานนี้ โปรดดูดีคอนโวลูชันแบบไวเนอร์ (Wiener deconvolution )

ให้เป็นสัญญาณที่ไม่ทราบค่าซึ่งต้องประมาณจากสัญญาณการวัดโดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่ปรับได้เรียกว่า การทำนายเรียกว่า การกรอง และเรียกว่า การปรับให้เรียบ (ดูบทการกรอง Wiener ใน^{[ 3 ]}สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ${\displaystyle s(t+\alpha )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha <0}$

ปัญหาตัวกรอง Wiener มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับสามกรณีที่เป็นไปได้: กรณีแรกที่ยอมรับตัวกรองที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลได้ (ซึ่งต้องใช้ข้อมูลในอดีตและอนาคตจำนวนอนันต์) กรณีที่ ต้องการตัวกรอง ที่เป็นเหตุเป็นผล ( โดยใช้ข้อมูลในอดีตจำนวนอนันต์) และ กรณี การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด (FIR) ซึ่งใช้เฉพาะข้อมูลอินพุตเท่านั้น (กล่าวคือ ผลลัพธ์หรือเอาต์พุตไม่ได้ถูกป้อนกลับเข้าไปในตัวกรองเหมือนในกรณี IIR) กรณีแรกนั้นง่ายต่อการแก้ไข แต่ไม่เหมาะสำหรับแอปพลิเคชันแบบเรียลไทม์ ความสำเร็จหลักของ Wiener คือการแก้ปัญหาในกรณีที่ข้อกำหนดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลมีผลบังคับใช้Norman Levinsonได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหา FIR ในภาคผนวกของหนังสือของ Wiener

สำหรับการประมาณค่าจากตัวกรองเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI) ที่เหมาะสมที่สุด (โดยทั่วไปไม่ใช่เชิงสาเหตุ) มีการตอบสนองความถี่${\displaystyle s(t+\alpha )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle G(\omega )={\frac {S_{xs}(\omega )}{S_{x}(\omega )}}\,e^{j\omega \alpha },}$

โดยที่ความ หนาแน่นสเปกตรัม ^{กำลัง}ไขว้ระหว่างและและคือความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังของ[ ^{4 ]}${\displaystyle S_{xs}(\omega )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S_{x}(\omega )}$${\displaystyle x(t)}$

ถ้าเป็นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เหมาะสมที่สุด ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุดสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \{e^{2}(t)\}=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )\,R_{xs}(\tau +\alpha )\,d\tau ,}$

โดยที่คือฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชันของและคือค่าครอสคอร์เรเลชันระหว่างและเช่น ${\displaystyle R_{s}(\tau )}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle R_{xs}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle R_{s}(\tau )=\operatorname {E} \{s(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}$

${\displaystyle R_{xs}(\tau )=\operatorname {E} \{x(t)\,s^{*}(t-\tau )\},}$

โดยแสดงถึงการผันเชิงซ้อน^{[ 5 ]}${\displaystyle ^{*}}$

การตอบสนองแบบอิมพัลส์จะ ได้รับเป็นการแปลงฟูริเยร์ผกผันของ^{[ 6 ]}${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle H(s)}$ประกอบด้วยส่วนที่เป็นเหตุเป็นผลของ(นั่นคือ ส่วนของเศษส่วนนี้ที่มีคำตอบเวลาเป็นบวกภายใต้การแปลงลาปลา สผกผัน )${\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}}$
• ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$คือส่วนประกอบเชิงสาเหตุของ(กล่าวคือ การแปลงลาปลาสผกผันของจะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะเมื่อ)${\displaystyle S_{x}(s)}$${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$${\displaystyle t\geq 0}$
• ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$คือส่วนประกอบที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลของ(กล่าวคือ การแปลงลาปลาสผกผันของจะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะเมื่อ)${\displaystyle S_{x}(s)}$${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$${\displaystyle t<0}$

สูตรทั่วไปนี้มีความซับซ้อนและสมควรได้รับการอธิบายโดยละเอียดมากขึ้น ในการเขียนวิธีแก้ปัญหาในกรณีเฉพาะ ควรทำตามขั้นตอนเหล่านี้: ^{[ 7 ]}${\displaystyle G(s)}$

1. เริ่มต้นด้วยสเปกตรัมในรูปแบบเชิงตรรกะ แล้วแยกตัวประกอบออกเป็นส่วนประกอบเชิงสาเหตุและเชิงปฏิสาเหตุโดยที่ประกอบด้วยศูนย์และขั้ว ทั้งหมด ในระนาบครึ่งซ้าย (LHP) และประกอบด้วยศูนย์และขั้วทั้งหมดในระนาบครึ่งขวา (RHP) วิธีนี้เรียกว่า การแยกตัวประกอบ แบบWiener–Hopf${\displaystyle S_{x}(s)}$${\displaystyle S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)}$${\displaystyle S_{x}^{+}}$${\displaystyle S_{x}^{-}}$
2. หารด้วยและเขียนผลลัพธ์ออกมาเป็นการกระจายเศษส่วนย่อย${\displaystyle S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}$${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$
3. เลือกเฉพาะพจน์ในการกระจายนี้ที่มีขั้วอยู่ในระนาบซ้ายมือ เรียกพจน์เหล่านั้นว่า...${\displaystyle H(s)}$
4. หารด้วยผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันถ่ายโอนตัวกรองที่ต้องการ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$${\displaystyle G(s)}$

ตัวกรอง Wiener แบบตอบสนองอิมพัลส์จำกัดเชิงสาเหตุ(FIR) แทนที่จะใช้เมทริกซ์ข้อมูล X และเวกเตอร์เอาต์พุต Y ที่กำหนดให้ จะค้นหาน้ำหนักแท็ปที่เหมาะสมที่สุดโดยใช้สถิติของสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต โดยจะเติมเมทริกซ์อินพุต X ด้วยค่าประมาณของความสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณอินพุต (T) และเติมเวกเตอร์เอาต์พุต Y ด้วยค่าประมาณของความสัมพันธ์ไขว้ระหว่างสัญญาณเอาต์พุตและอินพุต (V)

เพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของตัวกรอง Wiener ให้พิจารณาสัญญาณw [ n ] ที่ป้อนเข้าสู่ตัวกรอง Wiener อันดับ (จำนวนแท็ปที่ผ่านมา) Nและมีสัมประสิทธิ์เอาต์พุตของตัวกรองแสดงด้วยx [ n ] ซึ่งกำหนดโดยนิพจน์ ${\displaystyle \{a_{0},\cdots ,a_{N}\}}$

${\displaystyle x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[พรรณี].}$

ข้อผิดพลาดที่เหลืออยู่จะถูกแทนด้วยe [ n ] และกำหนดเป็นe [ n ] = x [ n ] −  s [ n ] (ดูแผนภาพบล็อก ที่เกี่ยวข้อง ) ตัวกรอง Wiener ถูกออกแบบมาเพื่อลดข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ย ( เกณฑ์ MMSE ) ซึ่งสามารถกล่าวโดยย่อได้ดังนี้:

${\displaystyle a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],}$

โดยที่หมายถึงตัวดำเนินการคาดหวัง ในกรณีทั่วไป สัมประสิทธิ์อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนและอาจได้มาในกรณีที่w [ n ] และs [ n ] เป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน สำหรับสัญญาณเชิงซ้อน เมทริกซ์ที่จะต้องแก้ไขคือ เมทริกซ์เฮอร์มิ เชียนโทพลิทซ์แทนที่จะเป็น เมทริกซ์ สมมาตรโทพลิทซ์เพื่อความง่าย ต่อไปนี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีที่ปริมาณทั้งหมดเหล่านี้เป็นจำนวนจริงเท่านั้น ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย (MSE) อาจเขียนใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle E[\cdot ]}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[ni]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[ni]s[n]\right]\end{aligned}}}$

ในการหาเวกเตอร์ที่ทำให้ค่าของนิพจน์ข้างต้นมีค่าน้อยที่สุด ให้คำนวณอนุพันธ์ของเวกเตอร์นั้นเทียบกับแต่ละตัวแปร${\displaystyle [a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[nj]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[nj]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[nj]\right)w[ni]\right]-2E[w[ni]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[nj]w[ni]]a_{j}\right)-2E[w[ni]s[n]]\end{aligned}}}$

โดยสมมติว่าw [ n ] และs [ n ] ต่างก็เป็นสถานะคงที่และเป็นสถานะคงที่ร่วมกัน ลำดับและที่รู้จักกันในชื่อความสัมพันธ์อัตโนมัติของw [ n ] และความสัมพันธ์ไขว้ระหว่างw [ n ] และs [ n ] สามารถกำหนดได้ดังนี้: ${\displaystyle R_{w}[m]}$${\displaystyle R_{ws}[m]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}}$

ดังนั้นอนุพันธ์ของ MSE จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[ji]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

โปรดทราบว่าสำหรับค่าจริงฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติจะสมมาตร: การกำหนดให้ค่าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle w[n]}$$${\displaystyle R_{w}[ji]=R_{w}[ij]}$$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[ji]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ (โดยใช้คุณสมบัติสมมาตรข้างต้น) ในรูปแบบเมทริกซ์

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการ Wiener–Hopfเมทริกซ์Tที่ปรากฏในสมการเป็นเมทริกซ์ Toeplitz สมมาตรภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมเมทริกซ์เหล่านี้เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนและดังนั้นจึงไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ทำให้ได้คำตอบที่ไม่ซ้ำกันในการหาเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ตัวกรอง Wiener ยิ่งไปกว่านั้น มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการแก้สมการ Wiener–Hopf ดังกล่าวที่เรียกว่า อัลกอริทึม Levinson-Durbin ดังนั้นจึง ไม่จำเป็นต้องทำการ หาเมทริกซ์ผกผันของT อย่างชัดเจน${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} }$

ในบางบทความ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้ถูกนิยามในทางตรงกันข้าม: จากนั้นเมทริกซ์จะประกอบด้วย; นี่เป็นเพียงความแตกต่างในสัญลักษณ์เท่านั้น $${\displaystyle R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]}$

ไม่ว่าจะใช้สัญลักษณ์แบบใด โปรดทราบว่าในความเป็นจริงแล้ว:${\displaystyle w[n],s[n]}$$${\displaystyle R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]}$$

การสร้างตัวกรอง Wiener แบบเหตุผลนั้นดูคล้ายกับการแก้ปัญหาการประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุดยกเว้นว่าอยู่ในโดเมนการประมวลผลสัญญาณ วิธีแก้ปัญหาการประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด สำหรับเมทริกซ์อินพุตและเวกเตอร์เอาต์พุตคือ ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.}$

ตัวกรอง FIR Wiener มีความเกี่ยวข้องกับตัวกรองกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุดแต่การลดเกณฑ์ความคลาดเคลื่อนของตัวกรองหลังนั้นไม่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ไขว้หรือความสัมพันธ์อัตโนมัติ และคำตอบของตัวกรองหลังจะลู่เข้าสู่คำตอบของตัวกรอง Wiener

สำหรับสัญญาณเชิงซ้อน การหาอนุพันธ์ของตัวกรอง Wiener เชิงซ้อนทำได้โดยการลดค่า= ให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งเกี่ยวข้องกับการคำนวณอนุพันธ์ย่อยเทียบกับทั้งส่วนจริงและส่วนจินตนาการของและกำหนดให้ทั้งสองส่วนเป็นศูนย์ ${\displaystyle E\left[|e[n]|^{2}\right]}$${\displaystyle E\left[e[n]e^{*}[n]\right]}$${\displaystyle a_{i}}$

สมการ Wiener-Hopf ที่ได้มีดังนี้:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์ได้:

${\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }}$

โปรดสังเกตว่า:$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}}$$

จากนั้นจึงคำนวณเวกเตอร์สัมประสิทธิ์ Wiener ดังนี้:$${\displaystyle \mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}}$$

ตัวกรอง Wiener มีการใช้งานที่หลากหลายในการประมวลผลสัญญาณการประมวลผลภาพ^{[ 8 ]}ระบบควบคุม และการสื่อสารดิจิทัล การใช้งานเหล่านี้โดยทั่วไปจะอยู่ในหนึ่งในสี่ประเภทหลัก:

• การระบุระบบ
• ดีคอนโวลูชัน
• การลดเสียงรบกวน
• การตรวจจับสัญญาณ

ภาพนักบินอวกาศที่มีเสียงดัง

ภาพหลังจากใช้ฟิลเตอร์ Wiener แล้ว (แนะนำให้ดูแบบเต็มหน้าจอ)

ตัวอย่างเช่น ตัวกรอง Wiener สามารถใช้ในการประมวลผลภาพเพื่อกำจัดสัญญาณรบกวนออกจากภาพได้ เช่น การใช้ฟังก์ชัน Mathematica WienerFilter[image,2]กับภาพแรกทางด้านขวา จะได้ภาพที่ผ่านการกรองแล้วดังภาพด้านล่าง

โดยทั่วไปจะใช้เพื่อลดสัญญาณรบกวนในสัญญาณเสียง โดยเฉพาะเสียงพูด ในฐานะตัวประมวลผลเบื้องต้นก่อนการรู้จำเสียงพูด

SVT-AV1ใช้สำหรับการสังเคราะห์เกรนฟิล์ม^{[ 9 ]}

ตัวกรองนี้ได้รับการเสนอโดยNorbert Wienerในช่วงทศวรรษ 1940 และตีพิมพ์ในปี 1949 ^{[ 10 ] [ 11 ]} งานที่เทียบเท่ากับเวลาไม่ต่อเนื่องของงานของ Wiener ได้รับการพัฒนาโดยอิสระโดยAndrey Kolmogorovและตีพิมพ์ในปี 1941 ^{[ 12 ]}ดังนั้นทฤษฎีนี้จึงมักเรียกว่า ทฤษฎีการกรอง Wiener–Kolmogorov ( เทียบกับKriging ) ตัวกรอง Wiener เป็นตัวกรองที่ออกแบบทางสถิติตัวแรกที่ได้รับการเสนอ และต่อมาได้ก่อให้เกิด ตัว กรอง อื่นๆ อีกมากมาย รวมถึงตัวกรอง Kalman

• Thomas Kailath , Ali H. SayedและBabak Hassibi , การประมาณค่าเชิงเส้น, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.

• ฟังก์ชันWienerFilterของ Mathematica