ในการประมวลผลสัญญาณเอาต์พุตของตัวกรองแบบจับคู่จะได้รับจากการหาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่หน่วงเวลาที่ทราบหรือแม่แบบกับสัญญาณที่ไม่ทราบ เพื่อตรวจจับการมีอยู่ของแม่แบบในสัญญาณที่ไม่ทราบ^{[ 1 ] [ 2 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับการคอนโว ลูชัน สัญญาณที่ไม่ทราบกับ แม่แบบเวอร์ชันย้อนกลับเวลาแบบ คอนจูเกต ตัวกรองแบบจับคู่เป็นตัวกรองเชิงเส้น ที่เหมาะสมที่สุด สำหรับการเพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR ) ให้สูงสุด ในกรณีที่มีสัญญาณรบกวนแบบสุ่ม เพิ่มเติม

ตัวกรองแบบจับคู่ (Matched filters) นิยมใช้ในระบบเรดาร์โดยจะส่งสัญญาณที่ทราบค่าออกไป และตรวจสอบสัญญาณสะท้อนกลับเพื่อหาองค์ประกอบที่เหมือนกันกับสัญญาณที่ส่งออกไป การบีบอัด พัลส์ (Pulse compression ) เป็นตัวอย่างหนึ่งของตัวกรองแบบจับคู่ เรียกเช่นนั้นเพราะการตอบสนองแบบอิมพัลส์ (Impulse response) ถูกจับคู่กับสัญญาณพัลส์ขาเข้า ตัวกรองแบบจับคู่สองมิติ (Two-dimensional matched filters) นิยมใช้ในกระบวนการประมวลผลภาพเช่น เพื่อปรับปรุงอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) ของการสังเกตการณ์รังสีเอกซ์ นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ในด้านแผ่นดินไหววิทยาและดาราศาสตร์ คลื่นความโน้มถ่วง อีกด้วย

การกรองแบบจับคู่เป็นเทคนิคการดีโมดูเลชั่น โดยใช้ ตัวกรอง LTI (เชิงเส้นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา)เพื่อเพิ่ม SNR ให้สูงสุด^{[ 3 ]} เดิมทีเรียกอีกอย่างว่า ตัว กรองNorth ^{[ 4 ]}

ส่วนต่อไปนี้จะอธิบายการหาตัวกรองแบบจับคู่สำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่องการหาค่าสำหรับระบบเวลาต่อเนื่องนั้นคล้ายกัน โดยเปลี่ยนผลรวมเป็นปริพันธ์

ตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter ) คือตัวกรองเชิงเส้น (linear filter) ที่เพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนของ สัญญาณเอาต์พุตให้สูงสุด${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[nk]x[k],}$

โดยที่คืออินพุตที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระและคือเอาต์พุตที่ผ่านการกรองแล้ว แม้ว่าโดยส่วนใหญ่เราจะแสดงตัวกรองในรูปของผลตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบคอนโวลูชัน ดังที่กล่าวมาข้างต้น (ดูทฤษฎีระบบ LTI ) แต่การนึกถึงตัวกรองแบบจับคู่ในบริบทของผลคูณภายใน นั้นง่ายที่สุด ซึ่งเราจะได้เห็นในไม่ช้า ${\displaystyle x[k]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle y[n]}$

เราสามารถหาตัวกรองเชิงเส้นที่เพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนของเอาต์พุตให้สูงสุดได้โดยใช้หลักการทางเรขาคณิต แนวคิดเบื้องหลังตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter) อาศัยการหาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่ได้รับ (เวกเตอร์) กับตัวกรอง (เวกเตอร์อีกตัว) ที่ขนานกับสัญญาณ โดยเพิ่มผลคูณภายในให้สูงสุด ซึ่งจะช่วยเพิ่มความแรงของสัญญาณ เมื่อเราพิจารณาสัญญาณรบกวนแบบสุ่มเพิ่มเติม เราจะพบกับความท้าทายเพิ่มเติมในการลดเอาต์พุตที่เกิดจากสัญญาณรบกวนให้น้อยที่สุด โดยการเลือกตัวกรองที่ตั้งฉากกับสัญญาณรบกวน

เรามานิยามปัญหาอย่างเป็นทางการกัน เราต้องการหาตัวกรองที่ทำให้ค่าอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนของเอาต์พุตสูงสุด โดยที่เอาต์พุตคือผลคูณภายในของตัวกรองและสัญญาณที่สังเกตได้ ${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$

สัญญาณที่เราตรวจพบประกอบด้วยสัญญาณที่ต้องการและสัญญาณรบกวนเพิ่มเติม: ${\displaystyle s}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \ x=s+v.\,}$

ให้เรากำหนดเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวน โดยระลึกไว้ว่าเมทริกซ์นี้มีสมมาตรแบบเฮอร์มิเชียนซึ่งเป็นคุณสมบัติที่จะมีประโยชน์ในการพิสูจน์ต่อไป:

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}\,}$

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์สลับตำแหน่งสังยุคของและหมายถึงค่าคาดหวัง (โปรดทราบว่าในกรณีที่สัญญาณรบกวนมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ เมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติของมันจะเท่ากับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ) ${\displaystyle v^{\คณิตศาสตร์ {H} }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle R_{v}}$

ให้เราเรียกผลลัพธ์ของเราว่าซึ่งเป็นผลคูณภายในของตัวกรองของเรากับสัญญาณที่สังเกตได้ โดยที่ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \ y=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h^{*}[k]x[k]=h^{\mathrm {H} }x=h^{\mathrm {H} }s+h^{\mathrm {H} }v=y_{s}+y_{v}.}$

ต่อไปนี้เราจะกำหนดอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน ซึ่งเป็นฟังก์ชันเป้าหมายของเรา ให้เป็นอัตราส่วนของกำลังเอาต์พุตที่เกิดจากสัญญาณที่ต้องการต่อกำลังเอาต์พุตที่เกิดจากสัญญาณรบกวน:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}$

เราเขียนข้อความข้างต้นใหม่ดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}}}.}$

เราต้องการเพิ่มปริมาณนี้ให้สูงสุดโดยการเลือกเมื่อขยายตัวส่วนของฟังก์ชันเป้าหมายของเรา เราจะได้ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}=E\{(h^{\mathrm {H} }v){(h^{\mathrm {H} }v)}^{\mathrm {H} }\}=h^{\mathrm {H} }E\{vv^{\mathrm {H} }\}h=h^{\คณิตศาสตร์ {H} }R_{v}h.\,}$

ตอนนี้ ของเรากลายเป็น ${\displaystyle \คณิตศาสตร์ {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

เราจะเขียนนิพจน์นี้ใหม่โดยใช้การจัดการเมทริกซ์บางอย่าง เหตุผลของมาตรการที่ดูเหมือนจะขัดแย้งนี้จะปรากฏชัดในไม่ช้า การใช้สมมาตรเฮอร์มิเชียนของเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติเราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle R_{v}}$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}},}$

เราต้องการหาขอบเขตบนของนิพจน์นี้ ในการทำเช่นนั้น เราต้องพิจารณารูปแบบหนึ่งของอสมการโคชี-ชวาร์ซ ก่อน :

${\displaystyle \ |a^{\mathrm {H} }b|^{2}\leq (a^{\mathrm {H} }a)(b^{\mathrm {H} }b),\,}$

กล่าวคือ กำลังสองของผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวจะมีค่าได้มากเท่ากับผลคูณของผลคูณภายในของเวกเตอร์แต่ละตัวเท่านั้น แนวคิดนี้กลับไปสู่สัญชาตญาณเบื้องหลังตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter): ขอบเขตบนนี้จะเกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวและขนานกัน เราจะกลับมาดำเนินการต่อโดยแสดงขอบเขตบนของของเราโดยพิจารณาจากอสมการทางเรขาคณิตข้างต้น: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq {\frac {\left[{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)\right]\left[{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)\right]}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}.}$

การปรับแต่งเมทริกซ์อันชาญฉลาดของเราได้ผลแล้ว เราพบว่านิพจน์สำหรับขอบเขตบนของเราสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้มาก:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

เราสามารถบรรลุขีดจำกัดสูงสุดนี้ได้หากเราเลือกที่จะทำเช่นนั้น

${\displaystyle \ R_{v}^{1/2}h=\alpha R_{v}^{-1/2}s}$

โดยที่เป็นจำนวนจริง ใดๆ เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ เราจึงแทนค่า ลงในนิพจน์สำหรับผลลัพธ์ของเรา: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}={\frac {\alpha ^{2}|{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{\alpha ^{2}{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)}}={\frac {|s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s|^{2}}{s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

ดังนั้น ตัวกรองแบบจับคู่ที่เหมาะสมที่สุดของเราคือ

${\displaystyle \ h=\alpha R_{v}^{-1}s.}$

โดยทั่วไปเรามักเลือกที่จะปรับค่าที่คาดหวังของกำลังเอาต์พุตของตัวกรองเนื่องจากสัญญาณรบกวนให้เป็นหนึ่ง นั่นคือ เราจำกัดค่าดังกล่าว

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=1.\,}$

ข้อจำกัดนี้บ่งชี้ถึงค่าของซึ่งเราสามารถหาคำตอบได้ดังนี้: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=\alpha ^{2}s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s=1,}$

ผลผลิต

${\displaystyle \ \alpha ={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}},}$

ทำให้เราได้ตัวกรองแบบนอร์มาไลซ์

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

หากเราต้องการเขียนการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น ของตัวกรองสำหรับระบบคอนโวลูชัน มันก็คือ ค่าผกผัน เชิงซ้อนตามเวลาของอินพุตนั่นเอง ${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

แม้ว่าเราจะสร้างตัวกรองแบบจับคู่ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่องได้แล้ว แต่เราสามารถขยายแนวคิดนี้ไปยังระบบเวลาต่อเนื่องได้ หากเราแทนที่ด้วย ฟังก์ชัน สหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวนแบบเวลาต่อเนื่อง โดยสมมติว่าสัญญาณต่อเนื่อง สัญญาณรบกวน ต่อเนื่องและตัวกรองต่อเนื่อง${\displaystyle R_{v}}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle h(t)}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราอาจหาตัวกรองแบบจับคู่ได้โดยการแก้ปัญหาการหาค่าสูงสุดด้วยลากรางเจียนอีกครั้ง ตัวกรองแบบจับคู่พยายามเพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน ( ) ของสัญญาณเชิงกำหนดที่ผ่านการกรองในสัญญาณรบกวนแบบสุ่มให้สูงสุด ลำดับที่สังเกตได้ คือ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ x=s+v,\,}$

โดยใช้เมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณรบกวน

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}$

อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนคือ

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}},}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle y_{s}=h^{\mathrm {H} }s}$${\displaystyle y_{v}=h^{\mathrm {H} }v}$

เมื่อประเมินนิพจน์ในตัวเศษ เราจะได้

${\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}$

และในตัวส่วน

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนจะกลายเป็น

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

ถ้าเรากำหนดให้ตัวส่วนเป็น 1 ปัญหาการหาค่าสูงสุดก็จะลดลงเหลือเพียงการหาค่าสูงสุดของตัวเศษ จากนั้นเราสามารถกำหนดปัญหาโดยใช้ตัวคูณลากรางจ์ได้ : ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}$

${\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}$

${\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}$

ซึ่งเรามองว่าเป็นปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบทั่วไป

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}$

เนื่องจากเมทริกซ์มีอันดับเท่ากับหนึ่ง จึงมีค่าไอเกน ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงค่าเดียว สามารถแสดงได้ว่าค่าไอเกนนี้เท่ากับ ${\displaystyle ss^{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}$

ส่งผลให้ได้ตัวกรองแบบจับคู่ที่เหมาะสมที่สุดดังต่อไปนี้

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

นี่เป็นผลลัพธ์เดียวกันกับที่พบในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้

การกรองแบบจับคู่ (Matched filtering) สามารถตีความได้ว่าเป็นตัวประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุด (least-squares estimator)สำหรับตำแหน่งและการปรับขนาดที่เหมาะสมที่สุดของแบบจำลองหรือแม่แบบที่กำหนด อีกครั้งหนึ่ง ให้ลำดับที่สังเกตได้ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \ x_{k}=s_{k}+v_{k},\,}$

โดยที่เป็นสัญญาณรบกวนที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และไม่มีความสัมพันธ์กัน โดยถือว่าสัญญาณดังกล่าวเป็นลำดับแบบจำลองที่ทราบแล้วซึ่งถูกปรับขนาดและเลื่อนตำแหน่ง: ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \ s_{k}=\mu _{0}\cdot f_{k-j_{0}}}$

เราต้องการหาค่าประมาณที่เหมาะสมที่สุดสำหรับค่าการเลื่อนและการปรับขนาด ที่ไม่ทราบค่า โดยการลดค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองน้อยที่สุดระหว่างลำดับที่สังเกตได้กับ "ลำดับการตรวจสอบ" : ${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle h_{j-k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\sum _{k}\left(x_{k}-\mu \cdot h_{j-k}\right)^{2}}$

ตัวกรอง ที่เหมาะสมจะกลายเป็นตัวกรองที่ตรงกันในภายหลัง แต่ยังไม่ได้ระบุไว้ การขยายและกำลังสองภายในผลรวมจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle h_{j-k}}$${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\left[\sum _{k}(s_{k}+v_{k})^{2}+\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}-2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-2\mu \sum _{k}v_{k}h_{j-k}\right].}$

พจน์แรกในวงเล็บเป็นค่าคงที่ (เนื่องจากสัญญาณที่สังเกตได้นั้นกำหนดมาแล้ว) และไม่มีผลต่อคำตอบที่เหมาะสมที่สุด พจน์สุดท้ายมีค่าเฉลี่ยคงที่ เนื่องจากสัญญาณรบกวนไม่มีความสัมพันธ์กันและมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถตัดทั้งสองพจน์ออกจากการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดได้ หลังจากกลับเครื่องหมาย เราจะได้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดที่เทียบเท่ากัน

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \max _{j,\mu }\left[2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}\right].}$

การกำหนดให้อนุพันธ์เทียบ กับ rt เท่ากับศูนย์ จะได้คำตอบเชิงวิเคราะห์สำหรับ: ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu ^{*}}$

${\displaystyle \ \mu ^{*}={\frac {\sum _{k}s_{k}h_{j-k}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

เมื่อนำสิ่งนี้ไปใส่ในฟังก์ชันเป้าหมายของเรา จะได้ปัญหาการหาค่าสูงสุดที่ลดลงเหลือเพียง: ${\displaystyle j^{*}}$

${\displaystyle \ j^{*}=\arg \max _{j}{\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

สามารถกำหนดขอบเขตบนของตัวเศษได้โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซ :

${\displaystyle \ {\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}\leq {\frac {\sum _{k}s_{k}^{2}\cdot \sum _{k}h_{j-k}^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}=\sum _{k}s_{k}^{2}={\text{constant}}.}$

ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดจะมีค่าสูงสุดเมื่อสมการนี้เป็นจริง ตามคุณสมบัติของอสมการโคชี-ชวาร์ซสิ่งนี้จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \ h_{j-k}=\nu \cdot s_{k}=\kappa \cdot f_{k-j_{0}}.}$

สำหรับค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆหรือและจะได้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดที่ตามที่ต้องการ ดังนั้น "ลำดับการตรวจสอบ" ของเราจะต้องเป็นสัดส่วนกับแบบจำลองสัญญาณและการเลือกที่เหมาะสมจะให้ตัวกรองที่ตรงกัน ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle j^{*}=j_{0}}$${\displaystyle h_{j-k}}$${\displaystyle f_{k-j_{0}}}$${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle \ h_{k}=f_{-k}.}$

โปรดทราบว่าตัวกรองคือแบบจำลองสัญญาณสะท้อน ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าการดำเนินการที่จะนำไปใช้เพื่อหาค่าที่เหมาะสมที่สุดคือการคอนโวลูชันระหว่างลำดับที่สังเกตได้กับตัวกรองที่ตรงกันลำดับที่ผ่านการกรองจะมีค่าสูงสุด ณ ตำแหน่งที่ลำดับที่สังเกตได้ตรงกับแบบจำลองสัญญาณมากที่สุด (ในแง่ของกำลังสองน้อยที่สุด) ${\displaystyle \sum _{k}x_{k}h_{j-k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$

ตัวกรองแบบจับคู่สามารถได้มาด้วยวิธีที่หลากหลาย^{[ 2 ]}แต่ในฐานะกรณีพิเศษของกระบวนการกำลังสองน้อยที่สุดยังสามารถตีความได้ว่าเป็น วิธี การความน่าจะเป็นสูงสุดในบริบทของ แบบ จำลองสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียน (สี) และความน่าจะเป็นของ Whittle ที่เกี่ยวข้อง[ 5 ^{]หากสัญญาณ} ที่ส่งไม่มีพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่า (เช่น เวลาที่มาถึง แอมพลิจูด...) ตัวกรองแบบจับคู่จะลดความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดให้น้อยที่สุดตามทฤษฎีบทของ Neyman–Pearsonอย่างไรก็ตาม เนื่องจากสัญญาณที่แน่นอนโดยทั่วไปจะถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าซึ่งถูกประมาณค่า (หรือปรับให้เหมาะสม ) ในกระบวนการกรอง ตัวกรองแบบจับคู่จึงประกอบขึ้นเป็น สถิติ ความน่าจะเป็นสูงสุดแบบทั่วไป (การทดสอบ) ^{[ 6 ]}อนุกรมเวลาที่กรองแล้วสามารถตีความได้ว่าเป็น (สัดส่วนกับ) ความน่าจะเป็นของโปรไฟล์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสูงสุดเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เวลา ("การมาถึง") ^{[ 7 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้บ่งชี้ว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด (ในความหมายของ Neyman และ Pearson กล่าวคือ เกี่ยวกับการเพิ่มความน่าจะเป็นในการตรวจจับให้สูงสุดสำหรับความน่าจะเป็นของการแจ้งเตือนผิดพลาดที่กำหนด^{[ 8 ]} ) ไม่จำเป็นต้องเหมาะสมที่สุด สิ่งที่โดยทั่วไปเรียกว่าอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR)ซึ่งถือว่ามีค่าสูงสุดโดยตัวกรองแบบจับคู่ ในบริบทนี้สอดคล้องกับโดยที่คืออัตราส่วนความน่าจะเป็นที่มีค่าสูงสุด (แบบมีเงื่อนไข) ^{[ 7 ] [ nb 1 ]}${\displaystyle {\sqrt {2\log({\mathcal {L}})}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

การสร้างตัวกรองแบบจับคู่ขึ้นอยู่กับสเปกตรัมสัญญาณรบกวนที่ทราบ ในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตาม สเปกตรัมสัญญาณรบกวนมักจะประมาณจากข้อมูล ดังนั้นจึงทราบได้เพียงความแม่นยำที่จำกัด สำหรับกรณีของสเปกตรัมที่ไม่แน่นอน ตัวกรองแบบจับคู่อาจขยายไปสู่กระบวนการวนซ้ำที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งมีคุณสมบัติที่ดีแม้ในสัญญาณรบกวนที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียน^{[ 7 ]}

เมื่อพิจารณาในโดเมนความถี่จะเห็นได้ชัดว่าตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter) จะให้น้ำหนักมากที่สุดกับส่วนประกอบสเปกตรัมที่มีอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนสูงสุด (กล่าวคือ น้ำหนักมากในบริเวณที่มีสัญญาณรบกวนต่ำ และในทางกลับกัน) โดยทั่วไปแล้ว วิธีนี้ต้องการการตอบสนองความถี่ ที่ไม่ราบเรียบ แต่ "ความผิดเพี้ยน" ที่เกิดขึ้นนั้นไม่ใช่เรื่องน่ากังวลในสถานการณ์ต่างๆ เช่นเรดาร์และการสื่อสารดิจิทัลซึ่งทราบรูปคลื่นดั้งเดิมและเป้าหมายคือการตรวจจับสัญญาณนี้ท่ามกลางสัญญาณรบกวนพื้นหลัง ในด้านเทคนิค ตัวกรองแบบจับคู่เป็น วิธีการกำลัง สองน้อยที่สุดแบบถ่วงน้ำหนักโดยอิงจากข้อมูลโดเมนความถี่ ( แบบ เฮเทอโรสเคดาสติก) (โดยที่ "น้ำหนัก" ถูกกำหนดผ่านสเปกตรัมของสัญญาณรบกวน ดูส่วนก่อนหน้าด้วย) หรือเทียบเท่ากับ วิธี การกำลังสองน้อยที่สุดที่ใช้กับข้อมูล ที่ผ่านการทำให้ เป็นสีขาวแล้ว

ตัวกรองแบบจับคู่มักใช้ใน การตรวจ จับสัญญาณ^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการตัดสินระยะทางของวัตถุโดยการสะท้อนสัญญาณจากวัตถุนั้น เราอาจเลือกที่จะส่งสัญญาณไซน์โทนบริสุทธิ์ที่ความถี่ 1 Hz เราถือว่าสัญญาณที่เราได้รับเป็นรูปแบบที่ลดทอนและเปลี่ยนเฟสของสัญญาณที่ส่งออกไปพร้อมกับสัญญาณรบกวนที่เพิ่มเข้ามา

ในการประเมินระยะห่างของวัตถุ เราจะทำการหาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่ได้รับกับตัวกรองแบบจับคู่ ซึ่งในกรณีของสัญญาณรบกวนสีขาว (ไม่สัมพันธ์กัน)ตัวกรองแบบจับคู่จะเป็นสัญญาณไซน์ความถี่ 1 เฮิรตซ์บริสุทธิ์อีกตัวหนึ่ง เมื่อเอาต์พุตของระบบตัวกรองแบบจับคู่เกินเกณฑ์ที่กำหนด เราจะสรุปได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงว่าสัญญาณที่ได้รับนั้นสะท้อนมาจากวัตถุ การใช้ความเร็วในการแพร่กระจายและเวลาที่เราสังเกตเห็นสัญญาณสะท้อนเป็นครั้งแรก เราสามารถประมาณระยะห่างของวัตถุได้ หากเราเปลี่ยนรูปร่างของพัลส์ในลักษณะที่ออกแบบมาเป็นพิเศษ อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนและความละเอียดในการวัดระยะทางสามารถปรับปรุงได้ดียิ่งขึ้นหลังจากทำการกรองแบบจับคู่แล้ว นี่คือเทคนิคที่เรียกว่าการบีบอัดพัลส์

นอกจากนี้ ตัวกรองแบบจับคู่ (matched filters) ยังสามารถใช้ในปัญหาการประมาณค่าพารามิเตอร์ได้ (ดูทฤษฎีการประมาณค่า ) เพื่อกลับไปยังตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราอาจต้องการประมาณความเร็วของวัตถุ นอกเหนือจากตำแหน่งของมัน เพื่อใช้ประโยชน์จากปรากฏการณ์ดอปเปลอร์เราต้องการประมาณความถี่ของสัญญาณที่ได้รับ ในการทำเช่นนั้น เราอาจทำการหาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่ได้รับกับตัวกรองแบบจับคู่หลายตัวของคลื่นไซน์ที่ความถี่ต่างๆ ตัวกรองแบบจับคู่ที่มีเอาต์พุตสูงสุดจะแสดงความถี่ของสัญญาณสะท้อนด้วยความน่าจะเป็นสูง และช่วยให้เรากำหนดความเร็วเชิงรัศมีของวัตถุได้ กล่าวคือ ความเร็วสัมพัทธ์ที่พุ่งเข้าหาหรือออกจากผู้สังเกต วิธีการนี้เป็นเวอร์ชันง่ายๆ ของการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) DFT รับอินพุตเชิงซ้อนที่มีค่าเป็น n และหาความสัมพันธ์กับตัวกรองแบบจับคู่ ซึ่งสอดคล้องกับเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ความถี่ต่างๆ เพื่อให้ได้ตัวเลขเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับแอมพลิจูดและเฟสสัมพัทธ์ของส่วนประกอบคลื่นไซน์ (ดูการบ่งชี้เป้าหมายเคลื่อนที่ ) ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

ตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter) ยังใช้ในด้านการสื่อสารด้วย ในบริบทของระบบสื่อสารที่ส่ง ข้อความ ไบนารีจากตัวส่งไปยังตัวรับผ่านช่องสัญญาณที่มีสัญญาณรบกวน ตัวกรองแบบจับคู่สามารถใช้เพื่อตรวจจับพัลส์ที่ส่งในสัญญาณที่ได้รับซึ่งมีสัญญาณรบกวนได้

ลองนึกภาพว่าเราต้องการส่งลำดับ "0101100100" ที่เข้ารหัสแบบ non-polar non-return-to-zero (NRZ) ผ่านช่องสัญญาณหนึ่งๆ

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับในรหัส NRZ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นลำดับของพัลส์หน่วยหรือฟังก์ชันเรค ที่เลื่อน โดยแต่ละพัลส์จะมีน้ำหนัก +1 ถ้าบิตเป็น "1" และ -1 ถ้าบิตเป็น "0" ในทางคณิตศาสตร์ ตัวประกอบการปรับขนาดสำหรับบิตคือ ${\displaystyle k^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \ a_{k}={\begin{cases}+1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}1,\\-1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}0.\end{cases}}}$

เราสามารถแทนข้อความของเราได้โดยใช้ผลรวมของพัลส์หน่วยที่เลื่อนตำแหน่ง: ${\displaystyle M(t)}$

${\displaystyle \ M(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}\times \Pi \left({\frac {t-kT}{T}}\right).}$

โดยที่คือความยาวของเวลาหนึ่งบิต และคือฟังก์ชัน สี่เหลี่ยมผืนผ้า${\displaystyle T}$${\displaystyle \Pi (x)}$

ดังนั้น สัญญาณที่จะส่งโดยตัวส่งสัญญาณคือ

หากเราจำลองช่องสัญญาณที่มีสัญญาณรบกวนเป็น ช่องสัญญาณ AWGNซึ่งหมายถึงมีการเพิ่มสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนสีขาวเข้าไปในสัญญาณ ที่ฝั่งตัวรับ สำหรับอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน 3 dB อาจมีลักษณะดังนี้:

เมื่อมองแวบแรกจะไม่เห็นลำดับการส่งข้อมูลดั้งเดิม เนื่องจากมีสัญญาณรบกวนสูงเมื่อเทียบกับกำลังของสัญญาณที่ต้องการ (กล่าวคืออัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน ต่ำ ) หากผู้รับทำการสุ่มตัวอย่างสัญญาณนี้ในจังหวะที่ถูกต้อง ข้อความไบนารีที่ได้อาจไม่ถูกต้อง

เพื่อเพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน เราจึงส่งสัญญาณที่ได้รับผ่านตัวกรองแบบจับคู่ ในกรณีนี้ ตัวกรองควรจับคู่กับพัลส์ NRZ (เทียบเท่ากับ "1" ในรหัส NRZ) กล่าวคือ การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองแบบจับคู่ในอุดมคติ โดยสมมติว่าสัญญาณรบกวนเป็นแบบไวท์นอยส์ (ไม่สัมพันธ์กัน) ควรจะเป็น เวอร์ชันที่ปรับขนาดแบบ คอนจูเกตเชิงซ้อน แบบย้อนกลับเวลา ของสัญญาณที่เราต้องการ เราเลือก

${\displaystyle \ h(t)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right).}$

ในกรณีนี้ เนื่องมาจากสมมาตร ค่าสังยุคเชิงซ้อนแบบย้อนเวลาของคือ ซึ่งทำให้เราสามารถเรียกการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบคอนโวลูชันตัวกรองแบบจับคู่ของเราว่า ได้ ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle h(t)}$

หลังจากทำการคอนโวลูชันด้วยตัวกรองที่เหมาะสมแล้ว สัญญาณที่ได้จะเป็นดังนี้ ${\displaystyle M_{\mathrm {filtered} }(t)}$

${\displaystyle \ M_{\mathrm {filtered} }(t)=(M*h)(t)}$

โดยที่หมายถึงการสังเคราะห์ (convolution) ${\displaystyle *}$

ซึ่งขณะนี้ผู้รับสามารถสุ่มตัวอย่างได้อย่างปลอดภัย ณ ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างที่ถูกต้อง และเปรียบเทียบกับค่าเกณฑ์ที่เหมาะสม ส่งผลให้สามารถตีความข้อความไบนารีได้อย่างถูกต้อง

ตัวกรองแบบจับคู่มีบทบาทสำคัญในดาราศาสตร์คลื่นความโน้มถ่วง^{[ 9 ]}การสังเกตคลื่นความโน้มถ่วงครั้งแรกนั้นอาศัยการกรองขนาดใหญ่ของเอาต์พุตของเครื่องตรวจจับแต่ละตัวสำหรับสัญญาณที่มีรูปร่างคล้ายกับที่คาดไว้ ตามด้วยการคัดกรองในภายหลังสำหรับทริกเกอร์ที่ตรงกันและสอดคล้องกันระหว่างเครื่องมือทั้งสอง^{[ 10 ]}อัตราการแจ้งเตือนที่ผิดพลาดและด้วยเหตุนี้ความสำคัญทางสถิติของการตรวจจับจึงได้รับการประเมินโดยใช้วิธีการสุ่มตัวอย่างใหม่^{[ 11 ] [ 12 ]}การอนุมานเกี่ยวกับพารามิเตอร์แหล่งกำเนิดทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์เสร็จสมบูรณ์โดยใช้วิธีการแบบเบย์เซียนโดยอิงจากแบบจำลองทางทฤษฎีที่มีพารามิเตอร์สำหรับรูปคลื่นสัญญาณและ (อีกครั้ง) บน ความน่าจะเป็น ของWhittle ^{[ 13 ] [ 14 ]}

ตัวกรองแบบจับคู่ใช้ในด้านแผ่นดินไหววิทยาเพื่อตรวจจับแผ่นดินไหวหรือสัญญาณแผ่นดินไหวอื่นๆ ที่คล้ายกัน โดยมักใช้แม่แบบที่กำหนดขึ้นจากประสบการณ์แบบหลายองค์ประกอบและ/หรือหลายช่องสัญญาณ^{[ 15 ]} การประยุกต์ใช้ตัวกรองแบบจับคู่ในด้านแผ่นดินไหววิทยา ได้แก่ การสร้างแคตตาล็อกเหตุการณ์ขนาดใหญ่เพื่อศึกษาการเกิดแผ่นดินไหว^{[ 16 ]}และกิจกรรมภูเขาไฟ^{[ 17 ] [ 18 ]}และในการตรวจจับการระเบิดนิวเคลียร์ทั่วโลก^{[ 19 ]}

สัตว์ที่อาศัยอยู่ในสภาพแวดล้อมที่ค่อนข้างคงที่จะมีลักษณะของสภาพแวดล้อมที่ค่อนข้างคงที่ในการรับรู้ ซึ่งช่วยให้เกิดวิวัฒนาการของตัวกรองที่ตรงกับสัญญาณที่คาดหวังด้วยอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนสูงสุด ซึ่งก็คือตัวกรองที่ตรงกัน^{[ 20 ]}เซ็นเซอร์ที่รับรู้โลก "ผ่าน 'ตัวกรองที่ตรงกัน' ดังกล่าวจะจำกัดปริมาณข้อมูลที่สมองสามารถรับจากโลกภายนอกได้อย่างมาก แต่จะทำให้สมองไม่ต้องทำการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นเพื่อดึงข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการทำงานเฉพาะอย่างออกมา" ^{[ 21 ]}

• เพริโอโดแกรม
• การฉายย้อนกลับแบบกรอง (การแปลงเรดอน)
• ตัวกรองดิจิทัล
• การประมวลผลสัญญาณทางสถิติ
• ความน่าจะเป็นของ Whittle
• ความน่าจะเป็นของโปรไฟล์
• ทฤษฎีการตรวจจับ
• ปัญหาการเปรียบเทียบหลายรายการ
• ความจุช่องทาง
• ทฤษฎีการเข้ารหัสช่องสัญญาณรบกวน
• การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัม
• ตัวกรองกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุด (LMS)
• ตัวกรองไวเนอร์
• การจำแนกสัญญาณหลายตัว (MUSIC) เป็นวิธีการเพิ่มความละเอียดสูง แบบพาราเมตริกที่ได้รับความนิยม
• แซมวี

• Turin, GL (1960). "บทนำเกี่ยวกับตัวกรองแบบจับคู่" . IRE Transactions on Information Theory . 6 (3): 311– 329. doi : 10.1109/TIT.1960.1057571 . S2CID  5128742 .
• Wainstein, LA; Zubakov, VD (1962). การแยกสัญญาณออกจากสัญญาณรบกวน . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall .
• Melvin, WL (2004). "ภาพรวมของ STAP". IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine . 19 (1): 19– 35. Bibcode : 2004IAESM..19a..19M . doi : 10.1109/MAES.2004.1263229 . S2CID  31133715 .
• Röver, C. (2011). "ตัวกรองแบบ Student-t สำหรับการตรวจจับสัญญาณที่ทนทาน". Physical Review D . 84 (12) 122004. arXiv : 1109.0442 . Bibcode : 2011PhRvD..84l2004R . doi : 10.1103/PhysRevD.84.122004 .
• Fish, A.; Gurevich, S.; Hadani, R.; Sayeed, A.; Schwartz, O. (ธันวาคม 2011). "การคำนวณตัวกรองแบบจับคู่ในเวลาเชิงเส้น". arXiv : 1112.4883 [ cs.IT ].