การบีบอัดพัลส์เป็น เทคนิค การประมวลผลสัญญาณที่ใช้กันทั่วไปใน เรดาร์โซนาร์และเอคโคกราฟีเพื่อเพิ่มความละเอียด ของระยะทาง เมื่อความยาวของพัลส์ถูกจำกัด หรือเพิ่ม อัตราส่วน สัญญาณต่อสัญญาณรบกวนเมื่อกำลังสูงสุดและแบนด์วิดท์ (หรือความละเอียดของระยะทาง) ของสัญญาณที่ส่งถูกจำกัด ซึ่งทำได้โดยการปรับพัลส์ที่ส่งแล้วหาความสัมพันธ์ของสัญญาณที่ได้รับกับพัลส์ที่ส่ง^{[ 1 ]}

แบบจำลองในอุดมคติสำหรับสัญญาณประเภทที่ง่ายที่สุด และเป็นประเภทแรกในประวัติศาสตร์ที่เรดาร์ แบบพัลส์ หรือโซนาร์สามารถส่งได้ คือ พัลส์ไซน์แบบตัดทอน (เรียกอีกอย่างว่า พัลส์คลื่นพาหะ CW) ที่มีแอมพลิจูดและความถี่พาหะ , , ถูกตัดทอนด้วยฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างพัลส์นี้ถูกส่งเป็นระยะๆ แต่ไม่ใช่หัวข้อหลักของบทความนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะพัลส์เดียวถ้าเราสมมติว่าพัลส์เริ่มต้นที่เวลาสัญญาณสามารถเขียนได้ในลักษณะต่อไปนี้ โดยใช้สัญกรณ์เชิงซ้อน : ${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{ถ้า}}\;0\leq t<T\\0&{\text{มิฉะนั้น}}\end{cases}}}$

เรามาพิจารณาความละเอียดของช่วงที่สามารถได้รับจากสัญญาณดังกล่าว สัญญาณสะท้อนกลับที่เขียนว่าเป็นสำเนาของสัญญาณที่ส่งมาดั้งเดิมซึ่งถูกลดทอนและเลื่อนเวลา (ในความเป็นจริงผลของดอปเปลอร์ก็อาจมีบทบาทเช่นกัน แต่ในที่นี้ไม่สำคัญ) นอกจากนี้ยังมีสัญญาณรบกวนในสัญญาณขาเข้า ทั้งในช่องสัญญาณจินตนาการและช่องสัญญาณจริง สัญญาณรบกวนนี้ถือว่ามีแบนด์วิดท์จำกัด กล่าวคือมีความถี่เฉพาะในช่วง(โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเช่นนั้นในความเป็นจริง ซึ่ง มักใช้ตัวกรอง แบบแบนด์พาสเป็นหนึ่งในขั้นตอนแรกๆ ในวงจรรับสัญญาณ) เราเขียนเพื่อแสดงถึงสัญญาณรบกวนนั้น ในการตรวจจับสัญญาณขาเข้า มักใช้ ตัวกรองแบบจับคู่วิธีนี้เหมาะสมที่สุดเมื่อต้องการตรวจจับสัญญาณที่ทราบท่ามกลางสัญญาณรบกวนแบบบวกที่มีการ กระจายแบบปกติ${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle N(t)}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การคำนวณค่าสหสัมพันธ์ ไขว้ (cross-correlation)ระหว่างสัญญาณที่ได้รับกับสัญญาณที่ส่งออกไป ซึ่งทำได้โดยการคอนโวลูชันสัญญาณขาเข้ากับ สัญญาณที่ส่งออกไป ซึ่งถูกคอนจูเกตและย้อนเวลา การดำเนินการนี้สามารถทำได้ทั้งในซอฟต์แวร์หรือฮาร์ดแวร์ เราเขียนค่าสหสัมพันธ์ไขว้ดังนี้: ${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

ถ้าสัญญาณสะท้อนกลับมายังตัวรับที่เวลาและถูกลดทอนลงด้วยปัจจัยจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

เนื่องจากเรารู้สัญญาณที่ส่ง เราจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

โดยที่คือผลลัพธ์ของการหาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณรบกวนและสัญญาณที่ส่งผ่าน ฟังก์ชันคือฟังก์ชันสามเหลี่ยม ค่าของมันคือ 0 บนมันเพิ่มขึ้นอย่างเป็นเส้นตรงบนโดยมีค่าสูงสุดคือ 1 และลดลงอย่างเป็นเส้นตรงบนจนกระทั่งถึง 0 อีกครั้ง รูปภาพในตอนท้ายของย่อหน้านี้แสดงรูปร่างของความสัมพันธ์สำหรับสัญญาณตัวอย่าง (สีแดง) ในกรณีนี้คือสัญญาณไซน์แบบตัดทอนจริง มีความยาววินาที แอมพลิจูดหนึ่งหน่วย และความถี่ เฮิรตซ์ สัญญาณสะท้อนสองสัญญาณ (สีน้ำเงิน) กลับมาโดยมีความล่าช้า 3 และ 5 วินาที และแอมพลิจูดเท่ากับ 0.5 และ 0.3 เท่าของแอมพลิจูดของพัล ส์ที่ส่งผ่าน ตามลำดับ ค่าเหล่านี้เป็นเพียงค่าสุ่มเพื่อเป็นตัวอย่างเท่านั้น เนื่องจากสัญญาณเป็นสัญญาณจริง ความสัมพันธ์จึงถูกถ่วงน้ำหนักด้วยปัจจัย 1/2 เพิ่มเติม${\displaystyle N'(t)}$${\displaystyle \Lambda }$${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$${\displaystyle T=1}$${\textstyle f_{0}=10}$

หากพัลส์สองลูกกลับมาพร้อมกัน (เกือบพร้อมกัน) ค่าสหสัมพันธ์ระหว่างพัลส์จะเท่ากับผลรวมของค่าสหสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณพื้นฐานทั้งสอง เพื่อแยกแยะซองสัญญาณรูปสามเหลี่ยมหนึ่งออกจากอีกพัลส์หนึ่ง จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าเวลาที่พัลส์ทั้งสองมาถึงต้องห่างกันอย่างน้อยที่สุดเพื่อให้สามารถแยกจุดสูงสุดของพัลส์ทั้งสองได้ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะผสมปนเปกันและไม่สามารถแยกออกจากกันได้ ${\displaystyle T}$

เนื่องจากระยะทางที่คลื่นเดินทางในช่วงเวลาหนึ่งคือ(โดยที่cคือความเร็วของคลื่นในตัวกลาง) และเนื่องจากระยะทางนี้สอดคล้องกับเวลาเดินทางไปกลับ เราจึงได้ว่า: ${\displaystyle T}$${\displaystyle cT}$

ผลลัพธ์ที่ 1
ความละเอียดเชิงระยะทางด้วยพัลส์ไซน์คือโดยที่คือระยะเวลาของพัลส์ และ คือความเร็วของคลื่น ${\textstyle {\frac {1}{2}}cT}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c}$ สรุป: เพื่อเพิ่มความละเอียด ต้องลดความยาวของพัลส์ลง

ตัวอย่าง (การกระตุ้นแบบง่าย): สัญญาณที่ส่งออกไปเป็นสีแดง (ความถี่พาหะ 10 เฮิรตซ์ แอมพลิจูด 1 ระยะเวลา 1 วินาที) และสัญญาณสะท้อนสองสัญญาณ (สีน้ำเงิน)

ก่อนการกรองแบบจับคู่	หลังจากทำการกรองแบบจับคู่แล้ว

กำลังไฟฟ้าทันทีของพัลส์ที่ได้รับคือพลังงานที่ใส่เข้าไปในสัญญาณนั้นคือ: ${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

ถ้า σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสัญญาณรบกวนซึ่งถือว่ามีแบนด์วิดท์เท่ากับสัญญาณ อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) ที่ตัวรับสัญญาณจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะเวลาของพัลส์หากพารามิเตอร์อื่นๆ คงที่ ซึ่งนำไปสู่ข้อแลกเปลี่ยน: การเพิ่มระยะเวลาจะช่วยเพิ่ม SNR แต่ลดความละเอียด และในทางกลับกัน ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

เพื่อให้ได้พัลส์ที่มีขนาดใหญ่พอ และยังคงมีอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) ที่ดีที่ตัวรับ โดยไม่ทำให้ความละเอียดลดลง อาจใช้การบีบอัดพัลส์ หลักการพื้นฐานมีดังนี้:

• มีการส่งสัญญาณที่มีความยาวเพียงพอเพื่อให้งบประมาณด้านพลังงานถูกต้อง
• สัญญาณนี้ถูกออกแบบมาเพื่อให้หลังจากผ่านการกรองแบบจับคู่แล้ว ความกว้างของสัญญาณที่มีความสัมพันธ์กันจะมีค่าน้อยกว่าความกว้างที่ได้จากพัลส์ไซน์มาตรฐาน ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น (จึงเป็นที่มาของชื่อเทคนิคนี้: การบีบอัดพัลส์)

ในการใช้งานเรดาร์หรือโซนาร์ สัญญาณชิปเชิงเส้น (linear chirp)เป็นสัญญาณที่ใช้กันทั่วไปที่สุดในการบีบอัดพัลส์ เนื่องจากพัลส์มีความยาวจำกัด แอมพลิจูดจึงเป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าหากสัญญาณที่ส่งมีระยะเวลาเริ่มต้นที่และกวาดแถบความถี่อย่างเป็นเส้นตรงโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ความถี่พาหะก็สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle T}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

นิยามของสัญญาณชิปข้างต้นหมายความว่า เฟสของสัญญาณชิป (นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ของเลขชี้กำลังเชิงซ้อน) คือกำลังสอง:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

ดังนั้นความถี่ทันทีจึงเป็น (ตามคำนิยาม):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

ซึ่งเป็นทางลาดเชิงเส้นที่ตั้งใจไว้ โดยลาดจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=0}$${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$${\displaystyle t=T}$

ความสัมพันธ์ระหว่างเฟสกับความถี่มักถูกนำมาใช้ในทิศทางตรงกันข้าม โดยเริ่มต้นจากค่าที่ต้องการและเขียนเฟสของสัญญาณชิปผ่านการอินทิเกรตความถี่: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

โดยทั่วไป สัญญาณที่ส่งออกไปจะถูกสะท้อนกลับจากเป้าหมายและเกิดการลดทอนเนื่องจากสาเหตุต่างๆ ดังนั้นสัญญาณที่ได้รับจึงเป็นสัญญาณที่ส่งไปแล้วแต่มีการหน่วงเวลาและลดทอนลง บวกกับสัญญาณรบกวนเพิ่มเติมที่มีความหนาแน่นสเปกตรัม กำลังคง ที่ที่และเป็นศูนย์ที่อื่น ๆ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

ในการคำนวณความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณที่ได้รับกับสัญญาณที่ส่งออกไป จะต้องดำเนินการสองขั้นตอนดังนี้:

- ขั้นตอนแรกเป็นการลดความซับซ้อน แทนที่จะคำนวณค่าสหสัมพันธ์ไขว้ เราอาจคำนวณค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ ซึ่งสมมติว่าจุดสูงสุดของค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติอยู่ตรงกลางที่ศูนย์ วิธีนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงความละเอียดและแอมพลิจูด:

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- ขั้นตอนที่สอง ดังแสดงด้านล่าง คือการกำหนดค่าแอมพลิจูดให้กับสัญญาณอ้างอิง ซึ่งไม่ใช่ค่าหนึ่ง แต่เป็น ค่าคง ที่ จะต้องกำหนดค่า คงที่นี้ เพื่อให้พลังงานได้รับการอนุรักษ์ผ่านความสัมพันธ์${\displaystyle \rho \neq 1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ตอนนี้สามารถแสดงได้^{[ 2 ]}ว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกับคือ: ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle r'}$

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

ความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณอ้างอิงกับสัญญาณรบกวนที่ได้รับอยู่ ที่ใด${\displaystyle N'(t)}$

สมมติว่าไม่มีสัญญาณรบกวน ค่าสูงสุดของฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชันของจะอยู่ที่ 0 บริเวณ 0 ฟังก์ชันนี้จะมีพฤติกรรมคล้ายกับ เทอม sinc (หรือไซน์คาร์ดินัล) ซึ่งกำหนดไว้ในที่นี้คือ ความกว้างเชิงเวลา −3 dB ของไซน์คาร์ดินัลนั้นจะมีค่าประมาณเท่ากับทุกอย่างเกิดขึ้นราวกับว่าหลังจากใช้ตัวกรองแบบจับคู่แล้ว เราได้ความละเอียดที่ได้จากพัลส์แบบง่ายๆ ที่มีความยาวสำหรับค่าทั่วไปของจะมีค่าน้อยกว่าดังนั้นจึงเรียก ว่า การบีบอัดพัลส์${\displaystyle s_{c'}}$${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$

เนื่องจากสัญญาณไซน์หลักอาจมีไซด์โลบซึ่งก่อให้เกิดปัญหา วิธีปฏิบัติทั่วไปคือการกรองผลลัพธ์โดยใช้หน้าต่าง ( แฮมมิง , แฮนน์ฯลฯ) ในทางปฏิบัติ สามารถทำได้พร้อมกับการกรองที่ปรับแต่งแล้วโดยการคูณสัญญาณชิปอ้างอิงกับตัวกรอง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสัญญาณที่มีแอมพลิจูดสูงสุดลดลงเล็กน้อย แต่ไซด์โลบจะถูกกรองออกไป

ผลลัพธ์ที่ 2
ความละเอียดเชิงระยะทางที่สามารถทำได้ด้วยการมอดูเลตความถี่เชิงเส้นของพัลส์บนแบนด์วิดท์คือ: โดยที่คือความเร็วของคลื่น ${\displaystyle \Delta f}$${\textstyle {\frac {c}{2\Delta f}}}$${\displaystyle c}$

คำนิยาม
อัตราส่วนคือ อัตราส่วนการบีบอัดชีพจร โดยทั่วไปจะมีค่ามากกว่า 1 (โดยปกติจะมีค่าอยู่ระหว่าง 20 ถึง 30) ${\textstyle {\frac {T}{T'}}=T\Delta f}$

ตัวอย่าง (พัลส์แบบชิป): สัญญาณที่ส่งออกไปเป็นสีแดง (ความถี่พาหะ 10 เฮิรตซ์, การมอดูเลชั่นที่ 16 เฮิรตซ์, แอมพลิจูด 1, ระยะเวลา 1 วินาที) และสัญญาณสะท้อนสองสัญญาณ (สีน้ำเงิน)

เมื่อสัญญาณอ้างอิงได้รับการปรับขนาดอย่างถูกต้องโดยใช้เทอมแล้วจะสามารถรักษาพลังงานทั้งก่อนและหลังการหาความสัมพันธ์ได้ กำลังสูงสุด (และเฉลี่ย) ก่อนการหาความสัมพันธ์คือ: ${\displaystyle s_{c}'}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}}$

เนื่องจากก่อนการบีบอัด พัลส์มีรูปร่างเป็นกล่อง พลังงานก่อนการหาความสัมพันธ์จึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T}$

กำลังสูงสุดหลังจากการคำนวณหาความสัมพันธ์จะเกิดขึ้นที่: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T}$

โปรดทราบว่า หากกำลังสูงสุดนี้คือพลังงานของสัญญาณที่ได้รับก่อนการหาความสัมพันธ์ ซึ่งเป็นไปตามที่คาดไว้ หลังจากการบีบอัด พัลส์จะถูกประมาณด้วยกล่องที่มีความกว้างเท่ากับความกว้างทั่วไปของฟังก์ชัน นั่นคือ ความกว้างดังนั้นพลังงานหลังการหาความสัมพันธ์คือ: ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle sinc}$${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}}$

ถ้าพลังงานได้รับการอนุรักษ์:

${\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}}$

...จึงสรุปได้ว่า: กำลังสูงสุดหลังจากหาความสัมพันธ์แล้วคือ: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T}$

กำลังสูงสุดของสัญญาณที่ถูกบีบอัดด้วยพัลส์จะมีค่าเท่ากับกำลังสูงสุดของสัญญาณที่ได้รับมาแบบดิบๆ (โดยสมมติว่าแม่แบบได้รับการปรับขนาดอย่างถูกต้องเพื่ออนุรักษ์พลังงานผ่านการหาความสัมพันธ์) ${\displaystyle \Delta f\times T}$${\displaystyle s_{c}'}$

พลังงานของสัญญาณไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการบีบอัดพัลส์ อย่างไรก็ตาม ขณะนี้พลังงานนั้นอยู่ในส่วนหลักของฟังก์ชันไซน์หลัก ซึ่งมีความกว้างประมาณถ้าคือกำลังของสัญญาณก่อนการบีบอัด และคือกำลังของสัญญาณหลังการบีบอัด พลังงานจะยังคงอนุรักษ์ไว้: ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

ซึ่งส่งผลให้กำลังเพิ่มขึ้นหลังจากการบีบอัดพัลส์:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

ในโดเมนสเปกตรัม สเปกตรัมกำลังของสัญญาณชิปจะมีค่าความหนาแน่นสเปกตรัมเกือบคงที่ในช่วงและเป็นศูนย์ที่อื่น ดังนั้นพลังงานจึงสามารถแสดงได้ในรูป โดยค่าความหนาแน่นสเปกตรัมนี้ยังคงเท่าเดิมหลังจากผ่านการกรองแบบจับคู่แล้ว ${\displaystyle D=P/\Delta f}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$

ลองนึกภาพพัลส์ไซน์ (CW) ที่เทียบเท่ากัน ซึ่งมีระยะเวลาและกำลังไฟฟ้าขาเข้าเท่ากัน พัลส์ไซน์ที่เทียบเท่านี้จะมีพลังงาน: ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

หลังจากทำการกรองแบบจับคู่แล้ว พัลส์ไซน์ที่เทียบเท่าจะเปลี่ยนเป็นสัญญาณรูปสามเหลี่ยมที่มีความกว้างเป็นสองเท่าของความกว้างเดิม แต่มีกำลังสูงสุดเท่าเดิม พลังงานยังคงอนุรักษ์ไว้ โดเมนสเปกตรัมถูกประมาณโดยความหนาแน่นสเปกตรัมที่เกือบคงที่ในช่วงที่โดยอาศัยการอนุรักษ์พลังงานเราจะได้ว่า: ${\displaystyle D'}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

เนื่องจากตามนิยามแล้ว หมายความว่าความหนาแน่นสเปกตรัมของพัลส์แบบชิปและพัลส์ CW ที่เทียบเท่ากันนั้นเกือบจะเหมือนกัน และเทียบเท่ากับตัวกรองแบบแบนด์พาสบน ผลการกรองของการหาความสัมพันธ์ยังส่งผลต่อสัญญาณรบกวนด้วย หมายความว่าแถบอ้างอิงสำหรับสัญญาณรบกวนคือและเนื่องจากจึงได้ผลกรองเดียวกันกับสัญญาณรบกวนในทั้งสองกรณีหลังจากการหาความสัมพันธ์ นี่หมายความว่าผลสุทธิของการบีบอัดพัลส์คือ เมื่อเทียบกับพัลส์ CW ที่เทียบเท่ากันอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) ดีขึ้นเป็นปัจจัยหนึ่งเนื่องจากสัญญาณถูกขยาย แต่สัญญาณรบกวนไม่ถูกขยาย ${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$${\displaystyle D'=D}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle D=D'}$${\displaystyle T/T'}$

ผลที่ตามมาคือ:  

ผลลัพธ์ที่ 3

หลังจากบีบอัดพัลส์แล้ว อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนสามารถพิจารณาได้ว่าเพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับสถานการณ์พื้นฐานของพัลส์คลื่นต่อเนื่องที่มีระยะเวลาและแอมพลิจูดเท่ากับสัญญาณที่ถูกมอดูเลตแบบชิปก่อนการบีบอัด ซึ่งสัญญาณและสัญญาณรบกวนที่ได้รับ (โดยปริยาย) ได้ผ่านการกรองแบบแบนด์พาสแล้วค่าที่เพิ่มขึ้นนี้สามารถนำไปใส่ในสมการเรดาร์ได้ ${\displaystyle T\Delta f}$${\displaystyle T'=1/\Delta f}$${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

ตัวอย่าง: สัญญาณเดียวกันกับข้างต้น บวกกับสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนสีขาวที่ผ่านการกรองแบบแบนด์พาสแล้ว (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนจริง: 0.125 หลังการกรอง) หลังจากการหาความสัมพันธ์ กำลังของสัญญาณรบกวนจะไม่เปลี่ยนแปลง สัญญาณเองจะถูกขยายขึ้นเป็นสี่เท่า (หรือ 16 เท่าสำหรับกำลัง ตามที่ทฤษฎีทำนายไว้)

ด้วยเหตุผลทางเทคนิค การหาค่าสหสัมพันธ์จึงไม่จำเป็นต้องทำสำหรับพัลส์ CW ที่ได้รับจริงเหมือนกับพัลส์แบบชิป อย่างไรก็ตาม ในระหว่าง การเลื่อนความถี่ เบสแบนด์สัญญาณจะผ่านการกรองแบบแบนด์พาสซึ่งมีผลสุทธิต่อสัญญาณรบกวนเช่นเดียวกับการหาค่าสหสัมพันธ์ ดังนั้นเหตุผลโดยรวมจึงยังคงเหมือนเดิม (กล่าวคือ อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) จะมีความหมายก็ต่อเมื่อสัญญาณรบกวนนั้นอยู่ในช่วงความถี่ที่กำหนด ซึ่งในที่นี้คือช่วงความถี่ของสัญญาณ) ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

การเพิ่มขึ้นของ SNR นี้ดูเหมือนจะเป็นเรื่องมหัศจรรย์ แต่โปรดจำไว้ว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังไม่ได้แสดงถึงเฟสของสัญญาณ ในความเป็นจริง เฟสจะแตกต่างกันสำหรับพัลส์ CW ที่เทียบเท่า พัลส์ CW หลังจากการหาความสัมพันธ์ พัลส์ชิปดั้งเดิม และพัลส์ชิปที่มีความสัมพันธ์ ซึ่งอธิบายถึงรูปร่างที่แตกต่างกันของสัญญาณ (โดยเฉพาะความยาวที่แตกต่างกัน) แม้ว่าจะมีสเปกตรัมกำลัง (เกือบ) เหมือนกันในทุกกรณี หากกำลังส่งสูงสุดและแบนด์วิดท์มีข้อจำกัด การบีบอัดพัลส์จึงทำให้ได้กำลังสูงสุดที่ดีกว่า (แต่ความละเอียดเท่าเดิม) โดยการส่งพัลส์ที่ยาวกว่า (นั่นคือพลังงานมากกว่า) เมื่อเทียบกับพัลส์ CW ที่เทียบเท่าที่มีกำลังสูงสุดและแบนด์วิดท์ เท่ากัน และบีบพัลส์โดยการหาความสัมพันธ์ วิธีนี้ได้ผลดีที่สุดสำหรับสัญญาณบางประเภทเท่านั้น ซึ่งหลังจากหาความสัมพันธ์แล้ว จะมีจุดสูงสุดที่แคบกว่าสัญญาณดั้งเดิม และมีไซด์โลบต่ำ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta f}$

ในขณะที่การบีบอัดพัลส์สามารถรับประกัน SNR ที่ดีและความละเอียดช่วงที่ดีในเวลาเดียวกัน การประมวลผลสัญญาณดิจิทัลในระบบดังกล่าวอาจทำได้ยากเนื่องจากแบนด์วิดท์ทันทีของรูปคลื่นสูง ( อาจเป็นหลายร้อยเมกะเฮิร์ตซ์หรืออาจเกิน 1 GHz) การประมวลผลแบบยืดขยายเป็นเทคนิคสำหรับการกรองแบบจับคู่ของรูปคลื่นชิปปิ้งแบบบรอดแบนด์และเหมาะสำหรับแอปพลิเคชันที่ต้องการความละเอียดช่วงที่ดีมากในช่วงระยะที่ค่อนข้างสั้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \Delta f}$

ภาพด้านบนแสดงสถานการณ์สำหรับการวิเคราะห์กระบวนการยืดขยาย จุดอ้างอิงกลาง (CRP) อยู่ตรงกลางของช่วงหน้าต่างที่สนใจ ณ ช่วงซึ่งสอดคล้องกับความล่าช้าของ เวลา ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$

หากรูปคลื่นที่ส่งออกมาเป็นรูปคลื่นแบบชิป:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

ดังนั้น เสียงสะท้อนจากเป้าหมายที่อยู่ไกลออกไปสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle R_{b}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

โดยที่เป็นสัดส่วนกับค่าการสะท้อนของตัวกระจาย จากนั้นเราคูณค่าสะท้อนด้วยและค่าสะท้อนจะกลายเป็น: ${\displaystyle \rho }$${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในอากาศมีความยาวคลื่น เท่าไร ?${\displaystyle \lambda }$

หลังจากทำการสุ่มตัวอย่างและแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง บน y(t) แล้ว จะสามารถหา ความถี่ของไซน์ ได้:${\displaystyle F_{b}}$

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

และ สามารถหา ช่วงความแตกต่าง ได้ดังนี้:${\displaystyle \delta R_{b}}$

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

เพื่อแสดงว่าแบนด์วิดท์ของ y(t) น้อยกว่าแบนด์วิดท์ของสัญญาณเดิมเราจึงสมมติว่าช่วงระยะทางยาว หากเป้าหมายอยู่ที่ขอบล่างของช่วงระยะทาง สัญญาณสะท้อนจะมาถึงหลังจากส่งสัญญาณไปแล้ว วินาที ในทำนองเดียวกัน หากเป้าหมายอยู่ที่ขอบบนของช่วงระยะทาง สัญญาณสะท้อนจะมาถึงหลังจากส่งสัญญาณไปแล้ว วินาที เวลาที่มาถึงต่างกันในแต่ละกรณีคือและตามลำดับ ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$${\displaystyle \delta t_{b}}$${\displaystyle -T_{w}/2}$${\displaystyle T_{w}/2}$

จากนั้นเราสามารถหาแบนด์วิดท์ได้โดยพิจารณาความแตกต่างของความถี่ไซน์สำหรับเป้าหมายที่ขอบล่างและขอบบนของช่วงระยะ: ผลที่ตามมาคือ:   $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$

ผลลัพธ์ที่ 4
ด้วยการประมวลผลแบบยืดขยาย แบนด์วิดท์ที่เอาต์พุตของตัวรับจะน้อยกว่าแบนด์วิดท์ของสัญญาณดั้งเดิม หากเป็นเช่นนั้น จะช่วยอำนวยความสะดวกในการใช้งานระบบ DSP ในระบบเรดาร์แบบปรับความถี่เชิงเส้น ${\displaystyle T_{w}<T}$

  เพื่อแสดงให้เห็นว่าการประมวลผลแบบยืดขยายช่วยรักษาความละเอียดของระยะทาง เราจำเป็นต้องเข้าใจว่า y(t) นั้นแท้จริงแล้วคือชุดพัลส์ที่มีระยะเวลาพัลส์ T และคาบซึ่งเท่ากับคาบของชุดพัลส์ที่ส่งผ่าน ดังนั้น การแปลงฟูริเยร์ของ y(t) จึงเป็นฟังก์ชัน sinc ที่มีความละเอียดแบบ Rayleighนั่นคือ ตัวประมวลผลจะสามารถแยกแยะอนุภาคที่กระเจิงแสงซึ่ง อยู่ ห่างกัน อย่างน้อย ได้${\displaystyle T_{trans}}$${\textstyle {\frac {1}{T}}}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$

เพราะเหตุนี้,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

และ,

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

ซึ่งเท่ากับความละเอียดของรูปคลื่นการมอดูเลชั่นความถี่เชิงเส้นดั้งเดิม

แม้ว่าการประมวลผลแบบยืดขยายจะช่วยลดแบนด์วิดท์ของสัญญาณเบสแบนด์ที่ได้รับ แต่ส่วนประกอบอนาล็อกทั้งหมดในวงจร RF front-end ยังคงต้องสามารถรองรับแบนด์วิดท์ทันทีได้นอกจากนี้ ความยาวคลื่นที่มีประสิทธิภาพของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะเปลี่ยนแปลงไปในระหว่างการกวาดความถี่ของสัญญาณชิป ดังนั้นทิศทางการมองของเสาอากาศจึงจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ในระบบ อาร์เรย์เฟส${\displaystyle \Delta f}$

รูปคลื่นความถี่แบบขั้นบันไดเป็นเทคนิคทางเลือกที่สามารถรักษาความละเอียดช่วงที่ดีและอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวน (SNR) ของสัญญาณที่ได้รับโดยไม่ต้องใช้แบนด์วิดท์ทันทีขนาดใหญ่ แตกต่างจากรูปคลื่นแบบชิปปิ้งซึ่งกวาดความถี่เชิงเส้นไปทั่วแบนด์วิดท์ทั้งหมดในพัลส์เดียว รูปคลื่นความถี่แบบขั้นบันไดใช้ชุดพัลส์โดยที่ความถี่ของแต่ละพัลส์จะเพิ่มขึ้นจากพัลส์ก่อนหน้า สัญญาณเบสแบนด์สามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle \Delta F}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

โดยที่เป็นสัญญาณพัลส์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวและ M คือจำนวนพัลส์ในชุดพัลส์เดียว แบนด์วิดท์โดยรวมของรูปคลื่นยังคงเท่ากับแต่ส่วนประกอบอนาล็อกสามารถรีเซ็ตเพื่อรองรับความถี่ของพัลส์ถัดไปในช่วงเวลาระหว่างพัลส์ได้ ส่งผลให้สามารถหลีกเลี่ยงปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้นได้ ${\displaystyle x_{p}(t)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$

ในการคำนวณระยะห่างของเป้าหมายที่สอดคล้องกับความล่าช้าพัลส์แต่ละตัวจะถูกประมวลผลผ่านตัวกรองแบบจับคู่พัลส์อย่างง่าย: ${\displaystyle t_{l}+\delta t}$

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

และผลลัพธ์ของตัวกรองแบบจับคู่คือ:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

ที่ไหน

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

ถ้าเราสุ่มตัวอย่างที่เราจะได้: ${\displaystyle y_{m}(t)}$${\displaystyle t=t_{l}+mT}$

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

โดยที่ l หมายถึงช่วงค่า bin l ทำการแปลง DTFT (โดยที่ m แทนเวลา) แล้วเราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

และจุดสูงสุดของผลรวมจะเกิดขึ้นเมื่อ. ${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$

ด้วยเหตุนี้ DTFT จึงให้ค่าที่วัดความล่าช้าของเป้าหมายเมื่อเทียบกับความล่าช้าของช่วงระยะทางและ สามารถหาค่าระยะทางเชิงอนุพันธ์ได้: ${\displaystyle y[l,m]}$${\displaystyle t_{l}}$$${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

โดย ที่ c คือความเร็วแสง

เพื่อแสดงให้เห็นว่ารูปคลื่นความถี่แบบขั้นบันไดช่วยรักษาความละเอียดของช่วง ควรสังเกตว่าเป็นฟังก์ชันคล้าย sinc และดังนั้นจึงมีความละเอียดแบบ Rayleigh เท่ากับ ผลลัพธ์ที่ได้คือ: ${\displaystyle Y[l,\omega ]}$${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

ดังนั้นความละเอียดช่วงความแตกต่างจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

ซึ่งเท่ากับความละเอียดของรูปคลื่นการปรับความถี่เชิงเส้นดั้งเดิม

มีวิธีการอื่นในการปรับสัญญาณการปรับเฟสเป็นเทคนิคที่ใช้กันทั่วไป ในกรณีนี้ พัลส์จะถูกแบ่งออกเป็นช่วงเวลาที่มีระยะเวลาต่างกัน โดยเฟสที่จุดกำเนิดจะถูกเลือกตามข้อตกลงที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะไม่เปลี่ยนเฟสสำหรับบางช่วงเวลา (ซึ่งก็คือการปล่อยให้สัญญาณเป็นไปตามเดิมในช่วงเวลาเหล่านั้น) และเปลี่ยนเฟสของสัญญาณในช่วงเวลาอื่น(ซึ่งเทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของสัญญาณ) วิธีนี้เรียกว่า การเข้ารหัสแบบเปลี่ยนเฟสไบนารี (Binary Phase-Shift Keying ) วิธีการเลือกซีเควนซ์ของเฟสที่แม่นยำสามารถทำได้ตามเทคนิคที่เรียกว่ารหัสบาร์เกอร์ (Barker Codes ) ${\displaystyle N}$${\textstyle {\frac {T}{N}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \{0,\pi \}}$

ข้อดี^{[ 4 ]}ของรหัส Barker คือความเรียบง่าย (ดังที่ระบุไว้ข้างต้นการลดเฟสเป็นการเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างง่าย) แต่อัตราส่วนการบีบอัด พัลส์ จะต่ำกว่าในกรณีของชิป และการบีบอัดจะไวต่อการเปลี่ยนแปลงความถี่มากเนื่องจากผลของ Dopplerหากการเปลี่ยนแปลงนั้นมีขนาดใหญ่กว่า ${\displaystyle \pi }$${\textstyle {\frac {1}{T}}}$

ลำดับไบนารีแบบสุ่มเทียมอื่นๆมีคุณสมบัติการบีบอัดพัลส์ที่เกือบจะสมบูรณ์แบบ เช่นรหัสโกลด์รหัสเจพีแอลหรือรหัสคาซามิเนื่องจากจุดสูงสุดของการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติแคบมาก ลำดับเหล่านี้ยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอื่นๆ ที่ทำให้เหมาะสำหรับ การกำหนดตำแหน่งด้วยระบบ GNSSเป็นต้น

สามารถเข้ารหัสลำดับบนเฟสมากกว่าสองเฟสได้ (การเข้ารหัสแบบหลายเฟส) เช่นเดียวกับชิปเชิงเส้น การบีบอัดพัลส์ทำได้โดยการหาความสัมพันธ์ระหว่างกัน

• เรดาร์คลื่นต่อเนื่อง
• สเปกตรัมแบบกระจาย
• การบีบอัดแบบชิป

• Nadav Levanon และ Eli Mozeson. สัญญาณเรดาร์. Wiley.com, 2004.
• Hao He, Jian LiและPetre Stoica . การออกแบบรูปคลื่นสำหรับระบบตรวจจับแบบแอคทีฟ: แนวทางเชิงคำนวณ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2012.
• M. Soltanalian. การออกแบบสัญญาณสำหรับการตรวจจับและการสื่อสารแบบแอคทีฟ วิทยานิพนธ์จากคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุปซาลา (จัดพิมพ์โดย Elanders Sverige AB), 2014
• โซโลมอน ดับเบิลยู. โกลอมบ์ และกวง กง . การออกแบบสัญญาณเพื่อความสัมพันธ์ที่ดี: สำหรับการสื่อสารไร้สาย การเข้ารหัส และเรดาร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2005.
• Fulvio Gini, Antonio De Maio และ Lee Patton (บรรณาธิการ). การออกแบบและความหลากหลายของรูปคลื่นสำหรับระบบเรดาร์ขั้นสูง. สถาบันวิศวกรรมและเทคโนโลยี, 2012.
• John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis และ Muralidhar Rangaswamy. " รูปคลื่นรหัสเฟสและการออกแบบ " IEEE Signal Processing Magazine, 26.1 (2009): 22-31.
• Ducoff, Michael R. และ Byron W. Tietjen. "เรดาร์บีบอัดพัลส์" คู่มือเรดาร์ (2008): 8-3.