วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 3 นาที

โซ่ Markov แบบบวก

กระบวนการมาร์คอฟ

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น โซ่Markov แบบบวกคือโซ่ Markovที่มี ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขบวก โดยที่กระบวนการนี้เป็น โซ่ Markov แบบ

โซ่ Markov แบบบวก

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น โซ่Markov แบบบวกคือโซ่ Markovที่มี ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขบวก โดยที่กระบวนการนี้เป็น โซ่ Markov แบบ เวลาไม่ต่อเนื่องลำดับmและความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะไปยังสถานะถัดไปคือผลรวมของฟังก์ชัน ซึ่งแต่ละฟังก์ชันขึ้นอยู่กับสถานะถัดไปและหนึ่งในmสถานะก่อนหน้า

คำนิยาม

ลำดับของตัวแปรสุ่มมาร์คอฟแบบบวกอันดับmคือลำดับของตัวแปรสุ่มX , X , X , ... ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มX จะมีค่าx ที่แน่นอน ภายใต้เงื่อนไขที่ค่าของตัวแปรก่อนหน้าทั้งหมดคงที่ ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรก่อนหน้าm ตัวเท่านั้น ( ลำดับของมาร์คอฟอันดับm ) และอิทธิพลของตัวแปรก่อนหน้าที่มีต่อตัวแปรที่สร้างขึ้นนั้นเป็นแบบบวก   

ปร.(Xn=xn∣Xn−1=xn−1,Xn−2=xn−2,…,Xn−ม=xn−ม)=∑ร=1มเอฟ(xn,xn−ร,ร).{\displaystyle \Pr(X_{n}=x_{n}\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ,X_{nm}=x_{nm})=\sum _{r=1}^{m}f(x_{n},x_{nr},r).}

กรณีไบนารี

โซ่ Markov แบบบวก ไบนารีคือโซ่ที่ปริภูมิสถานะของโซ่ประกอบด้วยค่าเพียงสองค่าเท่านั้น คือX ∈ { x , x } ตัวอย่างเช่นX ∈ { 0, 1 } ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของโซ่ Markov แบบบวกไบนารีสามารถแสดงได้ดังนี้          

ปร.(Xn=1∣Xn−1=xn−1,Xn−2=xn−2,…)=X¯+∑ร=1มเอฟ(ร)(xn−ร−X¯),{\displaystyle \Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )={\bar {X}}+\sum _{r=1}^{m}F(r)(x_{nr}-{\bar {X}}),}
ปร.(Xn=0∣Xn−1=xn−1,Xn−2=xn−2,…)=1−ปร.(Xn=1∣Xn−1=xn−1,Xn−2=xn−2,…).{\displaystyle \Pr(X_{n}=0\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )=1-\Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ).}

ที่นี่X¯{\displaystyle {\bar {X}}}คือความน่าจะเป็นที่จะพบX   =  1 ในลำดับ และ F ( r ) เรียกว่าฟังก์ชันหน่วยความจำ ค่าของX¯{\displaystyle {\bar {X}}}และฟังก์ชันF ( r ) ประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับ คุณสมบัติ ความสัมพันธ์ของห่วงโซ่มาร์คอฟ

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันหน่วยความจำและฟังก์ชันสหสัมพันธ์

ในกรณีไบนารีฟังก์ชันสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรXn{\displaystyle X_{n}}และXเค{\displaystyle X_{k}}ของโซ่ขึ้นอยู่กับระยะทางn−เค{\displaystyle nk}เท่านั้น โดยมีนิยามดังนี้:

เค(ร)=⟨(Xn−X¯)(Xn+ร−X¯)⟩=⟨XnXn+ร⟩−X¯2,{\displaystyle K(r)=\langle (X_{n}-{\bar {X}})(X_{n+r}-{\bar {X}})\rangle =\langle X_{n}X_{n+r}\rangle -{\bar {X}}^{2},}

โดยที่สัญลักษณ์⟨⋯⟩{\displaystyle \langle \cdots \rangle }หมายถึงการหาค่าเฉลี่ยเหนือค่าn ทั้งหมด ตามคำนิยาม

เค(−ร)=เค(ร),เค(0)=X¯(1−X¯).{\displaystyle K(-r)=K(r),K(0)={\bar {X}}(1-{\bar {X}}).}

มีความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันหน่วยความจำและฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของห่วงโซ่ Markov แบบบวกไบนารี: [ 1 ]

เค(ร)=∑ส=1มเค(ร−ส)เอฟ(ส),ร=1,2,….{\displaystyle K(r)=\sum _{s=1}^{m}K(rs)F(s),\,\,\,\,r=1,2,\dots \,.}

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ↑ SS Melnyk, OV Usatenko และ VA Yampol'skii. (2006) "ฟังก์ชันหน่วยความจำของลูกโซ่ Markov แบบบวก: การประยุกต์ใช้กับระบบไดนามิกที่ซับซ้อน", Physica A , 361 (2), 405–415 doi : 10.1016/j.physa.2005.06.083
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Additive_Markov_chain&oldid=1314164504 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ โซ่ Markov แบบบวก

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น โซ่Markov แบบบวกคือโซ่ Markovที่มี ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขบวก โดยที่กระบวนการนี้เป็น โซ่ Markov แบบ

คำนิยาม

ลำดับของตัวแปรสุ่มมาร์คอฟแบบบวกอันดับ m คือลำดับของ ตัวแปรสุ่ม X , X , X , ...

กรณีไบนารี

โซ่ Markov แบบบวก ไบนารี คือโซ่ที่ ปริภูมิสถานะ ของโซ่ประกอบด้วยค่าเพียงสองค่าเท่านั้น คือ X ∈ { x , x } ตัวอย่างเช่น X ∈ { 0, 1 } ฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของโซ่ Markov แบบบวกไบนารีสามารถแสดงได้ดังนี้

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันหน่วยความจำและฟังก์ชันสหสัมพันธ์

ในกรณีไบนารี ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ระหว่างตัวแปร X n {\displaystyle X_{n}} และ X เค {\displaystyle X_{k}} ของโซ่ขึ้นอยู่กับระยะทาง n − เค {\displaystyle nk} เท่านั้น โดยมีนิยามดังนี้: