ในเรขาคณิตแบบยุคลิดการผกผันเชิงเส้นคือการผกผันซึ่งเป็นการ แปลง เชิงเส้นหรือเชิงเส้นเหนือปริภูมิยุคลิด การผกผันดัง กล่าวสามารถระบุลักษณะได้ง่ายและสามารถอธิบายได้ทางเรขาคณิต^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

การให้การผกผันเชิงเส้นจะเหมือนกับการให้เมทริกซ์ผกผันซึ่งเป็นเมทริกซ์จัตุรัสAโดย ที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}}\quad \quad \quad \quad (1)}$$

เป็นการตรวจสอบอย่างรวดเร็วว่าเมทริกซ์จัตุรัสDที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมดนอกแนวทแยงหลักและ ±1 บนแนวทแยงหลัก นั่นคือเมทริกซ์ลายเซ็นในรูปแบบ

$${\displaystyle {\mathbf {D}}={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}}$$

สอดคล้องกับ (1) กล่าวคือ เป็นเมทริกซ์ของการผกผันเชิงเส้น ปรากฏว่าเมทริกซ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (1) นั้นมีรูปแบบ ที่Uสามารถผกผันได้ และDเป็นดังที่กล่าวมาข้างต้น กล่าวคือ เมทริกซ์ของการผกผันเชิงเส้นใดๆ นั้นมีรูปแบบDโดยพิจารณาจากความคล้ายคลึงของเมทริกซ์ในทางเรขาคณิต หมายความว่าการผกผันเชิงเส้นใดๆ สามารถได้มาจากการสะท้อนแบบเฉียง กับ ระนาบไฮเปอร์จำนวนใดๆ ตั้งแต่ 0 ถึงnที่ผ่านจุดกำเนิด (คำว่าการสะท้อนแบบเฉียงที่ใช้ในที่นี้รวมถึงการสะท้อนแบบธรรมดาด้วย) $${\displaystyle {\mathbf {A}}={\mathbf {U}}^{-1}{\mathbf {DU}},}$$

เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าAแสดงถึงการผกผันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อAมีรูปแบบ สำหรับการฉายภาพ เชิงเส้น Pเท่านั้น $${\displaystyle {\mathbf {A}}=\pm (2{\mathbf {P}}-{\mathbf {I}})}$$

ถ้าAแทนการผกผันเชิงเส้นแล้วx → A ( x − b )+ bคือ การผกผัน เชิงเส้น สามารถตรวจสอบได้ว่าการผกผันเชิงเส้นใดๆ ก็ตามมีรูปแบบนี้ ในทางเรขาคณิต หมายความว่าการผกผันเชิงเส้นใด ^ๆก็ตามสามารถได้มาจากการสะท้อนแบบเฉียงกับระนาบไฮเปอร์จำนวนใดๆ ตั้งแต่ 0 ถึงnที่ผ่านจุดb [ ^{3 ]}

การผกผันเชิงแอฟฟินสามารถจำแนกได้ตามมิติของปริภูมิเชิงแอฟฟินของจุดคงที่ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนค่า 1 บนแนวทแยงของเมทริกซ์คล้ายD (ดูด้านบน) กล่าวคือ มิติของปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ 1

การผกผันเชิงเส้นในคือ: ^{[ 4 ]}${\displaystyle }\mathbb {R^{3}}$

• อัตลักษณ์
• การสะท้อนเมื่อเทียบกับจุดหนึ่ง
• การสะท้อนเฉียงเมื่อเทียบกับเส้นตรง
• การสะท้อนเฉียงเมื่อเทียบกับระนาบ

ในกรณีที่ปริภูมิไอเกนสำหรับค่าไอเกน 1 เป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิไอเกนสำหรับค่าไอเกน −1 กล่าวคือ เวกเตอร์ไอเกนทุกตัวที่มีค่าไอเกน 1 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ไอเกนทุกตัวที่มีค่าไอเกน −1 การผกผันเชิงเส้นแบบนี้จะเป็นไอโซเมตรีกรณีสุดขั้วสองกรณีที่ใช้ได้เสมอคือฟังก์ชันเอกลักษณ์และการผกผันที่จุดหนึ่ง

ไอโซเมตรีผกผันอื่นๆ ได้แก่ การผกผันในเส้นตรง (ใน 2 มิติ 3 มิติ และขึ้นบน; ใน 2 มิติคือการสะท้อนและใน 3 มิติคือการหมุนรอบเส้นตรง 180°) การผกผันในระนาบ (ใน 3 มิติ และขึ้นบน; ใน 3 มิติคือการสะท้อนในระนาบ) การผกผันในปริภูมิ 3 มิติ (ใน 3 มิติ: เอกลักษณ์) เป็นต้น