ในทางคณิตศาสตร์ระบบรากเชิงเส้นแบบแอฟฟิน (affine root system)คือระบบรากของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟิ น บนปริภูมิยุคลิด ระบบ เหล่านี้ถูกใช้ในการจำแนกพีชคณิตลี แบบแอฟ ฟินและซูเปอร์พีชคณิต รวม ถึง กลุ่มพีชคณิตp - adic กึ่งง่าย และสอดคล้องกับตระกูลของพหุนามแมคโดนัลด์ ระบบ รากเชิงเส้นแบบแอฟฟินที่ลดรูปแล้วถูกใช้โดย Kac และ Moody ในงานของพวกเขาเกี่ยวกับพีชคณิต Kac–Moodyระบบรากเชิงเส้นแบบแอฟฟินที่อาจไม่ลดรูปถูกนำเสนอและจำแนกโดยMacdonald (1972)และBruhat & Tits (1972) (ยกเว้นว่าทั้งสองเอกสารนี้ไม่ได้กล่าวถึงแผนภาพ Dynkin โดยไม่ได้ตั้งใจ))

ให้Eเป็นปริภูมิเชิงเส้นตรงและVเป็นปริภูมิเวกเตอร์ของการเลื่อนตำแหน่งของ E โปรดจำไว้ว่าVกระทำอย่างซื่อสัตย์และถ่ายทอดบนEโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าแล้วจะมีนิยามที่ดีขององค์ประกอบในVที่เรียกว่าซึ่งเป็นองค์ประกอบ w เพียงตัวเดียวที่ เช่นนั้น ${\displaystyle u,v\in E}$${\displaystyle uv}$${\displaystyle v+w=u}$

สมมติว่าเรามีผลคูณสเกลาร์บนVซึ่ง จะกำหนดเมตริกบนEเป็น${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle d(u,v)=\vert (uv,uv)\vert }$

พิจารณาปริมาณเวกเตอร์Fของฟังก์ชันเชิงเส้นแอฟฟิน เมื่อกำหนดค่า a แล้วทุกองค์ประกอบในFสามารถเขียนได้เป็น โดยที่ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนVซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าa ${\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in E}$${\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle x_{0}}$

ตอนนี้คู่ของVสามารถระบุได้ว่าเป็นV ด้วย ผลคูณสเกลาร์ที่เลือกไว้ และเราสามารถกำหนดผลคูณบนFได้ดังนี้ตั้งค่าและสำหรับและ ใดๆ ตามลำดับ การระบุนี้ทำให้เราสามารถกำหนดการสะท้อนบนE ได้ ในลักษณะต่อไปนี้: ${\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}$${\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}$${\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(x)=xf^{\vee }(x)Df}$

การเปลี่ยนตำแหน่งยังส่งผลต่อF ด้วย เช่นกัน ${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee },g)f}$

ระบบรากเชิงเส้นตรง (affine root system)คือเซตย่อยที่มีคุณสมบัติดังนี้: ${\displaystyle S\subset F}$

สมาชิกของSเรียกว่ารากเชิงเส้นตรง (affine roots ) ให้ แทนกลุ่มที่สร้างขึ้นโดย โดยที่เรายังถามอีกว่า ${\displaystyle w(S)}$${\displaystyle w_{a}}$${\displaystyle a\in S}$

นี่หมายความว่าสำหรับคอมแพ็กต์สองตัวใดๆสมาชิกของ คอมแพ็กต์ เหล่านั้นจะเป็นจำนวนจำกัด ${\displaystyle K,H\subseteq E}$${\displaystyle w(S)}$${\displaystyle w(K)\cap H\neq \varnothing }$

ระบบรากเชิงเส้นA ₁ = B ₁ = B^∨ ₁= C ₁ = C^∨ ₁เหมือนกัน เช่นเดียวกับคู่ B ₂ = C ₂ , B^∨ ₂= ซี^∨ ₂และA ₃ = D ₃

จำนวนวงโคจรที่ระบุในตารางคือจำนวนวงโคจรของรากเชิงเดี่ยวภายใต้กลุ่มเวล์ (Weyl group ) ในแผนภาพไดน์กิน (Dynkin diagrams ) รากเชิงเดี่ยวที่ไม่ลดรูป α (โดยที่ 2α เป็นราก) จะมีสีเขียว แผนภาพไดน์กินแรกในชุดบางครั้งอาจไม่เป็นไปตามกฎเดียวกันกับแผนภาพอื่นๆ

ระบบรากแอฟฟิน	จำนวนวงโคจร	แผนภาพไดน์กิน
แอน ( n ≥ 1)	2 ถ้าn = 1, 1 ถ้าn ≥ 2	,,,...
B n ( n ≥ 3)	2	,,...
บี∨ n( n ≥ 3)	2	,,...
C n ( n ≥ 2)	3	,,...
ซี∨ n( n ≥ 2)	3	,,...
BC n ( n ≥ 1)	2 ถ้าn = 1, 3 ถ้าn ≥ 2	,,,...
D n ( n ≥ 4)	1	,,...
อี6	1
อี7	1
อี8	1
เอฟ4	2
เอฟ∨ 4	2
จี2	2
จี∨ 2	2
( BC n , C n ) ( n ≥ 1)	3 ถ้าn = 1, 4 ถ้าn ≥ 2	,,,...
( ซี)∨ n, BC n ) ( n ≥ 1)	3 ถ้าn = 1, 4 ถ้าn ≥ 2	,,,...
( B n , B)∨ n) ( n ≥ 2)	4 ถ้าn = 2, 3 ถ้าn ≥ 3	,,,...
( ซี)∨ n, C n ) ( n ≥ 1)	4 ถ้าn = 1, 5 ถ้าn ≥ 2	,,,...

อันดับ 1 : A ₁ , BC ₁ , ( BC ₁ , C ₁ ), ( C )^∨ ₁, BC ₁ ), ( C^∨ ₁, C ₁ )

อันดับที่ 2 : A ₂ , C ₂ , C^∨ ₂, BC ₂ , ( BC ₂ , C ₂ ), ( C^∨ ₂, BC ₂ ), ( B ₂ , B^∨ ₂), ( C^∨ ₂, C ₂ ), G ₂ , G^∨ ₂.

อันดับที่ 3 : A ₃ , B ₃ , B^∨ ₃, C ₃ , C^∨ ₃, BC ₃ , ( BC ₃ , C ₃ ), ( C^∨ ₃, BC ₃ ), ( B ₃ , B^∨ ₃), ( C^∨ ₃, C ₃ )

อันดับที่ 4 : A ₄ , B ₄ , B^∨ ₄, C ₄ , C^∨ ₄, BC ₄ , ( BC ₄ , C ₄ ), ( C^∨ ₄, BC ₄ ), ( B ₄ , B^∨ ₄), ( C^∨ ₄, C ₄ ), D ₄ , F ₄ , F^∨ ₄.

อันดับที่ 5 : A ₅ , B ₅ , B^∨ ₅, C ₅ , C^∨ ₅, BC ₅ , ( BC ₅ , C ₅ ), ( C^∨ ₅, BC ₅ ), ( B ₅ , B^∨ ₅), ( C^∨ ₅, C ₅ ), D ₅ .

อันดับที่ 6 : A ₆ , B ₆ , B^∨ ₆, C ₆ , C^∨ ₆, BC ₆ , ( BC ₆ , C ₆ ), ( C^∨ ₆, BC ₆ ), ( B ₆ , B^∨ ₆), ( C^∨ ₆, C ₆ ), D ₆ , E ₆ ,

อันดับที่ 7 : A ₇ , B ₇ , B^∨ ₇, C ₇ , C^∨ ₇, BC ₇ , ( BC ₇ , C ₇ ), ( C^∨ ₇, BC ₇ ), ( B ₇ , B^∨ ₇), ( C^∨ ₇, C ₇ ), D ₇ , E ₇ ,

อันดับที่ 8 : A ₈ , B ₈ , B^∨ ₈, C ₈ , C^∨ ₈, BC ₈ , ( BC ₈ , C ₈ ), ( C^∨ ₈, BC ₈ ), ( B ₈ , B^∨ ₈), ( C^∨ ₈, C ₈ ), D ₈ , E ₈ ,

อันดับn ( n >8) : A _n , B _n , B^∨ _n, C _n , C^∨ _n, BC _n , ( BC _n , C _n ), ( C^∨ _n, BC _n ), ( B _n , B^∨ _n), ( C^∨ _n, C _n ), D _n .

• แมคโดนัลด์ (1972)แสดงให้เห็นว่าดัชนีระบบรากเชิงเส้นแสดงถึงเอกลักษณ์ของแมคโดนัลด์
• Bruhat & Tits (1972)ใช้ระบบรากเชิงเส้นเพื่อศึกษาเกี่ยว กับกลุ่มพีชคณิต p -adic
• ระบบรากแอฟฟินแบบลดรูปจำแนกพีชคณิตKac–Moody แบบแอฟฟินในขณะที่ระบบรากแอฟฟินแบบไม่ลดรูปสอดคล้องกับซูเปอร์พีชคณิต Lie แบบแอฟฟิ น
• แมคโดนัลด์ (2003)แสดงให้เห็นว่าระบบรากเชิงเส้นตรงเป็นดัชนีของตระกูลพหุนามแมคโดนัลด์