พหุนามแมคโดนัลด์

ในทางคณิตศาสตร์พหุนามแมคโดนัลด์P _λ ( x ; t , q ) คือตระกูลของพหุนามสมมาตรเชิงตั้งฉาก ในหลายตัวแปร ซึ่งแมคโดนัลด์ ได้แนะนำไว้ ในปี 1987 ต่อมาเขาได้แนะนำการขยายแบบไม่สมมาตรในปี 1995 เดิมทีแมคโดนัลด์เชื่อมโยงพหุนามของเขากับน้ำหนัก λ ของระบบรากจำกัด และใช้เพียงตัวแปรเดียวคือtแต่ต่อมาตระหนักว่าการเชื่อมโยงกับ ระบบรากเชิงเส้น ตรงนั้นเป็นธรรมชาติ มากกว่าระบบรากจำกัด ซึ่งในกรณีนี้ ตัวแปรtสามารถแทนที่ด้วยตัวแปรที่แตกต่างกันหลายตัวt =( t ₁ ,..., t _k ) โดยแต่ละ ตัวแทนวงโคจร kวงของรากในระบบรากเชิงเส้นตรง พหุนามแมคโดนัลด์เป็นพหุนามในnตัวแปรx =( x ₁ ,..., x _n ) โดยที่nคืออันดับของระบบรากเชิงเส้นตรงพหุนามคอร์นวินเดอร์ เป็นพหุนามแมคโดนัล ด์ของระบบรากที่ไม่ลดรูปบางระบบ พหุนามเหล่านี้มีความสัมพันธ์อย่างลึกซึ้งกับพีชคณิตเฮคเคแบบแอฟฟินและโครงร่างฮิลเบิร์ตซึ่งถูกนำมาใช้พิสูจน์ข้อสันนิษฐานหลาย ข้อของแมคโดนัล ด์ เกี่ยว กับพหุนามเหล่านี้

ขั้นแรกให้แก้ไขสัญลักษณ์บางอย่างก่อน:

• R คือ ระบบรากจำกัด ใน ปริภูมิเวกเตอร์ จริงV
• R ⁺คือตัวเลือกของรากบวกซึ่งสอดคล้องกับห้องเวล์บวก
• Wคือกลุ่มWeylของR
• QคือแลตทิซรากของR (แลตทิซที่เกิดจากราก)
• Pคือแลตทิซน้ำหนักของR (ซึ่งประกอบด้วยQ )
• ลำดับบนน้ำหนัก : ก็ต่อเมื่อเป็นผลรวมเชิงเส้นที่ไม่เป็นลบของรากเชิงเดี่ยว${\displaystyle \mu \leq \lambda }$${\displaystyle \lambda -\mu }$
• P ⁺คือเซตของน้ำหนักเด่น: องค์ประกอบของPในห้องเวล์บวก
• ρ คือเวกเตอร์ Weyl : ครึ่งหนึ่งของผลรวมของรากบวก; นี่คือองค์ประกอบพิเศษของP ⁺ภายในห้อง Weyl บวก
• Fคือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 ซึ่งโดยทั่วไปคือจำนวนตรรกยะ
• A = F ( P ) คือพีชคณิตกลุ่มของPโดยมีฐานขององค์ประกอบที่เขียนว่าe ^λสำหรับ λ ∈ P
• ถ้าf = e ^λแล้วf หมายถึงe ^−λและสิ่งนี้จะขยายไปสู่พีชคณิตกลุ่มทั้งหมดโดยใช้คุณสมบัติเชิงเส้น
• m _μ = Σ _{lam ∈ W μ} e ^lamคือผลรวมของวงโคจรองค์ประกอบเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับพีชคณิตย่อยA ^Wขององค์ประกอบที่กำหนดโดยW
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$สัญลักษณ์q-Pochhammer ที่ไม่มีที่สิ้นสุด
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{พจน์คงที่ของ }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|}$คือผลคูณภายในของสององค์ประกอบของA อย่างน้อยที่สุดเมื่อtเป็นกำลังจำนวนเต็มบวกของq

พหุนามแมคโดนัลด์P _λสำหรับ λ ∈ P ⁺ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$โดยที่u _λμเป็นฟังก์ชันตรรกยะของqและtโดยที่u _λλ = 1;

P _{แลมบ์}และP _μอยู่ในมุมฉาก ถ้า แล < μ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามแมคโดนัลด์ได้มาจากการทำให้ฐานที่ชัดเจนสำหรับA ^W เป็นพหุนามเชิงตั้ง ฉาก การมีอยู่ของพหุนามที่มีคุณสมบัติเหล่านี้แสดงได้ง่าย (สำหรับผลคูณภายในใดๆ) คุณสมบัติสำคัญของพหุนามแมคโดนัลด์คือพวกมันเป็นพหุนามเชิงตั้งฉาก : 〈P _λ , P _μ〉 = 0 เมื่อใดก็ตามที่ λ ≠ μ นี่ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ได้มาอย่างง่ายดายจากนิยาม เพราะP ⁺ไม่ได้เป็นลำดับสมบูรณ์ ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบจำนวนมากที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ ดังนั้นจึงต้องตรวจสอบว่าพหุนามที่สอดคล้องกันยังคงเป็นพหุนามเชิงตั้งฉาก ความเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากสามารถพิสูจน์ได้โดยการแสดงว่าพหุนามแมคโดนัลด์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับพีชคณิตของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่สลับกันได้ซึ่งมีปริภูมิลักษณะเฉพาะ 1 มิติ และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันจะต้องเป็นพหุนามเชิงตั้งฉาก

ในกรณีของระบบรากที่ไม่เรียงตัวแบบง่าย (B, C, F, G) พารามิเตอร์tสามารถเลือกให้แปรผันตามความยาวของรากได้ ทำให้ได้ตระกูลพหุนามแมคโดนัลด์ที่มีสามพารามิเตอร์ นอกจากนี้ยังสามารถขยายคำจำกัดความไปยังระบบรากที่ไม่ลดรูป BC ได้ด้วย ซึ่งในกรณีนี้จะได้ตระกูลพหุนามที่มีหกพารามิเตอร์ (หนึ่งtสำหรับแต่ละวงโคจรของราก บวกกับq ) ที่รู้จักกันในชื่อพหุนามคอร์นวินเดอร์บางครั้งการพิจารณาพหุนามแมคโดนัลด์ว่าขึ้นอยู่กับระบบรากเชิงเส้นที่ไม่ลดรูปอาจเหมาะสมกว่า ในกรณีนี้จะมีพารามิเตอร์t หนึ่งตัว ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละวงโคจรของรากในระบบรากเชิงเส้น บวกกับพารามิเตอร์q หนึ่งตัว จำนวนวงโคจรของรากสามารถแปรผันได้ตั้งแต่ 1 ถึง 5

• ถ้าq = tพหุนามแมคโดนัลด์จะกลายเป็นอักขระเวล์ของตัวแทนของกลุ่มกระชับของระบบราก หรือฟังก์ชันชูร์ในกรณีของระบบรากประเภทA
• ถ้าq = 0 พหุนามแมคโดนัลด์จะกลายเป็นฟังก์ชันทรงกลมโซนัล (ที่ปรับขนาดใหม่ ) สำหรับ กลุ่ม p -adic กึ่งง่าย หรือพหุนามฮอลล์-ลิตเติลวูดเมื่อระบบรากมีประเภทA
• ถ้าt = 1 พหุ นามแมคโดนัลด์จะกลายเป็นผลรวมเหนือ วงโคจร Wซึ่งเป็นฟังก์ชันสมมาตรเอกนามเมื่อระบบรากมีประเภทA
• ถ้าเรากำหนดq = t ^αและให้tเข้าใกล้ 1 พหุนามแมคโดนัลด์จะกลายเป็นพหุนามแจ็คเมื่อระบบรากเป็นประเภทAและจะกลายเป็นพหุนามเฮ็กแมน-ออปดัมสำหรับระบบรากทั่วไปมากขึ้น
• สำหรับระบบรากเชิงเส้นตรงA ₁พหุนามแมคโดนัลด์คือพหุนามโรเจอร์ส
• สำหรับระบบรากแอฟฟินลำดับที่ 1 ที่ไม่ลดรูปของประเภท ( C )^∨ ₁( C ₁ ) พหุนามแมคโดนัลด์คือพหุนามแอสกี-วิลสันซึ่งในทางกลับกันรวมถึงกรณีพิเศษของตระกูลพหุนามเชิงตั้งฉากส่วนใหญ่ที่มีชื่อในตัวแปรเดียว
• สำหรับระบบรากแอฟฟินที่ไม่ลดรูปของประเภท ( C )^∨ _n, C _n ) พหุนามแมคโดนัลด์คือพหุนามคอร์นวินเดอร์

ถ้าt = q ^kสำหรับจำนวนเต็มบวกk บาง ตัว ค่ามาตรฐานของพหุนามแมคโดนัลด์จะกำหนดโดย

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\อัลฟา /(\อัลฟา ,\อัลฟา ))-i}}.}$

ข้อสันนิษฐาน นี้ได้รับการเสนอโดย Macdonald (1982) ในฐานะการขยายความของข้อสันนิษฐานของ Dysonและได้รับการพิสูจน์สำหรับระบบราก (ลดรูป) ทั้งหมดโดย Cherednik (1995) โดยใช้คุณสมบัติของพีชคณิต Hecke affine สองชั้นข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์เป็นรายกรณีสำหรับระบบรากทั้งหมด ยกเว้นระบบรากประเภทE _nโดยผู้เขียนหลายท่าน มาก่อนแล้ว

มีข้อสันนิษฐานอื่นอีกสองข้อซึ่งเมื่อรวมกับข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับค่าบรรทัดฐานแล้ว จะเรียกรวมกันว่าข้อสันนิษฐานของแมคโดนัลด์ในบริบทนี้: นอกเหนือจากสูตรสำหรับค่าบรรทัดฐานแล้ว แมคโดนัลด์ยังสันนิษฐานถึงสูตรสำหรับค่าของP _λที่จุดt ^ρและสมมาตรอีกด้วย

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

อีกครั้งหนึ่ง สิ่งเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับระบบรากลดรูปทั่วไปโดยCherednik  ( 1995 ) โดยใช้พีชคณิต Hecke affine สองชั้นโดยมีการขยายไปยังกรณี BC ในเวลาไม่นานหลังจากนั้นผ่านงานของ van Diejen, Noumi และ Sahi

ในกรณีของระบบรากประเภทA _{n −1}พหุนามแมคโดนัลด์เป็นเพียงพหุนามสมมาตรใน ตัวแปร nตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะของqและtพหุนามแมคโดนัลด์ ใน รูปแบบที่แปลงแล้วบางรูปแบบ (ดู สูตรเชิงการจัดเรียงด้านล่าง) ก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากของปริภูมิของฟังก์ชันสมมาตรเหนือและดังนั้นจึงสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันชูร์ได้ สัมประสิทธิ์K _λμ ( q , t ) ของความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์คอสต์กา-แมคโดนัลด์หรือ สัมประสิทธิ์ qt -คอสต์กา แมคโดนัลด์ตั้งข้อสันนิษฐานว่าสัมประสิทธิ์คอสต์กา-แมคโดนัลด์เป็นพหุนามในqและtที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ข้อสันนิษฐานเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปัจจุบัน ขั้นตอนที่ยากที่สุดและสุดท้ายคือการพิสูจน์ความเป็นบวก ซึ่งสำเร็จโดยMark Haiman (2001) โดยการพิสูจน์สมมติฐาน n !${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$${\displaystyle s_{\lambda }}$

การหาสูตรเชิงการจัดเรียงสำหรับ สัมประสิทธิ์ qt -Kostka ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบที่สำคัญในพีชคณิตเชิงการจัดเรียง

ข้อ สันนิษฐาน n !ของAdriano GarsiaและMark Haimanระบุว่า สำหรับแต่ละการแบ่งส่วน μ ของnพื้นที่

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }}$

ครอบคลุมโดยอนุพันธ์ย่อยระดับสูงทั้งหมดของ

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

มีมิติn ! โดยที่ ( p _j , q _j ) วิ่งผ่าน องค์ประกอบ nตัวของไดอะแกรมของพาร์ติชัน μ ซึ่งถือว่าเป็นเซตย่อยของคู่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า μ คือพาร์ติชัน 3 = 2 + 1 ของn  = 3 แล้วคู่ ( p _j , q _j ) คือ (0, 0), (0, 1), (1, 0) และปริภูมิD _μถูกสร้างขึ้นโดย

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

ซึ่งมีมิติ 6 = 3!

การพิสูจน์ข้อสันนิษฐานเรื่องความเป็นบวกของแมคโดนัลด์และ ข้อสันนิษฐาน n ! ของไฮแมนเกี่ยวข้องกับการแสดงให้เห็นว่าโครงร่างฮิลเบิร์ตไอโซสเปกตรัมของ จุด nจุดในระนาบคือโคเฮน-แมคออลีย์ (และแม้แต่โกเรนสไตน์ ) ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ของไฮแมนและกาเซียได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสิ่งนี้บ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานn ! และข้อสันนิษฐานn ! บ่งชี้ว่าสัมประสิทธิ์คอสต์กา-แมคโดนัลด์คือค่าความซ้ำซ้อนของอักขระแบบไล่ระดับสำหรับโมดูลDμ สิ่งนี้บ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานเรื่องความเป็นบวกของแม _คโดนัลด์โดยทันที เนื่องจากค่าความซ้ำซ้อนของอักขระต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

เอียน โกรจ์โนว์สกี และมาร์ค ไฮแมน ค้นพบข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของสมมติฐานความเป็นบวกของแมคโดนัลด์ โดยการพิสูจน์สมมติฐานความเป็นบวกสำหรับ พหุ นาม LLT

ในปี 2548 J. Haglund, M. Haiman และ N. Loehr ^{[ 1 ]}ได้ให้การพิสูจน์ครั้งแรกของการตีความเชิงการจัดเรียงของพหุนาม Macdonald ในปี 2531 IG Macdonald ^{[ 2 ]}ได้ให้การพิสูจน์ครั้งที่สองของการตีความเชิงการจัดเรียงของพหุนาม Macdonald (สมการ (4.11) และ (5.13)) สูตรของ Macdonald แตกต่างจากสูตรในงานของ Haglund, Haiman และ Loehr โดยมีจำนวนพจน์น้อยกว่ามาก (สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์ในงานสำคัญของ Macdonald เช่นกัน^{[ 3 ]}บทที่ VI (7.13)) แม้ว่าจะมีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณและน่าสนใจในตัวมันเอง แต่สูตรเชิงการจัดเรียงของพวกเขาไม่ได้หมายความถึงค่าบวกของสัมประสิทธิ์ Kostka-Macdonald ในทันทีเนื่องจากให้การแยกส่วนของพหุนาม Macdonald เป็นฟังก์ชันสมมาตรเอกนามแทนที่จะเป็นฟังก์ชัน Schur ${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$

เขียนด้วยพหุนามแมคโดนัลด์ที่แปลงแล้ว แทนที่จะใช้ พหุนามแมคโดนัลด์แบบปกติ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}$

โดยที่ σ คือการเติมแผนภาพ Youngที่มีรูปร่าง μ, invและmajเป็นสถิติเชิงการจัดเรียง (ฟังก์ชัน) บางอย่างที่กำหนดบนการเติม σ สูตรนี้แสดงถึงพหุนาม Macdonald ในตัวแปรจำนวนอนันต์ หากต้องการพหุนามใน ตัวแปร nตัว ให้จำกัดสูตรเฉพาะการเติมที่ใช้เฉพาะจำนวนเต็ม 1, 2, ..., n เท่านั้น เทอมx ^σควรตีความว่า โดยที่σ _iคือจำนวนกล่องในการเติม μ ที่มีเนื้อหา i${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$

พหุนามแมคโดนัลด์ที่แปลงแล้วในสูตรข้างต้นมีความสัมพันธ์กับพหุนามแมคโดนัลด์แบบคลาสสิกผ่านลำดับของการแปลง ขั้นแรกรูปแบบปริพันธ์ของพหุนามแมคโดนัลด์ ซึ่งแสดงด้วยคือการปรับขนาดใหม่ของที่กำจัดสัมประสิทธิ์ออกจากตัวส่วน: ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

โดยที่คือกลุ่มของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแผนภาพยังของและและแทนแขนและขาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังแสดงในรูป หมายเหตุ: รูปทางด้านขวาใช้สัญลักษณ์แบบฝรั่งเศสสำหรับแผนภาพ ซึ่งถูกพลิกกลับในแนวตั้งจากสัญลักษณ์แบบอังกฤษที่ใช้ในหน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับแผนภาพยัง สัญลักษณ์แบบฝรั่งเศสมักใช้กันทั่วไปในการศึกษาพหุนามแมคโดนัลด์${\displaystyle D(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a(s)}$${\displaystyle l(s)}$${\displaystyle s}$

พหุนามแมคโดนัลด์ที่แปลงแล้วสามารถกำหนดได้ในรูปของ's เรามี ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle J_{\mu }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

ที่ไหน

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

สัญลักษณ์วงเล็บด้านบนหมายถึงการ แทนที่ปริมาตรเลือด

สูตรนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์สูตรของ Knop และ Sahi สำหรับพหุนาม Jackได้

ในปี 1995 แมคโดนัลด์ได้นำเสนออนาล็อกที่ไม่สมมาตรของพหุนามแมคโดนัลด์แบบสมมาตร และพหุนามแมคโดนัลด์แบบสมมาตรสามารถกู้คืนได้ง่ายจากอนาล็อกที่ไม่สมมาตร ในคำจำกัดความดั้งเดิมของเขา เขาแสดงให้เห็นว่าพหุนามแมคโดนัลด์ที่ไม่สมมาตรเป็นตระกูลพหุนามที่ไม่ซ้ำกันซึ่งตั้งฉากกับผลคูณภายในบางอย่าง และยังสอดคล้องกับคุณสมบัติสามเหลี่ยมเมื่อขยายในฐานเอกนามด้วย

ในปี 2007 Haglund, Haiman และ Loehr ได้เสนอสูตรเชิงการจัดเรียงสำหรับพหุนาม Macdonald ที่ไม่สมมาตร

พหุนามแมคโดนัลด์ที่ไม่สมมาตรจะกลายเป็นอักขระเดมาซูร์เมื่อกำหนด q=t=0 และจะกลายเป็นพหุนามคีย์เมื่อกำหนด q=t=∞

ในปี 2018 S. Corteel , O. Mandelshtam และL. Williamsใช้กระบวนการยกเว้นเพื่อให้ลักษณะเฉพาะเชิงการจัดเรียงโดยตรงของพหุนาม Macdonald ทั้งแบบสมมาตรและไม่สมมาตร^{[ 4 ]}ผลลัพธ์ของพวกเขาแตกต่างจากงานก่อนหน้าของ Haglund ส่วนหนึ่งเป็นเพราะพวกเขาให้สูตรโดยตรงสำหรับพหุนาม Macdonald แทนที่จะเป็นการแปลง พวกเขาพัฒนาแนวคิดของคิวหลายแถว ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่มีลูกบอลหรือเซลล์ว่างพร้อมกับการแมประหว่างลูกบอลและเพื่อนบ้าน และกลไกการติดป้ายเชิงการจัดเรียง พหุนาม Macdonald ที่ไม่สมมาตรจึงเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

${\displaystyle E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมคิวหลายบรรทัดทุกประเภทและเป็นฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักที่แมปคิวเหล่านั้นไปยังพหุนามเฉพาะ พหุนามแมคโดนัลด์แบบสมมาตรเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle L\times n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {wt} }$

${\displaystyle P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

โดยผลรวมภายนอกนั้นครอบคลุมองค์ประกอบที่แตกต่างกันทั้งหมดที่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของและผลรวมภายในเป็นเช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

• Cherednik, Ivan (1995), "Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures", Annals of Mathematics , Second Series, 141 (1), Annals of Mathematics: 191– 216, doi : 10.2307/2118632 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118632
• Garsia, Adriano; Remmel, Jeffrey B. (15 มีนาคม 2548), " ความก้าวหน้าในทฤษฎีพหุนามแมคโดนัลด์ ", PNAS , 102 (11): 3891– 3894, Bibcode : 2005PNAS..102.3891G , doi : 10.1073/pnas.0409705102 , PMC  554818 , PMID  15753285
• Mark Haiman Combinatorics, symmetric functions, and Hilbert schemes Current Developments in Mathematics 2002, no. 1 (2002), 39–111.
• ไฮแมน, มาร์คบันทึกเกี่ยวกับพหุนามแมคโดนัลด์และเรขาคณิตของแผนผังฮิลเบิร์ต ฟังก์ชัน สมมาตร 2001: การสำรวจพัฒนาการและมุมมอง 1–64, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002. MR 2059359 
• Haiman, Mark (2001), " Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture ", J. Amer. Math. Soc. , 14 (4): 941– 1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3 , S2CID  9253880
• Kirillov, AA (1997), "การบรรยายเกี่ยวกับพีชคณิต Hecke เชิงเส้นและสมมติฐานของ Macdonald" , Bull. Amer. Math. Soc. , 34 (3): 251– 292, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00727-1
• Macdonald, IG (1982), "ข้อสันนิษฐานบางประการสำหรับระบบราก", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988– 1007, doi : 10.1137/0513070 , ISSN  0036-1410 , MR  0674768
• Macdonald, IG ฟังก์ชันสมมาตรและพหุนามฮอลล์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ชุดหนังสือคณิตศาสตร์ออกซ์ฟอร์ด สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์ออกซ์ฟอร์ด สำนักพิมพ์แคลเรนดอน มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด นิวยอร์ก 1995 x+475 หน้าISBN 0-19-853489-2MR  1354144
• Macdonald, IG ฟังก์ชันสมมาตรและพหุนามเชิงตั้งฉากการบรรยายอนุสรณ์ Dean Jacqueline B. Lewis ที่มหาวิทยาลัย Rutgers, New Brunswick, NJ ชุดการบรรยายของมหาวิทยาลัย ครั้งที่ 12 สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน พรอวิเดนซ์ RI, 1998 xvi+53 หน้าISBN 0-8218-0770-6MR  1488699
• Macdonald, IG Affine Hecke พีชคณิตและพหุนามมุมฉากเซมิแนร์ บูบากิ 797 (1995)
• Macdonald, IG (2000–2001), "พหุนามมุมฉากที่เกี่ยวข้องกับระบบราก", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : ศิลปะ B45a, arXiv : math.QA/0011046 , MR  1817334
• Macdonald, IG (2003), พีชคณิต Hecke แบบ Affine และพหุนามเชิงตั้งฉาก , Cambridge Tracts in Mathematics, เล่มที่ 157, Cambridge: Cambridge University Press, หน้า x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, MR  1976581

• หน้าเว็บของ Mike Zabrocki เกี่ยวกับพหุนามแมคโดนัลด์
• บทความ บางส่วนของ Haimanเกี่ยวกับพหุนาม Macdonald