ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน แจ็ ก ( Jack function) เป็นการขยายความของพหุนามแจ็ก (Jack polynomial ) ซึ่งริเริ่มโดยเฮนรี แจ็ก พหุนาม แจ็กเป็นพหุนามเอกพันธุ์ สมมาตร (homogeneous , symmetry polynomial) ซึ่งเป็นการขยายความของพหุนาม ชูร์ (Schur polynomial) และ พหุนามโซนั ล (zonal polynomial) และในทางกลับกันก็เป็นการขยายความของพหุนามเฮ็กแมน-ออปดัม (Heckman–Opdam polynomial)และพหุนามแมคโดนัลด์ (Macdonald polynomial )

ฟังก์ชัน Jack ของพาร์ติชันจำนวนเต็มพารามิเตอร์และอาร์กิวเมนต์สามารถนิยามแบบเรียกซ้ำได้ดังนี้: ${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

สำหรับm = 1

${\displaystyle J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}$

สำหรับm > 1

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },}$

โดยผลรวมนั้นครอบคลุมพาร์ติชันทั้งหมดที่ทำให้พาร์ติชันแบบ เฉียง เป็นแถบแนวนอนกล่าวคือ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa /\mu }$

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$( ต้องเป็นศูนย์ มิฉะนั้น) และ${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}$

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

โดยที่เท่ากับถ้าและมิฉะนั้น นิพจน์และหมายถึงพาร์ทิชันคู่ควบของและตามลำดับ สัญลักษณ์หมายความว่าผลคูณนั้นกระทำกับพิกัดทั้งหมดของกล่องในแผนภาพยังของพาร์ทิชัน ${\displaystyle B_{\คัปปา \mu }^{\nu }(i,j)}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$${\displaystyle \คัปปา _{j}'=\mu _{j}'}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \kappa }$

ในปี พ.ศ. 2540 F. Knop และ S. Sahi ^{[ 1 ]}ได้ให้สูตรเชิงการจัดเรียงล้วนๆ สำหรับพหุนาม Jack ใน ตัวแปร nตัว: ${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}$

${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}$

ผลรวมจะถูกคำนวณจากตารางรูปทรงที่ ยอมรับได้ ทั้งหมด${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ critical}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)}$

กับ

${\displaystyle d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).}$

ตารางรูปทรงที่ยอมรับได้คือการเติมแผนภาพ Young ด้วยตัวเลข 1, 2, …, nโดยที่สำหรับกล่องใดๆ ( i , j ) ในตารางนั้น ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}$เมื่อใดก็ตาม${\displaystyle i'>i.}$
• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)}$เมื่อใดก็ตามและ${\displaystyle j>1}$${\displaystyle i'<i.}$

กล่องมีความสำคัญต่อตารางTถ้าและ${\displaystyle s=(i,j)\in \lambda }$${\displaystyle j>1}$${\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}$

ผลลัพธ์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสูตรเชิงการจัดเรียงทั่วไปสำหรับพหุนามแมคโดนัลด์

ฟังก์ชัน Jack สร้างฐานเชิงตั้งฉากในปริภูมิของพหุนามสมมาตร โดยมีผลคูณภายใน:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

คุณสมบัติความเป็นตั้งฉากนี้ไม่ได้รับผลกระทบจากการทำให้เป็นมาตรฐาน การทำให้เป็นมาตรฐานที่กำหนดไว้ข้างต้นมักเรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐานแบบ J การทำให้เป็นมาตรฐาน แบบ Cกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

ที่ไหน

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์และเรียกว่าพหุนามโซนัล (Zonal polynomial ) ${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

การทำให้เป็นมาตรฐาน Pนั้นกำหนดโดยเอกลักษณ์โดยที่ ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

โดยที่และแทนความยาวแขนและขาตามลำดับ ดังนั้น สำหรับ จึงเป็นฟังก์ชัน Schur ทั่วไป ${\displaystyle a_{\lambda }}$${\displaystyle l_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$

เช่นเดียวกับพหุนามของ Schur พหุนามเหล่านี้สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของตาราง Young อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องเพิ่มน้ำหนักพิเศษให้กับแต่ละตารางซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha }$

ดังนั้น สูตร^{[ 2 ]}สำหรับฟังก์ชัน Jack จึงกำหนดโดย ${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

โดยผลรวมจะคำนวณจากตารางทั้งหมดที่มีรูปร่างและ แสดงถึงรายการในช่องsของT${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T(s)}$

สามารถกำหนดน้ำหนัก ได้ในลักษณะดังต่อไปนี้: ตาราง รูปตัวT แต่ละตาราง สามารถตีความได้ว่าเป็นลำดับของพาร์ติชัน ${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

โดยที่กำหนดรูปร่างที่เบี่ยงเบนด้วยเนื้อหาiในTจากนั้น ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

ที่ไหน

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

และผลคูณจะคำนวณจากกล่องทั้งหมดs เท่านั้น โดยที่sมีกล่องจากอยู่ในแถวเดียวกัน แต่ไม่อยู่ในคอลัมน์เดียวกัน ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda /\mu }$

เมื่อฟังก์ชัน Jack เป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของพหุนาม Schur${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

ที่ไหน

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

คือผลคูณของความยาวเบ็ดทั้งหมดของ ${\displaystyle \kappa }$

ถ้าพาร์ติชันมีจำนวนส่วนมากกว่าจำนวนตัวแปร ฟังก์ชัน Jack จะมีค่าเป็น 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

ในตำราบางเล่ม โดยเฉพาะในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม ผู้เขียนพบว่าการใช้เมทริกซ์เป็นอาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชัน Jack นั้นสะดวกกว่า ความสัมพันธ์นั้นง่ายมาก ถ้าเป็นเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ แล้ว ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• Demmel, James ; Koev, Plamen (2006), "การประเมินฟังก์ชัน Schur และ Jack ที่แม่นยำและมีประสิทธิภาพ", Mathematics of Computation , 75 (253): 223– 239, CiteSeerX  10.1.1.134.5248 , doi : 10.1090/S0025-5718-05-01780-1 , MR  2176397.
• แจ็ค, เฮนรี (1970–1971), "กลุ่มของพหุนามสมมาตรที่มีพารามิเตอร์", วารสาร Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , Section A. Mathematics, 69 : 1– 18, MR  0289462.
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 มีนาคม 1997), "การเรียกซ้ำและสูตรเชิงการจัดเรียงสำหรับพหุนามแจ็ค", Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9– 22, arXiv : q-alg/9610016 , Bibcode : 1997InMat.128....9K , doi : 10.1007/s002220050134 , S2CID  7188322
• Macdonald, IG (1995), ฟังก์ชันสมมาตรและพหุนามฮอลล์ , เอกสารทางคณิตศาสตร์ของออกซ์ฟอร์ด (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, ISBN 978-0-19-853489-1, MR  1354144
• Stanley, Richard P. (1989), "คุณสมบัติเชิงการจัดเรียงบางประการของฟังก์ชันสมมาตรของ Jack", Advances in Mathematics , 77 (1): 76– 115, doi : 10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR  1014073.

• ซอฟต์แวร์สำหรับคำนวณฟังก์ชัน Jackโดย Plamen Koev และ Alan Edelman
• MOPS: พหุนามเชิงตั้งฉากหลายตัวแปร (เชิงสัญลักษณ์) (แพ็กเกจ Maple) เก็บถาวรเมื่อ 2010-06-20 ที่Wayback Machine
• เอกสารประกอบการใช้งาน SAGE สำหรับฟังก์ชันสมมาตรของ Jack