แบบ จำลองโครงสร้างระยะเวลาแบบแอฟฟินเป็นแบบจำลองทางการเงินที่เชื่อมโยง ราคา พันธบัตรแบบไม่มีคูปอง (เช่น เส้นโค้งส่วนลด) กับ แบบจำลอง อัตราดอกเบี้ย ระยะสั้น แบบจำลองนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการหาเส้นโค้งผลตอบแทนซึ่งเป็นกระบวนการกำหนดข้อมูลป้อนเข้าของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจาก ข้อมูล ตลาดพันธบัตร ที่สังเกตได้ แบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาแบบแอฟฟินแสดงให้เห็นรูปแบบที่สะดวกว่า ราคาพันธบัตรในรูปของลอการิทึมเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น^{[ 1 ]} (และอาจมีตัวแปรสถานะเพิ่มเติม)

เริ่มต้นด้วยแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น แบบสุ่ม${\displaystyle r(t)}$ด้วยพลวัต:

${\displaystyle dr(t)=\mu (t,r(t))\,dt+\sigma (t,r(t))\,dW(t)}$

และพันธบัตรปลอดความเสี่ยงแบบไม่มีดอกเบี้ยซึ่งครบกำหนดไถ่ถอน ณ เวลาดังกล่าว${\displaystyle T}$พร้อมราคา${\displaystyle P(t,T)}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$ราคาของพันธบัตรไร้ดอกเบี้ยคำนวณได้จากสูตร:$${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\left\{\exp \left[-\int _{t}^{T}r(t')dt'\right]\right\}}$$ที่ไหน${\displaystyle T=t+\tau }$, กับ${\displaystyle \tau }$ตัวแปรคืออายุครบกำหนดของพันธบัตร การคาดการณ์นั้นคำนวณโดยอ้างอิงจากมาตรวัดความน่าจะเป็นแบบไร้ความเสี่ยง${\displaystyle \mathbb {Q} }$หากราคาของพันธบัตรมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}}$

ที่ไหน${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$หากเป็นฟังก์ชันเชิงกำหนดแล้ว แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจะกล่าวได้ว่ามีโครงสร้างระยะเวลาแบบเชิงเส้นตรงผลตอบแทนของพันธบัตรที่มีอายุครบกำหนด${\displaystyle \tau }$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle y(t,\tau )}$กำหนดโดย:$${\displaystyle y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }}\log P(t,\tau )}$$

โดยใช้สูตรของอิโตะเราสามารถกำหนดข้อจำกัดต่างๆ ได้${\displaystyle \mu }$และ${\displaystyle \sigma }$ซึ่งจะส่งผลให้โครงสร้างระยะเวลาเป็นแบบแอฟฟิน สมมติว่าพันธบัตรมีโครงสร้างระยะเวลาแบบแอฟฟินและ${\displaystyle P}$หากสอดคล้องกับสมการโครงสร้างระยะเวลาเราจะได้:

${\displaystyle A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))r-\mu (t,r)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,r)B^{2}(t,T)=0}$

ค่าขอบเขต

${\displaystyle P(T,T)=1}$

หมายความว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}A(T,T)&=0\\B(T,T)&=0\end{aligned}}}$

ต่อไป ให้สมมติว่า${\displaystyle \mu }$และ${\displaystyle \sigma ^{2}}$มีความสัมพันธ์กันใน${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (t,r)&=\alpha (t)r+\beta (t)\\\sigma (t,r)&={\sqrt {\gamma (t)r+\delta (t)}}\end{aligned}}}$

สมการเชิงอนุพันธ์จึงกลายเป็น

${\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0}$

เพราะสูตรนี้ต้องใช้ได้กับทุกกรณี${\displaystyle r}$,${\displaystyle t}$,${\displaystyle T}$สัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle r}$ต้องเท่ากับศูนย์

${\displaystyle 1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)=0}$

ดังนั้น คำศัพท์อีกคำหนึ่งก็ต้องหายไปด้วยเช่นกัน

${\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)=0}$

จากนั้น สมมติว่า${\displaystyle \mu }$และ${\displaystyle \sigma ^{2}}$มีความสัมพันธ์กันใน${\displaystyle r}$แบบจำลองนี้มีโครงสร้างเทอมเชิงเส้นตรง โดยที่${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$สอดคล้องกับระบบสมการ:

${\displaystyle {\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}}$

แนวทางหนึ่งในการสร้างแบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาแบบแอฟฟินคือการบังคับใช้ เงื่อนไข ปลอดการเก็งกำไรในแบบจำลองที่เสนอ ในชุดเอกสาร^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ได้มีการพัฒนาแบบจำลองเส้นโค้งผลตอบแทนแบบไดนามิกที่เสนอโดยใช้แบบจำลอง Nelson-Siegel ที่มีชื่อเสียงเวอร์ชันปลอดการเก็งกำไร^{[ 5 ]}ซึ่งผู้เขียนเรียกว่า AFNS เพื่อให้ได้แบบจำลอง AFNS ผู้เขียนได้ตั้งสมมติฐานหลายประการ:

1. มีปัจจัยแฝงสามประการที่สอดคล้องกับระดับความชันและความโค้งของเส้นอัตราผลตอบแทน
2. ปัจจัยแฝงจะพัฒนาไปตามกระบวนการ Ornstein-Uhlenbeck แบบหลายตัวแปร รายละเอียด เฉพาะจะแตกต่างกันไปตามมาตรวัดที่ใช้:
   1. ${\displaystyle dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }}$(การวัดผลในโลกแห่งความเป็นจริง)${\displaystyle \mathbb {P} }$)
   2. ${\displaystyle dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }}$(มาตรการที่ไม่ก่อให้เกิดความเสี่ยง)${\displaystyle \mathbb {Q} }$)
3. เมทริกซ์ความผันผวน${\displaystyle \Sigma }$เป็นแนวทแยง
4. อัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเป็นฟังก์ชันของระดับและความชัน (${\displaystyle r=x_{1}+x_{2}}$)

จากแบบจำลองที่สมมติขึ้นเกี่ยวกับราคาของพันธบัตรไร้ดอกเบี้ย:$${\displaystyle P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]}$$ผลผลิตเมื่อครบกำหนด${\displaystyle \tau }$กำหนดโดย:$${\displaystyle y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \over {\tau }}}$$และจากสมมติฐานที่ระบุไว้ เซตของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ที่ต้องแก้เพื่อให้ได้คำตอบในรูปแบบปิด มีดังนี้:$${\displaystyle -\left[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\right]-B(\tau )^{T}K^{\mathbb {Q} }x+{1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0}$$ที่ไหน${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}}$และ${\displaystyle \Omega }$เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีสมาชิก${\displaystyle \Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}}$เมื่อจับคู่สัมประสิทธิ์แล้ว เราจะได้ชุดสมการดังนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}}$$เพื่อหาทางออกที่สามารถนำไปปฏิบัติได้จริง ผู้เขียนจึงเสนอว่า${\displaystyle K^{\mathbb {Q} }}$กรุณากรอกแบบฟอร์ม:$${\displaystyle K^{\mathbb {Q} }={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\lambda &-\lambda \\0&0&\lambda \end{pmatrix}}}$$การแก้ชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบคู่สำหรับเวกเตอร์${\displaystyle B(\tau )}$และปล่อยให้${\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )}$เราพบว่า:$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T}}$$แล้ว${\displaystyle x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )}$จำลองแบบจำลองเส้นโค้งผลตอบแทนมาตรฐานของเนลสัน-ซีเกล คำตอบสำหรับปัจจัยการปรับผลตอบแทน${\displaystyle {\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )}$เรื่องนี้ซับซ้อนกว่านั้น พบได้ในภาคผนวก B ของเอกสารปี 2007 แต่จำเป็นต่อการบังคับใช้เงื่อนไขปลอดการเก็งกำไร

• บียอร์ค, โทมัส (2009) ทฤษฎีอนุญาโตตุลาการในเวลาต่อเนื่อง ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 นิวยอร์ก, NY: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด . ไอเอสบีเอ็น 978-0-19-957474-2.