การประมวลผลสัญญาณเชิงพีชคณิต (Algebraic Signal Processing : ASP) เป็นสาขาใหม่ของการประมวลผลสัญญาณ เชิงทฤษฎี (Theoretical Signal Processing: SP) ในทฤษฎีเชิงพีชคณิตของการประมวลผลสัญญาณ ชุดของตัวกรอง จะถูกมองว่าเป็น พีชคณิต (นามธรรม) ชุดของสัญญาณจะถูกมองว่าเป็นโมดูลหรือปริภูมิเวกเตอร์และการสังเคราะห์ (Convolution)จะถูกมองว่าเป็นการแสดงแทนเชิงพีชคณิตข้อดีของการประมวลผลสัญญาณเชิงพีชคณิตคือความทั่วไปและความสามารถในการพกพาได้

ในการกำหนดสูตรดั้งเดิมของการประมวลผลสัญญาณพีชคณิตโดย Puschel และ Moura สัญญาณจะถูกรวบรวมไว้ในโมดูล - สำหรับพีชคณิตของตัวกรองบางส่วน และการกรองจะกำหนดโดยการกระทำของบนโมดูล - ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ให้เป็นฟิลด์เช่น จำนวนเชิงซ้อน และเป็นพีชคณิต-algebra (กล่าวคือ ปริภูมิเวกเตอร์เหนือที่มีการดำเนินการทวิภาคที่เป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง) ซึ่งถือเป็นเซตของตัวกรอง สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่แทนเซตของสัญญาณ การแทนของประกอบด้วยโฮโมมอร์ฟิซึม พีชคณิต โดยที่คือพีชคณิตของการแปลงเชิงเส้น ที่มีการประกอบ (เทียบเท่ากับ การคูณเมทริกซ์ในกรณีมิติจำกัด) เพื่อความสะดวก เราเขียนแทนเอนโดมอร์ฟิซึมในการที่จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมพีชคณิตจะต้องไม่เพียงแต่เป็นการแปลงเชิงเส้นเท่านั้น แต่ยังต้องมีคุณสมบัติเมื่อกำหนดสัญญาณการสังเคราะห์สัญญาณโดยตัวกรองจะให้สัญญาณใหม่จำเป็นต้องใช้คำศัพท์เพิ่มเติมจากทฤษฎีการแทนของพีชคณิต เซตย่อย กล่าวได้ว่าสร้างพีชคณิต ถ้าทุกองค์ประกอบของสามารถแทนด้วยพหุนามในองค์ประกอบของภาพของตัวสร้างเรียกว่าตัวดำเนินการเลื่อนในทางปฏิบัติแล้ว ตัวอย่างทั้งหมด การสังเคราะห์จะเกิดขึ้นเป็นพหุนามในที่สร้างโดยตัวดำเนินการเลื่อน อย่างไรก็ตาม นี่อาจไม่ใช่กรณีเสมอไปสำหรับตัวแทนของพีชคณิตใดๆ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ast :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \rho :{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$${\displaystyle T:{\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \rho _{a}}$${\displaystyle \rho (a)}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \rho _{a\ast b}=\rho _{b}\circ \rho _{a}\quad \forall a,b\in {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle x\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \rho _{a}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$

ใน การประมวลผลสัญญาณ แบบไม่ต่อเนื่อง (DSP) ปริภูมิสัญญาณคือเซตของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่มีพลังงานจำกัด (กล่าวคือฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ) ซึ่งหมายถึงอนุกรมอนันต์โดยที่คือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ตัวดำเนินการเลื่อนตำแหน่งกำหนดโดยเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้น ปริภูมิตัวกรองคือพีชคณิตของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนและการสังเคราะห์กำหนดโดย โดย ที่คือองค์ประกอบของพีชคณิต การกรองสัญญาณโดยจะได้ เนื่องจาก${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|(x)_{n}|<\infty }$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle (Sx)_{n}=(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbb {C} [z^{-1},z]}$${\displaystyle \rho _{h}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h_{k}S^{k}}$${\displaystyle h(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h_{k}z^{k}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (y)_{n}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h_{k}x_{n-k}}$${\displaystyle (S^{k}x)_{n}=(x)_{n-k}}$

กราฟถ่วงน้ำหนักคือกราฟ แบบไม่มีทิศทาง ที่มีเมตริกเทียมบนเซตของโหนดที่เขียนแทนด้วย สัญญาณกราฟคือฟังก์ชันค่าจริงบนเซตของโหนดในกราฟ ในโครงข่ายประสาทกราฟ สัญญาณกราฟบางครั้งเรียกว่าคุณลักษณะ พื้นที่สัญญาณคือเซตของสัญญาณกราฟทั้งหมดโดยที่คือเซตของโหนดใน พีชคณิต ตัวกรองคือพีชคณิตของพหุนามในตัวแปรไม่กำหนดหนึ่งตัวมีตัวเลือกที่เป็นไปได้ไม่กี่ตัวสำหรับตัวดำเนินการเลื่อนกราฟ (GSO) เมทริกซ์ประชิด ถ่วงน้ำหนัก (ไม่) นอร์มาไลซ์ ของเป็นตัวเลือกที่นิยม เช่นเดียวกับลาปลาเซียนกราฟ (ไม่) นอร์มาไลซ์ การเลือกขึ้นอยู่กับประสิทธิภาพและการพิจารณาด้านการออกแบบ ถ้าคือ GSO แล้ว การสังเคราะห์กราฟคือการแปลงเชิงเส้น สำหรับบางค่าและการสังเคราะห์สัญญาณกราฟโดยตัวกรองจะให้สัญญาณกราฟใหม่ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=({\mathcal {V}},{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle n=|{\mathcal {V}}|}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=({\mathcal {V}},{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbb {R} [t]}$${\displaystyle [A]_{ij}=a_{ij}}$${\displaystyle [L]_{ij}={\begin{cases}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}&i=j\\-a_{ij}&i\neq j\end{cases}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho _{h}=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}S^{k}}$${\displaystyle h(t)=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}z^{k}}$${\displaystyle \mathbf {x} :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle \mathbf {y} =\left(\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}S^{k}\right)\cdot \mathbf {x} }$

^{วัตถุ ทาง คณิตศาสตร์อื่นๆ ที่มีกรอบการประมวลผลสัญญาณที่เสนอไว้ของตนเอง ได้แก่ แบบจำลองสัญญาณพีชคณิต วัตถุ}เหล่านี้รวมถึงquivers [ ^{2 ]} graphons ^{[ 3 ]} semilattices [ ^{4 ]}กลุ่มจำกัดและกลุ่มLie ^{[ 5 ]}และอื่นๆ

ในกรอบของทฤษฎีการแทนค่าความสัมพันธ์ระหว่างการแทนค่าสองแบบของพีชคณิตเดียวกันจะถูกอธิบายด้วยแผนที่เชื่อมโยงซึ่งในบริบทของการประมวลผลสัญญาณจะแปลเป็นการแปลงสัญญาณที่เคารพโครงสร้างของพีชคณิต สมมติว่าและเป็นการแทนค่าที่แตกต่างกันสองแบบของแผนที่เชื่อมโยงคือการแปลงเชิงเส้นเช่นนั้น ${\displaystyle \rho :{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$${\displaystyle \rho ':{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}}')}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}'}$

${\displaystyle \alpha \circ \rho _{a}=\rho '_{a}\circ \alpha \quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

โดยสัญชาตญาณแล้ว หมายความว่าการกรองสัญญาณด้วยการแปลงสัญญาณด้วยนั้นเทียบเท่ากับการแปลงสัญญาณด้วยก่อนแล้วจึงกรองด้วยการแปลง z [ ^{1 ] เป็น}ตัวอย่างต้นแบบของแผนที่ที่เกี่ยวพันกัน ${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$

ได้รับแรงบันดาลใจจากมุมมองล่าสุดที่ว่าสถาปัตยกรรมเครือข่ายประสาทกราฟ (GNN) ที่ได้รับความนิยมนั้นแท้จริงแล้วคือเครือข่ายประสาทแบบคอนโวลูชัน (CNN) ^{[ 6 ]}งานวิจัยล่าสุดจึงมุ่งเน้นไปที่การพัฒนาสถาปัตยกรรมเครือข่ายประสาทแบบใหม่จากมุมมองเชิงพีชคณิต^{[ 7 ] [ 8 ]}เครือข่ายประสาทเชิงพีชคณิตคือองค์ประกอบของคอนโวลูชันเชิงพีชคณิต ซึ่งอาจมีคุณสมบัติหลายอย่างและการรวมคุณสมบัติ รวมถึงความไม่เป็นเชิงเส้น

• โครงงานอัจฉริยะ: ทฤษฎีพีชคณิตของการประมวลผลสัญญาณณ ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
• การบรรยายครั้งที่ 12: " โครงข่ายประสาทเทียมเชิงพีชคณิต " มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย (ESE 514)