การศึกษาการเรียงตัวของจุดสุ่มในระนาบมุ่งค้นหากลุ่มย่อยของจุดที่อยู่บนเส้นตรงโดยประมาณภายในกลุ่มจุดขนาดใหญ่ที่ วางอยู่ แบบสุ่มในบริเวณระนาบ การศึกษาต่างๆ แสดงให้เห็นว่าการเรียงตัวใกล้เคียงกันเช่นนี้เกิดขึ้นโดยบังเอิญบ่อยกว่าที่หลายคนอาจคาดการณ์ไว้

มีการนำเสนอแนวคิดนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเส้นพลังงานลึกลับและแนวการเรียงตัวลึกลับอื่นๆ ที่บางคนเชื่อว่าเป็นปรากฏการณ์ที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง อาจเกิดขึ้นจากความบังเอิญล้วนๆ ไม่ใช่จากคำอธิบายเหนือธรรมชาติหรือมานุษยวิทยาที่ผู้สนับสนุนเสนอมา หัวข้อนี้ยังได้รับการศึกษาในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์และดาราศาสตร์ อีก ด้วย

มีการศึกษาวิจัยหลายชิ้นที่ตรวจสอบคณิตศาสตร์ของการจัดเรียงจุดสุ่มบนระนาบ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ในการศึกษาทั้งหมดนี้ ความกว้างของเส้น — การเบี่ยงเบนที่อนุญาตของตำแหน่งของจุดจากเส้นตรงที่สมบูรณ์แบบ — มีความสำคัญ เนื่องจากยอมรับว่าคุณลักษณะในโลกแห่งความเป็นจริงไม่ใช่จุดทางคณิตศาสตร์ และตำแหน่งของจุดเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเรียงกันอย่างแม่นยำจึงจะถือว่าอยู่ในแนวเดียวกันอัลเฟรด วัตกินส์ในงานคลาสสิกของเขาเกี่ยวกับเส้นเลย์ไลน์The Old Straight Trackได้ใช้ความกว้างของเส้นดินสอบนแผนที่เป็นเกณฑ์สำหรับค่าความคลาดเคลื่อนที่อาจถือได้ว่าเป็นการจัดเรียง ตัวอย่างเช่น การใช้ เส้นดินสอขนาด 1 มม. ในการวาดแนวบน แผนที่ Ordnance Survey มาตราส่วน 1:50,000 ความกว้างที่สอดคล้องกันบนพื้นดินจะเป็น 50 ม. ^{[ 5 ]}

ตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณ การหาแนวการเรียงตัวระหว่างจุดที่วางอยู่แบบสุ่มบนภูมิประเทศจะง่ายขึ้นเรื่อยๆ เมื่อพื้นที่ทางภูมิศาสตร์ที่พิจารณาขยายใหญ่ขึ้น วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจปรากฏการณ์นี้คือ การมองว่าการเพิ่มขึ้นของจำนวนชุดจุดที่เป็นไปได้ในพื้นที่นั้น มีผลมากกว่าการลดลงของความน่าจะเป็นที่ชุดจุดใดๆ ในพื้นที่นั้นจะเรียงตัวกัน

นิยามหนึ่งที่แสดงถึงความหมายที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปของคำว่า "การจัดแนว" คือ:

ชุดของจุดที่เลือกจากชุดของจุดอ้างอิงที่กำหนด ซึ่งทุกจุดอยู่ภายในเส้นทางตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่มีความกว้างที่กำหนด

กล่าวโดยละเอียด เส้นทางที่มีความกว้างwอาจนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในระยะw/2จากเส้นตรงบนระนาบ หรือวงกลมใหญ่บนทรงกลม หรือโดยทั่วไปคือเส้นทางที่สั้นที่สุด บน แมนิโฟลด์ชนิดอื่น ๆโปรดทราบว่า โดยทั่วไปแล้ว เซตของจุดใด ๆ ที่เรียงตัวกันในลักษณะนี้จะประกอบด้วยเส้นทางตรงที่แตกต่างกันเล็กน้อยจำนวนมาก ดังนั้น การมีอยู่ของเส้นทางตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาว่าเซตของจุดนั้นเป็นการเรียงตัวกันหรือไม่ ด้วยเหตุนี้ การนับเซตของจุดจึงง่ายกว่าการนับเส้นทางเอง จำนวนการเรียงตัวที่พบนั้นมีความไวต่อความกว้างw ที่อนุญาตอย่างมาก โดยจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนโดยประมาณของw ^{k −2}โดยที่kคือจำนวนจุดในการเรียงตัว

ต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าคร่าวๆ ของโอกาสที่จะเกิดการเรียงตัวกัน โดยสมมติว่าระนาบนั้นถูกปกคลุมด้วยจุด "สำคัญ" ที่กระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ

พิจารณาเซตของ จุด nจุดในพื้นที่กระชับที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางโดยประมาณLและพื้นที่โดยประมาณL² ^ให้ถือว่าเส้นตรงที่ถูกต้องคือเส้นตรงที่ทุกจุดอยู่ภายในระยะw /2 จากเส้นตรงนั้น (นั่นคือ อยู่บนเส้นทางที่มีความกว้างwโดยที่w ≪ L )

พิจารณาเซตที่ไม่เรียงลำดับทั้งหมดของ จุด kจุดจาก จุด nจุด ซึ่งมีดังนี้:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(nk)!\,k!}}}$

(ดูสัญลักษณ์ในสัมประสิทธิ์แฟกทอเรียลและ สัมประสิทธิ์ ทวินาม)

เพื่อประมาณความน่าจะเป็นที่กลุ่มย่อยของจุดk จุดใดๆ จะ เรียงตัวเป็นเส้นตรงโดยประมาณตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ให้พิจารณาเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดที่อยู่ "ซ้ายสุด" และ "ขวาสุด" ในกลุ่มย่อยนั้น (สำหรับแกนซ้าย/ขวาใดๆ ก็ได้: สามารถเลือกด้านบนและด้านล่างได้สำหรับกรณีพิเศษที่เป็นแนวตั้ง) สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย สำหรับจุดที่เหลือk - 2 จุดในกลุ่มย่อย ความน่าจะเป็นที่จุดนั้น "ใกล้พอ" กับเส้นตรงนั้นโดยประมาณคือw / Lซึ่งสามารถเห็นได้จากการพิจารณาอัตราส่วนของพื้นที่ของโซนความคลาดเคลื่อนของเส้นตรง (โดยประมาณwL ) และพื้นที่ทั้งหมด (โดยประมาณL ² )

ดังนั้น จากการประมาณค่าโดยประมาณข้างต้น จำนวนการจัดเรียงจุด k ที่คาดหวังในชุดข้อมูลทั้งหมดสามารถประมาณได้อย่างคร่าวๆ ว่าเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {n!}{(nk)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

สิ่งนี้สามารถนำไปใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่า ตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณ จำนวน เส้น kจุดที่คาดว่าจะเกิดขึ้นจากความบังเอิญในระนาบที่ปกคลุมด้วยจุดที่มีความหนาแน่นที่กำหนด สำหรับความกว้างของเส้นที่กำหนด จะเพิ่มขึ้นมากกว่าเชิงเส้นอย่างมากเมื่อเทียบกับขนาดของพื้นที่ที่พิจารณา เนื่องจาก จำนวนชุดค่าผสม ที่เป็นไปได้ของจุดที่เพิ่มขึ้นอย่างมหาศาลนั้น ชดเชยการเพิ่มขึ้นของความยากลำบากในการเรียงตัวของชุดค่าผสมใดๆ ก็ตามได้อย่างเหลือเฟือ

โดยใช้การวิเคราะห์ที่คล้ายกันแต่รอบคอบกว่า สามารถหาการแสดงออกที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับจำนวนการจัดเรียง 3 จุดที่มีความกว้างสูงสุดwและความยาวสูงสุดdที่คาดว่าจะเกิดขึ้นโดยบังเอิญในบรรดา จุด nจุดที่วางแบบสุ่มบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวL ได้ดังนี้ ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)}$

ถ้า d ≈ Lและk = 3 จะเห็นได้ว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นเหมือนกับการประมาณคร่าวๆ ข้างต้น โดยมีค่าคงที่ต่างกันเล็กน้อย

หากรวมผลกระทบที่ขอบ (การจัดแนวที่หายไปเมื่อข้ามขอบเขตของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เข้าไปด้วยแล้ว นิพจน์จะกลายเป็น

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

การวางนัยทั่วไปสำหรับ การจัดเรียงจุด k (โดยไม่สนใจผลกระทบขอบ) คือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-2)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

ซึ่งมีคุณสมบัติการปรับขนาดเชิงอะซิมโทติกที่คล้ายคลึงกันโดยประมาณกับการประมาณอย่างหยาบในส่วนก่อนหน้า ด้วยเหตุผลเดียวกัน คือ การระเบิดเชิงการจัดเรียงสำหรับn ขนาดใหญ่ จะบดบังผลกระทบของตัวแปรอื่นๆ

การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์แสดงให้เห็นว่าจุดบนระนาบมีแนวโน้มที่จะเรียงตัวในลักษณะคล้ายกับที่นักล่าเส้นพลังงานค้นพบ โดยมีจำนวนที่สอดคล้องกับการประมาณค่าขนาดข้างต้น ซึ่งบ่งชี้ว่าเส้นพลังงานอาจเกิดขึ้นโดยบังเอิญได้เช่นกัน ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นไม่ว่าจุดเหล่านั้นจะถูกสร้างขึ้นแบบสุ่มโดยคอมพิวเตอร์ หรือจากชุดข้อมูลของสิ่งธรรมดาทั่วไป เช่นร้านพิซซ่า หรือตู้โทรศัพท์ก็ตาม

บนแผนที่ที่มีความกว้างหลายสิบกิโลเมตร การค้นหาแนวเส้นตรงที่มีจุด 4 ถึง 8 จุดนั้นทำได้ง่าย แม้ในกลุ่มคุณลักษณะที่มีขนาดค่อนข้างเล็ก โดยที่w = 50 เมตร การเลือกพื้นที่ขนาดใหญ่ขึ้น กลุ่มคุณลักษณะที่หนาแน่นขึ้น หรือค่าw ที่มากขึ้น จะทำให้การค้นหาแนวเส้นตรงที่มีจุด 20 จุดขึ้นไปทำได้ง่ายขึ้น

• อะโพฟีเนีย
• ภาพลวงตาของการรวมกลุ่ม
• เหตุบังเอิญ
• ความสุ่มเชิงพื้นที่อย่างสมบูรณ์
• ตำแหน่งทั่วไป
• การจดจำรูปแบบ
• การวิเคราะห์แบบโพรครัสเตส
• ทฤษฎีของแรมซีย์เกี่ยวกับแนวคิดเรื่อง "เหตุการณ์บังเอิญที่หลีกเลี่ยงไม่ได้"
• การวิเคราะห์รูปร่างทางสถิติ