แทบจะแน่นอน

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นเกือบแน่นอน (บางครั้งย่อว่าas ) หากเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น 1 (โดยสัมพันธ์กับการวัดความน่าจะเป็น) ^{[ 1 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เซตของผลลัพธ์ที่เหตุการณ์นั้นไม่เกิดขึ้นมีความน่าจะเป็น 0 แม้ว่าเซตนั้นอาจจะไม่ว่างเปล่าก็ตาม แนวคิดนี้คล้ายคลึงกับแนวคิด " เกือบทุกที่ " ในทฤษฎีการวัดในการทดลองความน่าจะเป็นบนปริภูมิของตัวอย่าง ที่มีจำนวนจำกัด โดยมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับแต่ละผลลัพธ์ จะไม่มีความแตกต่างระหว่างเกือบแน่นอนและแน่นอน (เนื่องจากการมีความน่าจะเป็น 1 หมายถึงการรวมจุดตัวอย่าง ทั้งหมด ) อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างนี้จะมีความสำคัญเมื่อปริภูมิของตัวอย่างเป็นเซตอนันต์^{[ 2 ]}เนื่องจากเซตอนันต์สามารถมีเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าที่มีความน่าจะเป็น 0 ได้

ตัวอย่างบางส่วนของการใช้แนวคิดนี้ ได้แก่ กฎของจำนวนมากแบบ เข้มแข็งและสม่ำเสมอ ความต่อเนื่องของเส้นทางการเคลื่อนที่แบบบราวน์และทฤษฎีบทลิงอนันต์คำว่าเกือบแน่นอน (ac) และเกือบตลอดเวลา (aa) ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน คำ ว่า เกือบไม่เคยอธิบายถึงสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเกือบแน่นอนกล่าวคือ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเป็นศูนย์แทบจะไม่ เกิด ขึ้น เลย ^{[ 3 ]}

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

อนุญาต $(\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)$ เป็นปริภูมิความน่าจะ เป็น เหตุการณ์หนึ่ง $E\in {\mathcal {F}}$ จะเกิดขึ้นเกือบแน่นอนหาก $P(E)=1$ ในทำนองเดียวกัน $E$ จะเกิดขึ้นเกือบแน่นอนหากความน่าจะเป็นของ $E$ การไม่เกิดขึ้นคือศูนย์ : $P(E^{C})=0$ โดยทั่วไปแล้ว ชุดใด ๆ ก็ตาม $E\subseteq \Omega$ (ไม่จำเป็นต้องอยู่ใน ${\mathcal {F}}$ ) เกิดขึ้นเกือบแน่นอนหาก $E^{C}$ อยู่ในเซตว่าง : เซตย่อย $N$ ใน ${\mathcal {F}}$ โดยที่ $P(N)=0$ [ ⁴^]แนวคิดเรื่องความแน่นอนเกือบสมบูรณ์ขึ้นอยู่กับการวัดความน่าจะ^เป็น $P$ หากจำเป็นต้องเน้นย้ำความสัมพันธ์นี้ มักจะกล่าวว่าเหตุการณ์นั้น $E$ เกิดขึ้นP -เกือบแน่นอน หรือเกือบแน่นอน $\left(\!P\right)$ .

ตัวอย่างประกอบ

โดยทั่วไป เหตุการณ์หนึ่งๆ สามารถเกิดขึ้นได้ "เกือบแน่นอน" แม้ว่าพื้นที่ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องจะรวมถึงผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้นก็ตาม ดังตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็น

การปาลูกดอก

ตัวอย่างเช่น สถานการณ์การปาเป้าไปที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดหนึ่งหน่วย (สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 1) โดยที่เป้าจะตกกระทบจุดใดจุดหนึ่งในสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างแม่นยำเสมอ ในลักษณะที่แต่ละจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีโอกาสถูกเป้าเท่าๆ กัน เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 1 ความน่าจะเป็นที่เป้าจะตกกระทบส่วนย่อยใดๆ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเท่ากับพื้นที่ของส่วนย่อยนั้น ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่เป้าจะตกกระทบครึ่งขวาของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 0.5 เนื่องจากครึ่งขวามีพื้นที่ 0.5

ความน่าจะเป็นที่ลูกดอกจะปักลงบนจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยนั้นเป็นศูนย์ เนื่องจากพื้นที่ของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเป็นศูนย์ กล่าวคือ ลูกดอกแทบจะไม่เคยปักลงบนเส้นทแยงมุมเลย (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือแทบ จะ ไม่มีโอกาสปักลงบนเส้นทแยงมุมเลย) แม้ว่าเซตของจุดบนเส้นทแยงมุมจะไม่ว่างเปล่า และโอกาสที่จะปักลงบนจุดบนเส้นทแยงมุมนั้นก็ไม่น้อยไปกว่าโอกาสปักลงบนจุดอื่นๆ

การโยนเหรียญซ้ำๆ

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการโยนเหรียญ (ซึ่งอาจมีอคติ) ซึ่งสอดคล้องกับปริภูมิความน่าจะเป็น $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ โดยที่เหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น $\{H\}$ เกิดขึ้นหากพลิกหัว และ $\{T\}$ ถ้าเหรียญออกด้านก้อย สำหรับเหรียญนี้ สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะออกด้านหัวคือ $P(H)=p\in (0,1)$ จากนั้นจึงสรุปได้ว่า เหตุการณ์ตรงข้าม คือการโยนเหรียญแล้วได้ก้อย มีความน่าจะเป็น $P(T)=1-p$ .

มีการทำการทดลองโดยการโยนเหรียญซ้ำๆ โดยมีผลลัพธ์ดังนี้ $X_{1},X_{2},\ldots$ และสมมติฐานที่ว่าผลลัพธ์ของการโยนเหรียญแต่ละครั้งเป็นอิสระจากผลลัพธ์อื่นๆ ทั้งหมด (กล่าวคือเป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันทุกประการ ; iid )

ในกรณีนี้ ลำดับหัวและก้อยอนันต์ใดๆ ก็เป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลอง อย่างไรก็ตาม ลำดับหัวและก้อยอนันต์ใดๆ ก็ตาม มีโอกาสเป็นผลลัพธ์ที่แน่นอนของการทดลอง (อนันต์) เท่ากับ 0 เนื่องจาก สมมติฐานอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid ) หมายความว่า ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญแล้วได้หัวทั้งหมดเท่ากับ... $n$ การพลิกกลับนั้นง่ายมาก $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ การให้เช่า $n\rightarrow \infty$ ให้ผลลัพธ์เป็น 0 เนื่องจาก $p\in (0,1)$ โดยสมมติฐาน ผลลัพธ์จะเหมือนกันไม่ว่าเหรียญจะเอนเอียงไปทางด้านหัวมากแค่ไหน ตราบใดที่ $p$ อยู่ระหว่าง 0 และ 1 อย่างเคร่งครัด ในความเป็นจริง ผลลัพธ์เดียวกันนี้ยังคงใช้ได้แม้ในการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน ซึ่งอนุญาตให้มีความน่าจะเป็นเล็กน้อย^{[ 5 ]}

นอกจากนี้ เหตุการณ์ "ลำดับการโยนเหรียญมีอย่างน้อยหนึ่งรายการ" $T$ "จะเกิดขึ้นเกือบแน่นอน (เช่น ด้วยความน่าจะเป็น 1) ถ้าหากแทนที่จะโยนเหรียญเป็นจำนวนอนันต์ครั้ง การโยนเหรียญหยุดลงหลังจากเวลาจำกัด เช่น 1,000,000 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวทั้งหมดก็จะเป็น... $p^{1,000,000}$ ซึ่งจะไม่ใช่ 0 อีกต่อไป ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะได้เหรียญก้อยอย่างน้อยหนึ่งครั้ง $1-p^{1,000,000}$ ซึ่งจะไม่ใช่ 1 อีกต่อไป (กล่าวคือ เหตุการณ์นั้นจะไม่เกิดขึ้นเกือบแน่นอนอีกต่อไป)

เกือบจะแน่นอนในเชิงอสิมโทติก

ในการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกคุณสมบัติหนึ่งจะกล่าวได้ว่าเป็นจริงในเชิงอะซิมโทติกเกือบแน่นอน (aas) ถ้าความน่าจะเป็นลู่เข้าสู่ 1 เหนือลำดับของเซต ซึ่งเทียบเท่ากับการลู่เข้าในความน่าจะเป็นตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีจำนวน จำนวนขนาดใหญ่เป็นจำนวนประกอบใน เชิงอะซิมโทติกเกือบแน่นอน ตาม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะและในทฤษฎีกราฟสุ่มข้อความ " $G(n,p_{n})$ เชื่อมต่อ " (โดยที่ $G(n,p)$ หมายถึงกราฟบน $n$ จุดยอดที่มีความน่าจะเป็นของขอบ $p$ ) เป็นจริงเมื่อ สำหรับบางกรณี $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

^{[ 6 ]}

ในทฤษฎีจำนวนสิ่งนี้เรียกว่า " เกือบทั้งหมด " เช่น "จำนวนเกือบทั้งหมดเป็นจำนวนประกอบ" ในทำนองเดียวกัน ในทฤษฎีกราฟ บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่า "เกือบแน่นอน" ^{[ 7 ]}

ดูเพิ่มเติม

เกือบ
เกือบทุกที่แนวคิดที่สอดคล้องกันในทฤษฎีการวัด
การลู่เข้าของตัวแปรสุ่มสำหรับ "การลู่เข้าเกือบแน่นอน"
ด้วยความน่าจะเป็นสูง
กฎของครอมเวลล์ซึ่งกล่าวว่า ความน่าจะเป็นไม่ควรถูกกำหนดให้เป็นศูนย์หรือหนึ่งเกือบทุกกรณี
การกระจายแบบเสื่อมสภาพสำหรับ "ค่าคงที่เกือบแน่นอน"
ทฤษฎีลิงอนันต์ทฤษฎีที่ใช้คำศัพท์ที่กล่าวถึงข้างต้น
รายชื่อศัพท์เฉพาะทางคณิตศาสตร์

หมายเหตุ

↑ Weisstein, Eric W. "Almost Surely" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-16 .
↑ "เกือบแน่นอน - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . สืบค้นเมื่อ2019-11-16 .
↑ Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). ทฤษฎีแบบจำลองจำกัดและการประยุกต์ใช้ . Springer. หน้า232. ISBN 978-3-540-00428-8.
↑เจคอด, ฌอง; พรอตเตอร์ (2004) สิ่งจำเป็นเกี่ยวกับความน่าจะเป็น สปริงเกอร์. พี37 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-438717.
↑ Williamson, Timothy (2007-07-01). "ลำดับหัวอนันต์มีความน่าจะเป็นมากน้อยเพียงใด?"การวิเคราะห์ 67 ( 3): 173– 180. doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .
↑ Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (มกราคม 2549). "เกณฑ์ที่คมชัดสำหรับกราฟสุ่มที่มีสามเหลี่ยมสีเดียวในการระบายสีขอบทุกเส้น" Memoirs of the American Mathematical Society . 179 (845). AMS Bookstore: 3– 4. doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .
↑ สเปนเซอร์, โจเอล เอช. (2001). "0. ตัวอย่างเริ่มต้นสองตัวอย่าง"ตรรกะแปลกประหลาดของกราฟสุ่มอัลกอริทึมและคณิตศาสตร์เชิงผสม เล่มที่22 สปริงเกอร์ หน้า4 ISBN 978-3540416548.

[1] Weisstein, Eric W. "Almost Surely" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-16 .

[2] "เกือบแน่นอน - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . สืบค้นเมื่อ2019-11-16 .

[Gradel-3] Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). ทฤษฎีแบบจำลองจำกัดและการประยุกต์ใช้ . Springer. หน้า232. ISBN 978-3-540-00428-8.

[Jacod-4] เจคอด, ฌอง; พรอตเตอร์ (2004) สิ่งจำเป็นเกี่ยวกับความน่าจะเป็น สปริงเกอร์. พี37 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-438717.

[5] Williamson, Timothy (2007-07-01). "ลำดับหัวอนันต์มีความน่าจะเป็นมากน้อยเพียงใด?"การวิเคราะห์ 67 ( 3): 173– 180. doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .

[RandGraph-6] Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (มกราคม 2549). "เกณฑ์ที่คมชัดสำหรับกราฟสุ่มที่มีสามเหลี่ยมสีเดียวในการระบายสีขอบทุกเส้น" Memoirs of the American Mathematical Society . 179 (845). AMS Bookstore: 3– 4. doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .

[Springer-7] สเปนเซอร์, โจเอล เอช. (2001). "0. ตัวอย่างเริ่มต้นสองตัวอย่าง"ตรรกะแปลกประหลาดของกราฟสุ่มอัลกอริทึมและคณิตศาสตร์เชิงผสม เล่มที่22 สปริงเกอร์ หน้า4 ISBN 978-3540416548.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]