ในทางคณิตศาสตร์นิพจน์หรือสูตรในรูปแบบปิด คือ นิพจน์ หรือ สูตรที่สร้างขึ้นจากค่าคงที่ตัวแปรและเซตของฟังก์ชันพื้นฐานที่เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ( +, −, ×, /และเลขยกกำลังจำนวนเต็ม ) และการประกอบฟังก์ชันโดยทั่วไป ฟังก์ชันพื้นฐานที่อนุญาตให้มีในรูปแบบปิด ได้แก่รากที่ n ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ[ ^{a ] อย่างไรก็ตาม}เซตของฟังก์ชันพื้นฐานขึ้นอยู่กับบริบท ตัวอย่างเช่น หากเพิ่มรากพหุนามเข้าไปในฟังก์ชันพื้นฐาน ฟังก์ชันที่มีรูปแบบปิดจะเรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน

ปัญหา การหาคำตอบ ในรูปแบบปิด (closed-form problem)เกิดขึ้นเมื่อมีการนำวิธีการใหม่ๆ มาใช้ในการกำหนดนิยามของวัตถุทางคณิตศาสตร์เช่นลิมิตอนุกรมและปริพันธ์ กล่าวคือ เมื่อกำหนดนิยามของวัตถุด้วยเครื่องมือเหล่านั้นแล้ว ปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติก็คือ การหาคำตอบในรูปแบบปิดของวัตถุนั้น หากเป็นไปได้ กล่าวคือ การแสดงออกของวัตถุนั้นในรูปของวิธีการกำหนดนิยามแบบเดิม

สูตรกำลังสอง

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

เป็นรูปแบบปิดของคำตอบของสมการกำลังสอง ทั่วไป${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

โดยทั่วไปแล้ว ในบริบทของสมการพหุนามรูปแบบปิดของคำตอบคือคำตอบในรูปรากที่สองกล่าวคือ นิพจน์รูปแบบปิดซึ่งฟังก์ชันที่อนุญาตมีเพียงรากที่n และการดำเนินการทางฟิลด์เท่านั้น อันที่จริงทฤษฎีฟิลด์ช่วยให้สามารถแสดงได้ว่า หากคำตอบของสมการพหุนามมีรูปแบบปิดที่เกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลัง ลอการิทึม หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว คำตอบนั้นก็จะมีรูปแบบปิดที่ไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเหล่านี้ด้วย ${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

มีนิพจน์ในรูปรากสำหรับคำตอบทั้งหมดของสมการกำลังสาม (ดีกรี 3) และสมการกำลังสี่ (ดีกรี 4) ขนาดของนิพจน์เหล่านี้จะเพิ่มขึ้นอย่างมากตามดีกรี ซึ่งจำกัดประโยชน์ใช้สอยของนิพจน์เหล่านั้น

ในระดับที่สูงขึ้นทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีกล่าวว่ามีสมการบางสมการที่ไม่สามารถแสดงคำตอบในรูปรากได้ และดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบปิด ตัวอย่างง่ายๆ คือสมการ ทฤษฎีกาลัวส์นำเสนอวิธีการเชิงอัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจว่าสมการพหุนามเฉพาะนั้นสามารถแก้ได้ในรูปรากหรือไม่ ${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

การอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์โดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยการค้นหารูปแบบปิดสำหรับอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันที่ระบุโดยนิพจน์รูปแบบปิด ในบริบทนี้ ฟังก์ชันพื้นฐานที่ใช้ในการกำหนดรูปแบบปิดโดยทั่วไปคือลอการิทึมฟังก์ชันเลขชี้กำลังและรากพหุนามฟังก์ชันที่มีรูปแบบปิดสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานและรวมถึงฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน

ปัญหาพื้นฐานของการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์คือ เมื่อกำหนดฟังก์ชันพื้นฐานที่ระบุโดยนิพจน์แบบปิดแล้ว จะต้องตัดสินใจว่าอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันพื้นฐานหรือไม่ และถ้าใช่ จะต้องหานิพจน์แบบปิดสำหรับอนุพันธ์ผกผันนั้น

สำหรับฟังก์ชันตรรกยะกล่าวคือ สำหรับเศษส่วนของฟังก์ชันพหุนาม สอง ฟังก์ชัน อนุพันธ์ผกผันไม่จำเป็นต้องเป็นเศษส่วนตรรกยะเสมอไป แต่จะเป็นฟังก์ชันพื้นฐานที่อาจเกี่ยวข้องกับลอการิทึมและรากพหุนาม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะพิสูจน์ได้ด้วยการแยกเศษส่วนย่อยความจำเป็นของลอการิทึมและรากพหุนามแสดงให้เห็นได้จากสูตร

$${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$$

ซึ่งใช้ได้ก็ต่อเมื่อและเป็นพหุนามที่ไม่มีตัวประกอบร่วมและเป็นพหุ นาม ที่ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

การเปลี่ยนฟังก์ชันพื้นฐานให้รวมฟังก์ชันเพิ่มเติมอาจเปลี่ยนแปลงชุดสมการที่มีคำตอบในรูปแบบปิดได้ฟังก์ชันการกระจายสะสม จำนวนมาก ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปิดได้ เว้นแต่จะพิจารณาฟังก์ชันพิเศษเช่นฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนหรือฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน เป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังห้าได้หาก รวม ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ทั่วไป เข้าไปด้วย แม้ว่าคำตอบจะซับซ้อนทางพีชคณิตเกินกว่าจะนำไปใช้ได้จริง สำหรับการใช้งานคอมพิวเตอร์ในทางปฏิบัติหลายๆ อย่าง การสมมติว่าฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพิเศษอื่นๆ เป็นฟังก์ชันพื้นฐานนั้นสมเหตุสมผลอย่างยิ่ง เนื่องจากมีการใช้งานเชิงตัวเลขอย่างแพร่หลาย

คำนี้บางครั้งถูกเข้าใจว่าเป็นคำพ้องความหมายกับคำว่า "รูปแบบปิด" (ดู"Wolfram Mathworld" )แต่การใช้งานในลักษณะนี้ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ (ดูที่"Math Stackexchange" )ยังไม่ชัดเจนว่าคำนี้ถูกนำมาใช้จริงมากน้อยเพียงใด หรือเป็นผลมาจากเวอร์ชันก่อนหน้าของหน้านี้ที่ไม่ได้อ้างอิงแหล่งที่มา

สูตรสำเร็จรูปไม่รวมถึงอนุกรมอนันต์หรือเศษส่วนต่อเนื่องและไม่รวมถึงปริพันธ์หรือลิมิตอันที่จริง ตามทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัสฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆบนช่วงหนึ่งหน่วยสามารถแสดงได้ในรูปลิมิตของพหุนาม ดังนั้นกลุ่มของฟังก์ชันใดๆ ที่ประกอบด้วยพหุนามและปิดภายใต้ลิมิต จะต้องรวมถึงฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดด้วย

ในทำนองเดียวกันสมการหรือระบบสมการจะกล่าวได้ว่ามีคำตอบในรูปแบบปิดก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งคำตอบสามารถแสดงออกมาในรูปนิพจน์ปิดได้ และจะกล่าวได้ว่ามีคำตอบเชิงวิเคราะห์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งคำตอบสามารถแสดงออกมาในรูปนิพจน์เชิงวิเคราะห์ได้ มีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่าง " ฟังก์ชัน ในรูปแบบปิด " และ " จำนวนในรูปแบบปิด " ในการอภิปรายเกี่ยวกับ "คำตอบในรูปแบบปิด" ซึ่งได้กล่าวถึงไว้ใน ( Chow 1999 ) และด้านล่าง คำตอบ ในรูปแบบปิดหรือคำตอบเชิงวิเคราะห์บางครั้งเรียกว่าคำตอบที่ชัดเจน (ตรงข้ามกับสมการโดยนัย )

นิพจน์นี้ ไม่ได้อยู่ในรูปแบบปิดเนื่องจากการบวกเกี่ยวข้องกับการดำเนินการพื้นฐานจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม โดยการบวกอนุกรมเรขาคณิตนิพจน์นี้สามารถแสดงในรูปแบบปิดได้: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$$${\displaystyle f(x)=2x.}$$

อินทิกรัลของนิพจน์แบบปิดอาจจะสามารถแสดงเป็นนิพจน์แบบปิดได้หรือไม่ก็ได้ การศึกษาเรื่องนี้เรียกว่าทฤษฎีกาโลอิสเชิงอนุพันธ์โดยเปรียบเทียบกับทฤษฎีกาโลอิสเชิงพีชคณิต

ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสเชิงอนุพันธ์นั้นเป็นผลงานของโจเซฟ ลิอูวิลล์ในช่วงทศวรรษ 1830 และ 1840 จึงเรียกกันว่าทฤษฎีบทของลิอูวิลล์

ตัวอย่างมาตรฐานของฟังก์ชันพื้นฐานที่อนุพันธ์ผกผันไม่มีสูตรสำเร็จรูปคือ: ซึ่งอนุพันธ์ผกผันตัวหนึ่งคือ ( โดยมีค่าคงที่ตัวคูณ) ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน : $${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

สมการหรือระบบที่ซับซ้อนเกินกว่าจะหาคำตอบในรูปแบบปิดหรือเชิงวิเคราะห์ได้ มักจะสามารถวิเคราะห์ได้ด้วยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ (สำหรับตัวอย่างในฟิสิกส์ โปรดดู^{[ 2 ]} )

มีการเสนอ ฟิลด์ย่อยสามฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนCว่าเข้ารหัสแนวคิดของ "จำนวนในรูปแบบปิด" โดยเรียงลำดับจากทั่วไปน้อยไปมาก ได้แก่ จำนวน Liouvillian (ไม่ควรสับสนกับจำนวน Liouvilleในแง่ของการประมาณค่าเชิงตรรกะ) จำนวน EL และจำนวนพื้นฐานจำนวน Liouvillianซึ่งใช้สัญลักษณ์L เป็นฟิลด์ย่อย ที่ปิดทางพีชคณิตที่เล็กที่สุดของCซึ่งปิดภายใต้การยกกำลังและลอการิทึม (ในเชิงรูปธรรมคือจุดตัดของฟิลด์ย่อยดังกล่าวทั้งหมด) กล่าวคือ จำนวนที่เกี่ยวข้องกับ การยกกำลังและลอการิทึม อย่างชัดเจนแต่ยอมให้มีพหุนาม (รากของพหุนาม) ทั้งแบบชัดเจนและไม่ชัดเจนซึ่งนิยามไว้ใน ( Ritt 1948 , หน้า 60) เดิมที Lถูกเรียกว่าจำนวนพื้นฐานแต่ปัจจุบันคำนี้ใช้ในวงกว้างมากขึ้นเพื่ออ้างถึงจำนวนที่กำหนดอย่างชัดเจนหรือโดยนัยในแง่ของการดำเนินการทางพีชคณิต เลขยกกำลัง และลอการิทึม นิยามที่แคบกว่าที่เสนอใน ( Chow 1999 , หน้า 441–442) ซึ่งใช้สัญลักษณ์Eและเรียกว่าจำนวน ELคือฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดของCที่ปิดภายใต้การยกกำลังและลอการิทึม—ซึ่งไม่จำเป็นต้องปิดทางพีชคณิต และสอดคล้องกับ การดำเนินการทางพีชคณิต การยกกำลัง และลอการิทึม ที่ชัดเจน "EL" ย่อมาจาก "exponential–logarithmic" และเป็นคำย่อของ "elementary"

การที่จำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนในรูปแบบปิดหรือไม่นั้น เกี่ยวข้องกับว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่ ในทางทฤษฎีแล้ว จำนวนลิววิลเลียนและจำนวนพื้นฐานประกอบด้วยจำนวนพีชคณิตและรวมถึงจำนวนอดิศัยบางส่วน แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม จำนวน EL ไม่ได้ประกอบด้วยจำนวนพีชคณิตทั้งหมด แต่รวมถึงจำนวนอดิศัยบางส่วน จำนวนในรูปแบบปิดสามารถศึกษาได้ผ่านทฤษฎีจำนวนอดิศัยซึ่งผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทเจลฟอนด์-ชไนเดอร์และคำถามเปิดที่สำคัญคือข้อสันนิษฐานของชานูเอล

สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขนั้น โดยทั่วไปแล้วไม่จำเป็นต้องให้สมการอยู่ในรูปแบบปิด เนื่องจากลิมิตและปริพันธ์จำนวนมากสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม บางสมการไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด เช่น สมการที่แสดงถึงปัญหาของระบบสามวัตถุหรือแบบจำลองของฮอดจ์กิน-ฮักซ์ลีย์ดังนั้น สถานะในอนาคตของระบบเหล่านี้จึงต้องคำนวณด้วยวิธีเชิงตัวเลข

^{มีซอฟต์แวร์ที่พยายามค้นหา นิพจน์}แบบปิดสำหรับค่าตัวเลข รวมถึง RIES ^{[ 3 ]} identifyในMaple ^{[ 4 ]}และSymPy [ ^{5 ]} Plouffe's Inverter ^{[ 6 ]}และInverse Symbolic Calculator ^{[ 7 ]}

• คำตอบเชิงพีชคณิต  – คำตอบในรูปรากของสมการพหุนามหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์  – กระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยใช้คอมพิวเตอร์
• ฟังก์ชันพื้นฐาน  – ประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• การดำเนินการจำกัด  – การบวก การคูณ การหาร ...หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข  – วิธีการประมาณค่าเชิงตัวเลขหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• ฟังก์ชัน Liouvillian  – ฟังก์ชันพื้นฐานและปริพันธ์ที่ทำซ้ำอย่างจำกัด
• การถดถอยเชิงสัญลักษณ์  – ประเภทหนึ่งของการวิเคราะห์การถดถอย
• ปัญหาพีชคณิตโรงเรียนมัธยมของทาร์สกี้  – ปัญหาทางคณิตศาสตร์
• เทอม (ตรรกศาสตร์)  – ส่วนประกอบของสูตรทางคณิตศาสตร์หรือตรรกศาสตร์
• สูตรอ้างอิงตนเองของทัปเปอร์  – สูตรที่แสดงภาพตัวเองเมื่อวาดเป็นกราฟ

• ริทท์, เจเอฟ (1948), การอินทิเกรตในเทอมจำกัด
• Chow, Timothy Y. (พฤษภาคม 1999), "จำนวนในรูปแบบปิดคืออะไร?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440– 448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148 , JSTOR  2589148
• Jonathan M. Borwein และ Richard E. Crandall (มกราคม 2013), "แบบฟอร์มปิด: มันคืออะไรและทำไมเราถึงสนใจ", Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50– 65, doi : 10.1090/noti936

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "คำตอบในรูปแบบปิด" . MathWorld .
• โครงข่ายประสาทเทียมแบบต่อเนื่องในรูปแบบปิด