ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีไอเดียลคือทฤษฎีเกี่ยวกับไอเดียลในวงแหวนสลับที่ได้แม้ว่าแนวคิดเรื่องไอเดียลจะมีอยู่สำหรับวงแหวนที่ไม่สลับที่ได้ เช่นกัน แต่ทฤษฎีที่ครอบคลุมกว่ามากนั้นมีอยู่เฉพาะสำหรับวงแหวนสลับที่ได้เท่านั้น (ดังนั้นบทความนี้จึงพิจารณาเฉพาะไอเดียลในวงแหวนสลับที่ได้เท่านั้น)

ตลอดทั้งบทความนี้ คำว่า "วงแหวน" หมายถึงวงแหวนสลับที่ได้ โปรดดูบทความเรื่อง"อุดมคติ (ทฤษฎีวงแหวน)"สำหรับการดำเนินการพื้นฐาน เช่น การบวกหรือการคูณอุดมคติ ด้วย

ไอเดียลในพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือฟิลด์ (นั่นคือ ผลหารของวงแหวนพหุนามเหนือฟิลด์) มีพฤติกรรมที่น่าสนใจกว่าไอเดียลในวงแหวนสลับที่ทั่วไป ประการแรก เมื่อเปรียบเทียบกับกรณีทั่วไป ถ้า${\displaystyle A}$ถ้าเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือฟิลด์ แล้วรากของไอเดียลใน${\displaystyle A}$คือจุดตัดของอุดมคติสูงสุดทั้งหมดที่ประกอบด้วยอุดมคตินั้น (เพราะ${\displaystyle A}$(เป็นวงแหวนเจคอบสัน ) อาจมองได้ว่าเป็นส่วนขยายของทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตซึ่งเกี่ยวข้องกับกรณีที่${\displaystyle A}$เป็นวงแหวนพหุนาม

ถ้าIเป็นไอเดียลในริงAแล้ว I จะกำหนดโทโพโลยีบนA โดยที่เซตย่อยUของAเป็นเซตเปิด ถ้าสำหรับแต่ละxในU

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

สำหรับจำนวนเต็มบางจำนวน${\displaystyle n>0}$โทโพโลยีนี้เรียกว่า โทโพโลยี I -adic และเรียกอีกอย่างว่า โทโพโลยี a -adic ถ้า${\displaystyle I=aA}$ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ${\displaystyle a}$.

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณา...${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$วงแหวนของจำนวนเต็มและ${\displaystyle I=pA}$อุดมคติที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเฉพาะpสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม${\displaystyle x}$, กำหนด${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$เมื่อไร${\displaystyle x=p^{n}y}$,${\displaystyle y}$ไพรม์ถึง${\displaystyle p}$ดังนั้น จึงเห็นได้ชัดว่า

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

ที่ไหน${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |zx|_{p}<r\}}$หมายถึงทรงกลมเปิดที่มีรัศมี${\displaystyle r}$โดยมีศูนย์กลาง${\displaystyle x}$ดังนั้น${\displaystyle p}$-โทโพโลยีแบบอะดิกบน${\displaystyle \mathbb {Z} }$เหมือนกับ โทโพโลยีของ ปริภูมิเมตริกที่กำหนดโดย${\displaystyle d(x,y)=|xy|_{p}}$ในฐานะที่เป็นปริภูมิเมตริก${\displaystyle \mathbb {Z} }$สามารถทำให้สมบูรณ์ได้ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่ได้นั้นมีโครงสร้างเป็นวงแหวนที่ขยายโครงสร้างวงแหวนของ${\displaystyle \mathbb {Z} }$แหวนวงนี้เรียกว่า...${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$และเรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็มp - adic

ในโดเมนเดเดคินด์A (เช่น วงแหวนของจำนวนเต็มในฟิลด์จำนวน หรือวงแหวนพิกัดของเส้นโค้งเชิงเส้นเรียบ) ที่มีฟิลด์ของเศษส่วน${\displaystyle K}$อุดมคติ${\displaystyle I}$สามารถผกผันได้ในความหมายที่ว่า: มี อุดมคติเศษส่วนอยู่${\displaystyle I^{-1}}$(นั่นคือ โมดูลย่อย Aของ${\displaystyle K}$) โดยที่${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$โดยที่ผลคูณทางด้านซ้ายเป็นผลคูณของสับโมดูลของK กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อุดมคติเศษส่วนก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้ผล คูณผลหารของกลุ่มอุดมคติเศษส่วนโดยสับกลุ่มของอุดมคติหลักก็คือกลุ่มชั้นอุดมคติของA

ในวงแหวนทั่วไป ไอเดียลอาจไม่สามารถผกผันได้ (อันที่จริง แม้แต่นิยามของไอเดียลเศษส่วนก็ยังไม่ชัดเจน) อย่างไรก็ตาม บนโดเมนอินทิกรัลแบบ โนเธอร์เรียน ยังคงสามารถพัฒนาทฤษฎีบางอย่างที่ขยายสถานการณ์ในโดเมนเดเดคินด์ได้ ตัวอย่างเช่น บทที่ VII ของหนังสือพีชคณิตสลับที่ ของบูร์บากี ได้นำเสนอทฤษฎีดังกล่าว

กลุ่มคลาสในอุดมคติของAเมื่อสามารถกำหนดได้ จะมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกลุ่ม PicardของสเปกตรัมของA (บ่อยครั้งที่ทั้งสองเป็นกลุ่มเดียวกัน เช่น สำหรับโดเมน Dedekind)

ใน ทฤษฎี จำนวนเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะในทฤษฎีฟิลด์ชั้น การใช้กลุ่มชั้นอุดมคติซึ่ง เป็นการ วางนัยทั่วไปของกลุ่มชั้นอุดมคติ เรียกว่า กลุ่มชั้นอุดมคติจะสะดวกกว่า

มีการดำเนินการหลายอย่างบนไอเดียลที่ทำหน้าที่เหมือนตัวปิด การดำเนินการพื้นฐานที่สุดคือรากของไอเดียลอีกอย่างหนึ่งคือตัวปิดเชิงอินทิกรัลของไอเดียลโดยกำหนดให้มีการแยกส่วนหลักที่ไม่ซ้ำซ้อน${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$จุดตัดของ${\displaystyle Q_{i}}$ที่มีรากศัพท์น้อยที่สุด (ไม่มีรากศัพท์ของคำอื่น ๆ)${\displaystyle Q_{j}}$'s) ถูกกำหนดโดยอย่างเฉพาะเจาะจง${\displaystyle I}$จุดตัดนี้จึงเรียกว่าส่วนที่ไม่ผสมของ${\displaystyle I}$นอกจากนี้ยังเป็นการดำเนินการปิดอีกด้วย

อุดมคติที่ได้รับมา${\displaystyle I,J}$ในวงแหวน${\displaystyle A}$อุดมคติ

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

เรียกว่าความอิ่มตัวของ${\displaystyle I}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle J}$และเป็นการดำเนินการปิด (แนวคิดนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาโคฮอโมโลยีเฉพาะที่)

ดูเพิ่มเติมที่ การ ปิดสนิท

โคฮอโมโลยีเฉพาะที่บางครั้งสามารถใช้เพื่อหาข้อมูลเกี่ยวกับไอเดียลได้ ส่วนนี้สมมติว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับทฤษฎีชีฟและทฤษฎีสกีมอยู่บ้างแล้ว

อนุญาต${\displaystyle M}$เป็นโมดูลเหนือวงแหวน${\displaystyle R}$และ${\displaystyle I}$อุดมคติ แล้ว${\displaystyle M}$กำหนดชีฟ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$บน${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$(ข้อจำกัดของชีฟที่เกี่ยวข้องกับM ที่มีต่อ Y ) เมื่อพิจารณานิยามอย่างละเอียด จะเห็นได้ว่า:

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

ที่นี่,${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$เรียกว่าการแปลงในอุดมคติของ${\displaystyle M}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle I}$.

• ระบบพารามิเตอร์