ระยะห่างเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุม

ในทางดาราศาสตร์ระยะทางเชิงมุม (angular diameter distance ) คือระยะทาง (ในหน่วยความยาว ) ที่กำหนดโดยพิจารณาจากขนาดทางกายภาพของวัตถุ (ในหน่วยความยาวเช่นกัน) และขนาดเชิงมุม (ในหน่วยเรเดียน ) เมื่อมองจากโลก: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle d_{A}={\frac {x}{\theta }}}$$

ระยะทางเชิงมุมขึ้นอยู่กับสมมติฐานเกี่ยวกับจักรวาล ระยะทางเชิงมุมไปยังวัตถุที่ค่าเรดชิฟต์ , , แสดงอยู่ในรูปของระยะทางร่วมเคลื่อนที่ , ดังนี้: ${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle d_{A}={\frac {S_{k}(r)}{1+z}}}$$

โดยที่พิกัด FLRWถูกกำหนดไว้ดังนี้: ${\displaystyle S_{k}(r)}$

$${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}\sin \left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\r&\Omega _{k}=0\\\sinh \left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}r\right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}}$$

โดยที่ความหนาแน่นของความโค้งคือค่าใด และค่าพารามิเตอร์ฮับเบิลในปัจจุบัน คือค่าใด${\displaystyle \Omega _{k}}$${\displaystyle H_{0}}$

ในแบบจำลองแลมบ์ดา-ซีดีเอ็ม (Lambda-CDM)ซึ่งเป็นแบบจำลองทางเรขาคณิตที่ได้รับความนิยมในปัจจุบันของเอกภพของเรา "ระยะทางเชิงมุม" ของวัตถุเป็นค่าประมาณที่ดีของ "ระยะทางจริง" กล่าวคือระยะทางที่แท้จริงเมื่อแสงออกจากวัตถุ

ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดเชิงมุมกับการเลื่อนไปทางแดงอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างขนาดเชิงมุมที่สังเกตได้บนท้องฟ้าของวัตถุที่มีขนาดทางกายภาพที่กำหนด กับการเลื่อนไปทางแดง ของวัตถุนั้น จากโลก (ซึ่งเกี่ยวข้องกับระยะทางจากโลก) ในเรขาคณิตแบบยูคลิดความสัมพันธ์ระหว่างขนาดบนท้องฟ้าและระยะทางจากโลกจะแสดงได้ง่ายๆ ด้วยสมการ: ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}.}$$

โดยที่คือขนาดเชิงมุมของวัตถุบนท้องฟ้าคือขนาดของวัตถุ และคือระยะห่างจากวัตถุ เมื่อมีค่าเล็กน้อย ค่านี้จะประมาณได้ดังนี้: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \theta \approx {\frac {x}{d}}.}$$

อย่างไรก็ตาม ในแบบจำลอง ΛCDMความสัมพันธ์นั้นซับซ้อนกว่า ในแบบจำลองนี้ วัตถุที่มีค่าเรดชิฟต์มากกว่าประมาณ 1.5 จะปรากฏใหญ่ขึ้นบนท้องฟ้าเมื่อค่าเรดชิฟต์ เพิ่ม ขึ้น

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับระยะทางเชิงมุม ซึ่งเป็นระยะทางที่คำนวณได้ว่าวัตถุอยู่ห่างจากและโดยสมมติว่าเอกภพเป็น แบบ ยุค ลิด${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$

ความสัมพันธ์ ของMattigให้ระยะทางเชิงมุมเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นฟังก์ชันของเรดชิฟต์zสำหรับเอกภพที่มี Ω _Λ = 0 ^{[ 1 ]}คือค่าปัจจุบันของพารามิเตอร์การชะลอตัวซึ่งวัดการชะลอตัวของอัตราการขยายตัวของเอกภพ ในแบบจำลองที่ง่ายที่สุดสอดคล้องกับกรณีที่เอกภพจะขยายตัวไปตลอดกาลสำหรับแบบจำลองแบบปิดซึ่งในที่สุดจะหยุดการขยายตัวและหดตัวสอดคล้องกับกรณีวิกฤต – เอกภพที่จะสามารถขยายตัวไปจนถึงอนันต์ได้โดยไม่หดตัวกลับ ${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{0}<0.5}$${\displaystyle q_{0}>0.5}$${\displaystyle q_{0}=0.5}$

$${\displaystyle d_{A}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}}$$

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่ถูกต้อง เนื่องจากค่าของ Λ ≫ 0 และ≪ 0 ${\displaystyle q_{0}}$

ระยะทางเชิงมุมของเส้นผ่านศูนย์กลางจะถึงค่าสูงสุดที่ค่าเรดชิฟต์ค่าหนึ่ง (ในแบบจำลอง ΛCDM ค่านี้เกิดขึ้นที่) โดยที่ความชันของจะเปลี่ยนเครื่องหมายที่หรือเมื่อพิจารณาจากลักษณะที่ปรากฏเมื่อพล็อตบางครั้งเรียกว่าจุดเปลี่ยน (turnover point) ณ จุดนี้ ก็มีค่าสูงสุดเช่นกันในทางปฏิบัติ หมายความว่าหากเรามองวัตถุที่ค่าเรดชิฟต์เพิ่มขึ้น (และดังนั้นวัตถุที่อยู่ไกลออกไปเรื่อยๆ) วัตถุที่มีค่าเรดชิฟต์มากกว่าจะครอบคลุมมุมบนท้องฟ้าที่เล็กลงจนถึงค่าซึ่งหลังจากนั้นวัตถุจะเริ่มครอบคลุมมุมบนท้องฟ้าที่ใหญ่ขึ้นที่ค่าเรดชิฟต์ที่มากขึ้น จุดเปลี่ยนนี้ดูเหมือนขัดแย้งเพราะมันขัดกับสัญชาตญาณของเราที่ว่ายิ่งสิ่งใดอยู่ไกลออกไปเท่าใด มันก็จะยิ่งดูเล็กลงเท่านั้น ${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle z=z_{t}}$${\displaystyle z_{t}\approx 1.5}$${\displaystyle d_{A}(z)}$${\displaystyle z=z_{t}}$${\displaystyle \partial _{z}d_{A}>0~\forall z<z_{t}}$${\displaystyle \partial _{z}d_{A}<0~\forall z>z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle d_{A}=r_{Ht}=c/H_{t}}$${\displaystyle z=z_{t}}$

จุดเปลี่ยนเกิดขึ้นเนื่องจากการขยายตัวของจักรวาล และเนื่องจากเราสังเกตเห็นกาแล็กซีที่อยู่ไกลออกไปในสภาพที่พวกมันเคยเป็นในอดีต เนื่องจากจักรวาลกำลังขยายตัว วัตถุที่อยู่ห่างไกลกันสองดวงที่ปัจจุบันอยู่ห่างกันมาก เคยอยู่ใกล้กันมากกว่านี้ในอดีต เนื่องจากความเร็วแสงมีค่าจำกัด แสงที่เดินทางมาถึงเราจากวัตถุทั้งสองดวงนี้จึงต้องออกจากพวกมันมานานแล้ว ในตอนที่พวกมันอยู่ใกล้กันมากกว่า และครอบคลุมมุมมองบนท้องฟ้าที่กว้างกว่า ดังนั้น จุดเปลี่ยนจึงสามารถบอกเราได้เกี่ยวกับอัตราการขยายตัวของจักรวาล (หรือความสัมพันธ์ระหว่างอัตราการขยายตัวและความเร็วแสง หากเราไม่สมมติว่าความเร็วแสงคงที่)

• การวัดระยะทาง
• ไม้บรรทัดมาตรฐาน

• iCosmos: เครื่องคำนวณจักรวาลวิทยา (พร้อมการสร้างกราฟ)