ระยะเชิงมุมหรือระยะห่างเชิงมุมคือการวัดมุมระหว่างทิศทาง ของ เส้นตรงรังสีหรือเวกเตอร์สองเส้นโดยทั่วไปอยู่ในพื้นที่สามมิติหรือมุมศูนย์กลางที่เกิดจากรัศมีที่ลากผ่านสองจุดบนทรงกลมเมื่อรังสีเป็นเส้นสายตาจากผู้สังเกตไปยังสองจุดในอวกาศ จะเรียกว่าระยะทางปรากฏหรือ ระยะ ห่าง ปรากฏ

ระยะทางเชิงมุมปรากฏในคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะเรขาคณิตและตรีโกณมิติ ) และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ทุก แขนง (เช่นจลศาสตร์ ดาราศาสตร์และธรณีฟิสิกส์ ) ในกลศาสตร์คลาสสิกของวัตถุที่หมุน ระยะทางเชิงมุมปรากฏควบคู่ไปกับความเร็วเชิงมุมความเร่ง เชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมโมเมนต์ความเฉื่อยและแรงบิด

มุมที่วัดได้จะใช้หน่วยวัดมุมเช่นองศาหรือเรเดียนโดยใช้เครื่องมือ เช่นโกนิโอมิเตอร์หรือเครื่องมือทางแสงที่ออกแบบมาเป็นพิเศษให้ชี้ไปในทิศทางที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนและบันทึกมุมที่สอดคล้องกัน (เช่นกล้องโทรทัศน์ )

ในการหาอนุพันธ์ของสมการที่อธิบายระยะห่างเชิงมุมของจุดสองจุดที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลมเมื่อมองจากจุดศูนย์กลางของทรงกลม เราจะใช้ตัวอย่างของวัตถุทางดาราศาสตร์ สองชิ้น คือ และที่สังเกตได้จากโลก วัตถุและถูกกำหนดโดยพิกัดท้องฟ้าได้แก่ ไรต์แอสเซนชัน (RA) , ; และเดคลิเนชัน (dec) , . ให้แทนผู้สังเกตการณ์บนโลก ซึ่งสมมติว่าอยู่ที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมท้องฟ้าผลคูณดอทของเวกเตอร์และเท่ากับ: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbf {OA} }$${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

ซึ่งเทียบเท่ากับ:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

ในกรอบนี้ เวกเตอร์เอกลักษณ์สองตัวจะถูกแยกออกเป็น: ดังนั้น จึงได้ว่า: ${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad และ\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

นิพจน์ข้างต้นใช้ได้กับตำแหน่งใดๆ ของ A และ B บนทรงกลม ในทางดาราศาสตร์ มักเกิดกรณีที่วัตถุที่พิจารณาอยู่ใกล้กันมากบนท้องฟ้า เช่น ดาวฤกษ์ในขอบเขตการมองเห็นของกล้องโทรทรรศน์ ดาวคู่ ดาวบริวารของดาวเคราะห์ยักษ์ในระบบสุริยะเป็นต้นในกรณีที่π = เรเดียน ซึ่งหมายถึง π = 1 และπ = 1 เราสามารถพัฒนานิพจน์ข้างต้นและทำให้ง่ายขึ้นได้ ในการประมาณมุมเล็กๆในลำดับที่สอง นิพจน์ข้างต้นจะกลายเป็น: ${\displaystyle \theta \ll 1}$${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

ความหมาย

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$.

เมื่อพิจารณาจากและในการพัฒนาลำดับที่สอง จะได้ว่าดังนั้น ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

ถ้าเราพิจารณาเครื่องตรวจจับที่ถ่ายภาพบริเวณท้องฟ้าขนาดเล็ก (มิติเล็กกว่าหนึ่งเรเดียนมาก) โดยให้แกน x ชี้ขึ้น ขนานกับเส้นเมริเดียนของไรต์แอสเซนชันและแกน y อยู่ตามแนวขนานของเดคลิเนชันระยะห่างเชิงมุมสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

โปรดทราบว่าแกน x เท่ากับค่าเดคลิเนชัน ในขณะที่แกน y คือค่าไรต์แอสเซนชันที่ปรับเปลี่ยนโดยเนื่องจากส่วนของทรงกลมที่มีรัศมีที่ค่าเดคลิเนชัน (ละติจูด) คือ(ดูรูป) ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \cos \delta _{A}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

• มิลลิเรเดียน
• กราเดียน
• มุมชั่วโมง
• มุมกลาง
• มุมการหมุน
• เส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุม
• การกระจัดเชิงมุม
• ระยะทางวงกลมใหญ่
• ความคล้ายคลึงแบบโคไซน์ § ระยะทางเชิงมุมและความคล้ายคลึง