วิกิพีเดียภาษาไทย
กลับไปหน้าบทความ

อ่าน 3 นาที

พื้นผิวเลขคณิต

ใน ทางคณิตศาสตร์ พื้นผิวเลขคณิต บนโดเมน เดเดคิน ด์ R ที่มี ฟิลด์เศษส่วน K คือวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติตามธรรมเนียมหนึ่งมิติ และอีกมิติหนึ่งที่ได้มาจาก จำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุด...

พื้นผิวเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวเลขคณิตบนโดเมนเดเดคิน ด์ Rที่มีฟิลด์เศษส่วนKคือวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติตามธรรมเนียมหนึ่งมิติ และอีกมิติหนึ่งที่ได้มาจากจำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อRคือวงแหวนของจำนวนเต็มZสัญชาตญาณนี้ขึ้นอยู่กับสเปกตรัมของอุดมคติเฉพาะ Spec( Z ) ที่ถูกมองว่าคล้ายคลึงกับเส้นตรง พื้นผิวเลขคณิตเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์เมื่อเส้นโค้งพีชคณิตที่กำหนดบนKถูกมองว่ามีการลดรูปบนฟิลด์เศษเหลือR / Pโดยที่Pเป็นอุดมคติเฉพาะของRสำหรับP เกือบทั้งหมด และเป็นประโยชน์ในการระบุสิ่งที่ควรเกิดขึ้นเกี่ยวกับกระบวนการลดรูปเป็นR / Pเมื่อวิธีที่ง่ายที่สุดไม่สมเหตุสมผล

วัตถุดังกล่าวสามารถนิยามได้อย่างเป็นทางการมากขึ้นว่าเป็นR - scheme ที่มี เส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟที่เชื่อมต่อกัน และไม่เอกฐานซี/เค{\displaystyle C/K}สำหรับเส้นใยทั่วไปและการรวมกันของเส้นโค้ง (อาจลดรูปได้ เอกลักษณ์ หรือไม่ลดรูป)เหนือฟิลด์เศษเหลือที่เหมาะสมสำหรับเส้นใยพิเศษ

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

กล่าวโดยละเอียดคือ พื้นผิวทางคณิตศาสตร์เอส{\displaystyle S} (เหนือโดเมนเดเดคินด์)อาร์{\displaystyle R}) เป็นโครงร่างที่มีมอร์ฟิซึมพี:เอส→เอสพีอีซี(อาร์){\displaystyle p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)}โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:เอส{\displaystyle S}เป็นจำนวนเต็มปกติยอดเยี่ยมแบนราบและมีประเภทจำกัดเหนืออาร์{\displaystyle R}และไฟเบอร์ทั่วไปเป็นเส้นโค้งเชิงฉายที่ไม่เอกฐานและเชื่อมต่อกันเหนือเอฟรเอซี(อาร์){\displaystyle \mathrm {Frac} (R)}และสำหรับอื่นๆที{\displaystyle t}ในเอสพีอีซี(อาร์){\displaystyle \mathrm {Spec} (R)},

เอส×เอสพีอีซี(อาร์)เอสพีอีซี(เคที){\displaystyle S{\underset {\mathrm {Spec} (R)}{\times }}\mathrm {Spec} (k_{t})}

เป็นการรวมกันของเส้นโค้งเหนืออาร์/ที{\displaystyle R/t}[ 1 ]​

จากแผนการของเดเดคินด์

โดยทั่วไปแล้ว พื้นผิวเลขคณิตสามารถกำหนดได้เหนือแผนผังเดเดคินด์ ซึ่งตัวอย่างทั่วไปคือสเปกตรัมของวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน (ซึ่งเป็นกรณีข้างต้น) พื้นผิวเลขคณิตจึงเป็นพื้นผิวไฟเบอร์ปกติเหนือแผนผังเดเดคินด์มิติหนึ่ง[ 2 ]การวางนัยทั่วไปนี้มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ช่วยให้สามารถใช้เส้นโค้งฐานที่เรียบและฉายภาพเหนือฟิลด์จำกัดซึ่งมีความสำคัญในลักษณะ เฉพาะที่เป็น บวก

แหวนเหนือเดเดคินด์

พื้นผิวเลขคณิตเหนือโดเมนเดเดคินด์เป็นอนาล็อกเลขคณิตของพื้นผิวไฟเบอร์เหนือเส้นโค้งพีชคณิต[ 1 ]พื้นผิวเลขคณิตเกิดขึ้นเป็นหลักในบริบทของทฤษฎีจำนวน [ 3 ] ในความเป็นจริง เมื่อกำหนดเส้นโค้ง X{\displaystyle X}เหนือฟิลด์ตัวเลข เอส{\displaystyle S}มีพื้นผิวทางเลขคณิตอยู่เหนือวงแหวนของจำนวนเต็ม โอเค{\displaystyle O_{K}}ซึ่งเส้นใยทั่วไปนั้นมีโครงสร้างเหมือนกับ X{\displaystyle X}ในมิติที่สูงกว่านั้น อาจพิจารณารูปแบบการคำนวณเลขคณิตได้เช่นกัน[ 3 ]

คุณสมบัติ

มิติ

พื้นผิวเลขคณิตมีมิติ 2 และมิติสัมพัทธ์ 1 เหนือฐาน[ 1 ]

ตัวหาร

เราสามารถพัฒนาทฤษฎีของตัวหาร Weilบนพื้นผิวเลขคณิตได้ เนื่องจากวงแหวนเฉพาะที่ ทุกวง ที่มีมิติหนึ่งเป็นปกติกล่าวโดยย่อคือ "พื้นผิวเลขคณิตเป็นปกติในมิติร่วมหนึ่ง" [ 1 ] ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาใน เรขาคณิตพีชคณิตของ Hartshorne ตัวอย่างเช่น[ 4 ]

ตัวอย่าง

เส้นฉาย

เส้นโปรเจกทีฟเหนือโดเมนเดเดคินด์อาร์{\displaystyle R}เป็น พื้นผิวทางคณิตศาสตร์ ที่เรียบและเหมาะสมเหนืออาร์{\displaystyle R}เส้นใยเหนืออุดมคติสูงสุดใดๆม{\displaystyle {\mathfrak {m}}}คือเส้นฉายเหนือสนามอาร์/ม.{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}.}[ 5 ]

รุ่นมินิมอลทั่วไป

แบบจำลอง Néronสำหรับเส้นโค้งวงรีซึ่งในตอนแรกกำหนดไว้เหนือฟิลด์ทั่วโลกเป็นตัวอย่างของการสร้างนี้ และเป็นตัวอย่างของพื้นผิวเลขคณิตที่ได้รับการศึกษาอย่างมาก[ 6 ]มีความคล้ายคลึงกันอย่างมากกับไฟเบอร์วงรี

ทฤษฎีจุดตัด

เมื่อกำหนดตัวหารที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สองตัวที่แตกต่างกันและจุดปิดบนไฟเบอร์พิเศษของพื้นผิวเลขคณิต เราสามารถกำหนดดัชนีการตัดกันเฉพาะที่ของตัวหารที่จุดนั้นได้เช่นเดียวกับพื้นผิวพีชคณิตใดๆ กล่าวคือเป็นมิติของผลหารบางอย่างของวงแหวนเฉพาะที่จุดนั้น[ 7 ]แนวคิดคือการบวกดัชนีเฉพาะที่เหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ดัชนีการตัดกันทั่วโลก ทฤษฎีเริ่มแตกต่างจากพื้นผิวพีชคณิตเมื่อเราพยายามตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวหารที่เทียบเท่าเชิงเส้นให้ดัชนีการตัดกันเดียวกัน ซึ่งจะนำมาใช้ เช่น ในการคำนวณดัชนีการตัดกันของตัวหารกับตัวมันเอง สิ่งนี้ล้มเหลวเมื่อโครงร่างพื้นฐานของพื้นผิวเลขคณิตไม่ "กระชับ" ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ ความเทียบเท่าเชิงเส้นอาจทำให้จุดตัดกันเคลื่อนออกไปสู่อนันต์[ 8 ] วิธีแก้ปัญหาบางส่วนคือการจำกัดเซตของตัวหารที่เราต้องการตัดกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการบังคับให้ตัวหารอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็น "ไฟเบอร์" (ส่วนประกอบทุกตัวเป็นส่วนประกอบของไฟเบอร์พิเศษ) ช่วยให้เรากำหนดการจับคู่การตัดกันที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีคุณสมบัตินี้ รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ ที่พึงประสงค์[ 9 ]วิธีแก้ปัญหาอย่างสมบูรณ์ได้รับจากทฤษฎีของ Arakelov

ทฤษฎีอาราเคโลฟ

ทฤษฎี Arakelovเสนอวิธีแก้ปัญหาที่กล่าวมาข้างต้น โดยสัญชาตญาณ ไฟเบอร์จะถูกเพิ่มที่อนันต์โดยการเพิ่มไฟเบอร์สำหรับค่าสัมบูรณ์อาร์คิมีเดียนแต่ละค่าของKจากนั้นสามารถกำหนดการจับคู่จุดตัดเฉพาะที่ขยายไปยังกลุ่มตัวหารทั้งหมดได้ โดยมีความไม่แปรเปลี่ยนที่ต้องการภายใต้ความสมมูลเชิงเส้น[ 10 ]

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. 1 2 3 4 Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 311
  2. ↑ Liu, Q.เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและเส้นโค้งเลขคณิตสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 2002, บทที่ 8
  3. 1 2 Eisenbud, D. และ Harris, J.เรขาคณิตของโครงร่าง . Springer-Verlag, 1998, หน้า 81.
  4. ↑ Hartshorne, R.เรขาคณิตเชิงพีชคณิต . Springer-Verlag, 1977, หน้า 130.
  5. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 312
  6. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, บทที่ IV
  7. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 339
  8. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 340
  9. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 341
  10. ↑ Silverman, JHหัวข้อขั้นสูงในพีชคณิตของเส้นโค้งวงรี Springer, 1994, หน้า 344
ดึงข้อมูลมาจาก " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetic_surface&oldid=1353394339 "

สรุปเนื้อหา

ข้อมูลสำคัญจากบทความ

ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ พื้นผิวเลขคณิต

ใน ทางคณิตศาสตร์ พื้นผิวเลขคณิต บนโดเมน เดเดคิน ด์ R ที่มี ฟิลด์เศษส่วน K คือวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติตามธรรมเนียมหนึ่งมิติ และอีกมิติหนึ่งที่ได้มาจาก จำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุด...

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

กล่าวโดยละเอียดคือ พื้นผิวทางคณิตศาสตร์ เอส {\displaystyle S} (เหนือโดเมนเดเดคินด์) อาร์ {\displaystyle R} ) เป็น โครงร่าง ที่มี มอร์ฟิซึม พี : เอส → เอส พี อี ซี ( อาร์ ) {\displaystyle p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)} โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: เอส...

จากแผนการของเดเดคินด์

โดยทั่วไปแล้ว พื้นผิวเลขคณิตสามารถกำหนดได้เหนือแผนผังเดเดคินด์ ซึ่งตัวอย่างทั่วไปคือสเปกตรัมของ วงแหวนจำนวนเต็ม ของ ฟิลด์จำนวน (ซึ่งเป็นกรณีข้างต้น) พื้นผิวเลขคณิตจึงเป็นพื้นผิวไฟเบอร์ปกติเหนือแผนผังเดเดคินด์ มิติ หนึ่ง [ 2 ] การวางนัยทั่วไปนี้มีประโยชน์...

แหวนเหนือเดเดคินด์

พื้นผิวเลขคณิตเหนือโดเมนเดเดคินด์เป็นอนาล็อกเลขคณิตของพื้นผิวไฟเบอร์เหนือเส้นโค้งพีชคณิต [ 1 ] พื้นผิวเลขคณิตเกิดขึ้นเป็นหลักในบริบทของ ทฤษฎีจำนวน [ 3 ] ใน ความเป็นจริง เมื่อกำหนดเส้นโค้ง X {\displaystyle X} เหนือฟิลด์ตัวเลข เอส {\displaystyle S}...