ในทฤษฎีคิว ซึ่ง เป็น สาขาหนึ่งใน ทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการมาถึง^{[ 1 ]} (เรียกอีกอย่างว่าคุณสมบัติผู้สังเกตการณ์แบบสุ่มROPหรือคุณสมบัติผู้สังเกตการณ์งาน^{[ 2 ]} ) ระบุว่า "เมื่อมาถึงสถานี งานจะสังเกตระบบราวกับว่าอยู่ในสถานะคงที่ ณ เวลาใด ๆ ของระบบที่ไม่มีงานนั้น" ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทการมาถึงใช้ได้เสมอในเครือข่ายรูปแบบผลคูณแบบ เปิด ที่มีคิวไม่จำกัดที่แต่ละโหนด แต่ก็ใช้ได้ในเครือข่ายทั่วไปด้วยเช่นกัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการที่ทฤษฎีบทการมาถึงจะเป็นไปตามเงื่อนไขในเครือข่ายรูปแบบผลคูณนั้นกำหนดไว้ในรูปของความน่าจะเป็นของปาล์มใน Boucherie & Dijk, 1997 ^{[ 4 ]}ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ยังใช้ได้ในเครือข่ายปิดบางเครือข่าย ตัวอย่างของเครือข่ายรูปแบบผลคูณที่ทฤษฎีบทการมาถึงใช้ไม่ได้ ได้แก่ เครือข่าย Kingman แบบย้อนกลับได้^{[ 4 ] [ 5 ]}และเครือข่ายที่มีโปรโตคอลการหน่วงเวลา^{[ 3 ]}

Mitrani เสนอแนวคิดที่ว่า "สถานะของโหนดiตามที่งานที่เข้ามาเห็นนั้นมีการกระจายที่แตกต่างจากสถานะที่ผู้สังเกตการณ์แบบสุ่มเห็น ตัวอย่างเช่น งานที่เข้ามาไม่สามารถมองเห็นงาน ' k' ทั้งหมด ที่มีอยู่ในโหนดi ได้ เนื่องจากตัวมันเองไม่สามารถอยู่ในกลุ่มงานที่มีอยู่แล้วได้" ^{[ 6 ]}

สำหรับกระบวนการปัวซงคุณสมบัตินี้มักเรียกว่าคุณสมบัติ PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) และระบุว่าความน่าจะเป็นของสถานะที่ผู้สังเกตการณ์สุ่มภายนอกเห็นนั้นเท่ากับความน่าจะเป็นของสถานะที่ลูกค้าที่เข้ามาเห็น^{[ 7 ]}คุณสมบัตินี้ยังใช้ได้กับกรณีของกระบวนการปัวซงแบบสุ่มสองเท่าที่อนุญาตให้พารามิเตอร์อัตราเปลี่ยนแปลงไปตามสถานะ^{[ 8 ]}

ในเครือข่าย Jackson แบบเปิดที่ มี คิว mคิว ให้เขียนข้อมูล${\textstyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})}$สำหรับสถานะของเครือข่าย สมมติว่า${\textstyle \pi (\mathbf {n} )}$คือความน่าจะเป็นสมดุลที่เครือข่ายอยู่ในสถานะนั้น${\textstyle \mathbf {n} }$จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เครือข่ายจะอยู่ในสถานะดังกล่าว${\textstyle \mathbf {n} }$ก่อนที่จะเดินทางมาถึงโหนดใดๆ ก็เช่นกัน${\textstyle \pi (\mathbf {n} )}$.

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ไม่ได้มาจากทฤษฎีบทของแจ็กสันซึ่งพิจารณาสภาวะคงที่ในเวลาต่อเนื่อง ที่นี่เราสนใจเฉพาะจุดเวลาที่กำหนด นั่นคือเวลาที่มาถึง^{[ 9 ]}ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดย Sevcik และ Mitrani ในปี 1981 ^{[ 10 ]}

ในเครือข่าย Gordon–Newell แบบปิด ที่มี คิว mคิว ให้เขียนข้อมูล${\displaystyle {\mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})}}$สำหรับสถานะของเครือข่าย สำหรับลูกค้าที่กำลังเดินทางไปยังรัฐ${\displaystyle i}$, อนุญาต${\displaystyle {\alpha _{i}(\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i})}}$แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะ 'เห็น' สถานะของระบบก่อนเดินทางมาถึงทันที

${\displaystyle \mathbf {n} -\mathbf {e} _{i}=(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}-1,\ldots ,n_{m}).}$

ความน่าจะเป็นนี้${\displaystyle {\alpha _{i}(\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i})}}$ซึ่งเหมือนกับความน่าจะเป็นสภาวะคงที่สำหรับสถานะนั้น${\displaystyle {\mathbf {n} -\mathbf {e} _{i}}}$สำหรับเครือข่ายประเภทเดียวกันที่มีลูกค้าน้อยกว่าหนึ่งราย [ ^{11 ] ได้}รับการตีพิมพ์โดยอิสระโดย Sevcik และ Mitrani ^{[ 10 ]}และ Reiser และ Lavenberg ^{[ 12 ]}ซึ่งผลลัพธ์ดังกล่าวถูกนำมาใช้เพื่อพัฒนาการวิเคราะห์ค่าเฉลี่ย