ในทางคณิตศาสตร์ แผนที่การประกอบ ( assembly maps)เป็นแนวคิดสำคัญในโทโพโลยี เชิงเรขาคณิต จาก มุมมองทางทฤษฎี โฮโมโทปีแผนที่การประกอบคือ การประมาณค่า สากลของฟังก์ชัน คงที่โฮโมโทปี (homotopy invariant functor ) โดยทฤษฎีโฮโมโลยีจากทางซ้าย จากมุมมองทางเรขาคณิต แผนที่การประกอบสอดคล้องกับการ 'ประกอบ' ข้อมูลเฉพาะที่เหนือปริภูมิพารามิเตอร์เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ข้อมูลโดยรวม

แผนที่การประกอบสำหรับทฤษฎี Kและทฤษฎี L ทางพีชคณิตมีบทบาทสำคัญในโทโพโลยีของแมนิโฟลด์ มิติสูง เนื่องจากไฟเบอร์โฮโมโทปี ของแผนที่เหล่านี้ มีการตีความทางเรขาคณิตโดยตรง

เป็นผลลัพธ์คลาสสิกที่ว่า สำหรับทฤษฎีโฮโมโลยี ทั่วไปใดๆ บนหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ซึ่งถือว่าสมมูลกันในเชิงโฮโมโทปีกับคอมเพล็กซ์ CW ) จะมีสเปกตรัมอยู่เช่นนั้น ${\displaystyle h_{*}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle h_{*}(X)\cong \pi _{*}(X_{+}\wedge E),}$

ที่ไหน. ${\displaystyle X_{+}:=X\sqcup \{*\}}$

ฟังก์ชันจากปริภูมิไปยังสเปกตรัมมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X\mapsto X_{+}\wedge E}$

• มันมีคุณสมบัติคงรูปภายใต้การแปลงโฮโมโทปี (รักษาความสมมูลภายใต้การแปลงโฮโมโทปี) ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่ามันไม่คงรูปภายใต้การแปลงโฮโมโทปี${\displaystyle h_{*}}$
• มันรักษาสี่เหลี่ยมจัตุรัสร่วมคาร์ทีเซียนโฮโมโทปีไว้ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นว่ามีลำดับ Mayer-Vietorisซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากับการตัดออก${\displaystyle h_{*}}$
• มันรักษาผลคูณ ร่วมที่กำหนดขึ้นเอง ซึ่งสะท้อนถึงสัจพจน์การรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกันของ${\displaystyle h_{*}}$

ฟังก์ชันที่แปลงจากปริภูมิไปเป็นสเปกตรัมซึ่งมีคุณสมบัติเหล่านี้เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์ซิซีฟ (excisive )

ทีนี้ สมมติว่าเป็นฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮโมโทปี ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันแบบตัดออก (excisive functor) แผนที่การประกอบ (assembly map) คือการแปลงตามธรรมชาติจากฟังก์ชันแบบตัดออกบางตัวไปยังโดยที่เป็นสมมูลโฮโมโทปี ${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha \colon F^{\%}\to F}$${\displaystyle F^{\%}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\%}(*)\to F(*)}$

ถ้าเราใช้สัญลักษณ์ แทนทฤษฎีโฮโมโลยีที่เกี่ยวข้อง ก็จะสรุปได้ว่า การแปลงธรรมชาติที่เหนี่ยวนำของกลุ่มอาเบเลียน แบบแบ่งระดับ คือ การแปลงสากลจากทฤษฎีโฮโมโลยีหนึ่งไปยัง อีกทฤษฎี หนึ่ง กล่าวคือ การแปลงอื่นใดจากทฤษฎีโฮโมโลยีบางทฤษฎี สามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันผ่านการแปลงของทฤษฎีโฮโมโลยี ${\displaystyle h_{*}:=\pi _{*}\circ F^{\%}}$${\displaystyle h_{*}\to \pi _{*}\circ F}$${\displaystyle \pi _{*}\circ F}$${\displaystyle k_{*}\to \pi _{*}\circ F}$${\displaystyle k_{*}}$${\displaystyle k_{*}\to h_{*}}$

แผนที่การประกอบ (Assembly maps) มีอยู่สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามหลักโฮโมโทปี (Homotopy invariant functor) ใดๆ โดยใช้การสร้างเชิงทฤษฎีโฮโมโทปีที่เรียบง่าย

ผลสืบเนื่องมาจากลำดับ Mayer-Vietorisค่าของฟังก์ชันตัดออกบนปริภูมิหนึ่งๆจะขึ้นอยู่กับค่าของมันบนปริภูมิย่อย 'เล็กๆ' ของปริภูมินั้นเท่านั้นพร้อมกับความรู้เกี่ยวกับวิธีที่ปริภูมิย่อยเล็กๆ เหล่านั้นตัดกัน ในการแสดงแบบวัฏจักรของทฤษฎีโฮโมโลยีที่เกี่ยวข้อง หมายความว่าวัฏจักรทั้งหมดจะต้องสามารถแสดงได้ด้วยวัฏจักรเล็กๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับโฮโมโลยีเอกฐานคุณสมบัติการตัดออกได้รับการพิสูจน์โดยการแบ่งย่อยของซิมเพล็กซ์ซึ่งได้ผลรวมของซิมเพล็กซ์เล็กๆ ที่แสดงถึงคลาสโฮโมโลยีใดๆ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ด้วยแนวคิดนี้ สำหรับฟังก์ชันคงที่แบบโฮโมโทปีบางตัวที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตัดออก ทฤษฎีตัดออกที่สอดคล้องกันอาจถูกสร้างขึ้นโดยการกำหนด 'เงื่อนไขควบคุม' ซึ่งนำไปสู่สาขาโทโพโลยีแบบควบคุมในภาพนี้ แผนที่การประกอบเป็นแผนที่ 'ลืมการควบคุม' กล่าวคือ แผนที่เหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยการลืมเงื่อนไขควบคุม

แผนที่การประกอบ (Assembly maps) ถูกศึกษาในโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตเป็นหลักสำหรับฟังก์ชันสองตัว คือ ทฤษฎี L ทางพีชคณิตของและทฤษฎี K ทางพีชคณิตของปริภูมิของในความเป็นจริง เส้นใยโฮโมโทปีของแผนที่การประกอบทั้งสองมีการตีความทางเรขาคณิตโดยตรงเมื่อเป็นแมนิโฟลด์เชิงโทโพโลยีแบบกระชับ ดังนั้น ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตของแมนิโฟลด์เชิงโทโพโลยีแบบกระชับอาจได้มาจากการศึกษา ทฤษฎี และและแผนที่การประกอบที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle L(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

ในกรณีของทฤษฎี -theory ไฟเบอร์โฮโมโทปีของแผนที่การประกอบที่สอดคล้องกันซึ่งประเมินค่าที่แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบกระชับจะเทียบเท่ากับปริภูมิของโครงสร้างบล็อกของยิ่งไปกว่านั้น ลำดับไฟเบอร์ ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\%}(M)}$${\displaystyle L^{\%}(M)\to L(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle L_{\%}(M)\to L^{\%}(M)\to L(M)}$

เหนี่ยวนำลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปีซึ่งอาจระบุได้ด้วยลำดับที่แน่นอนของการผ่าตัดของสิ่งนี้อาจเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีการผ่าตัดและได้รับการพัฒนาต่อมาโดยWilliam Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan , CTC Wall , Frank QuinnและAndrew Ranicki ^{[ 1 ]}${\displaystyle M}$

สำหรับทฤษฎี -theory ไฟเบอร์โฮโมโทปีของแผนที่การประกอบที่สอดคล้องกันนั้นสมมูลกันทางโฮโมโทปีกับปริภูมิของh-cobordism ที่เสถียร บนข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าทฤษฎีบท h-cobordism พาราเมตริกที่เสถียรซึ่งพิสูจน์โดย Waldhausen-Jahren-Rognes อาจมองได้ว่าเป็นเวอร์ชันพาราเมตริกของทฤษฎีบทคลาสสิกที่ระบุว่าชั้นสมมูลของ h-cobordism บนมี ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับองค์ประกอบในกลุ่ม Whiteheadของ${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\%}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{1}(M)}$