ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการพลิก (flips)และ การ สลับตำแหน่ง (flops) เป็นการดำเนินการ ผ่าตัดในมิติร่วม 2 ที่เกิดขึ้นในโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำซึ่งกำหนดโดยการระเบิดตามวงแหวนแคนอนิกเชิงสัมพัทธ์ในมิติ 3 การพลิกถูกใช้เพื่อสร้างแบบจำลองขั้นต่ำ และ แบบจำลองขั้นต่ำ ที่เทียบเท่ากันแบบไบราชันนัล สองแบบใด ๆ จะเชื่อมต่อกันด้วยลำดับของการสลับตำแหน่ง มีการคาดการณ์ว่าสิ่งเดียวกันนี้จะเป็นจริงในมิติที่สูงกว่า

โปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำสามารถสรุปได้อย่างสั้น ๆ ดังนี้: เมื่อกำหนดวาไรตี้หนึ่ง ๆเราจะสร้างลำดับของการหดตัวซึ่งแต่ละการหดตัวจะหดตัวเส้นโค้งบางเส้นที่ตัวหารเชิงแคนอนิกเป็นลบ ในที่สุดควรจะกลายเป็นnef (อย่างน้อยในกรณีที่มิติโคไดระ ไม่เป็นลบ ) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ต้องการ ปัญหาทางเทคนิคที่สำคัญคือ ในบางช่วง วาไรตี้อาจกลายเป็น 'เอกลักษณ์เกินไป' ในแง่ที่ว่าตัวหารเชิงแคนอนิกไม่ใช่ตัวหารคาร์เทียร์ อีกต่อไป ดังนั้นจำนวนจุดตัดกับเส้นโค้งจึงไม่สามารถกำหนดได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle K_{X_{n}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$${\displaystyle C}$

วิธีแก้ปัญหา (เชิงคาดการณ์) สำหรับปัญหานี้คือการพลิกกลับเมื่อกำหนดปัญหาดังข้างต้น การพลิกกลับของเป็นแผนที่ไบราชันนัล (อันที่จริงคือไอโซมอร์ฟิซึมในมิติร่วม 1) ไปยังวาไรตี้ที่มีจุดเอกฐาน 'ดีกว่า' ของดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดและดำเนินการต่อไปได้^{[ 1 ]}${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i+1}=X_{i}^{+}}$

ปัญหาสำคัญสองประการเกี่ยวกับการพลิกคือ การพิสูจน์ว่าการพลิกมีอยู่จริง และการพิสูจน์ว่าลำดับการพลิกนั้นไม่สามารถเป็นอนันต์ได้ หากสามารถแก้ปัญหาทั้งสองนี้ได้ โปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำก็สามารถดำเนินการได้ การมีอยู่ของการพลิกสำหรับ 3 เท่าได้รับการพิสูจน์โดยMori (1988)การมีอยู่ของการพลิกแบบลอการิทึม ซึ่งเป็นการพลิกประเภททั่วไปมากกว่า ในมิติสามและสี่ ได้รับการพิสูจน์โดย Shokurov ( 1993 , 2003 ) ซึ่งงานของเขาเป็นพื้นฐานสำคัญในการแก้ปัญหาการมีอยู่ของการพลิกแบบลอการิทึมและปัญหาอื่นๆ ในมิติที่สูงกว่า การมีอยู่ของการพลิกแบบลอการิทึมในมิติที่สูงกว่าได้รับการสรุปโดย (Caucher Birkar, Paolo Cascini & Christopher D. Hacon et al.  2010 ) ในทางกลับกัน ปัญหาของการสิ้นสุด—การพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับการพลิกที่เป็นอนันต์—ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในมิติที่มากกว่า 3

ถ้าf เป็นมอร์ฟิซึม และKคือบันเดิลแคนอนิกของXแล้ววงแหวนแคนอนิกสัมพัทธ์ของfคือ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))}$

และเป็นชีฟของพีชคณิตแบบแบ่งระดับเหนือชีฟของฟังก์ชันปกติบนYการระเบิด ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{Y}}$

${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y}$

การส่งข้อมูล จากY ไปยัง Y ตามวงแหวนแคนอนิกเชิงสัมพัทธ์เรียกว่ามอร์ฟิซึมไปยังYถ้าวงแหวนแคนอนิกเชิงสัมพัทธ์ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด (ในฐานะพีชคณิตเหนือ) แล้วมอร์ฟิซึมนี้เรียกว่าฟลิปของถ้า K มีความกว้างขวางเชิงสัมพัทธ์ และเรียกว่าฟลอปของถ้าKมีความไม่สำคัญเชิงสัมพัทธ์ (บางครั้งมอร์ฟิซึมไบราชันนัลที่เหนี่ยวนำจากไปยัง เรียกว่าฟลิปหรือฟลอป) ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{Y}}$${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$

ในการใช้งานมักจะเป็นการหดตัวเล็กน้อยของรังสีสุดขั้ว ซึ่งหมายถึงคุณสมบัติเพิ่มเติมหลายประการ: ${\displaystyle f}$

• ชุดพิเศษของแผนที่ทั้งสองชุดมีมิติร่วมอย่างน้อย 2${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{+}}$
• ${\displaystyle X}$และ มีจุดเอกฐาน ที่ไม่รุนแรงเท่านั้น เช่นจุดเอกฐานปลายทาง${\displaystyle X^{+}}$
• ${\displaystyle f}$และเป็นมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลบนYซึ่งเป็นเวกเตอร์ปกติและเวกเตอร์เชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle f^{+}}$
• เส้นโค้งทั้งหมดในเส้นใยของและเป็นสัดส่วนเชิงตัวเลขกัน${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{+}}$

ตัวอย่างแรกของฟล็อป ซึ่งรู้จักกันในชื่อฟล็อปของอาติยาห์พบใน ( Atiyah 1958 ) ให้Yเป็นศูนย์ของในและให้Vเป็นการระเบิดของYที่จุดกำเนิด ตำแหน่งพิเศษของการระเบิดนี้มีลักษณะสมมาตรกับและสามารถระเบิดลงไปเป็น ได้สองวิธีที่แตกต่างกัน ทำให้เกิดวาไรตี้และแผนที่ไบราชันนัลตามธรรมชาติจากไปคือฟล็อปของอาติยาห์ ${\displaystyle xy=zw}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

Reid (1983)ได้นำเสนอเจดีย์ของ Reidซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของ flop ของ Atiyah โดยแทนที่Yด้วยศูนย์ของ ${\displaystyle xy=(z+w^{k})(zw^{k})}$