ในทฤษฎีการควบคุม backstepping เป็นเทคนิคที่พัฒนาขึ้นราวปี 1990 โดยPetar V. Kokotovicและคนอื่นๆ^{[ 1 ] [ 2 ]}สำหรับการออกแบบ การควบคุม ที่ทำให้เสถียร สำหรับ ระบบไดนามิกแบบไม่เชิงเส้น ประเภทพิเศษระบบเหล่านี้สร้างขึ้นจากระบบย่อยที่แผ่ออกมาจากระบบย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งสามารถทำให้เสถียรได้โดยใช้วิธีอื่น เนื่องจาก โครงสร้าง แบบวนซ้ำ นี้ นักออกแบบสามารถเริ่มต้นกระบวนการออกแบบที่ระบบที่เสถียรที่ทราบแล้วและ "ย้อนกลับ" ตัวควบคุมใหม่ที่ทำให้ระบบย่อยภายนอกแต่ละระบบเสถียรขึ้นเรื่อยๆ กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อถึงการควบคุมภายนอกขั้นสุดท้าย ดังนั้น กระบวนการนี้จึงเรียกว่าbackstepping ^{[ 3 ]}

แนวทาง backstepping ให้ วิธี การเรียกซ้ำเพื่อรักษาเสถียรภาพของจุดกำเนิดของระบบในรูปแบบการป้อนกลับที่เข้มงวดนั่นคือ พิจารณาระบบในรูปแบบ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}&=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}__{1}&=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\\{\dot {z}__{2}&=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}__{i}&=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{i})z_{i+1}\quad {\text{ สำหรับ }}1\leq i<k-1\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-1}&=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}&=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}\end{aligned}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$กับ,${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}}$เป็นปริมาณสเกลาร์
• uคือ ค่าอินพุต แบบสเกลาร์ของระบบ
• ${\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$หายไปที่จุดกำเนิด (เช่น)${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$มีค่าไม่เป็นศูนย์ในโดเมนที่สนใจ (เช่นสำหรับ)${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$

นอกจากนี้ ให้ถือว่าระบบย่อยนั้น

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

ระบบ นี้มีเสถียรภาพอยู่ที่จุดกำเนิด (เช่น) โดยการควบคุมที่ทราบค่า บางอย่าง ซึ่งทำให้นอกจากนี้ยังถือว่า ทราบ ฟังก์ชัน Lyapunovสำหรับระบบย่อยที่มีเสถียรภาพนี้ด้วย กล่าวคือ ระบบย่อย x นี้ มีเสถียรภาพโดยวิธีอื่น และการใช้ backstepping จะขยายเสถียรภาพไปยังบริเวณรอบๆ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$${\displaystyle V_{x}}$${\displaystyle {\textbf {z}}}$

ในระบบที่ มีรูปแบบการป้อนกลับที่เข้มงวดนี้ โดย มีระบบย่อย xที่เสถียรเป็นศูนย์กลาง

• อินพุตควบคุมu ที่ออกแบบด้วย backstepping มีผลในการรักษาเสถียรภาพของสถานะได้ทันทีที่สุด${\displaystyle z_{n}}$
• จากนั้น รัฐก็ทำหน้าที่เสมือนตัวควบคุมเสถียรภาพของรัฐก่อนหน้านั้น${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle z_{n-1}}$
• กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งแต่ละสถานะมีเสถียรภาพโดย "การ ควบคุม" ที่สมมติขึ้น${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle z_{i+1}}$

วิธี การแบบ backsteppingจะกำหนดวิธีการรักษาเสถียรภาพของ ระบบย่อย xโดยใช้และจากนั้นจึงดำเนินการกำหนดวิธีการสร้างไดรฟ์ สถานะถัดไป เพื่อควบคุมที่จำเป็นในการรักษาเสถียรภาพของ xดังนั้น กระบวนการนี้จึง "ถอยหลัง" จากxออกจากระบบรูปแบบป้อนกลับที่เข้มงวด จนกว่าจะได้ออกแบบ ตัวควบคุมขั้นสุดท้าย u${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{1}}$

1. กำหนดให้ระบบย่อยที่มีขนาดเล็กกว่า (เช่น ระบบย่อยลำดับต่ำกว่า)

   ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

   ระบบนี้ มีเสถียรภาพอยู่ที่จุดกำเนิดแล้วด้วยการควบคุมบางอย่างโดยที่นั่นคือ การเลือกค่า เพื่อทำให้ระบบนี้มีเสถียรภาพจะต้องเกิดขึ้นโดยใช้วิธีอื่น นอกจากนี้ยังถือว่า ทราบ ฟังก์ชัน Lyapunovสำหรับระบบย่อยที่มีเสถียรภาพนี้แล้ว Backstepping เป็นวิธีหนึ่งในการขยายเสถียรภาพที่ควบคุมได้ของระบบย่อยนี้ไปยังระบบที่ใหญ่กว่า${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle V_{x}}$

2. มีการออกแบบ ระบบควบคุมเพื่อให้ระบบทำงาน ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$

   ระบบมีเสถียรภาพเพื่อให้เป็นไปตามการควบคุมที่ต้องการการออกแบบการควบคุมนี้อิงตามฟังก์ชัน Lyapunov เสริมที่เป็นตัวเลือก ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle u_{x}}$

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

   สามารถเลือกค่าควบคุม เพื่อเบี่ยงเบน ออกจากศูนย์ได้${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle {\dot {V}}_{1}}$

3. มีการออกแบบ ระบบควบคุมเพื่อให้ระบบทำงาน ${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$

   ${\displaystyle {\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})}$

   ระบบมีเสถียรภาพเพื่อให้เป็นไปตามการควบคุมที่ต้องการการออกแบบการควบคุมนี้อิงตามฟังก์ชัน Lyapunov เสริมที่เป็นตัวเลือก ${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle u_{1}}$

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}))^{2}}$

   สามารถเลือกค่าควบคุม เพื่อเบี่ยงเบน ออกจากศูนย์ได้${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle {\dot {V}}_{2}}$

4. กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกว่าจะทราบค่า uที่แท้จริงและ
   • ค่าควบคุมจริงuจะคงที่ไปสู่ค่าควบคุมเสมือน${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle u_{k-1}}$
   • การควบคุมเสมือนจะคงตัวอยู่ที่การควบคุมเสมือน${\displaystyle u_{k-1}}$${\displaystyle z_{k-1}}$${\displaystyle u_{k-2}}$
   • การควบคุมเสมือนจะคงตัวอยู่ที่การควบคุมเสมือน${\displaystyle u_{k-2}}$${\displaystyle z_{k-2}}$${\displaystyle u_{k-3}}$
   • ...
   • การควบคุมเสมือนจะคงตัวอยู่ที่การควบคุมเสมือน${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle u_{1}}$
   • การควบคุมเสมือนจะคงตัวอยู่ที่การควบคุมเสมือน${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle u_{x}}$
   • การควบคุมสมมุติ ทำให้ ค่า xคงที่อยู่ที่จุดกำเนิด${\displaystyle u_{x}}$

กระบวนการนี้เรียกว่าการถอยกลับ (backstepping)เพราะเริ่มต้นด้วยข้อกำหนดด้านเสถียรภาพของระบบย่อยภายในบางส่วน และค่อยๆถอยกลับออกจากระบบ โดยรักษาเสถียรภาพในแต่ละขั้นตอน เนื่องจาก

• ${\displaystyle f_{i}}$หายไปที่จุดกำเนิดสำหรับ,${\displaystyle 0\leq i\leq k}$
• ${\displaystyle g_{i}}$มีค่าไม่เป็นศูนย์สำหรับ,${\displaystyle 1\leq i\leq k}$
• การควบคุมที่กำหนดนั้นมี${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$

ดังนั้น ระบบที่ได้จะมีจุดสมดุลที่จุดกำเนิด (กล่าวคือ ที่ซึ่ง, , , ..., , และ) ซึ่งมี เสถียรภาพเชิงอะสิ ม โทติกทั่วโลก${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle z_{1}=0}$${\displaystyle z_{2}=0}$${\displaystyle z_{k-1}=0}$${\displaystyle z_{k}=0}$

ก่อนที่จะอธิบายขั้นตอนการย้อนกลับ (backstepping) สำหรับระบบพลวัตแบบป้อนกลับอย่างเข้มงวด ทั่วไป เราควรกล่าวถึงวิธีการสำหรับระบบแบบป้อนกลับอย่างเข้มงวดกลุ่มเล็กกว่าก่อน ระบบเหล่านี้เชื่อมต่อตัวรวมสัญญาณ (integrator) หลายตัวเข้ากับอินพุตของระบบที่มีกฎการควบคุมการรักษาเสถียรภาพด้วยการป้อนกลับที่ทราบแล้ว ดังนั้นวิธีการรักษาเสถียรภาพนี้จึงเรียกว่า การย้อนกลับแบบตัวรวมสัญญาณ (integrator backstepping)ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย วิธีการย้อนกลับแบบตัวรวมสัญญาณสามารถขยายไปใช้กับระบบแบบป้อนกลับอย่างเข้มงวดทั้งหมดได้

พิจารณาระบบพลวัต

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

1

โดยที่และเป็นค่าสเกลาร์ ระบบนี้เป็นการเชื่อมต่อแบบเรียงลำดับของตัวรวมสัญญาณกับ ระบบย่อย x (กล่าวคือ อินพุตuเข้าสู่ตัวรวมสัญญาณ และค่าอินทิกรัลเข้าสู่ ระบบย่อย x ) ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$

เราสมมติว่าและดังนั้นถ้าและแล้ว ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {0} )=0}$${\displaystyle u_{1}=0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle z_{1}=0}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}}$

ดังนั้นจุดกำเนิด จึงเป็นจุดสมดุล (กล่าวคือจุดนิ่ง ) ของระบบ หากระบบเคลื่อนที่ไปถึงจุดกำเนิดแล้ว มันจะคงอยู่ที่จุดนั้นตลอดไป ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$

ในตัวอย่างนี้ มีการใช้ backstepping เพื่อรักษาเสถียรภาพของระบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวในสมการ ( 1 ) รอบจุดสมดุลที่จุดกำเนิด กล่าวโดยสรุป เราต้องการออกแบบกฎการควบคุมที่รับประกันว่าสถานะจะกลับคืนสู่สถานะเดิมหลังจากที่ระบบเริ่มต้นจากเงื่อนไขเริ่มต้นใดๆ ก็ตาม ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}$

• ประการแรก ตามสมมติฐาน ระบบย่อย

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

โดยมีฟังก์ชัน Lyapunovเช่นนั้น${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )>0}$

${\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนนั่นคือ เราสมมติว่าเราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าระบบย่อยxที่เรียบง่ายกว่า นี้ มีเสถียรภาพ (ในความหมายของ Lyapunov)โดยคร่าวๆ แล้ว แนวคิดเรื่องเสถียรภาพนี้หมายความว่า:${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$

• • ฟังก์ชันนี้เปรียบเสมือน "พลังงานทั่วไป" ของ ระบบย่อย xเมื่อ สถานะ xของระบบเคลื่อนห่างจากจุดกำเนิด พลังงานก็จะเพิ่มขึ้นด้วย${\displaystyle V_{x}}$${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$
  • โดยการแสดงให้เห็นว่าเมื่อเวลาผ่านไป พลังงานจะลดลงจนเป็นศูนย์ ดังนั้น สถานะ xจะต้องลดลงไปสู่จุดนั้น นั่นคือ จุดกำเนิดจะเป็นจุดสมดุลที่เสถียรของระบบ – สถานะ xจะเข้าใกล้จุดกำเนิดอย่างต่อเนื่องเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$
  • การกล่าวว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน หมายความว่าเมทริกซ์นั้นเป็นจริงทุกที่ยกเว้นที่และ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$${\displaystyle W(\mathbf {x} )>0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle W(\mathbf {0} )=0}$
  • ประโยคดังกล่าวหมายความว่าค่ามีค่าเบี่ยงเบนจากศูนย์สำหรับทุกจุด ยกเว้นจุดที่นั่นคือ ตราบใดที่ระบบยังไม่อยู่ในสภาวะสมดุลที่จุดกำเนิด "พลังงาน" ของระบบจะลดลงเรื่อยๆ${\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {V}}_{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$
  • เนื่องจากพลังงานลดลงอย่างต่อเนื่อง ระบบจึงต้องมีเสถียรภาพ กล่าวคือ วิถีการเคลื่อนที่ของระบบต้องเข้าใกล้จุดกำเนิด

ภารกิจของเราคือการหาตัวควบคุมuที่ทำให้ระบบแบบเรียงลำดับของเรามีเสถียรภาพด้วย ดังนั้นเราต้องหาฟังก์ชัน Lyapunov ตัวใหม่สำหรับระบบใหม่นี้ ฟังก์ชันตัวนั้นจะขึ้นอยู่กับตัวควบคุมuและโดยการเลือกตัวควบคุมอย่างเหมาะสม เราสามารถมั่นใจได้ว่าฟังก์ชันนั้นจะลดลงทุกที่เช่นกัน${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$

• ต่อไป โดยการเพิ่มและลด (กล่าวคือ เราไม่ได้เปลี่ยนแปลงระบบในทางใดทางหนึ่ง เพราะเราไม่สร้าง ผลกระทบ สุทธิ ) ให้กับส่วนหนึ่งของระบบที่ใหญ่กว่า ระบบก็จะกลายเป็น${\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

ซึ่งเราสามารถจัดกลุ่มใหม่เพื่อให้ได้

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

ดังนั้นระบบซูเปอร์ซิสเต็มแบบเรียงลำดับของเราจึงประกอบด้วยระบบย่อยที่มีเสถียรภาพที่ทราบแล้ว บวกกับการรบกวนข้อผิดพลาดบางส่วนที่เกิดจากตัวรวมสัญญาณ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$

• ตอนนี้เราสามารถเปลี่ยนค่าตัวแปรจากเป็น ได้โดยการให้ดังนั้น${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})}$${\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}}$

นอกจากนี้ เรายังอนุญาตให้และ${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$${\displaystyle u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}}$

เราพยายามทำให้ระบบข้อผิดพลาด นี้มีเสถียรภาพ โดยใช้การป้อนกลับผ่านการควบคุมใหม่โดยการทำให้ระบบมีเสถียรภาพที่จุดนั้น สถานะจะติดตามการควบคุมที่ต้องการซึ่งจะส่งผลให้ระบบย่อยx ภายในมีเสถียรภาพ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle e_{1}=0}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle u_{x}}$

• จากฟังก์ชัน Lyapunov ที่เรามีอยู่แล้วเราได้กำหนดฟังก์ชัน Lyapunov เสริมที่เป็นไป ได้${\displaystyle V_{x}}$

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}}$

จากการกระจายเราจะเห็นว่า${\displaystyle \partial V_{x}/\partial \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}}$

เพื่อให้มั่นใจได้ว่า(กล่าวคือ เพื่อให้มั่นใจถึงเสถียรภาพของระบบโดยรวม) เราจึงเลือกกฎการควบคุม${\displaystyle {\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0}$

${\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}}$

ด้วยและดังนั้น${\displaystyle k_{1}>0}$

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}}$

หลังจากกระจายไปทั่วแล้ว${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}}$

ดังนั้นฟังก์ชัน Lyapunov ที่เรา เสนอจึงเป็นฟังก์ชัน Lyapunovที่แท้จริงและระบบของเรามีเสถียรภาพภายใต้กฎการควบคุมนี้(ซึ่งสอดคล้องกับกฎการควบคุมเนื่องจาก) เมื่อใช้ตัวแปรจากระบบพิกัดเดิม ฟังก์ชัน Lyapunov ที่เทียบเท่ากัน${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

2

ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง ฟังก์ชัน Lyapunov นี้จะถูกนำมาใช้อีกครั้งเมื่อกระบวนการนี้ถูกนำไปใช้ซ้ำๆ กับปัญหาอินทิเกรเตอร์หลายตัว

• ทางเลือกในการควบคุมของเราขึ้นอยู่กับตัวแปรสถานะเริ่มต้นทั้งหมดของเรา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กฎการควบคุมแบบป้อนกลับที่ทำให้ระบบเสถียรนั้น${\displaystyle v_{1}}$

${\displaystyle \underbrace {u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} _{{\text{By definition of }}v_{1}}=\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(\underbrace {z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} _{e_{1}})} ^{v_{1}}\,+\,\overbrace {{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(\underbrace {f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}} _{{\dot {\mathbf {x} }}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}})} ^{{\dot {u}}_{x}{\text{ (i.e., }}{\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}}$

3

สถานะxและฟังก์ชันและมาจากระบบ ฟังก์ชัน มาจาก ระบบย่อยที่มีเสถียรภาพที่เราทราบแล้วพารามิเตอร์เกนมีผลต่ออัตราการล convergence ของระบบของเรา ภายใต้กฎการควบคุมนี้ ระบบของเราจะมีเสถียรภาพที่จุดกำเนิด${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle g_{x}}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$${\displaystyle k_{1}>0}$${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$

โปรดจำไว้ว่าในสมการ ( 3 ) จะขับเคลื่อนอินพุตของอินทิเกรเตอร์ที่เชื่อมต่อกับระบบย่อยที่เสถียรด้วยการป้อนกลับตามกฎการควบคุมไม่น่าแปลกใจที่การควบคุม จะ มีเทอมที่จะถูกอินทิเกรตเพื่อให้เป็นไปตามกฎการควบคุมที่ทำให้เสถียรบวกกับค่าชดเชยบางส่วน เทอมอื่นๆ จะให้การหน่วงเพื่อขจัดค่าชดเชยนั้นและผลกระทบจากการรบกวนอื่นๆ ที่จะถูกขยายโดยอินทิเกรเตอร์${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$

เนื่องจากระบบนี้มีเสถียรภาพจากการป้อนกลับและมีฟังก์ชัน Lyapunov ที่มีค่าจึงสามารถใช้เป็นระบบย่อยส่วนบนในระบบเรียงลำดับแบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวอีกระบบหนึ่งได้ ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle {\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0}$

ก่อนที่จะกล่าวถึงขั้นตอนการเรียกซ้ำสำหรับกรณีตัวรวมหลายตัวทั่วไป การศึกษาการเรียกซ้ำในกรณีตัวรวมสองตัวนั้นจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ พิจารณาระบบพลวัต

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

4

โดยที่และและเป็นสเกลาร์ ระบบนี้เป็นการเชื่อมต่อแบบเรียงลำดับของระบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวในสมการ ( 1 ) กับอินทิเกรเตอร์อีกตัวหนึ่ง (กล่าวคือ อินพุตเข้าผ่านอินทิเกรเตอร์ และเอาต์พุตของอินทิเกรเตอร์นั้นเข้าสู่ระบบในสมการ ( 1 ) โดยอินพุต) ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{1}}$

โดยการปล่อยให้

• ${\displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,}$

จากนั้นระบบอินทิเกรเตอร์สองตัวในสมการ ( 4 ) จะกลายเป็นระบบอินทิเกรเตอร์ตัวเดียว

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {y} }}=f_{y}(\mathbf {y} )+g_{y}(\mathbf {y} )z_{2}&\quad {\text{( where this }}\mathbf {y} {\text{ subsystem is stabilized by }}z_{2}=u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}.\end{cases}}}$

5

โดยวิธีการอินทิเกรเตอร์เดี่ยว กฎการควบคุม จะทำให้ระบบย่อย -to- yบนมีเสถียรภาพโดยใช้ฟังก์ชัน Lyapunov ดังนั้นสมการ ( 5 ) จึงเป็นระบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวใหม่ที่มีโครงสร้างเทียบเท่ากับระบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวในสมการ ( 1 ) ดังนั้นจึงสามารถหาการควบคุมที่ทำให้มีเสถียรภาพได้โดยใช้วิธีการอินทิเกรเตอร์เดี่ยวแบบเดียวกันกับที่ใช้ในการหา ${\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{1}}$

ในกรณีที่มีตัวรวมสองตัว ระบบย่อยตัวรวมเดี่ยวตัวบนได้รับการทำให้เสถียร ส่งผลให้ได้ระบบตัวรวมเดี่ยวตัวใหม่ที่สามารถทำให้เสถียรได้ในทำนองเดียวกัน กระบวนการเวียนเกิดนี้สามารถขยายเพื่อจัดการกับจำนวนตัวรวมที่จำกัดใดๆ ก็ได้ ข้อกล่าวอ้างนี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ในที่นี้ ระบบตัวรวมหลายตัวที่เสถียรแล้วถูกสร้างขึ้นจากระบบย่อยของระบบย่อยตัวรวมหลายตัวที่เสถียรแล้ว

• ขั้นแรก ให้พิจารณาระบบพลวัต

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}}$

ซึ่งมีสถานะอินพุตและเอาต์พุต เป็นสเกลาร์ สมมติว่า${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

• • ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$เพื่อให้ระบบที่มีอินพุตเป็นศูนย์ (เช่น) อยู่ ในสภาวะ คงที่ที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ จุดกำเนิดเรียกว่าจุดสมดุลของระบบ${\displaystyle u_{x}=0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$
  • กฎการควบคุมแบบป้อนกลับช่วยรักษาเสถียรภาพของระบบที่จุดสมดุล ณ จุดกำเนิด${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$
  • ฟังก์ชันLyapunovที่สอดคล้องกับระบบนี้อธิบายได้ด้วย.${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$

กล่าวคือ หากสถานะเอาต์พุตxถูกป้อนกลับไปยังอินพุตโดยกฎการควบคุมสถานะเอาต์พุต (และฟังก์ชัน Lyapunov) จะกลับคืนสู่จุดกำเนิดหลังจากเกิดการรบกวนเพียงครั้งเดียว (เช่น หลังจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นศูนย์หรือการรบกวนที่รุนแรง) ระบบย่อยนี้จะเสถียรโดยกฎการควบคุมแบบป้อนกลับ${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle u_{x}}$

• ถัดไป ต่อตัวรวมสัญญาณเข้ากับอินพุตเพื่อให้ระบบเสริมมีสถานะอินพุต(ไปยังตัวรวมสัญญาณ) และสถานะเอาต์พุตxระบบพลวัตเสริมที่ได้จะเป็นดังนี้${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

ระบบ "แคสเคด" นี้ตรงกับรูปแบบในสมการ ( 1 ) ดังนั้นขั้นตอน backstepping แบบอินทิเกรเตอร์เดี่ยวจึงนำไปสู่กฎการควบคุมเสถียรภาพในสมการ ( 3 ) นั่นคือ ถ้าเราป้อนกลับสถานะและxไปยังอินพุตตามกฎการควบคุม ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle u_{1}}$

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

ด้วยอัตราขยายสถานะและxจะกลับคืนสู่สถานะเดิมหลังจากการรบกวนเพียงครั้งเดียว ระบบย่อยนี้มีเสถียรภาพด้วยกฎการควบคุมแบบป้อนกลับและฟังก์ชัน Lyapunov ที่สอดคล้องกันจากสมการ ( 2 ) คือ ${\displaystyle k_{1}>0}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{1}=0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle u_{1}}$

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

กล่าวคือ ภายใต้กฎการควบคุมแบบป้อนกลับฟังก์ชัน Lyapunov จะลดลงจนเป็นศูนย์เมื่อสถานะกลับคืนสู่จุดกำเนิด${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle V_{1}}$

• เชื่อมต่อตัวรวมสัญญาณตัวใหม่เข้ากับอินพุตเพื่อให้ระบบเสริมมีสถานะอินพุตและเอาต์พุตxระบบพลวัตเสริมที่ได้จะเป็นดังนี้${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

ซึ่งเทียบเท่ากับระบบอินทิเกรเตอร์ เดี่ยว

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

เมื่อใช้คำจำกัดความของ, , และ เหล่านี้ ระบบนี้สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

ระบบนี้ตรงกับโครงสร้างอินทิเกรเตอร์เดี่ยวของสมการ ( 1 ) ดังนั้นขั้นตอน backstepping อินทิเกรเตอร์เดี่ยวจึงสามารถนำมาใช้ได้อีกครั้ง นั่นคือ ถ้าเราป้อนกลับสถานะ, , และxไปยังอินพุตตามกฎการควบคุม ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})}$

เมื่อได้รับเกนแล้ว สถานะ, , และxจะกลับคืนสู่, , และหลังจากเกิดการรบกวนเพียงครั้งเดียว ระบบย่อยนี้มีเสถียรภาพโดยกฎการควบคุมแบบป้อนกลับและฟังก์ชัน Lyapunov ที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle k_{2}>0}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{1}=0}$${\displaystyle z_{2}=0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}}$

กล่าวคือ ภายใต้กฎการควบคุมแบบป้อนกลับฟังก์ชัน Lyapunov จะลดลงจนเป็นศูนย์เมื่อสถานะกลับคืนสู่จุดกำเนิด${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$

• เชื่อมต่อตัวรวมสัญญาณเข้ากับอินพุตเพื่อให้ระบบเสริมมีสถานะอินพุตและเอาต์พุตxระบบพลวัตเสริมที่ได้จะเป็นดังนี้${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{3}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

ซึ่งสามารถจัดกลุ่มใหม่เป็นระบบอินทิเกรเตอร์ เดี่ยวได้

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

จากนิยามของ, , และในขั้นตอนก่อนหน้า ระบบนี้จึงแสดงได้ด้วย ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

นอกจากนี้ เมื่อใช้คำจำกัดความของ, , และ เหล่านี้ ระบบนี้ยังสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

ดังนั้นระบบที่จัดกลุ่มใหม่จึงมีโครงสร้างอินทิเกรเตอร์เดี่ยวของสมการ ( 1 ) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้ขั้นตอน backstepping อินทิเกรเตอร์เดี่ยวได้อีกครั้ง นั่นคือ ถ้าเราป้อนกลับสถานะ, , , และxไปยังอินพุตตามกฎการควบคุม ${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle u_{3}}$

${\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})}$

เมื่อได้รับค่าเกนแล้ว สถานะ, , , และxจะกลับคืนสู่, , , และหลังจากเกิดการรบกวนเพียงครั้งเดียว ระบบย่อยนี้มีเสถียรภาพโดยกฎการควบคุมแบบป้อนกลับและฟังก์ชัน Lyapunov ที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle k_{3}>0}$${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle z_{1}=0}$${\displaystyle z_{2}=0}$${\displaystyle z_{3}=0}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$${\displaystyle u_{3}}$

${\displaystyle V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}}$

กล่าวคือ ภายใต้กฎการควบคุมแบบป้อนกลับฟังก์ชัน Lyapunov จะลดลงจนเป็นศูนย์เมื่อสถานะกลับคืนสู่จุดกำเนิด${\displaystyle u_{3}}$${\displaystyle V_{3}}$

• กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับผู้บูรณาการแต่ละรายที่เพิ่มเข้ามาในระบบ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถดำเนินต่อไปได้กับระบบใดๆ ก็ตามที่มีรูปแบบดังกล่าว

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

มีโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

และสามารถทำให้เสถียรด้วยการป้อนกลับได้โดยการหาตัวควบคุมที่ทำให้เสถียรด้วยการป้อนกลับและฟังก์ชัน Lyapunov สำหรับระบบย่อยตัวรวมเดี่ยว (เช่น มีอินพุตและเอาต์พุตx ) และวนซ้ำจากระบบย่อยภายในนั้นจนกว่า จะทราบตัวควบคุมที่ทำให้เสถียรด้วยการป้อนกลับขั้นสุดท้ายu ในการวนซ้ำครั้งที่ iระบบที่เทียบเท่าคือ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}}$

กฎการควบคุมแบบป้อนกลับที่ทำให้เสถียรที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})}$

โดยมีอัตราขยายฟังก์ชัน Lyapunov ที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle k_{i}>0}$

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}}$

ด้วยโครงสร้างนี้ การควบคุมขั้นสูงสุด(กล่าวคือ การควบคุมขั้นสูงสุดจะพบได้ในการวนซ้ำครั้งสุดท้าย)${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$${\displaystyle i=k}$