ในสาขาคณิตศาสตร์โทโพโลยีทั่วไปเซตเล็ก (หรือเรียกว่าเซตย่อยหรือเซตประเภทแรก ) คือเซตย่อย ใน ปริภูมิโทโพโลยีที่เป็น ผลรวม นับได้ของ เซตย่อยที่มีส่วน ปิดซึ่งมีภายใน ว่างเปล่า ดังนั้น เซตเล็กจึง "เล็ก" ในแง่หนึ่ง เพราะเป็นผลรวมเล็ก ๆ ของเซตย่อยเล็ก ๆ

เซตย่อยที่เล็กจิ๋วของปริภูมิคงที่ก่อให้เกิดอุดมคติ σของเซตย่อย กล่าวคือ เซตย่อยใดๆ ของเซตที่เล็กจิ๋วก็เป็นเซตที่เล็กจิ๋วเช่นกัน และการรวมกันของ เซตที่เล็กจิ๋ว จำนวนนับได้ก็เป็นเซตที่เล็กจิ๋วเช่นกัน

เซตขนาดเล็กมีบทบาทสำคัญในการกำหนดแนวคิดของปริภูมิแบร์และทฤษฎีบทหมวดหมู่แบร์ซึ่งใช้ในการพิสูจน์ผลลัพธ์พื้นฐานหลายประการของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ตลอดทั้ง,${\displaystyle X}$จะเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี

นิยามของเซตที่น้อยนิดนั้นใช้แนวคิดของเซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดเลย${\displaystyle X,}$นั่นคือ เซตย่อยของ${\displaystyle X}$ซึ่ง ส่วนปิดนั้นมีพื้นที่ภายใน ว่างเปล่า โปรดดูบทความที่เกี่ยวข้องสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

เซตย่อยของ${\displaystyle X}$เรียกว่าน้อยนิดใน${\displaystyle X,}$เอกลุ่มย่อยเล็กน้อยของ${\displaystyle X,}$หรือของหมวดหมู่แรกใน${\displaystyle X}$ถ้าเป็นการรวมกันที่นับได้ของ เซตย่อย ที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดเลยของ${\displaystyle X}$[ ^{1 ]}มิฉะนั้น เซตย่อยจะเรียก^ว่าไม่น้อยนิดใน${\displaystyle X,}$เอส่วนย่อยที่ไม่น้อยนิดของ${\displaystyle X,}$หรือของหมวดหมู่ที่สองใน${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} คุณสมบัติ "ใน${\displaystyle X}$สามารถละเว้นได้หากพื้นที่โดยรอบคงที่และเข้าใจได้จากบริบท

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าอะไร?น้อยนิด (ตามลำดับ,(ไม่น้อย ) ถ้ามันเป็นเซตย่อยที่น้อย (หรือมาก) ของตัวมันเอง

เซตย่อย${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle X}$เรียกว่าตกลงกัน${\displaystyle X,}$หรือคงเหลือใน${\displaystyle X,}$ถ้าเป็นส่วนเติมเต็ม ของมัน${\displaystyle X\setminus A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle X}$(การใช้คำนำหน้า "co" ในลักษณะนี้สอดคล้องกับการใช้ในคำอื่นๆ เช่น " cofinite ") เซตย่อยหนึ่งๆ เรียกว่า comeagre ใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมันเท่ากับจุดตัด ที่นับได้ ของเซต ซึ่งแต่ละเซตมีความหนาแน่นภายในใน${\displaystyle X.}$

ข้อสังเกตเกี่ยวกับคำศัพท์

ไม่ควรสับสนระหว่างคำว่า nonmeagre และ comeagre หากพื้นที่ว่าง${\displaystyle X}$เซตย่อยทุกเซตเป็นทั้งเซตย่อยที่เล็กและเซตย่อยร่วม และไม่มีเซตใดที่ไม่ใช่เซตย่อยที่เล็ก หากพื้นที่${\displaystyle X}$เซตที่ไม่เล็ก (nonmeagre) คือเซตที่ไม่มีเซตเล็ก (nonmeagre) ไม่มีเซตใดที่เป็นทั้งเซตเล็กและเซตที่มีเซตใหญ่ (comeagre) ในเวลาเดียวกัน ทุกเซตที่มีเซตใหญ่ (comeagre) จะเป็นเซตที่ไม่เล็ก (nonmeagre) และอาจมีเซตที่ไม่เล็ก (nonmeagre) ที่ไม่ใช่เซตที่มีเซตใหญ่ (comeagre) นั่นคือ เซตที่มีส่วนเติมเต็มที่ไม่เล็ก (nonmeagre complement) ดูตัวอย่างในส่วนด้านล่าง

ในแง่ของคำศัพท์เพิ่มเติม หากเป็นเซตย่อย${\displaystyle A}$ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$ได้รับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำจาก${\displaystyle X}$อาจกล่าวได้ว่ามันเป็นปริภูมิที่จำกัด กล่าวคือเป็นเซตย่อยที่จำกัดของตัวมันเอง (เมื่อพิจารณาในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยตัวมันเอง) ในกรณีนี้${\displaystyle A}$อาจเรียกได้ว่าเป็นปริภูมิย่อยที่น้อยนิดของ${\displaystyle X}$หมายความว่ามีพื้นที่จำกัดเมื่อพิจารณาจากโทโพโลยีของพื้นที่ย่อย ที่สำคัญคือ นี่ไม่ใช่สิ่งเดียวกันกับการมีพื้นที่จำกัดในพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle X}$(ดูส่วนคุณสมบัติและตัวอย่างด้านล่างสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสอง) ในทำนองเดียวกันปริภูมิย่อยที่ไม่เล็กจิ๋วจะเป็นเซตที่ไม่เล็กจิ๋วในตัวมันเอง ซึ่งไม่เหมือนกับการเป็นเซตที่ไม่เล็กจิ๋วในปริภูมิทั้งหมด อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีผู้เขียนบางคนอาจใช้วลี "ปริภูมิย่อยเล็กจิ๋ว/ไม่เล็กจิ๋ว" เพื่อหมายถึงปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่เป็นเซตเล็กจิ๋ว/ไม่เล็กจิ๋วเมื่อเทียบกับปริภูมิทั้งหมด^{[ 2 ]}

คำว่าหมวดหมู่แรกและหมวดหมู่ที่สองเป็นคำดั้งเดิมที่René Baire ใช้ ในวิทยานิพนธ์ของเขาในปี พ.ศ. 2442 ^{[ 3 ]} คำ ศัพท์ ที่จำกัดนี้ได้รับการแนะนำโดยBourbakiในปี พ.ศ. 2491 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

เซตว่างเป็นเซตย่อยปิดที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดเลย (และดังนั้นจึงมีขนาดเล็ก) ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิเสมอ

ในพื้นที่อันไม่น้อยนิด${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ชุด${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$มีน้อยมาก ชุดนี้${\displaystyle [0,1]}$ไม่น้อยนิดและเอื้อเฟื้อเผื่อแผ่

ในพื้นที่อันไม่น้อยนิด${\displaystyle X=[0,2]}$ชุด${\displaystyle [0,1]}$ไม่ใช่ของน้อยนิด แต่ก็ไม่ใช่ของร่วมด้วย เพราะเป็นส่วนเติมเต็มของมัน${\displaystyle (1,2]}$นอกจากนี้ยังไม่น้อยเลย

ปริภูมิT ที่นับได้ซึ่งไม่มีจุดโดดเดี่ยวถือเป็นปริภูมิที่ขาดแคลน ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิที่ขาดแคลนในปริภูมิใดๆ ที่บรรจุปริภูมินี้เป็นปริภูมิย่อยด้วย ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \mathbb {Q} }$เป็นทั้งปริภูมิย่อยที่น้อยนิดของ${\displaystyle \mathbb {R} }$(นั่นคือ มีน้อยนิดในตัวมันเองด้วยโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำมาจาก)${\displaystyle \mathbb {R} }$) และกลุ่มย่อยเล็กน้อยของ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ชุดแคนเตอร์ไม่ได้มีความหนาแน่นเลย${\displaystyle \mathbb {R} }$และด้วยเหตุนี้จึงมีน้อยใน${\displaystyle \mathbb {R} .}$ แต่ตัวมันเองก็ไม่ได้เล็กจิ๋ว เพราะมันเป็นปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์

ชุด${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ไม่ได้มีความหนาแน่นเลยในที่ใด${\displaystyle \mathbb {R} }$แต่มีอยู่น้อยมาก${\displaystyle \mathbb {R} }$มันไม่ใช่ปริภูมิที่เล็กจิ๋วในตัวมันเอง (เนื่องจากในฐานะที่เป็นปริภูมิย่อย มันประกอบด้วยจุดโดดเดี่ยวจุดหนึ่ง)

เส้น${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$มีน้อยมากบนเครื่องบิน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ แต่มันเป็นปริภูมิย่อยที่ไม่น้อยนิด กล่าวคือ ตัวมันเองไม่น้อยนิด

ชุด${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$เป็นส่วน ย่อยเล็กน้อยของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$แม้ว่าจะเป็นกลุ่มย่อยที่เล็กมากก็ตาม${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$เป็นพื้นที่ ย่อยที่ไม่น้อย (นั่นคือ${\displaystyle \mathbb {R} }$ไม่ใช่ปริภูมิโทโพโลยีที่น้อยนิด) ^{[ 6 ]} ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่นับได้ซึ่งไม่มีจุดโดดเดี่ยวถือเป็นปริภูมิที่น้อยนิด ในขณะที่ปริภูมิโทโพโลยีใดๆ ที่มีจุดโดดเดี่ยวถือเป็นปริภูมิที่ไม่น้อยนิด^{[ 6 ]} เนื่องจากจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ จึงถือเป็นปริภูมิที่น้อยนิดในฐานะเซตย่อยของจำนวนจริงและในฐานะปริภูมิ กล่าวคือ พวกมันไม่ก่อให้เกิดปริภูมิแบร์

พื้นที่โทโพโลยีใดๆ ที่มีจุดโดดเดี่ยว อยู่ จะไม่ถือว่ามีน้อย^{[ 6 ]} (เนื่องจากไม่มีเซตใดที่มีจุดโดดเดี่ยวอยู่จะหนาแน่นที่ใดไม่ได้) โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ดิสครีต ที่ไม่ว่างเปล่าทุกแห่ง จะไม่ถือว่ามีน้อย

มีเซตย่อย${\displaystyle H}$ของจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$ซึ่งแบ่งเซตเปิดที่ไม่ว่างทุกเซตออกเป็นสองเซตที่ไม่เล็กเกินไป กล่าวคือ สำหรับเซตเปิดที่ไม่ว่างทุกเซต${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ชุดต่างๆ${\displaystyle U\cap H}$และ${\displaystyle U\setminus H}$ทั้งสองอย่างไม่น้อยเลย

ในอวกาศ${\displaystyle C([0,1])}$ของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบน${\displaystyle [0,1]}$ด้วยโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอเซต${\displaystyle A}$ของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบน${\displaystyle [0,1]}$ที่มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งนั้นมีน้อยมาก^{[ 7 ] [ 8 ]} เนื่องจาก${\displaystyle C([0,1])}$เป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ ไม่ใช่ปริภูมิที่เล็กจิ๋ว ดังนั้นส่วนเติมเต็มของ${\displaystyle A}$ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บน${\displaystyle [0,1],}$เป็นเซตที่เพียงพอและไม่น้อยเกินไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตนั้นไม่ว่างเปล่า นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่

บนปริภูมิ Banach ที่มีมิติอนันต์ จะมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีเคอร์เนลที่ไม่น้อย^{[ 9 ]}นอกจากนี้ ภายใต้สัจพจน์ของ Martinบนปริภูมิ Banach ที่แยกได้แต่ละปริภูมิ จะมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งมีเคอร์เนลน้อย (ข้อความนี้หักล้างสมมติฐาน Wilansky–Klee ^{[ 10 ]} ) ^{[ 9 ]}

ทุกปริภูมิ Baire ที่ไม่ว่างเปล่า ล้วนไม่ใช่ปริภูมิที่เล็กจิ๋ว ตามทฤษฎีบทหมวดหมู่ Baireสิ่งนี้ใช้ได้กับปริภูมิเมตริกสมบูรณ์(เทียม) ที่ไม่ว่างเปล่า เช่นเดียวกับ ปริภูมิ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่อย่างไรก็ตาม มีปริภูมิที่เล็กจิ๋วที่ไม่ใช่ปริภูมิ Baire อยู่^{[ 6 ]}

เซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นใดๆ ล้วนเป็นเซตที่เล็กมาก^{[ 11 ]}ดังนั้น เซตย่อยปิดใดๆ ของ${\displaystyle X}$ซึ่งภายในอยู่ใน${\displaystyle X}$ว่างเปล่า อยู่ในหมวดหมู่แรกใน${\displaystyle X}$(นั่นคือ เป็นส่วนย่อยเล็กน้อยของ${\displaystyle X}$)

เซตย่อยทั้งหมดและผลรวมนับได้ทั้งหมดของเซตที่เล็กจิ๋วล้วนเป็นเซตที่เล็กจิ๋วเช่นกัน ดังนั้น เซตย่อยที่เล็กจิ๋วของปริภูมิคงที่จึงก่อให้เกิดอุดมคติ σของเซตย่อย ซึ่งเป็นแนวคิดที่เหมาะสมของเซตที่ไม่สำคัญ ในทำนอง เดียวกันเซตเหนือ กว่าทั้งหมด และจุดตัดนับได้ทั้งหมดของเซตที่เล็กจิ๋วร่วมกันล้วนเป็นเซตที่เล็กจิ๋วร่วมกัน เซตเหนือกว่าทุกเซตของเซตที่ไม่เล็กจิ๋วล้วนเป็นเซตที่ไม่เล็กจิ๋ว

เดอะทฤษฎีบทหมวดหมู่ของ Banach ^{[ 12 ]}ระบุว่าในพื้นที่ใดๆ${\displaystyle X,}$การรวมกันของเซตเปิดใดๆ ในตระกูลแรกก็จะเป็นเซตเปิดในตระกูลแรกเช่นกัน

สมมติ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ที่ไหน${\displaystyle Y}$มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่เหนี่ยวนำมาจาก${\displaystyle X.}$ ชุด${\displaystyle A}$อาจมีน้อยนิดใน${\displaystyle X}$โดยไม่ขาดแคลน${\displaystyle Y.}$ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 5 ]}

• ถ้า${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle Y,}$แล้ว${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle X.}$
• ถ้า${\displaystyle Y}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle Y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle X.}$
• ถ้า${\displaystyle Y}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle Y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$มีน้อยมากใน${\displaystyle X.}$

และในทำนองเดียวกันสำหรับเซตที่ไม่ขาดแคลน:

• ถ้า${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle Y.}$
• ถ้า${\displaystyle Y}$เปิดทำการแล้ว${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle Y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle X.}$
• ถ้า${\displaystyle Y}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle Y}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle A}$ไม่น้อยนิดใน${\displaystyle X.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยทุกเซตของ${\displaystyle X}$นั่นถือว่าน้อยนิดในตัวมันเองแล้ว ก็ยังน้อยนิดอยู่ดี${\displaystyle X.}$ เซตย่อยทุกเซตของ${\displaystyle X}$ซึ่งนับว่าไม่น้อยเลยใน${\displaystyle X}$นับว่าไม่น้อยเลยทีเดียว และสำหรับเซตเปิดหรือเซตหนาแน่นใน${\displaystyle X,}$ขาดแคลน${\displaystyle X}$เทียบเท่ากับการขาดแคลนในตัวมันเอง และในทำนองเดียวกันสำหรับทรัพย์สินที่ไม่ขาดแคลน

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$ถือว่าไม่น้อยก็ต่อเมื่อทุกจุดตัดที่นับได้ของเซตเปิดหนาแน่นใน${\displaystyle X}$ไม่ว่างเปล่า^{[ 13 ]}

เซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นใดๆ ของ${\displaystyle X}$มีขนาดเล็ก ดังนั้น เซตย่อยปิดใดๆ ที่มีสมาชิกภายในว่างเปล่าก็มีขนาดเล็กเช่นกัน ดังนั้น เซตย่อยปิดของ${\displaystyle X}$ซึ่งอยู่ในประเภทที่สองใน${\displaystyle X}$ต้องมีภายในที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle X}$^{[ 14 ]} (เพราะมิฉะนั้นจะไม่มีความหนาแน่นและจึงจัดอยู่ในประเภทแรก)

ถ้า${\displaystyle B\subseteq X}$อยู่ในประเภทที่สองใน${\displaystyle X}$และถ้า${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$แล้วอย่างน้อยหนึ่ง${\displaystyle S_{n}}$อยู่ในประเภทที่สองใน${\displaystyle X.}$

เซตที่ขาดแคลนมีลักษณะเฉพาะทางเลือกที่มีประโยชน์ในแง่ของเกม Banach–Mazurให้${\displaystyle Y}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$เป็นตระกูลของเซตย่อยของ${\displaystyle Y}$ซึ่งมีเซตภายในที่ไม่ว่างเปล่า โดยที่ทุกเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าจะมีเซตย่อยที่อยู่ในเซตภายในนั้น${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}},}$และ${\displaystyle X}$เป็นเซตย่อยใดๆ ของ${\displaystyle Y.}$ จากนั้นก็มีเกมบานาค-มาซูร์${\displaystyle MZ(X,Y,{\คณิตศาสตร์ {W}})}$ ในเกมบานาค-มาซูร์ ผู้เล่นสองคน${\displaystyle P}$และ${\displaystyle Q,}$เลือกองค์ประกอบที่มีขนาดเล็กลงเรื่อยๆ สลับกันไป${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {W}}}$เพื่อสร้างลำดับ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ผู้เล่น${\displaystyle P}$ชนะหากจุดตัดของลำดับนี้มีจุดอยู่ใน${\displaystyle X}$มิฉะนั้น ผู้เล่น${\displaystyle Q}$ชนะ.

ข้อโต้แย้งมากมายเกี่ยวกับเซตที่น้อยนิดยังใช้ได้กับเซตว่าง ด้วย กล่าวคือ เซตที่มีการวัดเลเบสเป็น 0 ทฤษฎีบทคู่ของเออร์ดอส-เซียร์ปินสกีระบุว่า หากสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริง จะมีการผกผันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง โดยที่ภาพของเซตว่างของจำนวนจริงเป็นเซตที่น้อยนิด และในทางกลับกัน^{[ 16 ]}ในความเป็นจริง ภาพของเซตของจำนวนจริงภายใต้แผนที่จะเป็นเซตว่างก็ต่อเมื่อเซตดั้งเดิมเป็นเซตที่น้อยนิด และในทางกลับกัน^{[ 17 ]}

• ปริภูมิทรงกระบอก– ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอ พอโลยี 
• คุณสมบัติทั่วไป– การถือครองทรัพย์สินสำหรับตัวอย่างทั่วไปสำหรับสิ่งที่เทียบเคียงได้กับส่วนที่เหลือ 
• เซตที่ไม่สำคัญ– เซตทางคณิตศาสตร์ที่ถือว่าไม่มีนัยสำคัญ เปรียบเทียบกับเซตที่เล็กจิ๋ว 
• สมบัติของแบร์​​– ผลต่างระหว่างเซตเปิดกับเซตที่น้อยนิด 

• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1967] โทโพโล ยีทั่วไป 2: บทที่ 5–10 [ Topologie Générale ] องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . ฉบับที่ 4. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• อ็อกซ์โทบี, จอห์น ซี. (1980). "ทฤษฎีบทหมวดหมู่ของบานาค"การวัดและหมวดหมู่ (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. หน้า62–65 . ISBN  0-387-90508-1.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .