ถ้ามุมเอียงเป็นศูนย์ พื้นผิวจะเรียบ และแรงปฏิกิริยาตั้งฉากจะชี้ขึ้นในแนวตั้ง แรงเดียวที่ทำให้รถเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางคือแรงเสียดทานหรือแรงฉุดซึ่งต้องมีขนาดใหญ่พอที่จะให้แรงสู่ศูนย์กลางความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ในรูปอสมการ โดยสมมติว่ารถกำลังวิ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมี:${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mu mg>{mv^{2} \over r}.}$

นิพจน์ทางด้านขวามือคือความเร่งสู่ศูนย์กลางคูณด้วยมวล ซึ่งเป็นแรงที่จำเป็นในการเลี้ยวรถ ส่วนทางด้านซ้ายมือคือแรงเสียดทานสูงสุด ซึ่งเท่ากับสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน คูณด้วยแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก เมื่อจัดเรียงใหม่จะได้ความเร็วสูงสุดในการเข้าโค้ง${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v<{\sqrt {r\mu g}}.}$

โปรดทราบว่าอาจเป็นสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานสถิตหรือแรงเสียดทานจลน์ ในกรณีหลัง เมื่อรถกำลังลื่นไถลไปรอบโค้ง แรงเสียดทานจะถึงขีดจำกัด และอสมการจะกลายเป็นสมการ นอกจากนี้ยังละเลยผลกระทบอื่นๆ เช่นแรงกดลงซึ่งสามารถเพิ่มแรงปฏิกิริยาตั้งฉากและความเร็วในการเข้าโค้งได้${\displaystyle \mu }$

ตรงกันข้ามกับยานพาหนะที่วิ่งไปตามวงกลมแบน ขอบเอียงจะเพิ่มแรงเพิ่มเติมที่ทำให้ยานพาหนะอยู่ในเส้นทางและป้องกันไม่ให้รถถูก "ลากเข้าไป" หรือ "ผลักออกไป" จากวงกลม (หรือล้อรถไฟเคลื่อนที่ไปด้านข้างจนเกือบจะเสียดสีกับขอบ ล้อ ) แรงนี้คือส่วนประกอบแนวนอนของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากของยานพาหนะ (N) ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน แรงปฏิกิริยาตั้งฉากเป็นแรงเดียวที่กระทำต่อยานพาหนะในทิศทางของศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถกำหนดส่วนประกอบแนวนอนของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากให้เท่ากับมวลคูณด้วยความเร่งสู่ศูนย์กลางได้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {mv^{2} \over r}=N\sin \theta }$

เนื่องจากไม่มีการเคลื่อนที่ในทิศทางแนวตั้ง ผลรวมของแรงแนวตั้งทั้งหมดที่กระทำต่อระบบจะต้องเป็นศูนย์ ดังนั้น เราจึงสามารถกำหนดส่วนประกอบแนวตั้งของแรงปกติของยานพาหนะให้เท่ากับน้ำหนักของมันได้: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle N\cos \theta =mg}$

เมื่อแก้สมการข้างต้นเพื่อหาแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก และแทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า เราจะได้:

${\displaystyle {mv^{2} \over r}={mg\tan \theta }}$

สิ่งนี้เทียบเท่ากับ:

${\displaystyle {v^{2} \over r}={g\tan \theta }}$

เมื่อแก้สมการหาความเร็วจะได้:

${\displaystyle v={\sqrt {rg\tan \theta }}}$

สิ่งนี้จะให้ความเร็วที่ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทานและด้วยมุมเอียงและรัศมีของความโค้ง ที่กำหนด จะทำให้มั่นใจได้ว่ายานพาหนะจะยังคงอยู่ในเส้นทางที่กำหนดไว้ ขนาดของความเร็วนี้ยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อ "ความเร็วที่กำหนด" (หรือ "ความเร็วสมดุล" สำหรับทางรถไฟ) ของทางเลี้ยวหรือทางโค้ง^{[ 2 ]}โปรดสังเกตว่าความเร็วที่กำหนดของทางโค้งนั้นเท่ากันสำหรับวัตถุมวลมากทั้งหมด และทางโค้งที่ไม่เอียงจะมีความเร็วที่กำหนดเป็น 0

เมื่อพิจารณาถึงผลกระทบของแรงเสียดทานต่อระบบ เราต้องสังเกตอีกครั้งว่าแรงเสียดทานชี้ไปทางใด เมื่อคำนวณความเร็วสูงสุดสำหรับรถยนต์ของเรา แรงเสียดทานจะชี้ลงไปตามทางลาดและเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น เราต้องบวกส่วนประกอบแนวนอนของแรงเสียดทานเข้ากับส่วนประกอบของแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ผลรวมของแรงทั้งสองนี้คือแรงลัพธ์ใหม่ในทิศทางของจุดศูนย์กลางของการเลี้ยว (แรงสู่ศูนย์กลาง):

${\displaystyle \underbrace {{mv^{2} \over r}=N\sin \theta } _{\text{สูตรไร้แรงเสียดทาน}}+\underbrace {\mu _{s}N\cos \theta } _{\text{เทอมแรงเสียดทาน}}}$

อีกครั้งหนึ่ง ไม่มีการเคลื่อนที่ในทิศทางแนวตั้ง ทำให้เราสามารถกำหนดให้แรงในแนวตั้งที่ต้านกันทั้งหมดเท่ากันได้ แรงเหล่านี้รวมถึงส่วนประกอบในแนวตั้งของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่ชี้ขึ้นด้านบน และทั้งน้ำหนักของรถและส่วนประกอบในแนวตั้งของแรงเสียดทานที่ชี้ลงด้านล่าง:

${\displaystyle \underbrace {N\cos \theta =mg} _{\text{สูตรไร้แรงเสียดทาน}}+\underbrace {\mu _{s}N\sin \theta } _{\text{เทอมแรงเสียดทาน}}}$

เมื่อแก้สมการข้างต้นเพื่อหาค่ามวลและแทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า เราจะได้:

${\displaystyle {\frac {{\frac {N\cos \theta -\mu _{s}N\sin \theta }{g}}v^{2}}{r}}=N\sin \theta +\mu _{s}N\cos \theta }$

เมื่อแก้สมการหาค่าเราจะได้:${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta +\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta -\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta +\mu _{s}}{1-\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

มุมวิกฤตอยู่ที่ใด โดยที่ สมการนี้ให้ความเร็วสูงสุดสำหรับรถยนต์ที่มีมุมเอียง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตและรัศมีของความโค้งที่กำหนดให้ โดยการวิเคราะห์ความเร็วต่ำสุดในทำนองเดียวกัน จะได้สมการต่อไปนี้:${\displaystyle \theta _{\mathrm {crit} }}$${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {crit} }=\mu _{s}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {min} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta +\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta -\mu _{s}}{1+\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

สังเกต

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {min} }}{v_{\mathrm {max} }}}={\sqrt {\frac {\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}{\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}}$

ความแตกต่างในการวิเคราะห์แบบหลังเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาทิศทางของแรงเสียดทานสำหรับความเร็วต่ำสุดของรถยนต์ (ไปทางด้านนอกของวงกลม) ดังนั้น จึงมีการดำเนินการตรงกันข้ามเมื่อใส่แรงเสียดทานลงในสมการสำหรับแรงในทิศทางสู่ศูนย์กลางและทิศทางแนวตั้ง

ทางโค้งถนนที่เอียงไม่เหมาะสมจะเพิ่มความเสี่ยงต่ออุบัติเหตุรถวิ่งออกนอกถนนและอุบัติเหตุชนประสานงา การขาดความลาดเอียง 2% (เช่น ความลาดเอียง 4% บนทางโค้งที่ควรมีความลาดเอียง 6%) คาดว่าจะเพิ่มความถี่ในการเกิดอุบัติเหตุ 6% และการขาดความลาดเอียง 5% จะเพิ่มขึ้น 15% ^{[ 3 ]}จนถึงปัจจุบัน วิศวกรทางหลวงยังไม่มีเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการระบุทางโค้งที่เอียงไม่เหมาะสมและออกแบบมาตรการลดผลกระทบที่เกี่ยวข้องเครื่องวัดความลาด เอียงแบบสมัยใหม่ สามารถให้ข้อมูลทั้งความโค้ง ของถนน และความลาดเอียงด้านข้าง (มุมเอียง) การสาธิตเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับวิธีการประเมินทางโค้งที่เอียงไม่เหมาะสมได้รับการพัฒนาในโครงการ EU Roadex III ดูเอกสารอ้างอิงที่เชื่อมโยงด้านล่าง

เมื่อเครื่องบินปีกคงที่ทำการเลี้ยว (เปลี่ยนทิศทาง) เครื่องบินจะต้องเอียงไปอยู่ในตำแหน่งที่ปีกทำมุมไปยังทิศทางที่ต้องการเลี้ยว เมื่อการเลี้ยวเสร็จสิ้น เครื่องบินจะต้องเอียงกลับมาอยู่ในตำแหน่งที่ปีกอยู่ในระดับเดียวกันเพื่อบินตรงต่อไป^{[ 4 ]}

เมื่อยานพาหนะเคลื่อนที่ใดๆ กำลังเลี้ยว แรงที่กระทำต่อยานพาหนะจะต้องรวมกันเป็นแรงสุทธิที่ดึงเข้าด้านใน เพื่อให้เกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางในกรณีของเครื่องบินที่กำลังเลี้ยว แรงที่ทำให้เกิดความเร่งสู่ศูนย์กลางคือส่วนประกอบในแนวนอนของแรงยกที่กระทำต่อเครื่องบิน

ในการบินตรงระดับ แรงยกที่กระทำต่อเครื่องบินจะกระทำในแนวดิ่งขึ้นเพื่อต้านทานน้ำหนักของเครื่องบินซึ่งกระทำลงด้านล่าง หากเครื่องบินต้องการบินในระดับต่อไป (เช่น ที่ระดับความสูง คงที่ ) ส่วนประกอบในแนวดิ่งจะต้องเท่ากับน้ำหนักของเครื่องบิน ดังนั้นนักบินต้องดึงคันบังคับไปด้านหลังเพื่อใช้แพน หางเสือ เพื่อยก หัว เครื่องบินขึ้น และเพิ่มมุมปะทะ ซึ่ง จะทำให้แรงยกของปีกเพิ่มขึ้น แรงยกทั้งหมด (ที่เอียงแล้ว) จะมากกว่าน้ำหนักของเครื่องบิน แรงยกส่วนเกินคือส่วนประกอบในแนวนอนของแรงยกทั้งหมด ซึ่งเป็นแรงสุทธิที่ทำให้เครื่องบินเร่งความเร็วเข้าด้านในและทำการเลี้ยว

เนื่องจากความเร่งสู่ศูนย์กลางคือ:

${\displaystyle a={v^{2} \over r}}$

ในระหว่างการเลี้ยวที่สมดุลซึ่งมุมเอียงคือแรงยกจะกระทำในมุมที่ห่างจากแนวตั้ง จึงเป็นประโยชน์ที่จะแยกแรงยกออกเป็นส่วนประกอบในแนวตั้งและส่วนประกอบในแนวนอน${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

กฎข้อที่สองของนิวตันในทิศทางแนวนอนสามารถแสดงออกมาในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:

${\displaystyle L\sin \theta ={mv^{2} \over r}}$

ที่ไหน:

${\displaystyle L}$แรงยกที่กระทำต่อเครื่องบิน

${\displaystyle \theta }$คือมุมเอียงของเครื่องบิน

${\displaystyle m}$คือมวลของเครื่องบิน

${\displaystyle v}$คือความเร็วลมที่แท้จริงของเครื่องบิน

${\displaystyle r}$คือรัศมีของการเลี้ยว

ในการบินตรงระดับ แรงยกจะเท่ากับน้ำหนักของเครื่องบิน ในการบินเลี้ยว แรงยกจะมากกว่าน้ำหนักของเครื่องบิน และจะเท่ากับน้ำหนักของเครื่องบิน ( ) หารด้วยโคไซน์ของมุมเอียง:${\displaystyle g}$

${\displaystyle L={mg \over {\cos \theta }}}$

ความแรงของสนามโน้มถ่วงอยู่ที่ไหน${\displaystyle g}$

ตอนนี้สามารถคำนวณรัศมีของการเลี้ยวได้แล้ว: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle r={v^{2} \over {g\tan \theta }}}$

สูตรนี้แสดงให้เห็นว่ารัศมีวงเลี้ยวแปรผันตรงกับกำลังสองของความเร็วลมจริง ของเครื่องบิน ยิ่งความเร็วลมสูง รัศมีวงเลี้ยวก็จะยิ่งกว้างขึ้น และยิ่งความเร็วลมต่ำ รัศมีวงเลี้ยวก็จะยิ่งแคบลง

สูตรนี้ยังแสดงให้เห็นว่ารัศมีวงเลี้ยวจะลดลงตามมุมเอียงของทาง ยิ่งมุมเอียงของทางสูง รัศมีวงเลี้ยวก็จะยิ่งแคบลง และยิ่งมุมเอียงของทางต่ำ รัศมีวงเลี้ยวก็จะยิ่งกว้างขึ้น

ในการเลี้ยวเอียงที่ระดับความสูงคงที่ค่าสัมประสิทธิ์แรงยกจะเท่ากับเราจะเห็นได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์แรงยกในการบินตรงและระดับคือเนื่องจากและเพื่อให้เกิดแรงยกเพียงพอที่จะรักษาระดับความสูงคงที่ ค่าสัมประสิทธิ์แรงยกจะต้องเข้าใกล้ค่าอนันต์เมื่อมุมเอียงเข้าใกล้และเข้าใกล้ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในทางกายภาพ เพราะข้อจำกัดทางโครงสร้างของเครื่องบินหรือความทนทานทางกายภาพของผู้โดยสารจะเกินขีดจำกัดไปก่อนหน้านั้นมาก${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \cos(0)=1}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle 0}$

สนาม กรีฑาในร่มส่วนใหญ่มีทางโค้งเอียง เนื่องจากลู่มีขนาดเล็กกว่า ลู่ กลางแจ้งทางโค้งแคบๆ บนลู่ขนาดเล็กเหล่านี้มักจะเอียงเพื่อให้นักกีฬาสามารถเอนตัวเข้าด้านในและลดแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางขณะวิ่งเข้าโค้ง การเอนตัวนี้จะเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษใน การแข่งขัน วิ่งระยะสั้น^{[ 6 ]}

• 
  นักวิ่งระยะสั้นกำลังโน้มตัวเข้าโค้งบนลู่วิ่งในร่มที่มีความลาดเอียง