ปัญหาล้มละลาย [ ^{1 ]}หรือเรียกอีกอย่างว่าปัญหาการเรียกร้อง^{[ 2 ]}คือปัญหาของการกระจายสินค้าที่แบ่งได้เหมือนกัน (เช่น เงิน) ระหว่างผู้คนที่มีการเรียกร้องที่แตกต่างกัน^โดยมุ่งเน้นที่กรณีที่จำนวนเงินไม่เพียงพอที่จะชำระการเรียกร้องทั้งหมด

ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปคือบริษัทที่ล้มละลาย และกำลังจะถูกชำระบัญชี บริษัทดังกล่าวเป็นหนี้ เจ้าหนี้หลายรายในจำนวนเงินที่แตกต่างกันแต่สินทรัพย์รวมของบริษัทมีมูลค่าน้อยกว่าหนี้สินรวม ปัญหาคือจะแบ่งเงินที่มีอยู่อย่างจำกัดนี้ให้แก่เจ้าหนี้อย่างไร

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้คือการแบ่งมรดกให้แก่ทายาท หลายคน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่มรดกนั้นไม่สามารถชำระภาระผูกพันทั้งหมดของผู้ตายได้

การประยุกต์ใช้ประการที่สาม^{[ 2 ]}คือการประเมินภาษีเราอาจพิจารณาผู้เรียกร้องเป็นผู้เสียภาษี การเรียกร้องเป็นรายได้ และเงินบริจาคเป็นรายได้สุทธิหลังหักภาษี การกำหนดการจัดสรรรายได้สุทธิหลังหักภาษีเทียบเท่ากับการกำหนดการจัดสรรการชำระภาษี

จำนวนเงินที่สามารถแบ่งได้จะแสดงด้วย(=มรดกหรือทรัพย์สินที่มอบให้) มีผู้เรียกร้องสิทธิ์nราย ผู้เรียกร้องสิทธิ์แต่ละรายiมีสิทธิ์เรียกร้องซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle E}$${\displaystyle c_{i}}$

สันนิษฐานว่ามูลค่ารวมของหนี้สินทั้งหมดนั้น (โดยประมาณ) มากกว่าทรัพย์สินทั้งหมด ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$

กฎการแบ่งส่วนคือฟังก์ชันที่แปลงอินสแตนซ์ของปัญหาไปเป็นเวกเตอร์โดยที่และสำหรับทุกiกล่าวคือ ผู้เรียกร้องแต่ละรายจะได้รับส่วนแบ่งไม่เกินจำนวนที่ตนเรียกร้อง และผลรวมของส่วนแบ่งทั้งหมดจะเท่ากับทรัพย์สินEพอดี ${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n},E)}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

มีรูปแบบทั่วไปบางกรณีที่มูลค่าการเรียกร้องทั้งหมดอาจน้อยกว่ามูลค่าทรัพย์สิน ในรูปแบบทั่วไปเหล่านี้ไม่ถือว่าเป็นไปตามข้อกำหนด และไม่จำเป็นต้องมี ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

อีกหนึ่งแนวคิดทั่วไปที่ได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาล้มละลายในความเป็นจริง คือการเพิ่มลำดับความสำคัญจากภายนอกเข้าไปในกลุ่มผู้เรียกร้อง ซึ่งอาจแตกต่างกันได้แม้กระทั่งสำหรับผู้เรียกร้องที่มีข้อเรียกร้องเหมือนกัน ปัญหานี้เรียกว่าปัญหาการเรียกร้องที่มีลำดับความสำคัญอีกรูปแบบหนึ่งเรียกว่าปัญหาการเรียกร้องที่มีน้ำหนัก

มีกฎต่างๆ มากมายสำหรับการแก้ไขปัญหาการล้มละลายในทางปฏิบัติ^{[ 1 ]}

• กฎการแบ่งตามสัดส่วนจะแบ่งทรัพย์สินตามสัดส่วนให้กับผู้เรียกร้องแต่ละราย กล่าวคือ ผู้เรียกร้องแต่ละรายจะได้รับโดยที่rเป็นค่าคงที่ที่เลือกไว้เพื่อให้เราจะใช้สัญลักษณ์ แทนผลลัพธ์ของกฎการแบ่งตามสัดส่วน${\displaystyle r\cdot c_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r\cdot c_{i}=E}$${\displaystyle PROP(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• มีรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่ากฎสัดส่วนการเรียกร้องที่ถูกตัดทอนซึ่งการเรียกร้องแต่ละรายการที่มากกว่า^Eจะถูกตัดทอนเป็นEจากนั้นกฎสัดส่วนจะถูกเปิดใช้งาน นั่นคือ เท่ากับโดยที่^[ 2 ^]${\displaystyle PROP(c_{1}',\ldots ,c_{n}',E)}$${\displaystyle c'_{i}:=\min(c_{i},E)}$
• กฎสัดส่วนที่ปรับปรุงแล้ว^{[ 3 ]}จะให้สิทธิ์ขั้นต่ำแก่ตัวแทน i แต่ละรายก่อนซึ่งเป็นจำนวนที่ตัวแทนอื่นไม่ได้เรียกร้อง ในทางรูปแบบ. โปรดทราบว่าหมายความ ว่า . จากนั้น จะแก้ไขการเรียกร้องของตัวแทนiเป็นและทรัพย์สินเป็น. โปรดทราบว่า. สุดท้าย จะเปิดใช้งานกฎสัดส่วนการเรียกร้องที่ถูกตัดทอน นั่นคือ จะส่งคืนโดยที่. เมื่อมีผู้เรียกร้องสองราย การเรียกร้องที่แก้ไขแล้วจะเท่ากันเสมอ ดังนั้นส่วนที่เหลือจึงถูกแบ่งเท่าๆ กัน เมื่อมีผู้เรียกร้องสามรายขึ้นไป การเรียกร้องที่แก้ไขแล้วอาจแตกต่างกัน${\displaystyle m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$${\displaystyle m_{i}\leq c_{i}}$${\displaystyle c'_{i}:=c_{i}-m_{i}}$${\displaystyle E':=E-\sum _{i}m_{i}}$${\displaystyle E'\geq 0}$${\displaystyle TPROP(c_{1},\ldots ,c_{n},E')=PROP(c_{1}'',\ldots ,c_{n}'',E')}$${\displaystyle c''_{i}:=\min(c'_{i},E')}$
• กฎการแบ่งรางวัลเท่าๆ กันแบบจำกัดจะแบ่งทรัพย์สินอย่างเท่าเทียมกันระหว่างตัวแทน ทำให้มั่นใจได้ว่าไม่มีใครได้รับมากกว่าสิทธิ์เรียกร้องของตน ในทางรูปธรรม ผู้เรียกร้องแต่ละรายจะได้รับโดยที่rเป็นค่าคงที่ที่เลือกไว้เพื่อให้ เราใช้สัญลักษณ์แทนผลลัพธ์ของกฎนี้ในบริบทของการเก็บภาษี เรียกว่าภาษีปรับระดับ^{[ 2 ]}${\displaystyle \min(c_{i},r)}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\min(c_{i},r)=E}$${\displaystyle CEA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• กฎการสูญเสียที่เท่ากันแบบจำกัดจะแบ่งส่วนต่างระหว่างการเรียกร้องโดยรวมและทรัพย์สินอย่างเท่าเทียมกัน ทำให้มั่นใจได้ว่าไม่มีตัวแทนรายใดได้รับการโอนที่เป็นลบ ในทางรูปแบบ ผู้เรียกร้องแต่ละรายi จะได้รับโดยที่rถูกเลือกเพื่อให้กฎนี้ได้รับการกล่าวถึงโดยMaimonides ^{[ 4 ]}ในบริบทของการเก็บภาษี เรียกว่าภาษีหัวคน${\displaystyle \max(0,c_{i}-r)}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\max(0,c_{i}-r)=E}$
• กฎเกี่ยวกับเสื้อผ้าที่เป็นข้อพิพาท (เรียกอีกอย่างว่ากฎทัลมุด ) ใช้กฎ CEA กับครึ่งหนึ่งของข้อเรียกร้องหากทรัพย์สินมีมูลค่าน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของข้อเรียกร้องทั้งหมด มิเช่นนั้น จะให้ผู้เรียกร้องแต่ละรายได้รับครึ่งหนึ่งของข้อเรียกร้อง และใช้กฎ CEL กล่าวคือ ถ้าแล้วมิฉะนั้น ...${\displaystyle 2E<\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=c/2+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}$
• กฎต่อไปนี้มีที่มาจาก[ ^{2 ] Piniles} [ ^{5 ] หาก}ผลรวมของข้อเรียกร้องมากกว่า 2 Eให้ใช้กฎ CEA กับข้อเรียกร้องครึ่งหนึ่ง นั่นคือ จะส่งคืน มิฉะนั้น จะให้ตัวแทนแต่ละคนได้รับข้อเรียกร้องครึ่งหนึ่ง แล้วจึงใช้ CEA กับส่วนที่เหลือ นั่นคือ จะส่งคืน${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}$
• กฎความเสมอภาคแบบจำกัด^{[ 6 ]}ทำงานดังนี้ หากผลรวมของข้อเรียกร้องมากกว่า 2 Eระบบจะใช้กฎ CEA กับข้อเรียกร้องครึ่งหนึ่ง โดยให้ผู้เรียกร้องแต่ละรายi มิฉะนั้น ระบบจะให้ตัวแทนแต่ละราย i ในทั้งสองกรณีrเป็นค่าคงที่ที่เลือกเพื่อให้ผลรวมของการจัดสรรเท่ากับE${\displaystyle \min(c_{i}/2,r)}$${\displaystyle \max(c_{i}/2,\min(c_{i},r))}$
• กฎการมาถึงแบบสุ่มทำงานดังนี้ สมมติว่าผู้เรียกร้องมาถึงทีละราย ผู้เรียกร้องแต่ละรายจะได้รับสิทธิ์เรียกร้องทั้งหมดตามจำนวนเงินที่มีอยู่ กฎนี้จะส่งคืนค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์การจัดสรรที่ได้เมื่อลำดับการมาถึงถูกเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ^{[ 7 ]}อย่างเป็นทางการ:

${\displaystyle RA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in {\text{permutations}}}\min(c_{i},\max(0,E-\sum _{\pi (j)<\pi (i)}c_{j}))}$.

เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงปัญหาการล้มละลายแต่ละปัญหากับ ปัญหา การเจรจาต่อรองแบบร่วมมือและใช้กฎการเจรจาต่อรองเพื่อแก้ไขปัญหาการล้มละลาย จากนั้น:

• วิธีแก้ปัญหาการเจรจาต่อรองของแนชสอดคล้องกับกฎการให้รางวัลที่เท่าเทียมกันแบบมีข้อจำกัด^{[ 8 ]}
• วิธีแก้ปัญหาการเจรจาต่อรองแบบพจนานุกรม-เสมอภาคยังสอดคล้องกับกฎการให้รางวัลที่เท่าเทียมกันแบบมีข้อจำกัดด้วย^{[ 2 ]}
• ^{วิธีแก้ปัญหาการ ต่อ} รองแบบ Nashที่มีน้ำหนักโดยมีน้ำหนักเท่ากับการเรียกร้อง สอดคล้องกับกฎสัดส่วน [ ^{8 ]}
• วิธีแก้ปัญหาการเจรจาต่อรอง ของKalai-Smorodinskyสอดคล้องกับกฎสัดส่วนการเรียกร้องที่ถูกตัดทอน^{[ 8 ]}
• วิธีแก้ปัญหาการเจรจาต่อรองการสูญเสียที่เท่ากันแบบขยายสอดคล้องกับกฎการสูญเสียที่เท่ากันแบบจำกัดการเรียกร้องที่ถูกตัดทอน^{[ 2 ]}

เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงปัญหาการล้มละลายแต่ละปัญหากับเกมความร่วมมือซึ่งมูลค่าของแต่ละกลุ่มคือสิทธิ์ขั้นต่ำ ของ กลุ่มนั้น นั่นคือจำนวนเงินที่กลุ่มนี้สามารถรับประกันได้หากผู้เรียกร้องรายอื่นทั้งหมดได้รับสิทธิ์เรียกร้องเต็มจำนวน (นั่นคือจำนวนเงินที่กลุ่มนี้จะได้รับโดยไม่ต้องขึ้นศาล) ในทางรูปธรรม มูลค่าของแต่ละเซตย่อยSของผู้เรียกร้องคือเกมที่ได้จะเป็นแบบนูน^{[ 4 ]}ดังนั้นแกนหลัก ของเกม จึงไม่ว่างเปล่า เราสามารถใช้แนวคิดการแก้ปัญหาสำหรับเกมความร่วมมือเพื่อแก้ปัญหาการล้มละลายที่เกี่ยวข้องได้ กฎการแบ่งทุกข้อที่ขึ้นอยู่กับการเรียกร้องที่ถูกตัดทอนเท่านั้นจะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาของเกมความร่วมมือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: ${\displaystyle v(S):=\max \left(0,~E-\sum _{j\not \in S}c_{j}\right)}$

• ค่าShapleyสอดคล้องกับกฎการมาถึงแบบสุ่ม^{[ 7 ]}
• พรีนิวคลีโอลัสสอดคล้องกับกฎของทัลมุด^{[ 4 ]}
• วิธีแก้ปัญหาของ Dutta-Ray สอดคล้องกับกฎการให้รางวัลที่เท่าเทียมกันแบบมีข้อจำกัด^{[ 9 ]}
• วิธีแก้ปัญหาค่าเทาจะสอดคล้องกับกฎสัดส่วนที่ปรับแล้ว^{[ 3 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการเชื่อมโยงปัญหาการเรียกร้องกับเกมความร่วมมือ^{[ 10 ]}คือสิทธิ์สูงสุด - จำนวนที่กลุ่มพันธมิตรนี้สามารถรับประกันได้หากผู้เรียกร้องรายอื่นทั้งหมดสละสิทธิ์เรียกร้องของตน: ${\displaystyle v(S):=\min \left(E,\sum _{j\in S}c_{j}\right)}$

ในสถานการณ์ส่วนใหญ่ กฎการหารมักจะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

• ความเป็นไปได้ : ผลรวมของการจัดสรรมีมูลค่าสูงสุดไม่เกินมูลค่าทรัพย์สินทั้งหมด${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq E}$
• ประสิทธิภาพ : แข็งแกร่งกว่าความเป็นไปได้: ผลรวมของการจัดสรรเท่ากับทรัพย์สินทั้งหมด${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$
• จำนวนเงินที่ไม่ติดลบ : ผู้เรียกร้องแต่ละรายควรได้รับเงินจำนวนที่ไม่ติดลบ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq 0}$
• ขอบเขตการเรียกร้องสิทธิ์ : ผู้เรียกร้องแต่ละรายควรได้รับสิทธิ์เรียกร้องสูงสุดไม่เกินจำนวนเงินที่กำหนด${\displaystyle \forall i:x_{i}\leq c_{i}}$
• สิทธิขั้นต่ำ : แข็งแกร่งกว่าการไม่เป็นลบ: ผู้เรียกร้องแต่ละรายควรได้รับสิทธิขั้นต่ำของตนอย่างน้อยที่สุด ซึ่งเป็นสิ่งที่เหลืออยู่หากตัวแทนรายอื่น ๆ ทั้งหมดได้รับสิทธิเรียกร้องเต็มจำนวน ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq m_{i},{\text{ where }}m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$
  • โปรดทราบว่าประสิทธิภาพ ความไม่เป็นลบ และการจำกัดขอบเขตการเรียกร้องสิทธิ์นั้น เมื่อรวมกันแล้วจะหมายถึงสิทธิ์ขั้นต่ำ
• การปฏิบัติต่อผู้มีสิทธิ์เท่าเทียมกัน (ETE) : ผู้เรียกร้องสองรายที่มีข้อเรียกร้องเหมือนกัน ควรได้รับการจัดสรรที่เหมือนกันในปัญหาทั่วไปของข้อเรียกร้องที่มีลำดับความสำคัญการปฏิบัติต่อผู้มีสิทธิ์เท่าเทียมกันนั้นจำเป็นต้องใช้กับผู้เรียกร้องในแต่ละระดับลำดับความสำคัญ แต่ไม่จำเป็นต้องใช้กับผู้เรียกร้องในระดับลำดับความสำคัญที่แตกต่างกัน${\displaystyle c_{i}=c_{j}\implies x_{i}=x_{j}}$
• การปฏิบัติต่อกลุ่มที่เท่าเทียมกันอย่างเท่าเทียมกัน : เข้มงวดกว่า ETE: กลุ่มย่อยสองกลุ่มของผู้เรียกร้องที่มีมูลค่าเรียกร้องรวมเท่ากัน ควรได้รับการจัดสรรรวมเท่ากัน
• การปกปิดตัวตน : มีประสิทธิภาพมากกว่า ETE: หากเราสลับลำดับเวกเตอร์ของการเรียกร้อง เวกเตอร์ของการจัดสรรก็จะถูกสลับลำดับตามไปด้วย
• การรักษาระเบียบ : แข็งแกร่งกว่า ETE: ตัวแทนที่มีการเรียกร้องที่สูงกว่าเล็กน้อยควรได้รับมากขึ้นเล็กน้อยและควรสูญเสียมากขึ้นเล็กน้อย: .${\displaystyle c_{i}\geq c_{j}\implies (x_{i}\geq x_{j}{\text{ and }}c_{i}-x_{i}\geq c_{j}-x_{j})}$
• การรักษาลำดับกลุ่ม : มีประสิทธิภาพมากกว่าทั้งการรักษาลำดับกลุ่มแบบ ETE และการรักษาลำดับทั่วไป: โดยกำหนดให้มีการรักษาลำดับระหว่างกลุ่มย่อยของเอเจนต์ทุกๆ สองกลุ่ม

ปัญหาการล้มละลายซ้ำ (หรือที่เรียกว่าปัญหาการเรียกร้องแบบไดนามิก ) เป็นส่วนขยายของแบบจำลองพื้นฐาน ซึ่งปัญหาการล้มละลายที่มีผู้เล่นชุดเดียวกัน (แต่มีการเรียกร้องและเงินทุนที่แตกต่างกัน) เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ตัวอย่างเช่น^{[ 11 ]}ในค่ายผู้ลี้ภัย อาหารและเงินที่มีอยู่จะถูกปันส่วนให้กับผู้ลี้ภัยทุกเดือน การจัดสรรในเหตุการณ์ที่ผ่านมาอาจส่งผลต่อการจัดสรรในเหตุการณ์ปัจจุบัน Moreno-Ternero และ Vidal-Puga ^{[ 11 ]}นำเสนอสัจพจน์ที่สมเหตุสมผลหลายประการที่ควรเป็นไปตามกฎการจัดสรรที่คำนึงถึงประวัติ

• สิทธิ์ (การแบ่งปันอย่างเป็นธรรม)
• การแบ่งเค้กตามสัดส่วนโดยมีสิทธิ์แตกต่างกัน
• ปัญหาการล้มละลายเชิงกลยุทธ์
• เสมอบ่าเสมอไหล่