อนุญาต${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$และ${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$เป็นการแจกแจงส่วนชายขอบของ${\displaystyle T}$และ${\displaystyle A}$ตามลำดับ

กำหนดให้โดย${\displaystyle A^{-1}(B)}$ภาพต้นแบบของเซต${\displaystyle B}$ใต้แผนที่${\displaystyle A}$สำหรับชุดที่วัดได้ใดๆ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$เรามี

${\displaystyle P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}(B))=\int _{Y}P_{\theta }(A^{-1}(B)\mid T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt).}$

การแจกจ่าย${\displaystyle P_{\theta }^{A}}$ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \theta }$ เพราะ${\displaystyle A}$ เป็นส่วนประกอบเสริม ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle P_{\theta }(\cdot \mid T=t)}$ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \theta }$เพราะ${\displaystyle T}$เพียงพอแล้ว ดังนั้น

${\displaystyle \int _{Y}{\big [}P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0.}$

โปรดสังเกตว่าฟังก์ชันที่อยู่ภายในอินทิกรัล (integrand) เป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle t}$และไม่ใช่${\displaystyle \theta }$ดังนั้น เนื่องจาก${\displaystyle T}$ฟังก์ชันนั้นสมบูรณ์แบบอย่างมีขอบเขต

${\displaystyle g(t)=P(A^{-1}(B)\mid T=t)-P^{A}(B)}$

เป็นศูนย์สำหรับ${\displaystyle P_{\theta }^{T}}$ค่าเกือบทั้งหมดของ${\displaystyle t}$และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle P(A^{-1}(B)\mid T=t)=P^{A}(B)}$

สำหรับเกือบทั้งหมด${\displaystyle t}$. ดังนั้น,${\displaystyle A}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle T}$.

ให้X , X , ..., X เป็นตัวแปรสุ่มปกติ อิสระที่มีการ แจกแจงเหมือนกัน โดยมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ ²

จากนั้น เมื่อพิจารณาพารามิเตอร์μ แล้ว สามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง เป็นสถิติที่สมบูรณ์และเพียงพอ – เป็นข้อมูลทั้งหมดที่สามารถหาได้เพื่อประมาณค่าμและไม่มีข้อมูลอื่นใดเพิ่มเติม – และ

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

ค่าความแปรปรวนของตัวอย่าง เป็นสถิติเสริม – การกระจายของค่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับμ

ดังนั้น จากทฤษฎีบทของ Basu จึงสรุปได้ว่า สถิติเหล่านี้เป็นอิสระต่อกันโดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle \mu }$โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

ผลลัพธ์เรื่องความเป็นอิสระนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทของ Cochranเช่น กัน

นอกจากนี้ คุณสมบัตินี้ (ที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างของการแจกแจงปกติเป็นอิสระต่อกัน) เป็นลักษณะเฉพาะของการแจกแจงปกติ – ไม่มีการแจกแจงอื่นใดที่มีคุณสมบัตินี้^{[ 3 ]}