ในกลศาสตร์ประยุกต์การดัดงอ (หรือที่เรียกว่าการโค้งงอ ) เป็นลักษณะเฉพาะของพฤติกรรมของ ชิ้นส่วน โครงสร้าง ที่เรียวบาง ซึ่งรับแรง ภายนอกที่ กระทำตั้งฉากกับแกนตามยาวของชิ้นส่วนนั้น

องค์ประกอบโครงสร้างนั้นถือว่าอย่างน้อยหนึ่งมิติเป็นเศษส่วนเล็กน้อย โดยทั่วไปคือ 1/10 หรือน้อยกว่าของอีกสองมิติ^{[ 1 ]}เมื่อความยาวมากกว่าความกว้างและความหนามาก องค์ประกอบนั้นเรียกว่าคานตัวอย่างเช่นราวแขวน เสื้อผ้า ที่หย่อนลงเนื่องจากน้ำหนักของเสื้อผ้าบนไม้แขวนเสื้อเป็นตัวอย่างของคานที่เกิดการดัดงอ ในทางกลับกัน เปลือกเป็นโครงสร้างที่มีรูปทรงเรขาคณิตใดๆ ที่ความยาวและความกว้างมีขนาดใกล้เคียงกัน แต่ความหนาของโครงสร้าง (เรียกว่า 'ผนัง') มีขนาดเล็กกว่ามาก ท่อขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่แต่ผนังบาง สั้น รองรับที่ปลายทั้งสองข้างและรับน้ำหนักด้านข้าง เป็นตัวอย่างของเปลือกที่เกิดการดัดงอ

ในกรณีที่ไม่มีคำคุณศัพท์ คำว่าการดัดงอจะมีความหมายกำกวม เพราะการดัดงอสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะที่ในวัตถุทุกชนิด ดังนั้น เพื่อให้การใช้คำมีความแม่นยำมากขึ้น วิศวกรจึงอ้างถึงวัตถุที่เฉพาะเจาะจง เช่น^การ ดัดงอ ของแท่ง^{[ 2 ]}การดัดงอของคาน [ ^{1 ]}การ ดัดงอ ของแผ่น^{[ 3 ]}การดัดงอของเปลือก^{[ 2 ]}และอื่นๆ

เมื่อมีแรงกระทำในแนวขวาง คานจะเกิดการเสียรูปและเกิดความเค้นภายใน ในกรณีแบบกึ่งสถิต ปริมาณการโก่งตัวและความเค้นที่เกิดขึ้นจะถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ในคานแนวนอนที่รองรับที่ปลายทั้งสองข้างและรับน้ำหนักลงตรงกลาง วัสดุด้านบนของคานจะถูกอัด ในขณะที่วัสดุด้านล่างจะถูกยืดออก ความเค้นภายในที่เกิดจากแรงกระทำด้านข้างมีสองรูปแบบ:

• แรงเฉือนขนานกับแรงด้านข้าง บวกกับแรงเฉือนเสริมบนระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางของแรง
• แรงอัดโดยตรงในบริเวณส่วนบนของคาน ส่วนใหญ่ใช้กับชิ้นส่วนคอนกรีตเสริมเหล็ก และ
• ความเค้นดึงโดยตรงซึ่งใช้ได้กับชิ้นส่วนเหล็ก และเกิดขึ้นที่บริเวณด้านล่างของคาน

แรงสองแรงสุดท้ายนี้ก่อให้เกิดคู่หรือโมเมนต์เนื่องจากมีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงข้ามโมเมนต์ดัด นี้ ต้านทานการเสียรูปที่หย่อนคล้อยซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของคานที่เกิดการดัด การกระจายความเค้นในคานสามารถทำนายได้อย่างแม่นยำเมื่อใช้สมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นบางประการ^{[ 1 ]}

ในทฤษฎีของออยเลอร์-เบอร์นูลลีสำหรับคานเรียว ข้อสมมติฐานหลักคือ 'หน้าตัดระนาบยังคงเป็นระนาบ' กล่าวคือ ไม่พิจารณาการเสียรูปใดๆ ที่เกิดจากการเฉือนข้ามหน้าตัด (ไม่มีการเสียรูปจากการเฉือน) นอกจากนี้ การกระจายเชิงเส้นนี้จะใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ความเค้นสูงสุดน้อยกว่าความเค้นคราคของวัสดุ สำหรับความเค้นที่เกินความเค้นคราค โปรดดูบทความเรื่องการดัดแบบพลาสติกที่ความเค้นคราค ความเค้นสูงสุดที่เกิดขึ้นในหน้าตัด (ที่จุดที่ไกลที่สุดจากแกนกลางของคาน) จะถูกกำหนดให้เป็นความแข็งแรงดัด

พิจารณาคานที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• คานเดิมนั้นตรงและเรียว และการเรียวลงนั้นมีเพียงเล็กน้อย
• วัสดุนี้เป็นไอโซโทรปิก (หรือออร์โธโทรปิก ) ยืดหยุ่นเชิงเส้นและเป็นเนื้อเดียวกันตลอดหน้าตัดใดๆ (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเนื้อเดียวกันตลอดความยาว)
• พิจารณาเฉพาะการเบี่ยงเบนเล็กน้อยเท่านั้น

ในกรณีนี้ สมการที่อธิบายการโก่งตัวของคาน ( ) สามารถประมาณได้ดังนี้: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

โดยที่อนุพันธ์อันดับสองของรูปทรงที่เบี่ยงเบนไปเมื่อเทียบกับจะถูกตีความว่าเป็นความโค้งของคานนั้นคือ โมดูลั สของยังคือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัด และคือโมเมนต์ดัดภายในคาน ${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$

นอกจากนี้ หากคานมีความสม่ำเสมอตลอดความยาวและไม่เรียว (กล่าวคือหน้าตัดคงที่) และโก่งตัวภายใต้แรงตามขวางที่กระทำก็สามารถแสดงได้ว่า: ^{[ 1 ]}${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

นี่คือสมการออยเลอร์-เบอร์นูลลีสำหรับการดัดคาน

หลังจากได้คำตอบสำหรับการกระจัดของคานแล้ว สามารถคำนวณโมเมนต์ดัด ( ) และแรงเฉือน ( ) ในคานได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

การดัดคานแบบง่ายมักจะวิเคราะห์ด้วยสมการคานออยเลอร์-เบอร์นูลลี เงื่อนไขสำหรับการใช้ทฤษฎีการดัดแบบง่ายมีดังนี้: ^{[ 4 ]}

1. คานนี้รับแรงดัดอย่างเดียวหมายความว่าแรงเฉือนเป็นศูนย์ และไม่มีแรงบิดหรือแรงตามแนวแกนกระทำ
2. วัสดุนี้เป็นไอโซโทรปิก (หรือออร์โธโทรปิก ) และ เป็น เนื้อเดียวกัน
3. วัสดุนี้เป็นไปตามกฎของฮุค (มีความยืดหยุ่นเชิงเส้นและจะไม่เสียรูปถาวร)
4. คานนั้นเดิมทีเป็นเส้นตรง โดยมีหน้าตัดคงที่ตลอดความยาวของคาน
5. คานมีแกนสมมาตรอยู่ในระนาบการดัดงอ
6. สัดส่วนของคานเป็นเช่นนั้น ทำให้เกิดการพังทลายจากการโค้งงอมากกว่าการยุบตัว การย่น หรือการโก่ง ตัวด้าน ข้าง
7. หน้าตัดของคานยังคงเป็นระนาบในระหว่างการดัดงอ

ภายใต้แรงดัด แรงอัดและแรงดึงจะเกิดขึ้นในทิศทางตามแนวแกนของคาน แรงเหล่านี้ทำให้เกิดความเค้นบนคาน ความเค้นอัดสูงสุดจะอยู่ที่ขอบบนสุดของคาน ในขณะที่ความเค้นดึงสูงสุดจะอยู่ที่ขอบล่างของคาน เนื่องจากความเค้นระหว่างจุดสูงสุด ทั้งสองนี้ แปรผันเป็นเส้นตรงดังนั้นจึงมีจุดหนึ่งบนเส้นตรงระหว่างจุดทั้งสองนี้ที่ไม่มีความเค้นดัดตำแหน่งของจุดเหล่านี้เรียกว่าแกนกลาง เนื่องจากมีบริเวณที่ไม่มีความเค้นและบริเวณใกล้เคียงที่มีความเค้นต่ำ การใช้คานหน้าตัดสม่ำเสมอในการดัดจึงไม่ใช่วิธีการรับน้ำหนักที่มีประสิทธิภาพนัก เพราะไม่ได้ใช้ความสามารถเต็มที่ของคานจนกว่าจะใกล้พัง คานหน้าตัดกว้าง (Ɪ -beams ) และคานโครงถักช่วยแก้ปัญหาความไม่ eficiente นี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากช่วยลดปริมาณวัสดุในบริเวณที่มีความเค้นต่ำนี้ให้น้อยที่สุด

สูตรคลาสสิกสำหรับการกำหนดความเค้นดัดในคานภายใต้การดัดแบบง่ายคือ: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$คือความเค้นดัด
• ${\displaystyle M_{z}}$– ช่วงเวลาเกี่ยวกับแกนกลางที่เป็นกลาง
• ${\displaystyle y}$– ระยะตั้งฉากกับแกนกลาง
• ${\displaystyle I_{z}}$– โมเมนต์ ที่สองของพื้นที่รอบแกนกลางz
• ${\displaystyle W_{z}}$- โมเมนต์ต้านทานรอบแกนกลางz${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

สมการนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อความเค้นที่ปลายเส้นใย (กล่าวคือ ส่วนของคานที่อยู่ห่างจากแกนกลางมากที่สุด) ต่ำกว่าความเค้นคราคของวัสดุที่ใช้สร้างคานนั้น ที่แรงกระทำสูงขึ้น การกระจายความเค้นจะไม่เป็นเชิงเส้น และวัสดุที่อ่อนตัวได้จะเข้าสู่ สภาวะ บานพับพลาสติก ในที่สุด ซึ่งขนาดของความเค้นจะเท่ากับความเค้นคราคทุกจุดในคาน โดยมีความไม่ต่อเนื่องที่แกนกลางซึ่งความเค้นเปลี่ยนจากแรงดึงเป็นแรงอัด สภาวะ บานพับพลาสติก นี้ มักใช้เป็นสภาวะจำกัดในการออกแบบโครงสร้างเหล็ก ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

สมการข้างต้นใช้ได้เฉพาะกรณีที่หน้าตัดสมมาตรเท่านั้น สำหรับคานเนื้อเดียวกันที่มีหน้าตัดไม่สมมาตร ความเค้นดัดสูงสุดในคานจะคำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^{[ 6 ]}

โดยที่ และคือพิกัดของจุดบนหน้าตัดที่ต้องการหาค่าความเค้น ดังแสดงในภาพด้านขวาและคือโมเมนต์ดัดรอบแกน y และ z และคือโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ (ซึ่งแตกต่างจากโมเมนต์ความเฉื่อย) รอบแกน y และ z และคือผลคูณของโมเมนต์ของพื้นที่ โดยใช้ สมการนี้ สามารถคำนวณค่าความเค้นดัดที่จุดใดๆ บนหน้าตัดของคานได้ โดยไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของโมเมนต์หรือรูปทรงของหน้าตัด โปรดทราบว่าจะไม่เปลี่ยนแปลงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งบนหน้าตัด ${\displaystyle y,z}$${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle M_{z}}$${\displaystyle I_{y}}$${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle I_{yz}}$${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

สำหรับการเสียรูปขนาดใหญ่ของวัตถุ ความเค้นในหน้าตัดจะคำนวณโดยใช้สูตรที่ปรับปรุงแล้ว โดยต้องตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้ก่อน:

1. ข้อสมมติฐานเกี่ยวกับหน้าตัดเรียบ – ก่อนและหลังการเสียรูป หน้าตัดของวัตถุที่พิจารณายังคงเรียบ (กล่าวคือ ไม่บิดเบี้ยว)
2. แรงเฉือนและแรงดึงปกติในส่วนนี้ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของหน้าตัดจะไม่มีผลต่อแรงดึงปกติที่ขนานกับส่วนนี้

ควรพิจารณาการดัดโค้งขนาดใหญ่เมื่อรัศมีการดัดโค้งน้อยกว่าสิบเท่าของความสูงหน้าตัด h: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

ภายใต้สมมติฐานเหล่านั้น ความเค้นในการดัดงอขนาดใหญ่คำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle F}$คือ แรงปกติ

${\displaystyle A}$คือ พื้นที่ส่วน

${\displaystyle M}$คือโมเมนต์ดัด

${\displaystyle \rho }$คือรัศมีการดัดเฉพาะที่ (รัศมีของการดัด ณ ส่วนปัจจุบัน)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ตามแนวแกนxณตำแหน่งนั้น (ดูทฤษฎีบทของสไตเนอร์ )${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$คือตำแหน่งตาม แกน y บนพื้นที่หน้าตัดที่ ใช้คำนวณความเค้น${\displaystyle \sigma }$

เมื่อรัศมีการดัดเข้าใกล้ค่าอนันต์สูตรเดิมก็จะกลับมา: ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

ในปี ค.ศ. 1921 ทิโมเชนโกได้ปรับปรุงทฤษฎีคานของออยเลอร์-เบอร์นูลลีโดยการเพิ่มผลของแรงเฉือนเข้าไปในสมการคาน ข้อสมมติทางจลศาสตร์ของทฤษฎีทิโมเชนโกมีดังนี้:

• เวกเตอร์ตั้งฉากกับแกนของคานยังคงเป็นเส้นตรงหลังจากเกิดการเสียรูป
• ความหนาของคานไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากเกิดการเสียรูป

อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับแกนเสมอหลังจากเกิดการเปลี่ยนรูป

สมการสำหรับการดัดแบบกึ่งสถิตของคานยืดหยุ่นเชิงเส้น ไอโซโทรปิก และเป็นเนื้อเดียวกันที่มีหน้าตัดคงที่ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้คือ^{[ 7 ]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

โดยที่คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดคือพื้นที่หน้าตัดคือโมดูลัสเฉือนคือ ตัวประกอบ การแก้ไขเฉือนและ คือแรงตามขวางที่กระทำ สำหรับวัสดุที่มีอัตราส่วนปัวซอง ( ) ใกล้เคียงกับ 0.3 ตัวประกอบการแก้ไขเฉือนสำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีค่าประมาณ ${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

การหมุน ( ) ของเวกเตอร์ปกติอธิบายได้ด้วยสมการ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

โมเมนต์ดัด ( ) และแรงเฉือน ( ) กำหนดโดย ${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

ตามทฤษฎีการดัดงอของออยเลอร์-เบอร์นูลลี ทิโมเชนโก หรือทฤษฎีอื่นๆ คานบนฐานรองรับยืดหยุ่นสามารถอธิบายได้ ในบางการใช้งาน เช่น รางรถไฟ ฐานรากของอาคารและเครื่องจักร เรือบนน้ำ รากของพืช ฯลฯ คานที่รับน้ำหนักจะได้รับการรองรับบนฐานรองรับยืดหยุ่นแบบต่อเนื่อง (กล่าวคือ ปฏิกิริยาต่อเนื่องเนื่องจากการรับน้ำหนักภายนอกจะกระจายไปตามความยาวของคาน) ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

การดัดแบบไดนามิกของคาน^{[ 12 ]}หรือที่รู้จักกันในชื่อการสั่นสะเทือนแบบดัดงอของคาน ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยDaniel Bernoulliในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 สมการการเคลื่อนที่ของคานที่สั่นของ Bernoulli มีแนวโน้มที่จะประเมินความถี่ธรรมชาติของคานสูงเกินไป และได้รับการปรับปรุงเล็กน้อยโดยRayleighในปี 1877 โดยการเพิ่มการหมุนของระนาบกลาง ในปี 1921 Stephen Timoshenkoได้ปรับปรุงทฤษฎีเพิ่มเติมโดยการรวมผลของแรงเฉือนต่อการตอบสนองแบบไดนามิกของคานที่ดัดงอ ซึ่งทำให้ทฤษฎีนี้สามารถนำไปใช้กับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความถี่การสั่นสะเทือนสูง ซึ่งทฤษฎี Euler–Bernoulli แบบไดนามิกไม่เพียงพอ ทฤษฎี Euler-Bernoulli และ Timoshenko สำหรับการดัดแบบไดนามิกของคานยังคงถูกใช้อย่างกว้างขวางโดยวิศวกร

สมการ Euler–Bernoulli สำหรับการดัดแบบไดนามิกของคานเรียว ไอโซโทรปิก เอกพันธ์ ที่มีหน้าตัดคงที่ภายใต้แรงตามขวางที่ใช้คือ^{[ 7 ]}${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

โดยที่คือโมดูลัสของยัง (Young's modulus), คือโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัด, คือการโก่งตัวของแกนกลางของคาน และคือมวลต่อหน่วยความยาวของคาน ${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle m}$

ในกรณีที่ไม่มีแรงตามขวางกระทำต่อคาน สมการการดัดจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

การสั่นสะเทือนแบบอิสระและกลมกลืนของคานสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

และสมการการดัดงอสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

คำตอบทั่วไปของสมการข้างต้นคือ

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

ค่าคงที่อยู่ ที่ไหนและ ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

รูปแบบการสั่นของคานยื่น

ในปี ค.ศ. 1877 เรย์ลีย์ได้เสนอการปรับปรุงทฤษฎีคานแบบไดนามิกของออยเลอร์-เบอร์นูลลี โดยรวมผลกระทบของความเฉื่อยจากการหมุนของหน้าตัดคานเข้าไปด้วย ทิโมเชนโกได้ปรับปรุงทฤษฎีนั้นในปี ค.ศ. 1922 โดยเพิ่มผลกระทบของการเฉือนเข้าไปในสมการคาน ทฤษฎีของทิโมเชนโก-เรย์ลีย์อนุญาตให้มีการเสียรูปจากการเฉือนในแนวตั้งฉากกับระนาบกลางของคานได้

สมการสำหรับการดัดของคานเชิงเส้นยืดหยุ่น ไอโซโทรปิก เอกพันธ์ ที่มีหน้าตัดคงที่ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้คือ^{[ 7 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

โดยที่คือโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของหน้าตัดคือมวลต่อหน่วยความยาวของคานคือความหนาแน่นของคานคือพื้นที่หน้าตัดคือโมดูลัสเฉือน และคือตัวประกอบการแก้ไขเฉือนสำหรับวัสดุที่มีอัตราส่วนปัวซอง ( ) ใกล้เคียงกับ 0.3 ตัวประกอบการแก้ไขเฉือนจะมีค่าประมาณ ${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$${\displaystyle m=\rho A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

สำหรับการสั่นสะเทือนแบบอิสระและกลมกลืน สมการของทิโมเชนโก-เรย์ลีห์จะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยสังเกตว่าอนุพันธ์ทั้งหมดของจะต้องมีรูปแบบเดียวกันเพื่อหักล้างกัน และด้วยเหตุนี้จึงคาดได้ว่าคำตอบจะมีรูปแบบดังกล่าว การสังเกตนี้ทำให้ได้สมการลักษณะเฉพาะ${\displaystyle w}$${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

คำตอบของสมการกำลังสี่ นี้ คือ

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการคาน Timoshenko-Rayleigh สำหรับการสั่นแบบอิสระ สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

ลักษณะเด่นของคานคือ มิติหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกสองมิติมาก ส่วนโครงสร้างที่เรียกว่าแผ่น คือโครงสร้างที่แบนราบและมิติหนึ่งมีขนาดเล็กกว่าอีกสองมิติมาก มีทฤษฎีหลายทฤษฎีที่พยายามอธิบายการเสียรูปและความเค้นในแผ่นภายใต้แรงกระทำ ซึ่งมีสองทฤษฎีที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ได้แก่...

• ทฤษฎีแผ่นเปลือกโลกของเคิร์ชฮอฟฟ์-เลิฟ (เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีแผ่นเปลือกโลกแบบคลาสสิก)
• ทฤษฎี แผ่นเปลือกโลก ของ Mindlin -Reissner (หรือเรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีแรงเฉือนอันดับแรกของแผ่นเปลือกโลก)

ข้อสมมติฐานของทฤษฎี Kirchhoff–Love คือ

• เส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบกลางจะยังคงเป็นเส้นตรงหลังจากเกิดการเสียรูป
• เส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบกลางจะยังคงตั้งฉากกับระนาบกลางต่อไปหลังจากเกิดการเสียรูป
• ความหนาของแผ่นจะไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการเสียรูป

ข้อสมมติเหล่านี้บ่งชี้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

โดยที่ คือการกระจัดของจุดบนแผ่น และคือการกระจัดของระนาบกลาง ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle w^{0}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการเคลื่อนที่คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

สมการสมดุลคือ

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

โดยที่แรงที่กระทำตั้งฉากกับพื้นผิวของแผ่นโลหะ ${\displaystyle q(x)}$

ในแง่ของการกระจัด สมการสมดุลสำหรับแผ่นไอโซโทรปิกและยืดหยุ่นเชิงเส้นในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกกระทำ สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

ในการเขียนสัญลักษณ์เทนเซอร์โดยตรง

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

ข้อสมมติพิเศษของทฤษฎีนี้คือ เส้นตั้งฉากกับระนาบกลางยังคงเป็นเส้นตรงและไม่ยืดหดได้ แต่ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกับระนาบกลางหลังจากเกิดการเสียรูป การกระจัดของแผ่นกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

การหมุนของเวกเตอร์ปกติอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

ความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดและการเคลื่อนที่ที่ได้จากสมมติฐานเหล่านี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

โดยที่เป็นปัจจัยแก้ไขแรงเฉือน ${\displaystyle \kappa }$

สมการสมดุลคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

ทฤษฎีพลศาสตร์ของแผ่นเพลทกำหนดการแพร่กระจายของคลื่นในแผ่นเพลท และการศึกษาคลื่นนิ่งและโหมดการสั่น สมการที่ควบคุมการดัดงอแบบพลศาสตร์ของแผ่นเพลท Kirchhoff คือ

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

โดยที่สำหรับแผ่นที่มีความหนาแน่น, ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

และ

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

ภาพด้านล่างแสดงโหมดการสั่นสะเทือนบางส่วนของแผ่นวงกลม

• 
  โหมดk = 0, p = 1
• 
  โหมดk = 0, p = 2
• 
  โหมดk = 1, p = 2

• โมเมนต์ดัด
• เครื่องดัดโลหะ (เครื่องดัดโลหะแผ่น)
• เครื่องดัดโลหะ (ดัดแผ่นโลหะ)
• เอฟเฟกต์เตาไฟ
• การดัดแผ่น
• การดัด (งานโลหะ)
• กลศาสตร์ต่อเนื่อง
• การโค้งงอ
• การโก่งตัว (ทางวิศวกรรม)
• แบริ่งแบบยืดหยุ่น
• รายการโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
• การดัดท่อ

• แผนภาพแรงเฉือนและโมเมนต์
• ความแข็งแรงเฉือน
• ทฤษฎีแซนด์วิช
• การสั่นสะเทือน
• การสั่นสะเทือนของแผ่น

• สูตรการดัดงอ
• ความเค้นและการโก่งตัวของคาน ตารางการโก่งตัวของคาน
• ความเค้นดัดคืออะไร?