ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบเลขคณิตทฤษฎีบทของเบห์เรนด์กล่าวว่า เซตย่อยของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง ...${\displaystyle n}$โดยที่ไม่มีสมาชิกใดในเซตเป็นพหุคูณของสมาชิกอื่น จะต้องมีความหนาแน่นเชิงลอการิทึมที่เข้าใกล้ศูนย์เมื่อ${\displaystyle n}$มีขนาดใหญ่ขึ้น ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามเฟลิกซ์ เบห์เรนด์ผู้ตีพิมพ์เผยแพร่ในปี 1935

ความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของเซตของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง${\displaystyle n}$สามารถกำหนดได้โดยการตั้งค่าน้ำหนักของจำนวนเต็มแต่ละตัว${\displaystyle i}$จะเป็น${\displaystyle 1/i}$และนำน้ำหนักรวมของชุดมาหารด้วย${\displaystyle n}$ผลรวมย่อยลำดับที่ ของอนุกรมฮาร์มอนิก (หรือเทียบเท่าสำหรับการวิเคราะห์เชิงอะ ซิมโทติก คือการหารด้วย)${\displaystyle \log n}$) ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวน 1 หรือใกล้เคียงกับ 1 เมื่อเซตประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดในช่วงนั้น แต่จะเล็กลงเมื่อจำนวนเต็มหายไปจำนวนมาก และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อจำนวนเต็มที่หายไปนั้นมีขนาดเล็ก^{[ 1 ]}

เซตย่อยของ${\displaystyle \{1,\dots n\}}$เรียกว่าเซตดั้งเดิม (primitive set)ถ้าเซตนั้นมีคุณสมบัติว่าไม่มีสมาชิกใดในเซตย่อยนั้นเป็นพหุคูณของสมาชิกอื่นใด ทฤษฎีบทของเบห์เรนด์กล่าวว่า ความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของเซตดั้งเดิมใดๆ จะต้องมีค่าน้อย กล่าวคือ ความหนาแน่นเชิงลอการิทึมของเซตดังกล่าวจะต้องมีค่าเท่ากับ${\displaystyle O(1/{\sqrt {\log \log n}})}$[ ^{1 ]​}

สำหรับลำดับดั้งเดิมที่ไม่มีที่สิ้นสุด ความหนาแน่นสูงสุดที่เป็นไปได้จะมีค่าน้อยลง${\displaystyle o(1/{\sqrt {\log \log n}})}$[ ^{2 ]​}

มีกลุ่มย่อยดั้งเดิมขนาดใหญ่ของ${\displaystyle \{1,\dots n\}}$อย่างไรก็ตาม เซตเหล่านี้ยังมีค่าความหนาแน่นเชิงลอการิทึมต่ำอยู่

• ในกลุ่มย่อย${\displaystyle \{\lceil (n+1)/2\rceil ,\dots n\}}$คู่ตัวเลขทุกคู่จะมีค่าตัวประกอบน้อยกว่าสอง ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขสองตัวใดเป็นพหุคูณกันได้ ซึ่งรวมถึงตัวเลขประมาณครึ่งหนึ่งจาก${\displaystyle 1}$ถึง${\displaystyle n}$ตามทฤษฎีบทของดิลเวิร์ธ (โดยใช้การแบ่งจำนวนเต็มออกเป็นลำดับของกำลังของสองคูณด้วยจำนวนคี่) เซตย่อยนี้มีจำนวนสมาชิกมากที่สุดในบรรดาเซตย่อยทั้งหมดที่ไม่มีสมาชิกสองตัวใดเป็นพหุคูณกัน แต่เนื่องจากสมาชิกทั้งหมดของเซตย่อยนี้มีขนาดใหญ่ จึงมีความหนาแน่นเชิงลอการิทึมต่ำ เพียง${\displaystyle O(1/\log n)}$.
• เซตย่อยดั้งเดิมอีกเซตหนึ่งคือเซตของจำนวนเฉพาะแม้ว่าจะมีจำนวนเฉพาะน้อยกว่าจำนวนสมาชิกในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่เซตนี้กลับมีความหนาแน่นเชิงลอการิทึมที่มากกว่า${\displaystyle O(\log \log n/\log n)}$ตามความแตกต่างของผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ

ทั้งสองเซตย่อยนี้มีความหนาแน่นเชิงลอการิทึมที่น้อยกว่าขอบเขตที่กำหนดโดยทฤษฎีบทของเบห์เรนด์อย่างมีนัยสำคัญ ในการแก้ข้อสันนิษฐานของGH Hardyทั้งPaul ErdősและSubbayya Sivasankaranarayana Pillaiแสดงให้เห็นว่า สำหรับ${\displaystyle k\approx \log \log n}$เซตของตัวเลขที่มีจำนวนที่แน่นอน${\displaystyle k}$ตัวประกอบเฉพาะ (นับรวมจำนวนครั้งที่ปรากฏ) มีความหนาแน่นเชิงลอการิทึม

${\displaystyle {\frac {1+o(1)}{\sqrt {2\pi \log \log n}}},}$

ตรงกับรูปแบบของทฤษฎีบทของเบห์เรนด์อย่างแม่นยำ^{[ 3 ]}ตัวอย่างนี้ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในแง่ที่ว่าไม่มีเซตย่อยดั้งเดิมอื่นใดที่มีความหนาแน่นลอการิทึมที่มีรูปแบบเดียวกันและค่าคงที่นำหน้ามากกว่า^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเบห์เรนด์เพราะเฟลิกซ์ เบห์เรนด์พิสูจน์ได้ในปี พ.ศ. 2477 ^{[ 1 ]}และตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2478 ^{[ 5 ]}พอล เออร์โดสพิสูจน์ผลลัพธ์เดียวกันนี้ระหว่างการเดินทางโดยรถไฟในปี พ.ศ. 2477 จากฮังการีไปยังเคมบริดจ์เพื่อหลีกหนีการต่อต้านชาวยิวที่เพิ่มขึ้นในยุโรป แต่เมื่อมาถึงเขาก็พบว่าการพิสูจน์ของเบห์เรนด์เป็นที่รู้จักอยู่แล้ว^{[ 1 ]}