วิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนเป็นวิธีการสเปกตรัมเทียมสำหรับการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดโดยอาศัยหลักการของเบลล์แมนเกี่ยวกับความเหมาะสมที่สุดเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดแบบสเปกตรัมเทียม ที่ใหญ่กว่า ซึ่ง เป็นคำที่รอสส์บัญญัติ ขึ้น ^{[ 1 ]} วิธีนี้ตั้งชื่อตามริชาร์ด อี. เบลล์แมนรอสส์และคณะ^{[ 2 ] [ 3 ]}ได้นำเสนอ วิธีนี้เป็นครั้งแรกเพื่อแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดแบบหลายระดับ และต่อมาได้ขยายเพื่อหาคำตอบที่ไม่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดทั่วไป

เวอร์ชันหลายสเกลของวิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนนั้นอิงตามคุณสมบัติการบรรจบกันของสเปกตรัมของวิธีการสเปกตรัมเทียมของรอสส์-ฟาห์รูนั่นคือ เนื่องจากวิธีการสเปกตรัมเทียมของรอสส์-ฟาห์รูบรรจบกันในอัตราที่เร็วมากแบบเอกซ์โพเนนเชียล การบรรจบกันแบบจุดต่อจุดไปยังคำตอบจึงเกิดขึ้นที่จำนวนโหนดที่ต่ำมาก แม้ว่าคำตอบจะมีส่วนประกอบความถี่สูงก็ตาม ปรากฏการณ์ การบิดเบือนสัญญาณ นี้ ในการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดถูกค้นพบครั้งแรกโดยรอสส์และคณะ^{[ 2 ]} แทนที่จะใช้เทคนิคการประมวลผลสัญญาณเพื่อต่อต้านการบิดเบือนสัญญาณของคำตอบ รอสส์และคณะเสนอว่าหลักการความเหมาะสมที่สุดของเบลล์แมนสามารถนำไปใช้กับคำตอบที่บรรจบกันเพื่อดึงข้อมูลระหว่างโหนดได้ เนื่องจากโหนดเกาส์-โลบัตโตจะรวมกลุ่มกันที่จุดขอบเขต รอสส์และคณะ แนะนำว่าหากความหนาแน่นของโหนดรอบเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นไปตามทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างของ Nyquist–Shannonแล้วจะสามารถกู้คืนโซลูชันที่สมบูรณ์ได้โดยการแก้ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดในลักษณะแบบวนซ้ำเหนือส่วนย่อยที่เรียกว่าส่วน Bellman ^{[ 2 ]}

ในเวอร์ชันขยายของวิธีการ Ross et al. ^{[ 3 ]}เสนอว่าวิธีการนี้สามารถใช้เพื่อสร้างโซลูชันที่เป็นไปได้ซึ่งไม่จำเป็นต้องเหมาะสมที่สุด ในเวอร์ชันนี้ เราสามารถใช้วิธีการสเปกตรัมเทียมของ Bellman ที่จำนวนโหนดน้อยลงได้ แม้จะทราบว่าโซลูชันอาจไม่ได้ลู่เข้าสู่โซลูชันที่เหมาะสมที่สุดก็ตาม ในสถานการณ์นี้ เราจะได้โซลูชันที่เป็นไปได้

คุณลักษณะที่โดดเด่นของวิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนคือการกำหนดมาตรวัดความไม่เหมาะสมหลายประการโดยอัตโนมัติโดยอิงจากต้นทุนสเปกตรัมเทียมดั้งเดิมและต้นทุนที่สร้างขึ้นจากผลรวมของส่วนเบลล์แมน^{[ 2 ] [ 3 ]}

ข้อดีอย่างหนึ่งของการคำนวณด้วยวิธี Bellman pseudospectral คือ ช่วยให้หลีกเลี่ยงกฎ Gaussian ในการกระจายจุดโหนดได้ กล่าวคือ ในวิธี pseudospectral มาตรฐาน การกระจายจุดโหนดจะเป็นแบบ Gaussian (โดยทั่วไปคือ Gauss-Lobatto สำหรับช่วงเวลาจำกัด และ Gauss-Radau สำหรับช่วงเวลาอนันต์) จุด Gaussian จะเบาบางตรงกลางช่วง (ตรงกลางถูกกำหนดในความหมายที่เลื่อนไปสำหรับปัญหาช่วงเวลาอนันต์) และหนาแน่นที่ขอบเขต การสะสมจุดลำดับที่สองใกล้ขอบเขตมีผลทำให้สูญเสียโหนด วิธี Bellman pseudospectral ใช้ประโยชน์จากการสะสมโหนดที่จุดเริ่มต้นเพื่อป้องกันการเกิด alias ของคำตอบและทิ้งโหนดที่เหลือ ดังนั้น การกระจายจุดสุดท้ายจึงไม่เป็นแบบ Gaussian และหนาแน่น ในขณะที่วิธีการคำนวณยังคงโครงสร้างที่เบาบางไว้

วิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดย Ross et al. ^{[ 2 ]}เพื่อแก้ปัญหาที่ท้าทายของการเพิ่มประสิทธิภาพวิถีโคจรด้วยแรงขับต่ำมาก วิธีนี้ได้รับการนำไปใช้สำเร็จในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติในการสร้างโซลูชันที่มีความแม่นยำสูงมากสำหรับปัญหาการฉีดผ่านโลกเพื่อนำแคปซูลอวกาศจากวงโคจรดวงจันทร์ไปยังจุดเชื่อมต่อโลกที่กำหนดไว้สำหรับการกลับเข้าสู่ชั้นบรรยากาศโลกอย่างประสบความสำเร็จ^{[ 4 ] [ 5 ]}

วิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนมักใช้เป็นวิธีการตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเหมาะสมของโซลูชันสเปกตรัมเทียมที่สร้างขึ้นโดยวิธีการสเปกตรัมเทียมของรอสส์-ฟาห์รู กล่าวคือ นอกเหนือจากการใช้หลักการขั้นต่ำของปอนทรียาจินร่วมกับโซลูชันที่ได้จากวิธีการสเปกตรัมเทียมของรอสส์-ฟาห์รูแล้ว วิธีการสเปกตรัมเทียมของเบลล์แมนยังใช้เป็นการทดสอบเฉพาะค่าพื้นฐานเกี่ยวกับความเหมาะสมของโซลูชันที่คำนวณได้^{[ 6 ] [ 7 ]}

• วิธีสเปกตรัมเทียมของเลอจองเดอร์
• วิธีสเปกตรัมเทียมของเชบิเชฟ
• วิธีการผูกปมสเปกตรัมเทียม