วิธีการสเปกตรัมเทียม [ ^{1 ] หรือ}ที่รู้จักกันในชื่อวิธีการแทนตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง (DVR) เป็นกลุ่มของวิธีการเชิงตัวเลขที่ใช้ในคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณทางวิทยาศาสตร์เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธี การ เหล่านี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีการสเปกตรัมแต่เสริมฐานด้วยฐานสเปกตรัมเทียมเพิ่มเติม ซึ่งช่วยให้สามารถแทนฟังก์ชันบนตารางควอดราเจอร์ได้ วิธีนี้ช่วยลดความซับซ้อนในการประเมินตัวดำเนินการบางอย่าง และสามารถเร่งความเร็วในการคำนวณได้อย่างมากเมื่อใช้อัลกอริธึมที่รวดเร็ว เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว

พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้น

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\Bigl [}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x){\Bigr ]}\psi (x,t),\qquad \qquad \psi (t_{0})=\psi _{0}}$

ภายใต้เงื่อนไขแบบคาบตัวอย่างเฉพาะนี้คือสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอนุภาคในศักย์แต่โครงสร้างนั้นมีความทั่วไปมากกว่า ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงปฏิบัติหลายๆ สมการ จะมีพจน์หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ (เช่น ส่วนประกอบของพลังงานจลน์) และการคูณด้วยฟังก์ชัน (ตัวอย่างเช่น ศักย์) ${\displaystyle \psi (x+1,t)=\psi (x,t)}$${\displaystyle V(x)}$

ในวิธีการเชิงสเปกตรัม คำตอบจะถูกขยายในชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่เหมาะสม เช่น คลื่นระนาบ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n}c_{n}(t)e^{2\pi inx}.}$

การแทนค่าและเทียบสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกันจะทำให้ได้ชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับสัมประสิทธิ์เหล่านั้น

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}c_{n}(t)=(2\pi n)^{2}c_{n}+\sum _{k}V_{nk}c_{k},}$

โดยที่องค์ประกอบต่างๆจะถูกคำนวณผ่านการแปลงฟูริเยร์แบบชัดเจน ${\displaystyle V_{nk}}$

${\displaystyle V_{nk}=\int _{0}^{1}V(x)\ e^{2\pi i(kn)x}dx.}$

จากนั้นจะได้คำตอบโดยการตัดทอนการขยายไปสู่ฟังก์ชันพื้นฐาน และหาคำตอบสำหรับโดยทั่วไปแล้ว วิธีนี้ทำได้โดยวิธีการเชิงตัวเลขเช่นวิธี Runge–Kuttaสำหรับคำตอบเชิงตัวเลข ด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะต้องถูกประเมินซ้ำๆ ที่ช่วงเวลาต่างๆ ณ จุดนี้ วิธีสเปกตรัมมีปัญหาสำคัญเกี่ยวกับพจน์ศักย์ ${\displaystyle N}$${\displaystyle c_{n}(t)}$${\displaystyle V(x)}$

ในการแสดงผลเชิงสเปกตรัม การคูณด้วยฟังก์ชันจะแปลงเป็นการคูณเวกเตอร์-เมทริกซ์ ซึ่งมีขนาดตามนอกจากนี้จำเป็นต้องประเมินค่าองค์ประกอบของเมทริกซ์อย่างชัดเจนก่อนที่จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับสัมประสิทธิ์ ซึ่งต้องใช้ขั้นตอนเพิ่มเติม ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle V_{nk}}$

ในวิธีการสเปกตรัมเทียม เทอมนี้จะถูกประเมินแตกต่างออกไป เมื่อกำหนดสัมประสิทธิ์แล้วการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องผกผันจะให้ค่าของฟังก์ชันที่จุดกริดแบบไม่ต่อเนื่องที่จุดกริดเหล่านี้ ฟังก์ชันจะถูกคูณด้วยและผลลัพธ์จะถูกแปลงฟูริเยร์กลับอีกครั้ง ซึ่งจะได้ชุดสัมประสิทธิ์ใหม่ที่ใช้แทนผลคูณเมทริกซ์ ${\displaystyle c_{n}(t)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{j}=2\pi เจ/N}$${\displaystyle \psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)}$${\displaystyle c'_{n}(t)}$${\displaystyle \sum _{k}V_{nk}c_{k}(t)}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าทั้งสองวิธีมีความแม่นยำใกล้เคียงกัน อย่างไรก็ตาม วิธีสเปกตรัมเทียมช่วยให้สามารถใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว ซึ่งมีขนาดเป็นและจึงมีประสิทธิภาพมากกว่าการคูณเมทริกซ์อย่างมาก นอกจากนี้ ฟังก์ชันยังสามารถใช้งานได้โดยตรงโดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัลเพิ่มเติมใดๆ ${\displaystyle O(N\ln N)}$${\displaystyle V(x)}$

ในแง่นามธรรมมากขึ้น วิธีการสเปกตรัมเทียมเกี่ยวข้องกับการคูณฟังก์ชันสองฟังก์ชันและเป็นส่วนหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน จึงละเว้นการพึ่งพาเวลา ในเชิงแนวคิดแล้ว ประกอบด้วยสามขั้นตอน: ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle f(x)}$

1. ${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)}$จะถูกขยายในชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่มีจำนวนจำกัด (นี่คือวิธีสเปกตรัม )
2. สำหรับชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนด จะมีการค้นหาวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขที่แปลงผลคูณเชิงสเกลาร์ของฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้ให้เป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักเหนือจุดกริด
3. ผลคูณจะคำนวณโดยการคูณที่แต่ละจุดบนตาราง${\displaystyle V,f}$

ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถขยายได้ในฐานจำกัดดังนี้ ${\displaystyle f,{\tilde {f}}}$${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde {c}}_{n}\phi _{n}(x)}$

เพื่อความง่าย ให้ถือว่าฐานเป็นแบบตั้งฉากและแบบนอร์มาไลซ์ โดยใช้ผลคูณภายในที่มีขอบเขตที่เหมาะสมจากนั้นจึงหาค่าสัมประสิทธิ์ได้โดย ${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\เดลต้า _{nm}}$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {c}__{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle }$

การคำนวณแคลคูลัสเล็กน้อยจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\sum _{m=0}^{N}V_{nm}c_{m}}$

โดยที่. นี่เป็นพื้นฐานของวิธีการสเปกตรัม เพื่อแยกแยะพื้นฐานของ ออกจากพื้นฐานของการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข บางครั้งการขยายนี้เรียกว่าการแสดงแทนด้วยฐานจำกัด (Finite Basis Representation: FBR) ${\displaystyle V_{nm}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle }$${\displaystyle \phi _{n}}$

สำหรับฐานและจำนวนฟังก์ชันฐานที่กำหนด เราสามารถลองหาปริพันธ์เชิงตัวเลข กล่าวคือ ชุดของจุดและน้ำหนักที่ทำให้ ${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i})}}\qquad \qquad n,m=0,\ldots ,N}$

ตัวอย่างพิเศษ ได้แก่ การ หา ปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบเกาส์เซียนสำหรับพหุนาม และการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสำหรับคลื่นระนาบ ควรเน้นย้ำว่าจุดกริดและน้ำหนักเป็นฟังก์ชันของฐานและจำนวน${\displaystyle x_{i},w_{i}}$${\displaystyle N}$

วิธีการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขช่วยให้สามารถแสดงฟังก์ชันในรูปแบบตัวเลขได้อีกแบบหนึ่งโดยใช้ค่าของฟังก์ชันที่จุดกริด การแสดงผลแบบนี้บางครั้งเรียกว่า การแสดงผลแบบตัวแปรไม่ต่อเนื่อง (Discrete Variable Representation หรือ DVR) ซึ่งเทียบเท่ากับการกระจายในฐานอย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)}$

${\displaystyle f(x_{i})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

จากนั้นจึงทำการ คูณด้วยฟังก์ชันที่แต่ละจุดบนตาราง ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{i})=V(x_{i})f(x_{i}).}$

โดยทั่วไปแล้ว วิธีนี้จะทำให้เกิดการประมาณค่าเพิ่มเติม เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน เราสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งได้: ${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle =\sum _{i}w_{i}{\tilde {f}}(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

อย่างไรก็ตาม หากใช้วิธีสเปกตรัม ค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันจะเป็นดังนั้น วิธีสเปกตรัมเทียมจึงนำมาซึ่งการประมาณค่าเพิ่มเติม ${\displaystyle {\tilde {c}__{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle Vf,\phi _{n}\rangle \approx \sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}.}$

หากผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ด้วยชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนดให้ สมการข้างต้นจะเป็นสมการที่แม่นยำเนื่องจากวิธีการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขที่เลือกใช้ ${\displaystyle Vf}$

หากมีการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบที่มีคาบให้กับระบบ ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถสร้างขึ้นได้จากคลื่นระนาบ ${\displaystyle [0,L]}$

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{-\imath k_{n}x}}$

โดยที่คือฟังก์ชัน เพดาน${\displaystyle k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L}$${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

การหา ปริพันธ์เชิงตัวเลขสำหรับการตัดที่กำหนดโดยการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องจุดกริดมีระยะห่างเท่ากันโดยมีระยะห่างและน้ำหนักคงที่คือ ${\displaystyle n_{\text{max}}=N}$${\displaystyle x_{i}=i\Delta x}$${\displaystyle \Delta x=L/(N+1)}$${\displaystyle w_{i}=\เดลต้า x}$

สำหรับการอธิบายข้อผิดพลาด โปรดทราบว่าผลคูณของคลื่นระนาบสองคลื่นก็คือคลื่นระนาบอีกคลื่นหนึ่งโดยที่ดังนั้น ในเชิงคุณภาพ หากฟังก์ชันสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเพียงพอด้วยฟังก์ชันพื้นฐาน วิธีการสเปกตรัมเทียมจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำหากใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน ${\displaystyle \phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}}$${\displaystyle c\leq a+b}$${\displaystyle f(x),V(x)}$${\displaystyle N_{f},N_{V}}$${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

การขยายในระนาบคลื่นมักมีคุณภาพต่ำและต้องการฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนมากเพื่อให้ลู่เข้า อย่างไรก็ตาม การแปลงระหว่างการขยายพื้นฐานและการแสดงผลแบบกริดสามารถทำได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (Fast Fourier Transform ) ซึ่งมีการปรับขนาดที่ดีตาม ดังนั้นระนาบคลื่นจึงเป็นหนึ่งในการขยายที่พบได้บ่อยที่สุดในวิธีการสเปกตรัมเทียม (pseudo-spectral methods) ${\displaystyle N\ln N}$

การขยายอีกวิธีที่นิยมใช้คือการขยายไปเป็นพหุนามแบบคลาสสิก ในกรณีนี้ จะใช้การหา ปริพันธ์แบบเกาส์เซียนซึ่งระบุว่าเราสามารถหาค่าน้ำหนักและจุด ได้เสมอ โดยที่ ${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})}$

ใช้ได้กับพหุนามใดๆที่มีดีกรีหรือน้อยกว่า โดยทั่วไป ฟังก์ชันน้ำหนักและช่วงจะถูกเลือกสำหรับปัญหาเฉพาะ และนำไปสู่รูปแบบต่างๆ ของการหาปริพันธ์เชิงตัวเลข เพื่อนำไปใช้กับวิธีสเปกตรัมเทียม เราเลือกฟังก์ชันพื้นฐานโดยที่เป็นพหุนามที่มีดีกรีและมีคุณสมบัติ ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle 2N+1}$${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.}$

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จะได้ฐานเชิงตั้งฉากปกติ (orthonormal basis) เมื่อเทียบกับผลคูณสเกลาร์ฐานนี้ เมื่อรวมกับจุดควอดราเจอร์แล้ว สามารถนำไปใช้กับวิธีสเปกตรัมเทียม (pseudo-spectral method) ได้ ${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

สำหรับการอธิบายข้อผิดพลาด โปรดทราบว่า หากสามารถแสดงได้อย่างดีด้วยฟังก์ชันพื้นฐาน และสามารถแสดงได้อย่างดีด้วยพหุนามดีกรีผลคูณของทั้งสองสามารถขยายได้ในฟังก์ชันพื้นฐานแรก และวิธีการสเปกตรัมเทียมจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนนั้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle N_{f}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N_{V}}$${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

พหุนามประเภทนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในปัญหามาตรฐานหลายอย่าง ตัวอย่างเช่นตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมสามารถขยายได้อย่างเหมาะสมด้วยพหุนามเฮอร์ไมต์และพหุนามจาโคบีสามารถใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันเลอจองเดอร์ที่เกี่ยวข้องซึ่งมักปรากฏในปัญหาเกี่ยวกับการหมุน

• วิธีการโดเมนเวลาแบบสเปกตรัมเทียม