ในทางคณิตศาสตร์การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ( DFT ) คือการแปลงฟูริเยร์ ในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแปลงลำดับตัวเลขจำกัดให้เป็นลำดับอื่นที่มีความยาวเท่ากัน โดยแสดงถึงแอมพลิจูดและเฟสของ ส่วนประกอบ ความถี่ ต่างๆ ด้วยวิธีนี้ จะเปลี่ยนข้อมูลจากการอธิบายในแง่ของค่าที่สุ่มมาเป็นการอธิบายในแง่ของการสั่น การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องผกผันจะย้อนกระบวนการนี้และกู้คืนลำดับเดิมกลับมา

สำหรับข้อมูลที่สุ่มตัวอย่าง ณ จุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน การแปลง ฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) สามารถเข้าใจได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นว่าเป็นการแปลงระหว่างค่าตัวอย่างและสัมประสิทธิ์ของพหุนามตรีโกณมิติที่ประมาณค่าเหล่านั้น ดังนั้นจึงเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการทำงานเชิงตัวเลขกับฟังก์ชันคาบเรียบ ซึ่งมักจะสามารถประมาณค่าได้ดีด้วยพหุนามตรีโกณมิติ ในทางปฏิบัติ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) มักจะคำนวณโดยใช้อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ที่มีประสิทธิภาพ

DFT ถูกนำมาใช้ในแอปพลิเคชันเชิงปฏิบัติมากมายของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ [ ^{1 ] ใน}การประมวลผลสัญญาณดิจิทัลอินพุตมักจะเป็นปริมาณหรือสัญญาณที่ สุ่มตัวอย่าง ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา เช่น ความดันของคลื่นเสียงสัญญาณวิทยุหรือการ อ่านค่า อุณหภูมิ รายวัน ซึ่งสุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาจำกัด (มักกำหนดโดยฟังก์ชันหน้าต่าง^{[ 2 ]} ) ในการประมวลผลภาพตัวอย่างอาจเป็นค่าของพิกเซลตามแถวหรือคอลัมน์ของภาพแรสเตอร์ DFT ยังใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย อย่างมีประสิทธิภาพ และเพื่อดำเนินการอื่นๆ เช่นการสังเคราะห์หรือการคูณจำนวนเต็มขนาดใหญ่

เนื่องจาก DFT เกี่ยวข้องกับข้อมูลจำนวนจำกัด จึงสามารถนำไปใช้ในคอมพิวเตอร์โดยใช้อัลกอริธึมเชิงตัวเลขหรือแม้แต่ฮาร์ดแวร์ เฉพาะได้ การใช้งานเหล่านี้มักใช้ อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) ที่มีประสิทธิภาพ ^{[ 3 ]}มากเสียจนคำว่า "FFT" และ "DFT" มักถูกใช้แทนกันได้ ก่อนที่จะมีการใช้งานในปัจจุบันคำย่อ "FFT" อาจถูกใช้แทนคำที่มีความหมายกำกวมว่า " การแปลงฟูริเยร์แบบจำกัด " ก็ได้

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform)แปลงลำดับของจำนวนเชิงซ้อนN ตัว ไปเป็นลำดับของจำนวนเชิงซ้อนอีกชุดหนึ่ง ซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{n}\right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {X} _{k}\right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

บางครั้งการแปลงจะ ถูก แทนด้วยสัญลักษณ์เช่นหรือหรือ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {x} }$

เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด นิพจน์ DFT จึงสามารถเขียนได้ในรูปของเมทริกซ์ DFTเมื่อปรับขนาดอย่างเหมาะสม มันจะกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และด้วยเหตุนี้ DFT จึงสามารถมองได้ว่าเป็นการแปลงจากฐานตั้งฉากปกติ หนึ่ง ไปยังอีกฐานหนึ่ง

การแปลงผกผันกำหนดโดย:

การแปลงผกผัน

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

สมการที่ 2

สมการที่ 2ก็เป็นคาบเช่นกัน (ในดัชนี) ในสมการที่ 2 แต่ละเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีพิกัดเชิงขั้วเป็นแอมพลิจูดและเฟสของส่วนประกอบไซน์เชิงซ้อนของฟังก์ชัน(ดูอนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ) ความถี่ของไซน์คือรอบต่อตัวอย่าง ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle \left(e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\right)}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$

ตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานที่คูณกับ DFT และ DFT ผกผัน (IDFT) ในที่นี้คือ 1 และและเครื่องหมายของเลขชี้กำลังเป็นข้อกำหนดที่ ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ข้อกำหนดที่แท้จริงเพียงอย่างเดียวของข้อกำหนดเหล่านี้คือ DFT และ IDFT ต้องมีเลขชี้กำลังที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และผลคูณของตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานต้องเป็น การทำให้เป็นมาตรฐานที่ไม่ธรรมดาคือสำหรับทั้ง DFT และ IDFT จะทำให้คู่การแปลงเป็นแบบเอกภาพ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}.}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{N}}}}$

สมการที่ 1สามารถประเมินได้นอกโดเมนเช่นกันและลำดับที่ขยายออกไปนั้นเป็นคาบดังนั้นบางครั้งจึงใช้ลำดับดัชนีอื่น เช่น(ถ้าเป็นเลขคู่) และ(ถ้าเป็นเลขคี่) ซึ่งเทียบเท่ากับการสลับครึ่งซ้ายและครึ่งขวาของผลลัพธ์ของการแปลง ^{[ 4 ]}${\displaystyle k\in [0,N-1]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\textstyle \left[-{\frac {N}{2}},{\frac {N}{2}}-1\right]}$${\displaystyle N}$${\textstyle \left[-{\frac {N-1}{2}},{\frac {N-1}{2}}\right]}$${\displaystyle N}$

การใช้คำจำกัดความมาตรฐานของ DFT จะละเว้นช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง (หรือระยะห่างการสุ่มตัวอย่าง) ในกรณีที่ดัชนีสอดคล้องกับเวลาผ่านทาง ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle n\Delta t=t}$

เพื่อเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ DFT กับการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องของข้อมูลที่สุ่มมา สามารถระบุช่วงเวลาการสุ่มได้อย่างชัดเจนดังนี้

${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

ไลบรารีซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ DFT ที่ไม่ได้ปรับขนาด รวมถึงการใช้งาน FFTที่เกี่ยวข้องด้วยดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ที่ปรับขนาดแล้วจึงสามารถหาได้จากสูตร. ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle {\tilde {X}}_{k}=\Delta t\cdot X_{k}}$

ดังนั้น การแปลงผกผันที่สอดคล้องกันจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle x_{n}=\Delta f\sum _{k=0}^{N-1}{\tilde {X}}_{k}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\Delta tN}}}$

เมื่อใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องผกผัน ซึ่งมีการใช้งานอยู่ในไลบรารีซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่ สามารถเขียนให้เทียบเท่าได้ดังนี้:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{\Delta t}}\operatorname {IDFT} ({\tilde {X}})}$

เมื่อนำ DFT ไปใช้กับข้อมูลทางกายภาพ ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง(หรือเทียบเท่า) เป็นส่วนสำคัญของการกำหนดสัญญาณ การรวมช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างช่วยให้มั่นใจได้ว่าการตีความแอมพลิจูด พลังงาน และความถี่ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรวมหรือเปรียบเทียบข้อมูลจากแหล่งที่มาต่างกัน ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta f}$

DFT สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการแปลงลำดับจำกัดของตัวอย่าง ที่มีระยะห่างเท่ากัน ของฟังก์ชันไปเป็นลำดับที่มีความยาวเท่ากันของตัวอย่างที่มีระยะห่างเท่ากันของการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ซึ่งเป็น ฟังก์ชัน ค่าเชิงซ้อนของความถี่ ช่วงเวลาที่ทำการสุ่มตัวอย่าง DTFT คือส่วนกลับของระยะเวลาของลำดับอินพุต^{[ A ] [ 5 ]}การแปลงฟูริเยร์แบบผกผัน (IDFT) คืออนุกรมฟูริเยร์โดยใช้ตัวอย่าง DTFT เป็นสัมประสิทธิ์ของไซนูซอยด์เชิงซ้อน ที่ความถี่ DTFT ที่สอดคล้องกัน มีค่าตัวอย่างเดียวกันกับลำดับอินพุตดั้งเดิม ดังนั้น DFT จึงกล่าวได้ว่าเป็น ตัวแทน โดเมนความถี่ของลำดับอินพุตดั้งเดิม หากลำดับดั้งเดิมครอบคลุมค่าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชัน DTFT ของมันจะต่อเนื่อง (และเป็นคาบ) และ DFT จะให้ตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องของหนึ่งรอบ หากลำดับดั้งเดิมเป็นหนึ่งรอบของฟังก์ชันเป็นคาบ DFT จะให้ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดของหนึ่งรอบ DTFT

สมการที่ 1สามารถตีความหรือหาอนุพันธ์ได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างนี้แสดงวิธีการประยุกต์ใช้ DFT กับลำดับที่มีความยาวและเวกเตอร์อินพุต ${\displaystyle N=4}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2-i\\-i\\-1+2i\end{pmatrix}}.}$$

คำนวณ DFT โดยใช้สมการที่ 1${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=e^{-i2\pi 0\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 0\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=2\\X_{1}&=e^{-i2\pi 1\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 1\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2-2i\\X_{2}&=e^{-i2\pi 2\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 2\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2i\\X_{3}&=e^{-i2\pi 3\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 3\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=4+4i\end{aligned}}}$$

ส่งผลให้ $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}\\X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2-2i\\-2i\\4+4i\end{pmatrix}}.}$$

DFT เป็นการแปลงเชิงเส้น กล่าวคือ ถ้าและแล้ว สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{y_{n}\})_{k}=Y_{k}}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{ax_{n}+by_{n}\})_{k}=aX_{k}+bY_{k}}$

การย้อนกลับเวลา (เช่น แทนที่ด้วย) ^{[ C ]}ในสอดคล้องกับการย้อนกลับความถี่ (เช่นโดย) ^{[ 6 ] : หน้า 421} ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าแทนเวกเตอร์xแล้ว ${\displaystyle n}$${\displaystyle N-n}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle N-k}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$

ถ้า${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

แล้ว${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})_{k}=X_{N-k}}$

ถ้าเช่นนั้น^{[ 6 ] : หน้า 423} ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}^{*}\})_{k}=X_{N-k}^{*}}$

ตารางนี้แสดงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างในโดเมนเวลาและผลกระทบที่สอดคล้องกันต่อ DFT ในโดเมนความถี่ ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle X_{k}}$

คุณสมบัติ	โดเมนเวลา${\displaystyle x_{n}}$	โดเมนความถี่${\displaystyle X_{k}}$
ส่วนที่แท้จริงในเวลา	${\displaystyle \operatorname {Re} {\left(x_{n}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X_{k}+X_{N-k}^{*}\right)}$
ส่วนจินตนาการในเวลา	${\displaystyle \operatorname {Im} {\left(x_{n}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(X_{k}-X_{N-k}^{*}\right)}$
ส่วนจริงในความถี่	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x_{n}+x_{N-n}^{*}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {\left(X_{k}\right)}}$
ส่วนจินตนาการในความถี่	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(x_{n}-x_{N-n}^{*}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {\left(X_{k}\right)}}$

เวกเตอร์, สำหรับ, ก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากเหนือเซตของ เวกเตอร์เชิงซ้อน Nมิติ: ${\displaystyle u_{k}=\left[\left.e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\;\right|\;n=0,1,\ldots ,N-1\right]^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}$

${\displaystyle u_{k}^{\mathsf {T}}u_{k'}^{*}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\right)\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}(-k')n}\right)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{{\frac {i2\pi }{N}}(k-k')n}=N~\delta _{kk'}}$

โดยที่ เดลต้าโครเนกเกอร์อยู่ที่ไหน(ในขั้นตอนสุดท้าย ผลรวมเป็นเรื่องง่ายถ้าโดยที่1 + 1 + ⋯ = Nและมิฉะนั้นจะเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่สามารถบวกกันอย่างชัดเจนเพื่อให้ได้ศูนย์) เงื่อนไขความเป็นตั้งฉากนี้สามารถใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของสูตรสำหรับ IDFT จากนิยามของ DFT และเทียบเท่ากับคุณสมบัติความเป็นเอกภาพด้านล่าง ${\displaystyle \delta _{kk'}}$${\displaystyle k=k'}$

ถ้าและเป็น DFT ของและตามลำดับทฤษฎีบทของ Parsevalกล่าวว่า: ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

โดยที่เครื่องหมายดอกจันแสดงถึงการผันเชิงซ้อน^{[ 7 ]}ทฤษฎีบทPlancherelเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบท Parseval และระบุว่า:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}.}$

ทฤษฎีบทเหล่านี้เทียบเท่ากับเงื่อนไขเอกภาพด้านล่างด้วยเช่นกัน

สามารถแสดงความเป็นคาบได้โดยตรงจากนิยาม:

${\displaystyle X_{k+N}\ \triangleq \ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+N)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}\underbrace {e^{-i2\pi n}} _{1}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}=X_{k}.}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าสูตร IDFT นำไปสู่การขยายแบบเป็นคาบของ ${\displaystyle x_{n}}$

การคูณด้วยเฟสเชิงเส้นสำหรับจำนวนเต็มm บางตัว จะสอดคล้องกับการเลื่อนแบบวงกลมของเอาต์พุต: จะถูกแทนที่ด้วย โดยที่ดัชนีจะถูกตีความแบบโมดูลัสN (เช่น เป็นคาบ) ^{[ 7 ]}ในทำนองเดียวกันการเลื่อนแบบวงกลมของอินพุตจะสอดคล้องกับการคูณเอาต์พุตด้วยเฟสเชิงเส้นในทางคณิตศาสตร์ ถ้าแทนเวกเตอร์xแล้ว ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k-m}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle \{x_{n}\}}$

ถ้า${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

แล้ว${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n}\cdot e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}\right\}\right)_{k}=X_{k-m}}$

และ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_{k}=X_{k}\cdot e^{-{\frac {i2\pi }{N}}km}}$

ทฤษฎีบทการสังเคราะห์สำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) ระบุว่า การสังเคราะห์ของลำดับสองลำดับสามารถหาได้จากการแปลงผกผันของผลคูณของการแปลงแต่ละครั้ง การลดความซับซ้อนที่สำคัญเกิดขึ้นเมื่อลำดับหนึ่งเป็นคาบ N ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์เพราะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะที่ความถี่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น (ดูDTFT § ข้อมูลคาบ ) และดังนั้น ผลคูณของมันกับฟังก์ชันต่อเนื่อง จึงเป็นศูนย์เช่นกัน ซึ่งนำไปสู่การลดความซับซ้อนอย่างมากของการแปลงผกผัน ${\displaystyle y_{_{N}},}$${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}}$${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x\}.}$

${\displaystyle x*y_{_{N}}\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right],}$

โดยที่เป็นผลรวมแบบคาบของลำดับ:${\displaystyle x_{_{N}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{_{N}})_{n}\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{(n-mN)}.}$

โดยทั่วไป การหาผลรวมของ DFT และ Inverse DFT จะทำบนโดเมนโดยกำหนดให้ DFT เหล่านั้นเป็นและผลลัพธ์ที่ได้คือ:${\displaystyle [0,N-1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x*y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }\cdot (y_{_{N}})_{n-\ell }=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}} _{\rm {DFT^{-1}}}\left\{X\cdot Y\right\}_{n}.}$

ในทางปฏิบัติลำดับดังกล่าวมักมีความยาวNหรือน้อยกว่า และเป็นส่วนขยายแบบคาบของลำดับที่มีความยาว N ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันวงกลม เช่นกัน :${\displaystyle x}$${\displaystyle y_{_{N}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (y_{_{N}})_{n}=\sum _{p=-\infty }^{\infty }y_{(n-pN)}=y_{(n\operatorname {mod} N)},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

จากนั้นสามารถเขียนคอนโวลูชันได้ดังนี้:

ซึ่งทำให้เกิดการตีความว่าเป็นการสังเคราะห์แบบวงกลม ของ และ^{[ 8 ] [ 9 ]}มักใช้เพื่อคำนวณการสังเคราะห์เชิงเส้นอย่างมีประสิทธิภาพ (ดูการสังเคราะห์แบบวงกลม , อัลกอริทึมการสังเคราะห์ที่รวดเร็วและการบันทึกแบบทับซ้อน ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

ในทำนองเดียวกัน ค่าสหสัมพันธ์ไขว้ของและจะกำหนดโดย:${\displaystyle x}$${\displaystyle y_{_{N}}}$

${\displaystyle (x\star y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }^{*}\cdot (y_{_{N}})_{n+\ell }={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X^{*}\cdot Y\right\}_{n}.}$

ดังที่เห็นข้างต้น การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องมีคุณสมบัติพื้นฐานในการเปลี่ยนการสังเคราะห์ให้เป็นผลคูณแบบจุดต่อจุด คำถามตามธรรมชาติคือว่ามันเป็นเพียงการแปลงเดียวที่มีความสามารถนี้หรือไม่ มีการแสดงให้เห็นแล้ว^{[ 10 ] [ 11 ]}ว่าการแปลงเชิงเส้นใดๆ ที่เปลี่ยนการสังเคราะห์ให้เป็นผลคูณแบบจุดต่อจุดคือ DFT จนถึงการเรียงสับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ เนื่องจากจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n เท่ากับ n! จึงมีแผนที่เชิงเส้นและผกผันได้จำนวน n! แผนที่ที่มีคุณสมบัติพื้นฐานเดียวกันกับ DFT เกี่ยวกับการสังเคราะห์

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x\cdot y} \right\}_{k}\ \triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot y_{n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{N}}(\mathbf {X*Y_{N}} )_{k},}$ซึ่งเป็นการสังเคราะห์แบบวงกลมของและ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

พหุ นามการประมาณค่าตรีโกณมิติ

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{{\frac {N}{2}}-1}e^{i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&\\&+X_{\frac {N}{2}}\cos(N\pi t)&\\&+X_{{\frac {N}{2}}+1}e^{-i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ even}}\\\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{\frac {N-1}{2}}e^{i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&\\&+X_{\frac {N+1}{2}}e^{-i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ odd}}\end{cases}}}$

โดยที่สัมประสิทธิ์X _kถูกกำหนดโดย DFT ของx _n ข้างต้น จะสอดคล้อง กับ คุณสมบัติการแทรกสอดสำหรับ${\displaystyle p(n/N)=x_{n}}$${\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}$

สำหรับค่าN ที่เป็นเลขคู่ โปรดสังเกตว่าส่วนประกอบของ Nyquist จะได้รับการจัดการเป็นพิเศษ ${\textstyle {\frac {X_{N/2}}{N}}\cos(N\pi t)}$

การประมาณค่าในช่วงนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์ : ปรากฏการณ์เอเลียสซิ่งหมายความว่าเราสามารถเพิ่มNให้กับความถี่ไซน์เชิงซ้อนใดๆ ก็ได้ (เช่น เปลี่ยนเป็น) โดยไม่เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติการประมาณค่าในช่วง แต่จะให้ ค่า ที่แตกต่างกันระหว่างจุดต่างๆ อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกข้างต้นเป็นแบบทั่วไปเนื่องจากมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์สองประการ ประการแรก ประกอบด้วยไซน์ที่มีความถี่ขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้: การประมาณค่าในช่วงจึงมีแบนด์วิดท์จำกัด ประการที่สอง ถ้า เป็นจำนวนจริง แล้ว ก็จะเป็นจำนวนจริงเช่นกัน ${\displaystyle e^{-it}}$${\displaystyle e^{i(N-1)t}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle p(t)}$

ในทางตรงกันข้าม พหุนามการประมาณค่าตรีโกณมิติที่ชัดเจนที่สุดคือพหุนามที่ความถี่อยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง(แทนที่จะเป็นประมาณถึงดังที่กล่าวมาข้างต้น) คล้ายกับสูตร DFT ผกผัน การประมาณค่านี้ไม่ได้ทำให้ความชันมีค่าน้อยที่สุด และโดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่ค่าจริงสำหรับจำนวนจริงการใช้งานจึงเป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย ${\displaystyle N-1}$${\displaystyle -N/2}$${\displaystyle +N/2}$${\displaystyle x_{n}}$

อีกวิธีหนึ่งในการมอง DFT คือการสังเกตว่า ในการอธิบายข้างต้น DFT สามารถแสดงได้ในรูปของเมทริกซ์ DFTซึ่งเป็นเมทริกซ์ Vandermondeที่ Sylvester นำเสนอในปี 1867

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0\cdot 0}&\omega _{N}^{0\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{N}^{1\cdot 0}&\omega _{N}^{1\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{N}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{N}^{(N-1)\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}}$

รากที่ Nดั้งเดิมของเอกภาพอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i2\pi /N}}$

ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่, , และ ${\displaystyle N=2}$${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi }=-1}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\\end{bmatrix}},}$

(ซึ่งเป็นเมทริกซ์ Hadamard ) หรือเมื่อ เป็นดังตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง § ตัวอย่างข้างต้นและ ${\displaystyle N=4}$${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi /2}=-i}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\\\end{bmatrix}}.}$

การแปลงผกผันจะหาได้จากเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ข้างต้น

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}={\frac {1}{N}}\mathbf {F} ^{*}}$

เมื่อใช้ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานแบบเอกภาพ การแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) จะกลายเป็นการแปลงแบบเอกภาพซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์เอกภาพ: ${\textstyle 1/{\sqrt {N}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\frac {1}{\sqrt {N}}}\mathbf {F} \\\mathbf {U} ^{-1}&=\mathbf {U} ^{*}\\\left|\det(\mathbf {U} )\right|&=1\end{aligned}}}$

โดยที่คือ ฟังก์ชัน ดีเทอร์มิแนนต์ดีเทอร์มิแนนต์คือผลคูณของค่าไอเกน ซึ่งจะเป็นหรือตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ในปริภูมิเวกเตอร์จริง การแปลงแบบเอกภาพสามารถคิดได้ว่าเป็นเพียงการหมุนแบบแข็งของระบบพิกัด และคุณสมบัติทั้งหมดของการหมุนแบบแข็งสามารถพบได้ใน DFT แบบเอกภาพ ${\displaystyle \det()}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

ความตั้งฉากของ DFT ในที่นี้แสดงออกมาในรูปของ เงื่อนไข ความเป็นตั้งฉากปกติ (ซึ่งเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ดังที่อธิบายไว้ในรากที่หนึ่งของเอกภาพ ):

${\displaystyle \sum _{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^{*}=\delta _{kn}}$

ถ้าX ถูกกำหนดให้เป็น DFT เอกภาพ (unitary DFT) ของเวกเตอร์xแล้ว

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}U_{kn}x_{n}}$

และทฤษฎีบทของปาร์เซวัลแสดงออกมาได้ดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

ถ้าเรามอง DFT เป็นเพียงการแปลงพิกัดที่ระบุส่วนประกอบของเวกเตอร์ในระบบพิกัดใหม่แล้ว ข้อความข้างต้นก็คือการกล่าวว่าผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวยังคงอยู่ภายใต้การแปลง DFT แบบเอกภาพ สำหรับกรณีพิเศษนี้ หมายความว่าความยาวของเวกเตอร์ก็ยังคงอยู่เช่นกัน ซึ่งก็คือทฤษฎีบทของ Plancherelนั่นเอง ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}}$

ผลที่ตามมาอย่างหนึ่งจากทฤษฎีบทการสังเคราะห์แบบวงกลมคือ เมทริกซ์ DFT F สามารถทำให้ เมทริกซ์แบบวงกลมใดๆ ก็ตามเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งของ DFT คือ DFT ผกผันสามารถแสดงได้ง่ายๆ ในรูปของ DFT (แบบตรง) ผ่าน "เทคนิค" ที่รู้จักกันดีหลายอย่าง (ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณ มักจะสะดวกที่จะใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วเฉพาะทิศทางการแปลงทิศทางเดียว แล้วจึงหาทิศทางการแปลงอีกทิศทางจากทิศทางแรก)

ขั้นแรก เราสามารถคำนวณ DFT ผกผันได้โดยการกลับอินพุตทั้งหมด ยกเว้นอินพุตเดียว: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\{x_{n}\})={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})}$

(ตามปกติแล้ว ตัวเลขห้อยจะถูกตีความตามโมดูลัสNดังนั้น สำหรับเราจะได้) ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle x_{N-0}=x_{0}}$

ประการที่สอง เราสามารถจับคู่ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตได้เช่นกัน:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)^{*}}$

ประการที่สาม รูปแบบหนึ่งของเทคนิคการผันคำนี้ ซึ่งบางครั้งอาจเหมาะสมกว่าเพราะไม่ต้องแก้ไขค่าข้อมูล คือการสลับส่วนจริงและส่วนจินตนาการ (ซึ่งสามารถทำได้ในคอมพิวเตอร์โดยการแก้ไขตัวชี้ ) กำหนดให้เป็นโดยที่ส่วนจริงและส่วนจินตนาการถูกสลับกัน นั่นคือ ถ้าแล้วคือหรือเทียบเท่ากับแล้ว ${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}=a+bi}$${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$${\displaystyle b+ai}$${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$${\displaystyle ix_{n}^{*}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}\operatorname {swap} ({\mathcal {F}}(\operatorname {swap} (\mathbf {x} )))}$

กล่าวคือ การแปลงผกผันจะเหมือนกับการแปลงไปข้างหน้าโดยที่ส่วนจริงและส่วนจินตนาการสลับกันสำหรับทั้งอินพุตและเอาต์พุต จนถึงการทำให้เป็นมาตรฐาน^{[ 12 ]}

เทคนิคการผันแปรยังสามารถใช้เพื่อกำหนดการแปลงใหม่ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ DFT ซึ่งเป็นการ แปลง ผกผันของตัวเอง กล่าวคือ เป็นการแปลงผกผันของตัวเองอย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นการแปลงผกผันของตัวเองอย่างชัดเจน: การแปลงผกผันที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด (โดยมีตัวประกอบ) คือเนื่องจากตัวประกอบในตัดกันเป็น 2 สำหรับอินพุตที่เป็นจำนวนจริงส่วนจริงของ ก็ คือ การแปลงฮาร์ทลีย์แบบไม่ ต่อเนื่อง ซึ่งเป็นการแปลงผกผันของตัวเองเช่นกัน ${\displaystyle T(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {N}}}$${\displaystyle T(T(\mathbf {x} ))=\mathbf {x} }$${\textstyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle H(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left((1+i)\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {2N}}}$${\displaystyle (1+i)}$${\displaystyle H(H(\mathbf {x} ))}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ DFT นั้นเรียบง่ายและเป็นที่รู้จักกันดี ในขณะที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ นั้นซับซ้อน ไม่เป็นเอกลักษณ์ และเป็นหัวข้อของการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่ สูตรที่ชัดเจนนั้นได้รับมาจาก ทฤษฎีจำนวนจำนวนมาก^{[ 13 ]}

พิจารณารูปแบบเอกภาพที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับ DFT ที่มีความยาวNโดยที่ ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} _{m,n}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\omega _{N}^{(m-1)(n-1)}={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(m-1)(n-1)}.}$

เมทริกซ์นี้สอดคล้องกับ สมการ พหุนามเมทริกซ์:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{4}=\mathbf {I} .}$

สามารถเห็นได้จากคุณสมบัติผกผันข้างต้น: การดำเนินการสองครั้งจะให้ข้อมูลเดิมในลำดับย้อนกลับ ดังนั้นการดำเนินการสี่ครั้งจะให้ข้อมูลเดิมกลับคืนมาและจึงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งหมายความว่าค่าลักษณะเฉพาะเป็นไปตามสมการ: ${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ^{4}=1.}$

ดังนั้น ค่าไอเกนของคือ รากที่สี่ของเอกภาพได้แก่+1, −1, + iหรือ−i${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \lambda }$

เนื่องจาก เมทริกซ์นี้มีค่าไอเกนที่แตกต่างกันเพียงสี่ค่าเท่านั้น ดังนั้นค่าไอเกนแต่ละค่าจึงมี ความซ้ำซ้อนความซ้ำซ้อนนี้แสดงถึงจำนวน เวกเตอร์ไอเกน ที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่สอดคล้องกับค่าไอเกนแต่ละค่า (มี เวกเตอร์ไอเกนอิสระ Nตัว เมทริกซ์เอกลักษณ์ไม่มีข้อบกพร่อง ) ${\displaystyle N\times N}$

ปัญหาเรื่องความหลากหลายของพวกมันได้รับการแก้ไขโดย McClellan และ Parks (1972) แม้ว่าต่อมาจะแสดงให้เห็นว่ามันเทียบเท่ากับปัญหาที่Gauss แก้ไขไว้แล้ว (Dickinson และ Steiglitz, 1982) ความหลากหลายขึ้นอยู่กับค่าของN modulo 4 และกำหนดโดยตารางต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของคือ: ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \det(\lambda I-\mathbf {U} )=(\lambda -1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+4}{4}}\right\rfloor }(\lambda +1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+2}{4}}\right\rfloor }(\lambda +i)^{\left\lfloor {\tfrac {N+1}{4}}\right\rfloor }(\lambda -i)^{\left\lfloor {\tfrac {N-1}{4}}\right\rfloor }.}$

ไม่มีสูตรวิเคราะห์ง่ายๆ สำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นที่รู้จัก ยิ่งไปกว่านั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากผลรวมเชิงเส้น ใดๆ ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกันก็จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะนั้นด้วย นักวิจัยหลายคนได้เสนอตัวเลือกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน โดยเลือกเพื่อให้เป็นไปตามคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ เช่นความเป็นตั้งฉากและเพื่อให้มีรูปแบบที่ "เรียบง่าย" (เช่น McClellan และ Parks, 1972; Dickinson และ Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Candan et al. , 2000; Hanna et al. , 2004; Gurevich และ Hadani, 2008) ^{[ 14 ]}

วิธีหนึ่งในการสร้างเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ DFT ให้กับค่าลักษณะเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับการรวมเชิงเส้นของตัวดำเนินการ: ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {I} +\lambda ^{-1}\mathbf {U} +\lambda ^{-2}\mathbf {U} ^{2}+\lambda ^{-3}\mathbf {U} ^{3}\right)}$

สำหรับเวกเตอร์ใดๆเวกเตอร์จะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\textbf {U}}\mathbf {u} (\lambda )=\lambda \mathbf {u} (\lambda )}$

ดังนั้น เวกเตอร์จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ DFT อย่างแท้จริงตัวดำเนินการจะฉายเวกเตอร์ไปยังปริภูมิย่อยซึ่งตั้งฉากกันสำหรับแต่ละค่าของ[ ^{16 ] นั่น}คือ สำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสองตัวและเรามี: ${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} '(\lambda ')={\mathcal {P}}_{\lambda '}\mathbf {v} '}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {u} '(\lambda ')=\delta _{\lambda \lambda '}\mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {v} '}$

อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว วิธีการตัวดำเนินการฉายภาพจะไม่สร้างเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ตั้งฉากกันภายในพื้นที่ย่อยหนึ่ง^{[ 17 ]}ตัวดำเนินการนี้สามารถมองได้ว่าเป็นเมทริกซ์ ซึ่งคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ แต่เวกเตอร์เหล่านั้นไม่ได้ตั้งฉากกัน เมื่อ เลือกเซตของเวกเตอร์ซึ่งครอบคลุมพื้นที่มิติ (โดยที่คือความซ้ำซ้อนของค่าลักษณะเฉพาะ ) เพื่อสร้างเซตของเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะความตั้งฉากซึ่งกันและกันของจะไม่ได้รับการรับประกัน อย่างไรก็ตาม เซตที่ตั้งฉากกันสามารถหาได้โดยการใช้ขั้นตอนวิธีตั้งฉากกับเซต เพิ่มเติมเช่นกระบวนการแกรม-ชมิดท์^{[ 18 ]}${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$${\displaystyle N_{\lambda }}$${\displaystyle N_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {u} _{n}(\lambda )}$${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$

วิธีการที่ตรงไปตรงมาในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ DFT คือการทำให้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแปลงฟูริเยร์ แบบต่อเนื่องเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งฟังก์ชันที่รู้จักกันดีที่สุดคือฟังก์ชันเกาส์เซียนเนื่องจากผลรวมแบบคาบของฟังก์ชันหมายถึงการทำให้สเปกตรัมความถี่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง และการทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องหมายถึงผลรวมแบบคาบของสเปกตรัม ดังนั้นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องและมีผลรวมแบบคาบจะให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงแบบไม่ต่อเนื่อง:

• ${\displaystyle F(m)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-{\frac {\pi \cdot (m+N\cdot k)^{2}}{N}}\right).}$

สามารถแสดงสูตรสำเร็จรูปของอนุกรมนี้ได้โดยใช้ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบีดังนี้

• ${\displaystyle F(m)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\vartheta _{3}\left({\frac {\pi m}{N}},\exp \left(-{\frac {\pi }{N}}\right)\right).}$

พบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบปิดรูปแบบง่ายๆ อื่นๆ อีกหลายตัวสำหรับคาบ DFT พิเศษN (Casper-Yakimov, 2024): ^{[ 19 ]}

สำหรับคาบ DFT N = 2 L + 1 = 4 K + 1 โดยที่Kเป็นจำนวนเต็ม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ DFT มีดังนี้:

• ${\displaystyle F(m)=\prod _{s=K+1}^{L}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$

สำหรับคาบ DFT N = 2 L = 4 Kโดยที่Kเป็นจำนวนเต็ม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ DFT มีดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{L-1}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$
• ${\displaystyle F(m)=\cos \left({\frac {\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-1}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

สำหรับคาบ DFT N = 4 K - 1 โดยที่Kเป็นจำนวนเต็ม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ DFT มีดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$
• ${\displaystyle F(m)=\left(\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\pm \sin \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

การเลือกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ DFT กลายเป็นสิ่งสำคัญในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา เพื่อกำหนดอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฟูริเยร์เศษส่วน — เมทริกซ์ DFT สามารถยกกำลังเศษส่วนได้โดยการยกกำลังค่าลักษณะเฉพาะ^{[ 20 ]}สำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเชิงตั้งฉากตามธรรมชาติคือฟังก์ชัน Hermiteดังนั้นจึงมีการใช้อนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องต่างๆ ของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ DFT เช่น พหุ นามKravchuk ^{[ 14 ]} อย่างไรก็ตาม การเลือกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ "ที่ดีที่สุด" เพื่อกำหนดการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องเศษส่วนยังคงเป็นคำถามที่เปิดอยู่ มีความพยายามที่จะดำเนินการแปลงฟูริเยร์เศษส่วนโดยใช้เมทริกซ์ Vandermonde ที่ต่อเนื่องกัน^{[ 21 ]}

ถ้าตัวแปรสุ่มX _kถูกจำกัดโดย

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|X_{n}|^{2}=1,}$

แล้ว

${\displaystyle P_{n}=|X_{n}|^{2}}$

อาจถือได้ว่าเป็นการแทนฟังก์ชันความน่าจะเป็น แบบไม่ต่อเนื่อง ของnโดยมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องซึ่งสร้างขึ้นจากตัวแปรที่แปลงแล้ว

${\displaystyle Q_{m}=N|x_{m}|^{2}.}$

สำหรับกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่องและหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กกล่าวว่า ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(k)}$

${\displaystyle D_{0}(X)D_{0}(x)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

โดยที่และคือค่าความแปรปรวนของและตามลำดับ โดยความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นในกรณีของการแจกแจงแบบเกาส์เซียน ที่ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสม แม้ว่าค่าความแปรปรวนอาจถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันสำหรับ DFT แต่หลักการความไม่แน่นอนในลักษณะเดียวกันนั้นไม่มีประโยชน์ เนื่องจากความไม่แน่นอนจะไม่คงที่ตามการเลื่อน อย่างไรก็ตาม Massar และ Spindel ได้นำเสนอหลักการความไม่แน่นอนที่มีความหมาย^{[ 22 ]}${\displaystyle D_{0}(X)}$${\displaystyle D_{0}(x)}$${\displaystyle |X|^{2}}$${\displaystyle |x|^{2}}$

อย่างไรก็ตามความไม่แน่นอนของเอนโทรปี ของ Hirschman จะมีอนาล็อกที่มีประโยชน์สำหรับกรณีของ DFT ^{[ 23 ]}หลักการความไม่แน่นอนของ Hirschman แสดงออกมาในรูปของเอนโทรปีของ Shannonของฟังก์ชันความน่าจะเป็นสองฟังก์ชัน

ในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง เอนโทรปีของแชนนอนถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle H(X)=-\sum _{n=0}^{N-1}P_{n}\ln P_{n}}$

และ

${\displaystyle H(x)=-\sum _{m=0}^{N-1}Q_{m}\ln Q_{m},}$

และ หลักการ ความไม่แน่นอนของเอนโทรปีกลายเป็น^{[ 23 ]}

${\displaystyle H(X)+H(x)\geq \ln(N).}$

ความเท่าเทียมกันจะได้รับสำหรับการแปลและการปรับค่าที่เท่ากันของหวีโครเนกเกอร์ ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมของ คาบโดยที่เป็นตัวหารจำนวนเต็มที่แน่นอน ของ ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นจะเป็นสัดส่วนกับหวีโครเนกเกอร์ที่แปลอย่างเหมาะสมของคาบ^{[ 23 ]}${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q_{m}}$${\displaystyle B=N/A}$

นอกจากนี้ยังมีหลักการความไม่แน่นอนเชิงกำหนดที่เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งใช้ความเบาบางของสัญญาณ (หรือจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์) ^{[ 24 ]}ให้และเป็นจำนวนองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับเวลาและความถี่และตามลำดับ จากนั้น ${\displaystyle \left\|x\right\|_{0}}$${\displaystyle \left\|X\right\|_{0}}$${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle N\leq \left\|x\right\|_{0}\cdot \left\|X\right\|_{0}.}$

ผลที่ตามมาโดยตรงจากความไม่เท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตก็คือหลักการความไม่แน่นอนทั้งสองได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีความกระชับสำหรับลำดับ "รั้วไม้" ที่เลือกไว้โดยเฉพาะ (ชุดพัลส์แบบไม่ต่อเนื่อง) และพบการใช้งานจริงสำหรับแอปพลิเคชันการกู้คืนสัญญาณ^{[ 24 ]}${\displaystyle 2{\sqrt {N}}\leq \left\|x\right\|_{0}+\left\|X\right\|_{0}}$

• ถ้าเป็นจำนวนจริงซึ่งมักจะเป็นเช่นนั้นในการใช้งานจริง การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) จะมีความสมมาตรแบบคู่ด้วย :${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$โดยที่หมายถึง การสั งยุคเชิงซ้อน${\displaystyle X^{*}\,}$

ดังนั้น สำหรับค่าคู่และค่าจริง ส่วนที่เหลือของ DFT จะถูกกำหนดโดยจำนวนเชิงซ้อน เท่านั้น${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{N/2}}$${\displaystyle N/2-1}$

• ถ้าเป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ แล้ว DFT จะมีสมมาตรแบบคี่ :${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle x_{n}\in i\mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=-X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$โดยที่หมายถึง การสั งยุคเชิงซ้อน${\displaystyle X^{*}\,}$

เป็นไปได้ที่จะเลื่อนการสุ่มตัวอย่างการแปลงในโดเมนเวลาและ/หรือโดเมนความถี่โดยใช้ค่าจริงaและbตามลำดับ บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าDFT แบบทั่วไป (หรือGDFT ) หรือที่เรียกว่าDFT แบบเลื่อนหรือDFT แบบชดเชยและมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับ DFT ทั่วไป:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+b)(n+a)}\quad \quad k=0,\dots ,N-1.}$

โดยส่วนใหญ่แล้วจะใช้การเลื่อน (ครึ่งหนึ่งของตัวอย่าง) ในขณะที่ DFT ทั่วไปสอดคล้องกับสัญญาณเป็นคาบทั้งในโดเมนเวลาและโดเมนความถี่ แต่จะสร้างสัญญาณที่เป็นปฏิคาบในโดเมนความถี่ ( ) และในทางกลับกันสำหรับดังนั้น กรณีเฉพาะของจึงเรียกว่า การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง แบบคี่เวลาคี่ความถี่ (หรือ O ² DFT) การแปลงแบบเลื่อนดังกล่าวส่วนใหญ่มักใช้กับข้อมูลสมมาตร เพื่อแสดงสมมาตรขอบเขตที่แตกต่างกัน และสำหรับข้อมูลสมมาตรจริง จะสอดคล้องกับรูปแบบต่างๆ ของการแปลง โคไซน์และไซน์ แบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle a=1/2}$${\displaystyle X_{k+N}=-X_{k}}$${\displaystyle b=1/2}$${\displaystyle a=b=1/2}$

ทางเลือกที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งคือซึ่งเรียกว่าDFT แบบศูนย์กลาง (หรือCDFT ) DFT แบบศูนย์กลางมีคุณสมบัติที่มีประโยชน์คือ เมื่อNเป็นพหุคูณของสี่ ค่าไอเกนทั้งสี่ของมัน (ดูด้านบน) จะมีจำนวนเท่าๆ กัน^{[ 25 ] [ 20 ]}${\displaystyle a=b=-(N-1)/2}$

คำว่า GDFT ยังใช้สำหรับการขยายเฟสแบบไม่เชิงเส้นของ DFT ด้วย ดังนั้น วิธี GDFT จึงให้การวางนัยทั่วไปสำหรับการแปลงบล็อกเชิงตั้งฉากแอมพลิจูดคงที่ ซึ่งรวมถึงเฟสแบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น GDFT เป็นกรอบการทำงานเพื่อปรับปรุงคุณสมบัติโดเมนเวลาและความถี่ของ DFT แบบดั้งเดิม เช่น ความสัมพันธ์อัตโนมัติ/ความสัมพันธ์ไขว้ โดยการเพิ่มฟังก์ชันการปรับรูปร่างเฟสที่ออกแบบมาอย่างเหมาะสม (โดยทั่วไปไม่ใช่เชิงเส้น) ลงในฟังก์ชันเฟสเชิงเส้นดั้งเดิม^{[ 26 ]}

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการแปลง zซึ่งประเมินค่าบนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน การแปลง z ที่ทั่วไปกว่านั้นสอดคล้องกับการเลื่อนเชิงซ้อนaและbข้างต้น

การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) ทั่วไปจะแปลงลำดับหรืออาร์เรย์ หนึ่งมิติ ที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรไม่ต่อเนื่องn เพียงตัวเดียว ส่วนการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องหลายมิติของอาร์เรย์หลายมิติที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรไม่ต่อเนื่องd ตัว สำหรับin นั้นนิยามได้ดังนี้: ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}}$${\displaystyle n_{\ell }=0,1,\dots ,N_{\ell }-1}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle 1,2,\dots ,d}$

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{d}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\omega _{N_{1}}^{~k_{1}n_{1}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\left(\omega _{N_{2}}^{~k_{2}n_{2}}\cdots \sum _{n_{d}=0}^{N_{d}-1}\omega _{N_{d}}^{~k_{d}n_{d}}\cdot x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}\right)\right),}$