การแปลงฮาร์ทลีย์แบบไม่ต่อเนื่อง (DHT)เป็นการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์ของข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องและเป็นคาบคล้ายกับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) โดยมีการประยุกต์ใช้ที่คล้ายคลึงกันในการประมวลผลสัญญาณและสาขาที่เกี่ยวข้อง ความแตกต่างหลักจาก DFT คือการแปลงอินพุตจริงเป็นเอาต์พุตจริง โดยไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนเช่นเดียวกับที่ DFT เป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฟูริเยร์ แบบต่อเนื่อง (FT) DHT ก็เป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของการแปลงฮาร์ทลีย์ แบบต่อเนื่อง (HT) ซึ่งแนะนำโดยRalph VL Hartleyในปี 1942 ^{[ 1 ]}

เนื่องจากมีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับ DHT ซึ่งคล้ายคลึงกับการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) DHT จึงได้รับการเสนอครั้งแรกโดยRonald N. Bracewellในปี 1983 ^{[ 2 ]}ในฐานะเครื่องมือคำนวณที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในกรณีทั่วไปที่ข้อมูลเป็นจำนวนจริงล้วนๆ อย่างไรก็ตาม ต่อมามีการโต้แย้งว่าอัลกอริธึม FFT เฉพาะสำหรับอินพุตหรือเอาต์พุตที่เป็นจำนวนจริงมักจะพบได้โดยใช้การดำเนินการน้อยกว่าอัลกอริธึมที่สอดคล้องกันสำหรับ DHT เล็กน้อย

ในทางทฤษฎี การแปลงฮาร์ทลีย์แบบไม่ต่อเนื่องคือ ฟังก์ชัน เชิงเส้นที่ผกผันได้H : R ⁿ → R ⁿ (โดยที่Rแทนเซตของจำนวนจริง ) จำนวนจริงN ตัว x ₀ , ..., x _{N −1}จะถูกแปลงเป็นจำนวนจริงN ตัว H ₀ , ..., H _{N −1}ตามสูตร

${\displaystyle H_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\operatorname {cas} \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1.}$

บางครั้งการรวมกันนี้ จะใช้สัญลักษณ์ cas( z )และไม่ควรสับสนกับcis( z ) = e ^iz = cos( z ) + i sin( z )หรือe ^{− iz} = cis( −z )ซึ่งปรากฏในนิยามของ DFT (โดยที่iคือหน่วยจินตภาพ ) ${\displaystyle \cos(z)+\sin(z)}$${\displaystyle ={\sqrt {2}}\cos \left(z-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

เช่นเดียวกับ DFT ค่าตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวมที่อยู่หน้าการแปลงและเครื่องหมายของพจน์ไซน์เป็นเรื่องของข้อตกลง แม้ว่าข้อตกลงเหล่านี้อาจแตกต่างกันไปบ้างในแต่ละผู้เขียน แต่ก็ไม่ส่งผลกระทบต่อคุณสมบัติที่สำคัญของการแปลง

การแปลงนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นการคูณเวกเตอร์ ( x ₀ , ...., x _{N −1} ) ด้วยเมทริกซ์N x N ดังนั้น การแปลงฮาร์ทลีย์แบบไม่ต่อเนื่องจึงเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นเมทริกซ์นี้สามารถผกผันได้ การแปลงผกผัน ซึ่งช่วยให้สามารถกู้คืนx _nจากH _k ได้ นั้น ก็คือ DHT ของH _kคูณด้วย 1/ Nนั่นเอง กล่าวคือ DHT เป็นตัวผกผันของตัวเอง ( ตัวผกผันแบบแปรผัน ) โดยมีค่าตัวประกอบมาตราส่วนโดยรวมต่างกัน

DHT สามารถใช้ในการคำนวณ DFT และในทางกลับกัน สำหรับอินพุตจริงx _nผลลัพธ์ DFT X _kจะมีส่วนจริง ( H _k + H _N−k )/2 และส่วนจินตนาการ ( H _N−k − H _k )/2 ในทางกลับกัน DHT เทียบเท่ากับการคำนวณ DFT ของx _nคูณด้วย 1 + iแล้วนำส่วนจริงของผลลัพธ์มาใช้

เช่นเดียวกับ DFT การสังเคราะห์ แบบวนรอบ z = x ∗ yของเวกเตอร์สองตัวx = ( x _n ) และy = ( y _n ) เพื่อสร้างเวกเตอร์z = ( z _n ) ซึ่งมีความยาว Nทั้งหมดจะกลายเป็นการดำเนินการที่ง่ายหลังจาก DHT โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าเวกเตอร์X , YและZแทน DHT ของx , yและzตามลำดับ จากนั้นองค์ประกอบของZจะกำหนดโดย:

${\displaystyle {\begin{matrix}Z_{k}&=&\left[X_{k}\left(Y_{k}+Y_{Nk}\right)+X_{Nk}\left(Y_{k}-Y_{Nk}\right)\right]/2\ \Z_{Nk}&=&\left[X_{Nk}\left(Y_{k}+Y_{Nk}\right)-X_{k}\left(Y_{k}-Y_{Nk}\right)\right]/2\end{เมทริกซ์}}}$

โดยที่เราถือว่าเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นคาบในN ( X _N = X ₀เป็นต้น) ดังนั้น เช่นเดียวกับที่ DFT แปลงคอนโวลูชันเป็นการคูณแบบจุดต่อจุดของจำนวนเชิงซ้อน ( คู่ของส่วนจริงและส่วนจินตนาการ) DHT ก็แปลงคอนโวลูชันเป็นการรวมกันอย่างง่ายของคู่ของส่วนประกอบความถี่จริง จากนั้น DHT ผกผันจะให้เวกเตอร์z ที่ต้องการ ด้วยวิธีนี้ อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับ DHT (ดูด้านล่าง) จะให้ผลลัพธ์เป็นอัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับคอนโวลูชัน (วิธีนี้มีค่าใช้จ่ายสูงกว่าขั้นตอนที่สอดคล้องกันสำหรับ DFT เล็กน้อย ไม่รวมค่าใช้จ่ายของการแปลงด้านล่าง เนื่องจากการดำเนินการแบบคู่ข้างต้นต้องใช้การคำนวณเลขคณิตจริง 8 ครั้ง เทียบกับ 6 ครั้งของการคูณเชิงซ้อน จำนวนนี้ไม่รวมการหารด้วย 2 ซึ่งสามารถรวมเข้ากับการทำให้เป็นมาตรฐาน 1/ Nของ DHT ผกผันได้)

เช่นเดียวกับ DFT การประเมินนิยาม DHT โดยตรงจะต้องใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ O( N² ⁾ (ดูสัญกรณ์ Big O ) อย่างไรก็ตาม มีอัลกอริทึมที่รวดเร็วคล้ายกับ FFT ซึ่งคำนวณผลลัพธ์เดียวกันโดยใช้การดำเนินการเพียง O( N log N ) อัลกอริทึม FFT เกือบทุกตัว ตั้งแต่Cooley–Tukeyไปจนถึงตัวประกอบเฉพาะไปจนถึง Winograd (1985) ^{[ 3 ]}ไปจนถึงBruun's (1993) ^{[ 4 ]}มีอนาล็อกโดยตรงสำหรับการแปลง Hartley แบบไม่ต่อเนื่อง (อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึม FFT ที่แปลกใหม่บางตัว เช่น QFT ยังไม่ได้รับการตรวจสอบในบริบทของ DHT)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัลกอริทึม DHT ที่คล้ายกับอัลกอริทึม Cooley–Tukey มักเรียกว่า อัลกอริทึม การแปลง Hartley แบบเร็ว (FHT) และได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Bracewell ในปี 1984 ^{[ 5 ]}อัลกอริทึม FHT นี้ อย่างน้อยเมื่อนำไปใช้กับขนาดN ที่เป็นกำลังสอง ถือเป็นหัวข้อของ สิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกาหมายเลข 4,646,256 ซึ่งออกให้แก่Stanford University ในปี 1987 Stanford ได้นำสิทธิบัตรนี้ไปไว้ในสาธารณสมบัติในปี 1994 (Bracewell, 1995) ^{[ 6 ]}

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น อัลกอริทึม DHT โดยทั่วไปจะมีประสิทธิภาพน้อยกว่าเล็กน้อย (ในแง่ของจำนวนการดำเนินการจุดลอยตัว ) เมื่อเทียบกับอัลกอริทึม DFT ที่สอดคล้องกัน (FFT) ซึ่งเชี่ยวชาญสำหรับอินพุต (หรือเอาต์พุต) จริง ข้อโต้แย้งนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกโดย Sorensen et al. (1987) ^{[ 7 ]}และ Duhamel & Vetterli (1987) ^{[ 8 ]}ผู้เขียนกลุ่มหลังได้รับสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นจำนวนการดำเนินการที่ต่ำที่สุดที่เผยแพร่สำหรับ DHT ที่มีขนาดเป็นกำลังสอง โดยใช้อัลกอริทึมแบบแยกฐาน (คล้ายกับFFT แบบแยกฐาน ) ที่แบ่ง DHT ที่มีความยาวNออกเป็น DHT ที่มีความยาวN /2 และ DFT อินพุตจริงสองตัว ( ไม่ใช่ DHT) ที่มีความยาวN /4 ด้วยวิธีนี้ พวกเขาโต้แย้งว่า DHT ที่มีความยาวเป็นกำลังสองสามารถคำนวณได้ด้วยการบวกอย่างมากที่สุด 2 ครั้ง มากกว่าจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันสำหรับ DFT อินพุตจริง

ในคอมพิวเตอร์ปัจจุบัน ประสิทธิภาพจะถูกกำหนดโดย การพิจารณา แคชและไปป์ไลน์ของ CPUมากกว่าจำนวนการดำเนินการที่เข้มงวด และความแตกต่างเล็กน้อยในต้นทุนทางคณิตศาสตร์ไม่น่าจะมีความสำคัญ เนื่องจากอัลกอริธึม FHT และ FFT อินพุตจริงมีโครงสร้างการคำนวณที่คล้ายกัน จึงดูเหมือนว่าไม่มีอัลกอริธึม ใดที่ได้ เปรียบด้านความเร็วอย่างมีนัยสำคัญ ( Popovićและ Šević, 1994) ^{[ 9 ]}ในทางปฏิบัติ ไลบรารี FFT อินพุตจริงที่ได้รับการปรับแต่งอย่างสูงมีให้ใช้งานจากหลายแหล่ง (เช่น จากผู้จำหน่าย CPU เช่นIntel ) ในขณะที่ไลบรารี DHT ที่ได้รับการปรับแต่งอย่างสูงนั้นพบได้น้อยกว่า

ในทางกลับกัน การคำนวณที่ซ้ำซ้อนใน FFT เนื่องมาจากอินพุตจริงนั้นยากที่จะกำจัดสำหรับจำนวนเฉพาะN ขนาดใหญ่ แม้ว่าจะมีอัลกอริธึมข้อมูลเชิงซ้อน O( N log N ) สำหรับกรณีดังกล่าวก็ตาม เนื่องจากความซ้ำซ้อนนั้นซ่อนอยู่เบื้องหลังการเรียงสับเปลี่ยนที่ซับซ้อนและ/หรือการหมุนเฟสในอัลกอริธึมเหล่านั้น ในทางตรงกันข้าม อัลกอริธึม FFT ขนาดจำนวนเฉพาะมาตรฐาน อัลกอริธึมของ Raderสามารถนำไปใช้กับ DHT ของข้อมูลจริงได้โดยตรง โดยใช้การคำนวณน้อยกว่า FFT เชิงซ้อนที่เทียบเท่ากันประมาณสองเท่า (Frigo และ Johnson, 2005) ^{[ 10 ]}ในทางกลับกัน การปรับอัลกอริธึมของ Rader สำหรับ DFT อินพุตจริงโดยไม่ใช้ DHT ก็เป็นไปได้เช่นกัน (Chu & Burrus , 1982) ^{[ 11 ]}

rD-DHT (MD-DHT ที่มีมิติ "r") กำหนดโดย

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\dots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}x(n_{1},n_{2},...,n_{r}){\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{1}k_{1}}{N_{1}}}+\dots +{\frac {2\pi n_{r}k_{r}}{N_{r}}}),}$

กับและที่ไหน${\displaystyle k_{i}=0,1,\ldots ,N_{i}-1}$${\displaystyle {\rm {cas}}(x)=\cos(x)+\sin(x).}$

เช่นเดียวกับกรณี 1 มิติ ในฐานะที่เป็นการแปลงแบบจริงและสมมาตร MD-DHT จึงง่ายกว่า MD-DFT ประการแรก การแปลงผกผัน DHT นั้นเหมือนกับการแปลงไปข้างหน้าทุกประการ โดยมีการเพิ่มตัวประกอบการปรับขนาดเข้าไป

ประการที่สอง เนื่องจากเคอร์เนลเป็นของจริง จึงหลีกเลี่ยงความซับซ้อนในการคำนวณของจำนวนเชิงซ้อนนอกจากนี้ DFT ยังสามารถหาได้โดยตรงจาก DHT โดยการดำเนินการบวกแบบง่ายๆ (Bracewell, 1983) ^{[ 2 ]}

MD-DHT ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ เช่น การประมวลผลภาพและสัญญาณแสง การใช้งานเฉพาะ ได้แก่คอมพิวเตอร์วิชั่นโทรทัศน์ความละเอียดสูง และการประชุมทางไกล ซึ่งเป็นด้านที่ประมวลผลหรือวิเคราะห์ภาพเคลื่อนไหว (Zeng, 2000) ^{[ 12 ]}

เมื่อความเร็วในการประมวลผลเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ปัญหาหลายมิติขนาดใหญ่ก็สามารถคำนวณได้ง่ายขึ้น ซึ่งจำเป็นต้องใช้อัลกอริธึมหลายมิติที่รวดเร็ว อัลกอริธึมดังกล่าวมีสามแบบ ดังต่อไปนี้

เพื่อให้ได้ความสามารถในการแยกส่วนเพื่อประสิทธิภาพ เราพิจารณาการแปลงต่อไปนี้ (Bracewell, 1983) ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\hat {X}}(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\dots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}x(n_{1},n_{2},...,n_{r}){\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{1}k_{1}}{N_{1}}})\dots {\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{r}k_{r}}{N_{r}}}).}$

มีการแสดงให้เห็นใน Bortfeld (1995) ^{[ 13 ]}ว่าทั้งสองสามารถเชื่อมโยงกันได้ด้วยการเพิ่มเติมเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ใน 3 มิติ

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})={\frac {1}{2}}[{\hat {X}}(k_{1},k_{2},-k_{3})+{\hat {X}}(k_{1},-k_{2},k_{3})+{\hat {X}}(-k_{1},k_{2},k_{3})-{\hat {X}}(-k_{1},-k_{2},-k_{3})].}$

สำหรับกรณีดังกล่าว สามารถนำอัลกอริทึมแบบแถว-คอลัมน์มาใช้ได้ เทคนิคนี้ใช้กันทั่วไปเนื่องจากความเรียบง่ายของอัลกอริทึม RC ดังกล่าว แต่ไม่ได้ถูกปรับให้เหมาะสมที่สุดสำหรับพื้นที่ MD ทั่วไป ${\displaystyle {\hat {X}}}$

มีการพัฒนาอัลกอริธึมที่รวดเร็วอื่นๆ เช่น radix-2, radix-4 และ split radix ตัวอย่างเช่น Boussakta (2000) ^{[ 14 ]}ได้พัฒนา radix เวกเตอร์ 3 มิติ

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N-1}\sum _{n_{2}=0}^{N-1}\sum _{n_{r}=0}^{N-1}x(n_{1},n_{2},n_{3}){\rm {cas}}({\frac {2\pi }{N}}(n_{1}k_{1}+n_{2}k_{2}+n_{3}k_{3}))}$

${\displaystyle =\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:odd}+\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:even}}$

${\displaystyle +\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:odd}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:odd}}$

${\displaystyle +\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:odd}.}$

นอกจากนี้ Boussakta (2000) ^{[ 14 ]} ยังได้นำเสนอ ว่าอัลกอริธึมฐานเวกเตอร์ 3 มิตินี้ใช้การคูณและการบวกเมื่อเทียบกับการคูณและการบวกจากแนวทางแถว-คอลัมน์ ข้อเสียคือการใช้งานอัลกอริธึมประเภทฐานเหล่านี้ทำได้ยากในการสรุปทั่วไปสำหรับสัญญาณที่มีมิติใดๆ ${\displaystyle ({\frac {7}{4}})N^{3}\log _{2}N}$${\displaystyle ({\frac {31}{8}})N^{3}\log _{2}N}$${\displaystyle 3N^{3}\log _{2}N}$${\displaystyle ({\frac {9}{2}})N^{3}\log _{2}N+3N^{2}}$

การแปลงเชิงทฤษฎีจำนวนยังถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหา MD-DHT เนื่องจากสามารถดำเนินการคอนโวลูชันได้อย่างรวดเร็วมาก ใน Boussakta (1988) ^{[ 15 ]}ได้แสดงวิธีการแยกการแปลง MD-DHT ออกเป็นรูปแบบที่ประกอบด้วยคอนโวลูชัน:

สำหรับกรณี 2 มิติ (ส่วนกรณี 3 มิติได้กล่าวถึงไว้ในเอกสารอ้างอิงแล้ว)

${\displaystyle X(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}),\;}$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}$,${\displaystyle l=0,1,\ldots ,M-1}$

สามารถแยกย่อยออกเป็นการแปลงแบบวงกลม 1 มิติและ 2 มิติได้ดังนี้

${\displaystyle X(k,l)={\begin{cases}X_{1}(k,0)\\X_{2}(0,l)\\X_{3}(k,l)\end{cases}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle X_{1}(k,0)=\sum _{n=0}^{N-1}(\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m)){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}),\;}$${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}$

${\displaystyle X_{2}(0,l)=\sum _{m=0}^{M-1}(\sum _{n=0}^{N-1}x(n,m)){\rm {cas}}({\frac {2\pi ml}{M}}),\;}$${\displaystyle l=1,2,\dots ,M-1}$

${\displaystyle X_{3}(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}})\;,}$

${\displaystyle k=1,2,\ldots ,N-1}$

${\displaystyle l=1,2,\ldots ,M-1.}$

การพัฒนาเพิ่มเติม ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle X_{3}(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n,0){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}})+\sum _{m=1}^{M-1}x(0,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi ml}{M}})}$

${\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-1}\sum _{m=1}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}).}$

ณ จุดนี้ เราจะนำเสนอการแปลงเลขเฟอร์มาต์ (FNT) เลขเฟอร์มาต์ลำดับ ที่ ^t กำหนดโดยโดยที่เลขเฟอร์มาต์ที่รู้จักกันดีคือ สำหรับ( เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ) (Boussakta, 1988) ^{[ 15 ]}การแปลงเลขเฟอร์มาต์กำหนดโดย ${\displaystyle F_{t}=2^{b}+1}$${\displaystyle b=2^{t}}$${\displaystyle t=0,1,2,3,4,5,6}$${\displaystyle F_{t}}$${\displaystyle 0\leq t\leq 4}$

${\displaystyle X(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m)\alpha _{1}^{nk}\alpha _{2}^{ml}\mod F_{t}}$

โดยที่. และเป็นรากของเอกภาพของลำดับและตามลำดับ ${\displaystyle k=0,\ldots ,N-1,l=0,\ldots ,M-1}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\alpha _{1}^{N}=\alpha _{2}^{M}=1\mod F_{t})}$

เมื่อย้อนกลับไปดูการแยกส่วนประกอบ พจน์สุดท้ายสำหรับจะถูกกำหนดให้เป็นจากนั้น ${\displaystyle X_{3}(k,l)}$${\displaystyle X_{4}(k,l)}$

${\displaystyle X_{4}(k,l)=\sum _{n=1}^{N-1}\sum _{m=1}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}),}$

${\displaystyle k=1,2,\ldots ,N-1}$

${\displaystyle l=1,2,\ldots ,M-1.}$

ถ้าและเป็นรากปฐมของและ(ซึ่งรับประกันว่าจะมีอยู่ถ้าและเป็นจำนวนเฉพาะ ) แล้วและจะแมปไปยังดังนั้น เมื่อแมปและไปยังและจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle (n,m)}$${\displaystyle (g_{1}^{n}\mod N,g_{2}^{m}\mod M).}$${\displaystyle n,m,k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle g_{1}^{-n},g_{2}^{-m},g_{1}^{k}}$${\displaystyle g_{2}^{l}}$

${\displaystyle X_{4}(g_{1}^{k},g_{2}^{l})=\sum _{n=0}^{N-2}\sum _{m=0}^{M-2}x(g_{1}^{-n},g_{2}^{-m}){\rm {cas}}({\frac {2\pi g_{1}^{(-n+k)}}{N}}+{\frac {2\pi g_{2}^{(-m+l)}}{M}}),}$

${\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-2}$

${\displaystyle l=0,1,\ldots ,M-2}$.

ซึ่งตอนนี้เป็นการสังเคราะห์แบบวงกลมโดยมี, , และจะได้ว่า ${\displaystyle Y(k,l)=X_{4}(g_{1}^{k},g_{2}^{l})}$${\displaystyle y(n,m)=x(g_{1}^{-n},g_{2}^{-m})}$${\displaystyle h(n,m)={\rm {cas}}({\frac {2\pi g_{1}^{n}}{N}}+{\frac {2\pi g_{2}^{m}}{M}})}$

${\displaystyle Y(k,l)=\sum _{n=0}^{N-2}\sum _{m=0}^{M-2}y(n,m)h(<k-n>_{N},<l-m>_{M})}$

${\displaystyle Y(k,l)=FNT^{-1}\{FNT[y(n,m)]\otimes FNT[h(n,m)]}$

โดยที่หมายถึงการคูณแบบเทอมต่อเทอม นอกจากนี้ยังระบุไว้ใน (Boussakta, 1988) ^{[ 15 ]}ว่าอัลกอริทึมนี้ช่วยลดจำนวนการคูณลงได้ถึง 8–20 เท่าเมื่อเทียบกับอัลกอริทึม DHT อื่นๆ โดยมีค่าใช้จ่ายคือจำนวนการดำเนินการเลื่อนและบวกที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อย ซึ่งถือว่าง่ายกว่าการคูณ ข้อเสียของอัลกอริทึมนี้คือข้อจำกัดที่ว่าแต่ละมิติของการแปลงมี ราก ปฐม ภูมิ${\displaystyle \otimes }$

• แบรซเวลล์, โรนัลด์ เอ็น. (1986). การแปลงฮาร์ทลีย์ (ฉบับที่ 1). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด . ISBN 978-0-19503969-6.
• Boussakta, Said; Holt, Alan GJ (1988). "การแปลงฮาร์ทลีย์แบบไม่ต่อเนื่องหลายมิติอย่างรวดเร็วโดยใช้การแปลงเลขเฟอร์มาต์" IEE Proceedings G - Electronic Circuits and Systems . 135 (6): 235– 237. doi : 10.1049/ip-g-1.1988.0036 .
• Hong, Jonathan; Vetterli, Martin ; Duhamel, Pierre (1994). "การแปลงฐานฟิลด์ที่มีคุณสมบัติการสังเคราะห์" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 82 (3): 400– 412. doi : 10.1109/5.272145 .
• O'Neill, Mark A. (1988). "เร็วกว่าฟูริเยร์เร็ว" BYTE . 13 (4): 293– 300.
• Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T. (มีนาคม 1994). "การสำรวจส่วนพิเศษเกี่ยวกับการแปลงฮาร์ทลีย์". วารสาร Proceedings of the IEEE . 82 : 372– 380.(หมายเหตุ: มีบรรณานุกรมจำนวนมาก)