ในแคลคูลัสเวกเตอร์ ฟิลด์เวกเตอร์เบลตรามีซึ่งตั้งชื่อตามยูจีนิโอ เบลตรามีคือฟิลด์เวกเตอร์ในสามมิติที่ขนานกับเคิร์ล ของตัวเอง กล่าวคือFเป็นฟิลด์เวกเตอร์เบลตรามีก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle \mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

ดังนั้นและเป็นเวกเตอร์ขนาน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ. ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F} }$

ถ้าเป็นแบบโซเลนอยด์ นั่นคือ ถ้าเป็นแบบเดียวกับของไหลอัดไม่ได้หรือสนามแม่เหล็ก เอกลักษณ์ จะกลายเป็นและสิ่งนี้จะนำไปสู่ ​​และถ้าเราสมมติเพิ่มเติมว่าเป็นค่าคงที่ เราจะได้รูปแบบที่เรียบง่าย ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} }$$${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .}$$

เวกเตอร์ฟิลด์ Beltrami ที่มีค่า curl ไม่เป็นศูนย์ สอดคล้องกับรูปแบบการสัมผัสแบบ ยุคลิด ในสามมิติ

สนามเวกเตอร์ เป็นผลคูณของโครงสร้างสัมผัสมาตรฐาน − z i  +  jและเป็นตัวอย่างของสนามเวกเตอร์เบลตรามิ $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j} }$$

ฟิลด์เบลตรามีที่มีปัจจัยสัดส่วนคงที่จัดเป็นฟิลด์เวกเตอร์ประเภทหนึ่งที่แตกต่างออกไป ซึ่งทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการเคิร์ล โดยพื้นฐานแล้ว ฟิลด์เหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่แมปจุดในปริภูมิสามมิติ ไม่ว่าจะเป็นในปริภูมิยุคลิดหรือบนทอรัสแบนไปยังจุดอื่น ๆ ในปริภูมิเดียวกัน ในทางคณิตศาสตร์ สามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$(สำหรับปริภูมิยูคลิด) หรือ(สำหรับทอรัสแบบแบน) ${\displaystyle u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}}$

สนามเวกเตอร์เหล่านี้มีความพิเศษเฉพาะตัวเนื่องจากความสัมพันธ์พิเศษระหว่างเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับตัวสนามเอง ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้โดยใช้สมการต่อไปนี้: ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \times u=\lambda u}$

ในสมการนี้เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งบ่งชี้ว่าเคิร์ลของสนามเวกเตอร์เป็นสัดส่วนกับตัวสนามเอง ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle u}$

ฟิลด์ Beltrami มีความเกี่ยวข้องในพลศาสตร์ของไหล เนื่องจากนำเสนอชุดคำตอบคงที่แบบคลาสสิกสำหรับสมการออยเลอร์ในสามมิติ^{[ 1 ]}สมการออยเลอร์อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติที่ไม่สามารถอัดได้ และสามารถเขียนได้เป็นระบบสมการสองสมการ:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$ สำหรับการไหลแบบอยู่ตัว ซึ่งสนามความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา กล่าวคือเราสามารถนำฟังก์ชันเบอร์นูลลีและค่าความหมุน มาใช้ได้ตัวแปรใหม่เหล่านี้ทำให้สมการออยเลอร์ง่ายขึ้นเป็นระบบต่อไปนี้: ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$${\displaystyle B:=p+{\frac {1}{2}}\lกลับ\rกลับ ^{2}}$${\displaystyle \omega :=\nabla \times u}$

${\displaystyle {\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}}$ การทำให้ง่ายขึ้นนั้นเป็นไปได้เนื่องจากเอกลักษณ์เวกเตอร์ซึ่งเชื่อมโยงพจน์การพาความร้อนกับเกรเดียนต์ของพลังงานจลน์ และผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสนามความเร็วและเคิร์ลของมัน: ${\displaystyle (u\cdot \nabla )u}$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)}$

เมื่อฟังก์ชันเบอร์นูลลีเป็นค่าคงที่ ฟิลด์เบลตรามีจะกลายเป็นคำตอบที่ถูกต้องของสมการออยเลอร์แบบง่าย โปรดทราบว่าเราไม่จำเป็นต้องให้ปัจจัยสัดส่วนเป็นค่าคงที่เพื่อให้การพิสูจน์นี้ใช้ได้ผล ${\displaystyle B}$

สนาม Beltrami มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความปั่นป่วนแบบ Lagrangian ดังที่แสดงโดยงานของVI Arnold เกี่ยวกับการไหลของ Euler ที่อยู่นิ่ง ^{[ 2 ] [ 3 ]}

คำกล่าวของอาร์โนลด์จากผลงานที่กล่าวถึงข้างต้น เน้นให้เห็นถึงโครงสร้างเชิงซ้อนของเส้นกระแสในสนามเบลตรามี โดยเปรียบเทียบกับกลศาสตร์ดาราศาสตร์:

Il est probable que les écoulements tels que rot , , ont des lignes de courant à la topologie compliquée. De บอกเล่าภาวะแทรกซ้อนระหว่างmécanique céleste La topologie des lignes de courant des écoulements stationnaires des fluides visqueux peut être semblable à celle de mécanique céleste ${\displaystyle \nu =\lambda \nu }$${\displaystyle \lambda =Cte}$

เอกสารล่าสุด^{[ 4 ]}แสดงให้เห็นว่าฟิลด์ Beltrami แสดงให้เห็นถึงบริเวณที่วุ่นวายและทอรัสคงที่ของโทโพโลยีที่ซับซ้อนด้วยความน่าจะเป็นสูง การวิเคราะห์นี้รวมถึงขอบเขตเชิงอะซิมโทติกสำหรับจำนวนเกือกม้าศูนย์ และทอรัสคงที่แบบปม พร้อมกับวิถีโคจรเป็น คาบ ในฟิลด์ Beltrami แบบสุ่มเกาส์เซียน

• การไหลของเบลตรามิ
• สนามเวกเตอร์แผ่นซ้อน
• สนามเวกเตอร์อนุรักษ์

• อาริส, รัทเธอร์ฟอร์ด (1989), เวกเตอร์ เทนเซอร์ และสมการพื้นฐานของกลศาสตร์ของไหล , โดเวอร์, ISBN 0-486-66110-5
• Lakhtakia, Akhlesh (1994), สาขา Beltrami ในสื่อ chiral , World Scientific, ISBN 981-02-1403-0
• Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000), "โทโพโลยีการสัมผัสและอุทกพลศาสตร์ I. สนาม Beltrami และสมมติฐาน Seifert", Nonlinearity , 13 (2): 441– 448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E , doi : 10.1088/0951-7715/13/2/306.