ในกลศาสตร์คลาสสิกตัวแปรแอคชั่น-มุมคือชุดพิกัดเชิงแคนอนิกที่มีประโยชน์ในการกำหนดลักษณะของการไหลแบบสลับตำแหน่งได้ในระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้เมื่อชุดระดับพลังงานอนุรักษ์มีความกะทัดรัด และการไหลแบบสลับตำแหน่งได้นั้นสมบูรณ์ ตัวแปรแอคชั่น-มุมยังมีความสำคัญในการหาความถี่ของการเคลื่อนที่แบบสั่นหรือแบบหมุนโดยไม่ต้องแก้สมการการเคลื่อนที่ ตัวแปรเหล่านี้จะมีอยู่และให้ลักษณะสำคัญของพลศาสตร์ก็ต่อเมื่อระบบสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์กล่าวคือ จำนวนของตัวแปรคงที่ปัวซงแบบสลับตำแหน่งได้อิสระมีค่าสูงสุด และพื้นผิวพลังงานอนุรักษ์มีความกะทัดรัด ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะมีคุณค่าในการคำนวณในทางปฏิบัติเมื่อสมการแฮมิลตัน-จาโคบีสามารถแยกส่วนได้อย่างสมบูรณ์ และสามารถหาค่าคงที่การแยกส่วนได้ในรูปของฟังก์ชันบนปริภูมิเฟส ตัวแปรแอคชั่น-มุมกำหนดการแบ่งชั้นโดยใช้ทอรัสลากรางจ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากกระแสที่เกิดจากตัวแปรคงที่แบบปัวซงยังคงอยู่ในเซตระดับร่วม ในขณะที่ความกะทัดรัดของเซตระดับพลังงานบ่งชี้ว่าพวกมันเป็นทอรัส ตัวแปรมุมให้พิกัดบนชั้นที่กระแสแบบสลับกันเป็นเชิงเส้น

ความเชื่อมโยงระหว่างระบบแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกและการควอนตัมในแนวทางกลศาสตร์คลื่นของชโรดิงเกอร์นั้นชัดเจนขึ้นเมื่อพิจารณาสมการแฮมิลตัน-จาโคบีเป็นพจน์ลำดับนำในอนุกรมเชิงอะซิมโทติก WKBสำหรับสมการชโรดิงเกอร์ ในกรณีของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ เงื่อนไข การควอนตัมของบอร์-ซอมเมอร์เฟลด์ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกก่อนการเกิดขึ้นของกลศาสตร์ควอนตัม เพื่อคำนวณสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน เงื่อนไขเหล่านี้กำหนดให้ตัวแปรแอคชั่น-มุมต้องมีอยู่ และต้องเป็นจำนวนเต็มเท่าของค่าคงที่พลังค์ลดรูป${\displaystyle \hbar }$ความเข้าใจของไอน์สไตน์ เกี่ยวกับการหาค่าควอนตั ม ของระบบที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ด้วยวิธี EBKนั้น มาจากข้อเท็จจริงนี้

พิกัดแอคชั่น-มุมยังเป็นประโยชน์ในทฤษฎีการรบกวนของกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดค่าคงที่แบบอะเดียแบติกผลลัพธ์แรกๆ จากทฤษฎีความโกลาหลสำหรับเสถียรภาพทางพลวัตของระบบพลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย คือทฤษฎีบท KAMซึ่งระบุว่าทอรัสคงที่มีเสถียรภาพบางส่วน

ในทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ตัวแปรแอคชั่น-มุมถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาของแลตทิซโทดาการกำหนดคู่แล็กซ์หรือโดยทั่วไปแล้ว วิวัฒนาการ ไอโซสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่บ่งบอกถึงพลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ และการตีความข้อมูลสเปกตรัมที่เกี่ยวข้องในฐานะตัวแปรแอคชั่น-มุมในสูตรแฮมิลโทเนียน

มุมการกระทำเกิดจากการแปลงแคนอนิกประเภทที่ 2 โดยที่ฟังก์ชันก่อกำเนิดคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของแฮมิลตัน${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$( ไม่ใช่หน้าที่หลักของแฮมิลตัน)${\displaystyle S}$เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเดิมไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาโดยตรง แฮมิลโทเนียนใหม่จึง...${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$เป็นเพียงแฮมิลตันเนียนคนเก่าเท่านั้น${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$แสดงออกมาในรูปของพิกัดมาตรฐาน ใหม่ ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle \mathbf {w} }$( มุมการกระทำซึ่งเป็นพิกัดทั่วไป ) และโมเมนตัมทั่วไปใหม่ของพวกมัน${\displaystyle \mathbf {J} }$เราไม่จำเป็นต้องหาฟังก์ชันก่อกำเนิดในที่นี้${\displaystyle W}$ไม่ใช่ตัวมันเอง แต่เราจะใช้มันเป็นเพียงเครื่องมือในการเชื่อมโยงพิกัดมาตรฐาน ใหม่และเก่าเข้าด้วย กัน

แทนที่จะกำหนดมุมการกระทำ${\displaystyle \mathbf {w} }$โดยตรงแล้ว เรากำหนดโมเมนตัมทั่วไปของพวกมันแทน ซึ่งคล้ายกับการกระทำแบบคลาสสิกสำหรับพิกัดทั่วไป ดั้งเดิมแต่ละตัว

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

โดยที่เส้นทางการอินทิเกรตนั้นกำหนดโดยปริยายจากฟังก์ชันพลังงานคงที่${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$เนื่องจากการเคลื่อนที่จริงไม่ได้เกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตนี้ โมเมนตัมทั่วไปเหล่านี้จึง...${\displaystyle J_{k}}$เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ ซึ่งหมายความว่าแฮมิลโทเนียนที่แปลงแล้ว${\displaystyle K}$ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไปสัง ยุค${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

ที่ซึ่ง${\displaystyle w_{k}}$ได้มาจากสมการทั่วไปสำหรับการแปลงแคนอนิก ประเภทที่ 2

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\บางส่วน W}{\บางส่วน J_{k}}}}$

ดังนั้น แฮมิลโทเนียนตัวใหม่${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$ขึ้นอยู่กับโมเมนตัมทั่วไปใหม่เท่านั้น${\displaystyle \mathbf {J} }$.

พลวัตของมุมการกระทำนั้นกำหนดโดยสมการของแฮมิลตัน

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

ด้านขวามือเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ (เนื่องจากทั้งหมด${\displaystyle J}$(s คือ) ดังนั้น คำตอบจึงกำหนดโดย

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

ที่ไหน${\displaystyle \beta _{k}}$เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากพิกัดทั่วไป ดั้งเดิม มีการแกว่งหรือหมุนด้วยคาบเวลา${\displaystyle T}$มุมการกระทำที่สอดคล้องกัน${\displaystyle w_{k}}$การเปลี่ยนแปลงโดย${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$.

เหล่านี้${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$คือความถี่ของการสั่น/การหมุนสำหรับพิกัดทั่วไป ดั้งเดิม${\displaystyle q_{k}}$เพื่อแสดงให้เห็นเช่นนี้ เราจึงทำการอินทิเกรตการเปลี่ยนแปลงสุทธิของมุมการกระทำ${\displaystyle w_{k}}$โดยมีการเปลี่ยนแปลงอย่างสมบูรณ์หนึ่งครั้ง (เช่น การแกว่งหรือการหมุน) ของพิกัดทั่วไป${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\คณิตศาสตร์ {d} J_{k}}}=1}$

การกำหนดนิพจน์ทั้งสองสำหรับ${\displaystyle \Delta w_{k}}$เมื่อเท่ากัน เราจะได้สมการที่ต้องการ

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

มุมกล้องแอ็คชั่น${\displaystyle \mathbf {w} }$เป็นชุดพิกัดทั่วไปที่ เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ในกรณีทั่วไป พิกัดทั่วไปดั้งเดิมแต่ละพิกัดจะเป็นอิสระต่อกัน${\displaystyle q_{k}}$สามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมฟูริเยร์ในทุกมุมการกระทำ

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

ที่ไหน${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$คือสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูริเยร์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ในทางปฏิบัติ พิกัดทั่วไปดั้งเดิมจะเป็นค่าเดิม${\displaystyle q_{k}}$จะสามารถแสดงออกมาในรูปอนุกรมฟูริเยร์ ได้ โดยใช้เพียงมุมการกระทำของมันเองเท่านั้น${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

ขั้นตอนทั่วไปมีสามขั้นตอน:

1. คำนวณโมเมนตัมทั่วไปใหม่${\displaystyle J_{k}}$
2. แสดงแฮมิลโทเนียนดั้งเดิมทั้งหมดในรูปของตัวแปรเหล่านี้
3. หาอนุพันธ์ของแฮมิลโทเนียนเทียบกับโมเมนตัมเหล่านี้เพื่อหาความถี่${\displaystyle \nu _{k}}$

ในบางกรณี ความถี่ของพิกัดทั่วไป สองพิกัดที่แตกต่างกัน อาจเหมือนกัน กล่าวคือ${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$สำหรับ${\displaystyle k\neq l}$ในกรณีเช่นนี้ การเคลื่อนที่นั้นเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพ (degenerate motion )

สัญญาณการเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพบ่งชี้ว่ามีปริมาณอนุรักษ์ทั่วไปเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ความถี่ของปัญหาเคปเลอร์เป็นแบบเสื่อมสภาพ ซึ่งสอดคล้องกับการอนุรักษ์เวกเตอร์ลาปลาส-รุงเก-เลนซ์

การเคลื่อนที่แบบเสื่อมสภาพยังบ่งชี้ว่าสมการแฮมิลตัน-จาโคบีสามารถแยกตัวแปรได้อย่างสมบูรณ์ในระบบพิกัดมากกว่าหนึ่งระบบ ตัวอย่างเช่น ปัญหาของเคปเลอร์สามารถแยกตัวแปรได้อย่างสมบูรณ์ทั้งในระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดพาราโบลา

• แบบจำลองโบห์ร-ซอมเมอร์เฟลด์
• ระบบบูรณาการ
• วิธีของไอน์สไตน์-บริลลูอิน-เคลเลอร์
• ระบบแฮมิลโทเนียนที่สามารถอินทิเกรตได้ยิ่งยวด
• รูปแบบเดียวเชิงตรรกะ