ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเบนเน็ตต์ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระจะเบี่ยงเบนจากค่าที่คาดหวังมากกว่าจำนวนที่กำหนดไว้ อสมการของเบนเน็ตต์ได้รับการพิสูจน์โดยจอร์จ เบนเน็ตต์แห่งมหาวิทยาลัยนิวเซาท์เวลส์ในปี 1962 ^{[ 1 ]}

ให้ X , … X เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความแปรปรวนจำกัด สมมติเพิ่มเติมว่า| X - E X | ≤ aเกือบแน่นอนสำหรับทุกiและกำหนด${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\left[X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right]}$และ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}-\operatorname {E} X_{i})^{2}.}$ ดังนั้นสำหรับt ≥ 0ใด ๆ

${\displaystyle \Pr \left(S_{n}>t\right)\leq \exp \left(-{\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}h\left({\frac {at}{\sigma ^{2}}}\right)\right),}$

โดยที่h ( u ) = (1 + u )log(1 + u ) – uและ log หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ^{[ 2 ] [ 3 ]}

สำหรับการวางนัยทั่วไป โปรดดู Freedman (1975) ^{[ 4 ]}และ Fan, Grama และ Liu (2012) ^{[ 5 ]}สำหรับ เวอร์ชัน มาร์ติงเกลของความไม่เท่าเทียมกันของ Bennett และการปรับปรุงตามลำดับ

อสมการของ Hoeffdingสมมติเพียงว่าค่าที่นำมาบวกกันนั้นมีขอบเขตเกือบแน่นอน ในขณะที่อสมการของ Bennett ให้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นเมื่อความแปรปรวนของค่าที่นำมาบวกกันนั้นน้อยเมื่อเทียบกับขอบเขตเกือบแน่นอน อย่างไรก็ตาม อสมการของ Hoeffding มีลักษณะหางแบบ sub-Gaussian ในขณะที่โดยทั่วไปแล้วอสมการของ Bennett มีลักษณะหางแบบ Poissonian

อสมการของเบนเน็ตต์มีความคล้ายคลึงกับอสมการของเบิร์นสไตน์ มากที่สุด ซึ่งอสมการแรกยังให้ความเข้มข้นในแง่ของความแปรปรวนและขอบเขตที่แน่นอนเกือบ 100% สำหรับแต่ละเทอม อสมการของเบนเน็ตต์มีความเข้มแข็งกว่าขอบเขตนี้ แต่คำนวณได้ซับซ้อนกว่า^{[ 3 ]}

ในอสมการทั้งสองนี้ แตกต่างจากอสมการหรือทฤษฎีบทลิมิตอื่นๆ ตรงที่ไม่มีข้อกำหนดว่าตัวแปรประกอบจะต้องมีการแจกแจงที่เหมือนกันหรือคล้ายคลึงกัน

สมมติว่าX แต่ละตัว เป็นตัวแปรสุ่มไบนารีอิสระที่มีความน่าจะเป็นpแล้วอสมการของเบนเน็ตต์กล่าวว่า:

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>pn+t\right)\leq \exp \left(-nph\left({\frac {t}{np}}\right)\right).}$

สำหรับ${\displaystyle t\geq 10np}$, ${\displaystyle h({\frac {t}{np}})\geq {\frac {t}{2np}}\log {\frac {t}{np}},}$ ดังนั้น

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>pn+t\right)\leq \left({\frac {t}{np}}\right)^{-t/2}}$

สำหรับ${\displaystyle t\geq 10np}$.

ในทางตรงกันข้ามอสมการของ Hoeffdingให้ขอบเขตของ${\displaystyle \exp(-2t^{2}/n)}$และ อสมการเบิร์นสไตน์ข้อแรกให้ขอบเขตของ${\displaystyle \exp(-{\frac {t^{2}}{2np+2t/3}})}$. สำหรับ${\displaystyle t\gg np}$อสมการของ Hoeffding ให้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle \exp(-\Theta (t^{2}/n))}$เบิร์นสไตน์ให้${\displaystyle \exp(-\Theta (t))}$และเบนเน็ตต์ให้${\displaystyle \exp(-\Theta (t\log {\frac {t}{np}}))}$.

• ความไม่เท่าเทียมกันของความเข้มข้น - บทสรุปเกี่ยวกับขอบเขตส่วนท้ายของตัวแปรสุ่ม