ใน การศึกษา ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวเคอร์เนลของเบิร์กแมนซึ่งตั้งชื่อตามสเตฟาน เบิร์กแมนคือเคอร์เนลที่สร้างซ้ำสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ต ( RKHS ) ของ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ทั้งหมด บนโดเมนDใน  C ⁿ

โดยละเอียด ให้L ² ( D )เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนDและให้L ^{2, h} ( D ) แทนปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใน L ² ( D ): นั่นคือ

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

โดยที่H ( D ) คือปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในDแล้วL2 ^{, h} ( D ) ก็เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต: มันเป็น ปริภูมิย่อยเชิงเส้น ปิดของL2 ( D ) และดังนั้นจึงสมบูรณ์ ในตัวมันเอง สิ่ง ^นี้เป็นผลมาจากการประมาณค่าพื้นฐานที่ว่า สำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ƒในD

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$

1

สำหรับทุกเซตย่อยกระชับKของDดังนั้นการลู่เข้าของลำดับของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในL ² ( D ) ย่อมหมายถึงการลู่เข้าแบบกระชับ ด้วย และดังนั้นฟังก์ชันลิมิตจึงเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเช่นกัน

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของ ( 1 ) คือ สำหรับแต่ละz  ∈  Dการประเมิน

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนL ^{2, h} ( D ) โดยทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Rieszฟังก์ชันนี้สามารถแสดงได้เป็นผลคูณภายในกับองค์ประกอบของ L ^{2, h} ( D ) ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta )}$

เคอร์เนลเบิร์กแมนKถูกกำหนดโดย

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

เคอร์เนลK ( z ,ζ) เป็นโฮโลมอร์ฟิกในzและเป็นแอนติโฮโลมอร์ฟิกใน ζ และเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta )}$

ข้อสังเกตสำคัญประการหนึ่งเกี่ยวกับภาพนี้คือL ^{2, h} ( D ) อาจถูกระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของ ฟอร์มโฮโลมอร์ฟิก (n,0) บน D ผ่านการคูณด้วย เนื่องจากผลคูณภายในบนปริภูมินี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ไบโฮโลมอร์ฟิซึมของ D อย่างชัดเจน ดังนั้นเคอร์เนลของเบิร์กแมนและเมตริกเบิร์กแมน ที่เกี่ยวข้อง จึงไม่เปลี่ยนแปลงโดยอัตโนมัติภายใต้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของโดเมน ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$${\displaystyle L^{2}}$

เคอร์เนลของเบิร์กแมนสำหรับดิสก์หน่วยDคือฟังก์ชัน $${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}$$

• เมตริกเบิร์กแมน
• พื้นที่เบิร์กแมน
• เมล็ดเซเกอ