ในวิทยาศาสตร์วัสดุ พลาสติกบิงแฮมเป็นวัสดุวิสโคพลาสติกที่มีพฤติกรรมเหมือนวัตถุแข็ง ที่ ความเค้นต่ำแต่ไหลเหมือนของเหลวหนืด ที่ความเค้นสูง ตั้งชื่อตามยูจีน ซี. บิงแฮมผู้เสนอรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในปี พ.ศ. 2459 [ ^{1 ] เป็น}แบบจำลองพื้นฐานของวัสดุที่มีความเค้นคราด^{[ 2 ]}

ใช้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ทั่วไป ของ การไหล ของโคลนในวิศวกรรมการเจาะและในการจัดการสารละลายตัวอย่างทั่วไปคือยาสีฟัน[ ^{3 ] ซึ่ง}จะไม่ถูกบีบออกมาจนกว่า จะมีการใช้ แรงดัน ในระดับหนึ่ง กับหลอด จากนั้นจึงถูกดันออกมาเป็นก้อนที่ค่อนข้างเหนียวแน่น

รูปที่ 1แสดงกราฟพฤติกรรมของของเหลวหนืดทั่วไป (หรือของเหลวแบบนิวตัน) สีแดง เช่น ในท่อ หากความดันที่ปลายด้านหนึ่งของท่อเพิ่มขึ้น จะทำให้เกิดความเค้นต่อของเหลวซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้ของเหลวเคลื่อนที่ (เรียกว่าความเค้นเฉือน ) และอัตราการไหลเชิงปริมาตรจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน อย่างไรก็ตาม สำหรับของเหลวพลาสติกบิงแฮม (สีน้ำเงิน) สามารถใช้ความเค้นได้ แต่ของเหลวจะไม่ไหลจนกว่าจะถึงค่าหนึ่ง ซึ่ง เรียกว่าความเค้นคราด ( yield stress ) หลังจากจุดนี้ อัตราการไหลจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเมื่อความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้น นี่เป็นวิธีคร่าวๆ ที่บิงแฮมนำเสนอการสังเกตของเขาในการศึกษาทดลองเกี่ยวกับสี^{[ 4 ]}คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้พลาสติกบิงแฮมมีพื้นผิวที่มีลักษณะเป็นยอดและสันแทนที่จะเป็นพื้นผิวเรียบเหมือนของเหลวแบบนิวตัน

รูปที่ 2แสดงวิธีการนำเสนอตามปกติในปัจจุบัน^{[ 3 ]}กราฟแสดงความเค้นเฉือนบนแกนตั้งและอัตราการเฉือนบนแกนแนวนอน (อัตราการไหลเชิงปริมาตรขึ้นอยู่กับขนาดของท่อ อัตราการเฉือนเป็นการวัดว่าความเร็วเปลี่ยนแปลงอย่างไรตามระยะทาง เป็นสัดส่วนกับอัตราการไหล แต่ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของท่อ) เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ของเหลวนิวโทเนียนจะไหลและให้อัตราการเฉือนสำหรับค่าความเค้นเฉือนที่จำกัดใดๆ อย่างไรก็ตาม พลาสติกบิงแฮมจะไม่แสดงอัตราการเฉือนใดๆ (ไม่มีการไหลและดังนั้นจึงไม่มีความเร็ว) จนกว่าจะถึงความเค้นที่กำหนด สำหรับของเหลวนิวโทเนียน ความชันของเส้นนี้คือความหนืดซึ่งเป็นพารามิเตอร์เดียวที่จำเป็นในการอธิบายการไหล ในทางตรงกันข้าม พลาสติกบิงแฮมต้องการพารามิเตอร์สองตัว คือความเค้นครากและความชันของเส้น ซึ่งเรียกว่าความหนืดพลาสติก

เหตุผลทางกายภาพสำหรับพฤติกรรมนี้คือของเหลวนั้นมีอนุภาค (เช่น ดินเหนียว) หรือโมเลกุลขนาดใหญ่ (เช่นโพลิเมอร์ ) ซึ่งมีการปฏิสัมพันธ์กันบางอย่าง ทำให้เกิดโครงสร้างของแข็งที่อ่อนแอ ซึ่งเดิมเรียกว่า " วัตถุเทียม"และต้องใช้แรงเค้นในปริมาณหนึ่งเพื่อทำลายโครงสร้างนี้ เมื่อโครงสร้างถูกทำลายแล้ว อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับของเหลวภายใต้แรงหนืด หากแรงเค้นถูกกำจัดออกไป อนุภาคก็จะรวมตัวกันอีกครั้ง

วัสดุนี้เป็นของแข็งยืดหยุ่นสำหรับแรงเฉือนที่น้อยกว่าค่าวิกฤตเมื่อแรงเฉือน วิกฤต (หรือ " แรงคราก ") เกินกว่าค่าวิกฤต วัสดุจะไหลในลักษณะที่อัตราการเฉือน ∂u /∂y (ตามที่นิยามไว้ในบทความเกี่ยวกับความหนืด ) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับปริมาณที่แรงเฉือนที่ใช้เกินกว่าแรงคราก ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

ในการไหลของของเหลว การคำนวณการลดลงของความดันในเครือข่ายท่อที่มีอยู่เป็นปัญหาที่พบได้ทั่วไป^{[ 5 ]}เมื่อทราบค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานfแล้ว การจัดการปัญหาการไหลในท่อต่างๆ ก็จะง่ายขึ้น เช่น การคำนวณการลดลงของความดันเพื่อประเมินต้นทุนการสูบน้ำ หรือการหาอัตราการไหลในเครือข่ายท่อสำหรับการลดลงของความดันที่กำหนด โดยปกติแล้ว การหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานที่เกี่ยวข้องกับการไหลของของเหลวที่ไม่ใช่ของนิวตันนั้นทำได้ยากมาก ดังนั้นจึงใช้การประมาณค่าแบบชัดเจนในการคำนวณ เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานแล้ว การลดลงของความดันสามารถกำหนดได้ง่ายสำหรับอัตราการไหลที่กำหนดโดยใช้สมการ Darcy–Weisbach :

${\displaystyle f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle f}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของดาร์ซี (หน่วย SI: ไม่มีมิติ)
• ${\displaystyle h_{\text{f}}}$คือการสูญเสียแรงดันเนื่องจากแรงเสียดทาน ( หน่วย SI : เมตร)
• ${\displaystyle g}$คือความเร่งโน้มถ่วง (หน่วย SI: m/s²)
• ${\displaystyle D}$คือเส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ (หน่วย SI: เมตร)
• ${\displaystyle L}$คือความยาวของท่อ (หน่วย SI: เมตร)
• ${\displaystyle V}$คือความเร็วเฉลี่ยของของเหลว (หน่วย SI: เมตร/วินาที)

คำอธิบายที่แม่นยำของการสูญเสียแรงเสียดทานสำหรับพลาสติก Bingham ในการไหลแบบลามินาร์ในท่อที่พัฒนาเต็มที่ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดย Buckingham ^{[ 6 ]}นิพจน์ของเขา สมการ Buckingham–Reinerสามารถเขียนในรูปแบบไร้มิติได้ดังนี้:

${\displaystyle f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle f_{\text{L}}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานดาร์ซีของการไหลแบบลามินาร์ (หน่วย SI: ไม่มีมิติ)
• ${\displaystyle \operatorname {Re} }$คือเลขเรย์โนลด์ (หน่วย SI: ไม่มีมิติ)
• ${\displaystyle \operatorname {He} }$คือเลขเฮดสตรอม (หน่วย SI: ไม่มีมิติ)

เลขเรย์โนลด์และเลขเฮดสตรอมถูกกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },}$และ

${\displaystyle \operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นมวลของของเหลว (หน่วย SI: kg/ ^m³ )
• ${\displaystyle \mu }$คือค่าความหนืดไดนามิกของของเหลว (หน่วย SI: กก./ม.²)
• ${\displaystyle \tau _{o}}$คือจุดคราค (ความแข็งแรงคราค) ของของเหลว (หน่วย SI: Pa)

Darby และ Melson ได้พัฒนาการแสดงออกเชิงประจักษ์^{[ 7 ]} ซึ่งได้รับการปรับปรุงและกำหนดโดย: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle f_{\text{T}}}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของการไหลแบบปั่นป่วน (หน่วย SI: ไม่มีมิติ)
• ${\displaystyle a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]}$

หมายเหตุ: สูตรของดาร์บี้และเมลสันใช้สำหรับค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ่ง และจำเป็นต้องคูณด้วย 4 เพื่อใช้ในสมการการสูญเสียแรงเสียดทานที่ปรากฏในส่วนอื่นของหน้านี้

แม้ว่าเราจะสามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอนของสมการ Buckingham–Reiner ได้ เพราะเป็นสมการพหุนามอันดับสี่ในตัวแปรfแต่เนื่องจากความซับซ้อนของคำตอบ จึงไม่ค่อยมีการนำมาใช้ ดังนั้น นักวิจัยจึงพยายามพัฒนาวิธีการประมาณค่าแบบชัดเจนสำหรับสมการ Buckingham–Reiner

สมการ Swamee–Aggarwal ใช้ในการหาค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน Darcy–Weisbach f โดยตรง สำหรับการไหลแบบลามินาร์ของของเหลวพลาสติก Bingham ^{[ 9 ]}เป็นการประมาณค่าของ สมการ Buckingham–Reiner แบบไม่ชัดเจน แต่ความคลาดเคลื่อนจากข้อมูลการทดลองนั้นอยู่ในช่วงความแม่นยำของข้อมูล สมการ Swamee–Aggarwal มีดังนี้:

${\displaystyle f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}}$

Danish และคณะได้จัดเตรียมขั้นตอนที่ชัดเจนในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานfโดยใช้วิธีการแยกส่วนของ Adomian ^{[ 10 ]}ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานที่มีสองเทอมผ่านวิธีนี้มีดังนี้:

${\displaystyle f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},}$

และ

${\displaystyle K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.}$

ในปี พ.ศ. 2524 Darby และ Melson ได้ใช้แนวทางของ Churchill ^{[ 11 ]}และของ Churchill และ Usagi ^{[ 12 ]}พัฒนานิพจน์เพื่อให้ได้สมการค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเดียวที่ใช้ได้สำหรับระบอบการไหลทั้งหมด: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}}$

ที่ไหน:

${\displaystyle m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }}$

สมการ Swamee–Aggarwal และสมการ Darby–Melson สามารถนำมารวมกันเพื่อให้ได้สมการที่ชัดเจนสำหรับการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของของเหลวพลาสติก Bingham ในทุกสภาวะ ความหยาบสัมพัทธ์ไม่ใช่พารามิเตอร์ในสมการใดๆ เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของของเหลวพลาสติก Bingham ไม่ไวต่อความหยาบของท่อ

• หมายเลขแบ็กโนลด์
• หลักการของเบอร์นูลลี
• แบบจำลองบิงแฮม-ปาปานาสตาซิโอ
• รีโอโลยี
• การลดความหนืดเมื่อถูกแรงเฉือน